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  • 2021-05-13 发布

中考数学专题复习一填空选择综合题

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专题一:填空选择综合题 ‎【问题解析】‎ 选择题和填空题属于基础题,重在考查学生的基础知识和基本技能.但是为了更好地开发学生的智力,提高学生的能力,往往在选择题的最后一题或填空题的最后一题,设置一两道难度稍大的题目.这类题目类型可能是图形变化结合函数题、规律探究题、新定义题、剪切折叠问题等.还需要分类讨论,所以难度偏大.‎ ‎【热点探究】‎ 类型一: 涉及三角形综合问题 ‎【例题1】(2016·山东省德州市·3分)在矩形ABCD中,AD=2AB=4,E是AD的中点,一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合,将三角板绕点E旋转,三角板的两直角边分别交AB,BC(或它们的延长线)于点M,N,设∠AEM=α(0°<α<90°),给出下列四个结论:‎ ‎①AM=CN;‎ ‎②∠AME=∠BNE;‎ ‎③BN﹣AM=2;‎ ‎④S△EMN=.‎ 上述结论中正确的个数是(  )‎ A.1 B.‎2 ‎C.3 D.4‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质;旋转的性质.‎ ‎【分析】①作辅助线EF⊥BC于点F,然后证明Rt△AME≌Rt△FNE,从而求出AM=FN,所以BM与CN的长度相等.‎ ‎②由①Rt△AME≌Rt△FNE,即可得到结论正确;‎ ‎③经过简单的计算得到BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣(BM+AM)=BC﹣AB=4﹣2=2,‎ ‎④用面积的和和差进行计算,用数值代换即可.‎ ‎【解答】解:①如图,‎ 在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AD的中点,‎ 作EF⊥BC于点F,则有AB=AE=EF=FC,‎ ‎∵∠AEM+∠DEN=90°,∠FEN+∠DEN=90°,‎ ‎∴∠AEM=∠FEN,‎ 在Rt△AME和Rt△FNE中,‎ ‎,‎ ‎∴Rt△AME≌Rt△FNE,‎ ‎∴AM=FN,‎ ‎∴MB=CN.‎ ‎∵AM不一定等于CN,‎ ‎∴AM不一定等于CN,‎ ‎∴①错误,‎ ‎②由①有Rt△AME≌Rt△FNE,‎ ‎∴∠AME=∠BNE,‎ ‎∴②正确,‎ ‎③由①得,BM=CN,‎ ‎∵AD=2AB=4,‎ ‎∴BC=4,AB=2‎ ‎∴BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣(BM+AM)=BC﹣AB=4﹣2=2,‎ ‎∴③正确,‎ ‎④如图,‎ 由①得,CN=CF﹣FN=2﹣AM,AE=AD=2,AM=FN ‎∵tanα=,‎ ‎∴AM=AEtanα ‎∵cosα==,‎ ‎∴cos2α=,‎ ‎∴=1+=1+()2=1+tan2α,‎ ‎∴=2(1+tan2α)‎ ‎∴S△EMN=S四边形ABNE﹣S△AME﹣S△MBN ‎=(AE+BN)×AB﹣AE×AM﹣BN×BM ‎=(AE+BC﹣CN)×2﹣AE×AM﹣(BC﹣CN)×CN ‎=(AE+BC﹣CF+FN)×2﹣AE×AM﹣(BC﹣2+AM)(2﹣AM)‎ ‎=AE+BC﹣CF+AM﹣AE×AM﹣(2+AM)(2﹣AM)‎ ‎=AE+AM﹣AE×AM+AM2‎ ‎=AE+AEtanα﹣AE2tanα+AE2tan2α ‎=2+2tanα﹣2tanα+2tan2α ‎=2(1+tan2α)‎ ‎=.‎ ‎∴④正确.‎ 故选C.‎ ‎【点评】此题是全等三角形的性质和判定题,主要考查了全等三角形