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- 2021-05-13 发布
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专题一:填空选择综合题
【问题解析】
选择题和填空题属于基础题,重在考查学生的基础知识和基本技能.但是为了更好地开发学生的智力,提高学生的能力,往往在选择题的最后一题或填空题的最后一题,设置一两道难度稍大的题目.这类题目类型可能是图形变化结合函数题、规律探究题、新定义题、剪切折叠问题等.还需要分类讨论,所以难度偏大.
【热点探究】
类型一: 涉及三角形综合问题
【例题1】(2016·山东省德州市·3分)在矩形ABCD中,AD=2AB=4,E是AD的中点,一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合,将三角板绕点E旋转,三角板的两直角边分别交AB,BC(或它们的延长线)于点M,N,设∠AEM=α(0°<α<90°),给出下列四个结论:
①AM=CN;
②∠AME=∠BNE;
③BN﹣AM=2;
④S△EMN=.
上述结论中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】全等三角形的判定与性质;旋转的性质.
【分析】①作辅助线EF⊥BC于点F,然后证明Rt△AME≌Rt△FNE,从而求出AM=FN,所以BM与CN的长度相等.
②由①Rt△AME≌Rt△FNE,即可得到结论正确;
③经过简单的计算得到BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣(BM+AM)=BC﹣AB=4﹣2=2,
④用面积的和和差进行计算,用数值代换即可.
【解答】解:①如图,
在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AD的中点,
作EF⊥BC于点F,则有AB=AE=EF=FC,
∵∠AEM+∠DEN=90°,∠FEN+∠DEN=90°,
∴∠AEM=∠FEN,
在Rt△AME和Rt△FNE中,
,
∴Rt△AME≌Rt△FNE,
∴AM=FN,
∴MB=CN.
∵AM不一定等于CN,
∴AM不一定等于CN,
∴①错误,
②由①有Rt△AME≌Rt△FNE,
∴∠AME=∠BNE,
∴②正确,
③由①得,BM=CN,
∵AD=2AB=4,
∴BC=4,AB=2
∴BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣(BM+AM)=BC﹣AB=4﹣2=2,
∴③正确,
④如图,
由①得,CN=CF﹣FN=2﹣AM,AE=AD=2,AM=FN
∵tanα=,
∴AM=AEtanα
∵cosα==,
∴cos2α=,
∴=1+=1+()2=1+tan2α,
∴=2(1+tan2α)
∴S△EMN=S四边形ABNE﹣S△AME﹣S△MBN
=(AE+BN)×AB﹣AE×AM﹣BN×BM
=(AE+BC﹣CN)×2﹣AE×AM﹣(BC﹣CN)×CN
=(AE+BC﹣CF+FN)×2﹣AE×AM﹣(BC﹣2+AM)(2﹣AM)
=AE+BC﹣CF+AM﹣AE×AM﹣(2+AM)(2﹣AM)
=AE+AM﹣AE×AM+AM2
=AE+AEtanα﹣AE2tanα+AE2tan2α
=2+2tanα﹣2tanα+2tan2α
=2(1+tan2α)
=.
∴④正确.
故选C.
【点评】此题是全等三角形的性质和判定题,主要考查了全等三角形的性质和判定,图形面积的计算锐角三角函数,解本题的关键是Rt△AME≌Rt△FNE,难点是计算S△EMN.
【同步练】
(2016·辽宁丹东·3分)如图,在△ABC中,AD和BE是高,∠ABE=45°,点F是AB的中点,AD与FE、BE分别交于点G、H,∠CBE=∠BAD.有下列结论:①FD=FE;②AH=2CD;③BC•AD=AE2;④S△ABC=4S△ADF.其中正确的有( )
A.1个B.2 个C.3 个D.4个
类型二:涉及四边形综合问题
【例题2】(烟台市 2015 中考 -17)如图,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别是(4,0)和(0,2),反比例函数y=(x>0)的图象过对角线的交点P并且与AB,BC分别交于D,E两点,连接OD,OE,DE,则△ODE的面积为 .
【解析】:由A、C的坐标分别是(4,0)和(0,2),得到P(2,1),求得k=2,得到反比例函数的解析式为:y=,求出D(4,),E(1,2)于是问题可解.
【解答】解:∵四边形OABC是矩形,
∴AB=OC,BC=OA,
∵A、C的坐标分别是(4,0)和(0,2),
∴OA=4,OB=2,
∵P是矩形对角线的交点,
∴P(2,1),
∵反比例函数y=(x>0)的图象过对角线的交点P,
∴k=2,
∴反比例函数的解析式为:y=,
∵D,E两点在反比例函数y=(x>0)的图象的图象上,
∴D(4,),E(1,2)
∴S阴影=S矩形﹣S△AOD﹣S△COF﹣S△BDE=4×2﹣×2﹣×2﹣××3=.
故答案为:.
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义,待定系数法求函数的解析式,矩形的性质三角形的面积的求法,掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键.
【同步练】
(2016·黑龙江龙东·3分)如图,在正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,连接AE,BF交于点G,将△BCF沿BF对折,得到△BPF,延长FP交BA延长线于点Q,下列结论正确的个数是( )
①AE=BF;②AE⊥BF;③sin∠BQP=;④S四边形ECFG=2S△BGE.
A.4 B.3 C.2 D.1
类型三:设计规律探索研究问题
【例题3】(郴州市 2015 中考 -16)请观察下列等式的规律:
,
,,
…
则= .
思路分析:
从题干中观察算式可知(为非0自然数),把算式拆分再抵消即可求解.
解题过程:
解:
=+++…
=
=
=
=
故答案为:.
规律总结:
本题的关键规律为(为非0自然数),通过观察,分析、归纳并发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题.
【同步练】
(2016·山东省德州市·4分)如图,在平面直角坐标系中,函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1,l2,过点(1,0)作x轴的垂线交l2于点A1,过点A1作y轴的垂线交l2
于点A2,过点A2作x轴的垂线交l2于点A3,过点A3作y轴的垂线交l2于点A4,…依次进行下去,则点A2017的坐标为 .
类型四:设计图形变换综合问题
【例题4】
(2016·青海西宁·2分)如图,已知正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°,将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM.若AE=1,则FM的长为 .
【考点】旋转的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质.
【分析】由旋转可得DE=DM,∠EDM为直角,可得出∠EDF+∠MDF=90°,由∠EDF=45°,得到∠MDF为45°,可得出∠EDF=∠MDF,再由DF=DF,利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等,由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF;则可得到AE=CM=1,正方形的边长为3,用AB﹣AE求出EB的长,再由BC+CM求出BM的长,设EF=MF=x,可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=4﹣x,在直角三角形BEF中,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即为FM的长.
【解答】解:∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM,
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°,
∴F、C、M三点共线,
∴DE=DM,∠EDM=90°,
∴∠EDF+∠FDM=90°,
∵∠EDF=45°,
∴∠FDM=∠EDF=45°,
在△DEF和△DMF中,
,
∴△DEF≌△DMF(SAS),
∴EF=MF,
设EF=MF=x,
∵AE=CM=1,且BC=3,
∴BM=BC+CM=3+1=4,
∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x,
∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2,
在Rt△EBF中,由勾股定理得EB2+BF2=EF2,
即22+(4﹣x)2=x2,
解得:x=,
∴FM=.
故答案为:.
【同步练】
(郴州市 2015 中考 -8)如图,在矩形ABCD中,AB=3,将△ABD沿对角线BD对折,得到△EBD,DE与BC交于点F,∠ADB=30°,则EF=( )
A. B. C. 3 D.
类型五:涉及动态类综合问题
【例题5】(烟台市 2015 中考 -18)如图,直线l:y=﹣x+1与坐标轴交于A,B两点,点M(m,0)是x轴上一动点,以点M为圆心,2个单位长度为半径作⊙M,当⊙M与直线l相切时,则m的值为 .
【解析】根据直线ly=﹣x+1由x轴的交点坐标A(0,1),B(2,0),得到OA=1,OB=2,求出AB=;设⊙M与AB相切与C,连接MC,则MC=2,MC⊥AB,通过△BMO~△ABO,即可得到结果.
【解答】解:在y=﹣x+1中,
令x=0,则y=1,
令y=0,则x=2,
∴A(0,1),B(2,0),
∴AB=;
如图,设⊙M与AB相切与C,
连接MC,则MC=2,MC⊥AB,
∵∠MCB=∠AOB=90°,∠B=∠B,
∴△BMO~△ABO,
∴,即
∴BM=2,
∴OM=2﹣2,或OM=2+2.
∴m=2﹣2或m=2+2.
故答案为:2﹣2,2+2.
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,一次函数的性质,相似三角形的判定和性质,注意分类讨论是解题的关键.
【同步练】
(枣庄市 2015 中考 -18)如图,在平面直角坐标系中,点A(0,4),B(3,0),连接AB,将△AOB沿过点B的直线折叠,使点A落在x轴上的点A′处,折痕所在的直线交y轴正半轴于点C,则直线BC的解析式为 .
类型六:涉及二次函数综合问题
【例题6】(枣庄市 2015中考 -12)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,对称轴为x=,且经过点(2,0),有下列说法:①abc<0;②a+b=0;③4a+2b+c<0;④若(0,y1),(1,y2)是抛物线上的两点,则y1=y2.上述说法正确的是( )
A.①②④ B.③④ C. ①③④ D.①②
【解析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用,故对于题①可根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号;
对于题②可根据对称轴求出b=﹣a;
对于题③可以把x=2代入函数关系式,结合图象判断函数值与0的大小关系;
对于题④可以求出点(0,y1)关于直线x=的对称点的坐标,根据对称轴即可判断y1和y2的大小.
【解答】解:①∵二次函数的图象开口向下,
∴a<0,
∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点,
∴c>0,
∵对称轴是直线x=,
∴,
∴b=﹣a>0,
∴abc<0.
故①正确;
②∵由①中知b=﹣a,
∴a+b=0,
故②正确;
③把x=2代入y=ax2+bx+c得:y=4a+2b+c,
∵抛物线经过点(2,0),
∴当x=2时,y=0,即4a+2b+c=0.
故③错误;
④∵(0,y1)关于直线x=的对称点的坐标是(1,y1),
∴y1=y2.
故④正确;
综上所述,正确的结论是①②④.
故选:A
【点评】解决此类问题重点是熟练把握二次函数的图象和系数的关系的应用,并注意:当a>0时,二次函数的图象开口向上,当a<0时,二次函数的图象开口向下.
【同步练】
(2016·湖北随州·3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:(1)4a+b=0;(2)9a+c>3b;(3)8a+7b+2c>0;(4)若点A(﹣3,y1)、点B(﹣,y2)、点C(,y3)在该函数图象上,则y1<y3<y2;(5)若方程a(x+1)(x﹣5)=﹣3的两根为x1和x2,且x1<x2,则x1<﹣1<5<x2.其中正确的结论有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【达标检测】
1. (枣庄市 2014 中考 -18)图①所示的正方体木块棱长为6cm,沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角,得到如图②的几何体,一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 cm.
2. (2016·黑龙江齐齐哈尔·3分)如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,点M是AD边的中点,连接MC,将菱形ABCD翻折,使点A落在线段CM上的点E处,折痕交AB于点N,则线段EC的长为 .
3. (2016·陕西·3分)如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点,若M、N是边AD上的两点,连接MO、NO,并分别延长交边BC于两点M′、N′,则图中的全等三角形共有( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
4. (2016·山东潍坊·3分)已知∠AOB=60°,点P是∠AOB的平分线OC上的动点,点M在边OA上,且OM=4,则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是 .
5. (2016·广西桂林·3分)已知直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A,B,点P在抛物线y=﹣ (x﹣ )2+4上,能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
6. (2016·云南省昆明市·4分)如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC、DC分别交于点G,F,H为CG的中点,连接DE,EH,DH,FH.下列结论:
①EG=DF;②∠AEH+∠ADH=180°;③△EHF≌△DHC;④若=,则3S△EDH=13S△DHC,其中结论正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7. (2016·四川攀枝花)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3,则下列结论正确的是( )
A.2a﹣b=0
B.a+b+c>0
C.3a﹣c=0
D.当a=时,△ABD是等腰直角三角形
8. (2016·四川眉山·3分)如图,已知点A是双曲线在第三象限分支上的一个动点,连结AO并延长交另一分支于点B,以AB为边作等边三角形ABC,点C在第四象限内,且随着点A的运动,点C的位置也在不断变化,但点C始终在双曲线上运动,则k的值是 .
【达标检测参考答案】
类型一: 设计三角形综合问题
【同步练】
(2016·辽宁丹东·3分)如图,在△ABC中,AD和BE是高,∠ABE=45°,点F是AB的中点,AD与FE、BE分别交于点G、H,∠CBE=∠BAD.有下列结论:①FD=FE;②AH=2CD;③BC•AD=AE2;④S△ABC=4S△ADF.其中正确的有( )
A.1个B.2 个C.3 个D.4个
【考点】相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.
【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出FD=AB,证明△ABE是等腰直角三角形,得出AE=BE,证出FE=AB,延长FD=FE,①正确;
证出∠ABC=∠C,得出AB=AC,由等腰三角形的性质得出BC=2CD,∠BAD=∠CAD=∠CBE,由ASA证明△AEH≌△BEC,得出AH=BC=2CD,②正确;
证明△ABD~△BCE,得出=,即BC•AD=AB•BE,再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出BC•AD=AE2;③正确;
由F是AB的中点,BD=CD,得出S△ABC=2S△ABD=4S△ADF.④正确;即可得出结论.
【解答】解:∵在△ABC中,AD和BE是高,
∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°,
∵点F是AB的中点,
∴FD=AB,
∵∠ABE=45°,
∴△ABE是等腰直角三角形,
∴AE=BE,
∵点F是AB的中点,
∴FE=AB,
∴FD=FE,①正确;
∵∠CBE=∠BAD,∠CBE+∠C=90°,∠BAD+∠ABC=90°,
∴∠ABC=∠C,
∴AB=AC,
∵AD⊥BC,
∴BC=2CD,∠BAD=∠CAD=∠CBE,
在△AEH和△BEC中,,
∴△AEH≌△BEC(ASA),
∴AH=BC=2CD,②正确;
∵∠BAD=∠CBE,∠ADB=∠CEB,
∴△ABD~△BCE,
∴=,即BC•AD=AB•BE,
∵AE2=AB•AE=AB•BE,BC•AD=AC•BE=AB•BE,
∴BC•AD=AE2;③正确;[来源:学科网]
∵F是AB的中点,BD=CD,∴
S△ABC=2S△ABD=4S△ADF.④正确;
故选:D.
类型二:设计四边形综合问题
【同步练】
(2016·黑龙江龙东·3分)如图,在正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,连接AE,BF交于点G,将△BCF沿BF对折,得到△BPF,延长FP交BA延长线于点Q,下列结论正确的个数是( )
①AE=BF;②AE⊥BF;③sin∠BQP=;④S四边形ECFG=2S△BGE.
A.4 B.3 C.2 D.1
【考点】四边形综合题.
【分析】首先证明△ABE≌△BCF,再利用角的关系求得∠BGE=90°,即可得到①AE=BF;②AE⊥BF;△BCF沿BF对折,得到△BPF,利用角的关系求出QF=QB,解出BP,QB,根据正弦的定义即可求解;根据AA可证△BGE与△BCF相似,进一步得到相似比,再根据相似三角形的性质即可求解.
【解答】解:∵E,F分别是正方形ABCD边BC,CD的中点,
∴CF=BE,
在△ABE和△BCF中,
,
∴Rt△ABE≌Rt△BCF(SAS),
∴∠BAE=∠CBF,AE=BF,故①正确;
又∵∠BAE+∠BEA=90°,
∴∠CBF+∠BEA=90°,
∴∠BGE=90°,
∴AE⊥BF,故②正确;
根据题意得,FP=FC,∠PFB=∠BFC,∠FPB=90°
∵CD∥AB,
∴∠CFB=∠ABF,
∴∠ABF=∠PFB,
∴QF=QB,
令PF=k(k>0),则PB=2k
在Rt△BPQ中,设QB=x,
∴x2=(x﹣k)2+4k2,
∴x=,
∴sin=∠BQP==,故③正确;
∵∠BGE=∠BCF,∠GBE=∠CBF,
∴△BGE∽△BCF,
∵BE=BC,BF=BC,
∴BE:BF=1:,
∴△BGE的面积:△BCF的面积=1:5,
∴S四边形ECFG=4S△BGE,故④错误.
故选:B.
类型三:设计规律探索研究问题
【同步练】
(2016·山东省德州市·4分)如图,在平面直角坐标系中,函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1,l2,过点(1,0)作x轴的垂线交l2于点A1,过点A1作y轴的垂线交l2于点A2,过点A2作x轴的垂线交l2于点A3,过点A3作y轴的垂线交l2于点A4,…依次进行下去,则点A2017的坐标为 (21008,21009) .
【考点】一次函数图象上点的坐标特征.
【专题】规律型;一次函数及其应用.
【分析】写出部分An点的坐标,根据坐标的变化找出变化规律“A2n+1((﹣2)n,2(﹣2)n)(n为自然数)”,依此规律即可得出结论.
【解答】解:观察,发现规律:A1(1,2),A2(﹣2,2),A3(﹣2,﹣4),A4(4,﹣4),A5(4,8),…,
∴A2n+1((﹣2)n,2(﹣2)n)(n为自然数).
∵2017=1008×2+1,
∴A2017的坐标为((﹣2)1008,2(﹣2)1008)=(21008,21009).
故答案为:(21008,21009).
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中坐标的变化,解题的关键是找出变化规律“A2n+1((﹣2)n,2(﹣2)n)(n为自然数)”.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,写出部分An点的坐标,根据坐标的变化找出变化规律是关键.
类型四:设计图形变换综合问题
【同步练】
(郴州市 2015 中考 -8)如图,在矩形ABCD中,AB=3,将△ABD沿对角线BD对折,得到△EBD,DE与BC交于点F,∠ADB=30°,则EF=( )
A. B. C. 3 D.
思路分析:
考查了翻折变换问题,我们利用翻折变换的性质得出:∠1=∠2=30°,进而结合锐角三角函数关系求出FE的长.
解题过程:
解:如图所示:由题意可得:∠1=∠2=30°,则∠3=30°,
可得∠4=∠5=60°,
∵AB=DC=BE=3,
∴tan60°=,
解得:EF=.
故选:A.
规律总结:
解此类问题关键是抓住翻折变换的性质以及锐角三角函数关系,得出∠4=∠5=60°.
类型五:涉及动态类综合问题
【同步练】
(枣庄市 2015 中考 -18)如图,在平面直角坐标系中,点A(0,4),B(3,0),连接AB,将△AOB沿过点B的直线折叠,使点A落在x轴上的点A′处,折痕所在的直线交y轴正半轴于点C,则直线BC的解析式为 .
【解析】本题考查了折叠的性质和勾股定理的应用,在Rt△OAB中,OA=4,OB=3,可用勾股定理计算出AB=5,再根据折叠的性质得BA′=BA=5,CA′=CA,则OA′=BA′﹣OB=2,设OC=t,则CA=CA′=4﹣t,在Rt△OA′C中,根据勾股定理得到t2+22=(4﹣t)2,解得t=,则C点坐标为(0,),然后利用待定系数法确定直线BC的解析式.
【解答】解:∵A(0,4),B(3,0),
∴OA=4,OB=3,
在Rt△OAB中,AB==5,
∵△AOB沿过点B的直线折叠,使点A落在x轴上的点A′处,
∴BA′=BA=5,CA′=CA,
∴OA′=BA′﹣OB=5﹣3=2,
设OC=t,则CA=CA′=4﹣t,
在Rt△OA′C中,
∵OC2+OA′2=CA′2,
∴t2+22=(4﹣t)2,解得t=,
∴C点坐标为(0,),
设直线BC的解析式为y=kx+b,
把B(3,0)、C(0,)代入得,解得,
∴直线BC的解析式为.
故答案为:.
【点评】本题的关键是把握住折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等并能灵活运用,同时也要把握勾股定理和待定系数法求一次函数解析式.
类型六:涉及二次函数综合问题
【同步练】
(2016·湖北随州·3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:(1)4a+b=0;(2)9a+c>3b;(3)8a+7b+2c>0;(4)若点A(﹣3,y1)、点B(﹣,y2)、点C(,y3)在该函数图象上,则y1<y3<y2;(5)若方程a(x+1)(x﹣5)=﹣3的两根为x1和x2,且x1<x2,则x1<﹣1<5<x2.其中正确的结论有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【分析】(1)正确.根据对称轴公式计算即可.
(2)错误,利用x=﹣3时,y<0,即可判断.
(3)正确.由图象可知抛物线经过(﹣1,0)和(5,0),列出方程组求出a、b即可判断.
(4)错误.利用函数图象即可判断.
(5)正确.利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题.
【解答】解:(1)正确.∵﹣ =2,
∴4a+b=0.故正确.
(2)错误.∵x=﹣3时,y<0,
∴9a﹣3b+c<0,
∴9a+c<3b,故(2)错误.
(3)正确.由图象可知抛物线经过(﹣1,0)和(5,0),
∴解得,
∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a,
∵a<0,
∴8a+7b=2c>0,故(3)正确.
(4)错误,∵点A(﹣3,y1)、点B(﹣,y2)、点C(,y3),
∵﹣2=,2﹣(﹣)=,
∴<
∴点C离对称轴的距离近,
∴y3>y2,
∵a<0,﹣3<﹣<2,
∴y1<y2
∴y1<y2<y3,故(4)错误.
(5)正确.∵a<0,
∴(x+1)(x﹣5)=﹣3/a>0,
即(x+1)(x﹣5)>0,
故x<﹣1或x>5,故(5)正确.
∴正确的有三个,
故选B.
【达标检测】
1. (枣庄市 2014 中考 -18)图①所示的正方体木块棱长为6cm,沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角,得到如图②的几何体,一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 cm.
【解析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题,要求蚂蚁爬行的最短距离,需将图②的几何体表面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果.
【解答】:如图所示:
△BCD是等腰直角三角形,△ACD是等边三角形,
在Rt△BCD中,CD==cm,
∴BE=CD=cm,
在Rt△ACE中,AE==cm,
∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为()cm.
故答案为:().
【点评】解决本题的关键就是把图②的几何体表面展开成平面图形,根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质解决问题.
2. (2016·黑龙江齐齐哈尔·3分)如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,点M是AD边的中点,连接MC,将菱形ABCD翻折,使点A落在线段CM上的点E处,折痕交AB于点N,则线段EC的长为 ﹣1 .
【考点】翻折变换(折叠问题);菱形的性质.
【分析】过点M作MF⊥DC于点F,根据在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M为AD中点,得到2MD=AD=CD=2,从而得到∠FDM=60°,∠FMD=30°,进而利用锐角三角函数关系求出EC的长即可.
【解答】解:如图所示:过点M作MF⊥DC于点F,
∵在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M为AD中点,
∴2MD=AD=CD=2,∠FDM=60°,
∴∠FMD=30°,
∴FD=MD=,
∴FM=DM×cos30°=,
∴MC==,
∴EC=MC﹣ME=﹣1.
故答案为:﹣1.
3. (2016·陕西·3分)如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点,若M、N是边AD上的两点,连接MO、NO,并分别延长交边BC于两点M′、N′,则图中的全等三角形共有( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
【考点】正方形的性质;全等三角形的判定.
【分析】可以判断△ABD≌△BCD,△MDO≌△M′BO,△NOD≌△N′OB,△MON≌△M′ON′由此即可对称结论.
【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CD=CB=AD,∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°,AD∥BC,
在△ABD和△BCD中,
,
∴△ABD≌△BCD,
∵AD∥BC,
∴∠MDO=∠M′BO,
在△MOD和△M′OB中,
,
∴△MDO≌△M′BO,同理可证△NOD≌△N′OB,∴△MON≌△M′ON′,
∴全等三角形一共有4对.
故选C.
4. (2016·山东潍坊·3分)已知∠AOB=60°,点P是∠AOB的平分线OC上的动点,点M在边OA上,且OM=4,则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是 2 .
【考点】轴对称-最短路线问题.
【分析】过M作MN′⊥OB于N′,交OC于P,即MN′的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值,解直角三角形即可得到结论.
【解答】解:过M作MN′⊥OB于N′,交OC于P,
则MN′的长度等于PM+PN的最小值,
即MN′的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值,
∵∠ON′M=90°,OM=4,
∴MN′=OM•sin60°=2,
∴点P到点M与到边OA的距离之和的最小值为2.
5. (2016·广西桂林·3分)已知直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A,B,点P在抛物线y=﹣ (x﹣ )2+4上,能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【考点】二次函数图象上点的坐标特征;一次函数图象上点的坐标特征;等腰三角形的判定.
【分析】以点B为圆心线段AB长为半径做圆,交抛物线于点C、M、N点,连接AC、BC,由直线y=﹣x+3可求出点A、B的坐标,结合抛物线的解析式可得出△ABC等边三角形,再令抛物线解析式中y=0求出抛物线与x轴的两交点的坐标,发现该两点与M、N重合,结合图形分三种情况研究△ABP为等腰三角形,由此即可得出结论.
【解答】解:以点B为圆心线段AB长为半径做圆,交抛物线于点C、M、N点,连接AC、BC,如图所示.
令一次函数y=﹣x+3中x=0,则y=3,
∴点A的坐标为(0,3);
令一次函数y=﹣x+3中y=0,则﹣x+3,
解得:x=,
∴点B的坐标为(,0).
∴AB=2.
∵抛物线的对称轴为x=,
∴点C的坐标为(2,3),
∴AC=2=AB=BC,
∴△ABC为等边三角形.
令y=﹣(x﹣)2+4中y=0,则﹣(x﹣)2+4=0,
解得:x=﹣,或x=3.
∴点E的坐标为(﹣,0),点F的坐标为(3,0).
△ABP为等腰三角形分三种情况:
①当AB=BP时,以B点为圆心,AB长度为半径做圆,与抛物线交于C、M、N三点;
②当AB=AP时,以A点为圆心,AB长度为半径做圆,与抛物线交于C、M两点,;
③当AP=BP时,作线段AB的垂直平分线,交抛物线交于C、M两点;
∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个.
故选A.
6. (2016·云南省昆明市·4分)如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC、DC分别交于点G,F,H为CG的中点,连接DE,EH,DH,FH.下列结论:
①EG=DF;②∠AEH+∠ADH=180°;③△EHF≌△DHC;④若=,则3S△EDH=13S△DHC,其中结论正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质.
【分析】①根据题意可知∠ACD=45°,则GF=FC,则EG=EF﹣GF=CD﹣FC=DF;
②由SAS证明△EHF≌△DHC,得到∠HEF=∠HDC,从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=180°;
③同②证明△EHF≌△DHC即可;
④若=,则AE=2BE,可以证明△EGH≌△DFH,则∠EHG=∠DHF且EH=DH,则∠DHE=90°,△EHD为等腰直角三角形,过H点作HM垂直于CD于M点,设HM=x,则DM=5x,DH=x,CD=6x,则S△DHC=×HM×CD=3x2,S△EDH=×DH2=13x2.
【解答】解:①∵四边形ABCD为正方形,EF∥AD,
∴EF=AD=CD,∠ACD=45°,∠GFC=90°,
∴△CFG为等腰直角三角形,
∴GF=FC,
∵EG=EF﹣GF,DF=CD﹣FC,
∴EG=DF,故①正确;
②∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,
∴FH=CH,∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD,
在△EHF和△DHC中,,
∴△EHF≌△DHC(SAS),
∴∠HEF=∠HDC,
∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°,故②正确;
③∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,
∴FH=CH,∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD,
在△EHF和△DHC中,,
∴△EHF≌△DHC(SAS),故③正确;
④∵=,
∴AE=2BE,
∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,
∴FH=GH,∠FHG=90°,
∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD,
在△EGH和△DFH中,,
∴△EGH≌△DFH(SAS),
∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°,
∴△EHD为等腰直角三角形,
过H点作HM垂直于CD于M点,如图所示:
设HM=x,则DM=5x,DH=x,CD=6x,
则S△DHC=×HM×CD=3x2,S△EDH=×DH2=13x2,
∴3S△EDH=13S△DHC,故④正确;
故选:D.
7. (2016·四川攀枝花)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3,则下列结论正确的是( )
A.2a﹣b=0
B.a+b+c>0
C.3a﹣c=0
D.当a=时,△ABD是等腰直角三角形
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【分析】由于抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1,3,得到对称轴为直线x=1,则﹣=1,即2a+b=0,得出,选项A错误;
当x=1时,y<0,得出a+b+c<0,得出选项B错误;
当x=﹣1时,y=0,即a﹣b+c=0,而b=﹣2a,可得到a与c的关系,得出选项C错误;
由a=,则b=﹣1,c=﹣,对称轴x=1与x轴的交点为E,先求出顶点D的坐标,由三角形边的关系得出△ADE和△BDE都为等腰直角三角形,得出选项D正确;即可得出结论.
【解答】解:∵抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1,3,
∴抛物线的对称轴为直线x=1,则﹣=1,
∴2a+b=0,
∴选项A错误;
∴当自变量取1时,对应的函数图象在x轴下方,
∴x=1时,y<0,则a+b+c<0,
∴选项B错误;
∵A点坐标为(﹣1,0),
∴a﹣b+c=0,而b=﹣2a,
∴a+2a+c=0,
∴3a+c=0,
∴选项C错误;
当a=,则b=﹣1,c=﹣,对称轴x=1与x轴的交点为E,如图,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣,
把x=1代入得y=﹣1﹣=﹣2,
∴D点坐标为(1,﹣2),
∴AE=2,BE=2,DE=2,
∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形,
∴△ADB为等腰直角三角形,
∴选项D正确.
故选D.
【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系:当a>0,抛物线开口向上;抛物线的对称轴为直线x=﹣;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c).
8. (2016·四川眉山·3分)如图,已知点A是双曲线在第三象限分支上的一个动点,连结AO并延长交另一分支于点B,以AB为边作等边三角形ABC,点C在第四象限内,且随着点A的运动,点C的位置也在不断变化,但点C始终在双曲线上运动,则k的值是 ﹣3 .
【分析】根据反比例函数的性质得出OA=OB,连接OC,过点A作AE⊥y轴,垂足为E,过点C作CF⊥y轴,垂足为F,根据等边三角形的性质和解直角三角形求出OC=OA,求出△OFC∽△AEO,相似比,求出面积比,求出△OFC的面积,即可得出答案.
【解答】解:∵双曲线的图象关于原点对称,
∴点A与点B关于原点对称,
∴OA=OB,
连接OC,如图所示,
∵△ABC是等边三角形,OA=OB,
∴OC⊥AB.∠BAC=60°,
∴tan∠OAC==,
∴OC=OA,
过点A作AE⊥y轴,垂足为E,过点C作CF⊥y轴,垂足为F,
∵AE⊥OE,CF⊥OF,OC⊥OA,
∴∠AEO=∠OFC,∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF,
∴△OFC∽△AEO,相似比,
∴面积比,
∵点A在第一象限,设点A坐标为(a,b),
∵点A在双曲线上,
∴S△AEO=ab=,
∴S△OFC=FC•OF=,
∴设点C坐标为(x,y),
∵点C在双曲线上,
∴k=xy,
∵点C在第四象限,
∴FC=x,OF=﹣y.
∴FC•OF=x•(﹣y)=﹣xy=﹣,
故答案为:﹣3.
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,等边三角形的性质,解直角三角形,相似三角形的性质和判定的应用,能综合运用知识点进行 推理和计算是解此题的关键.
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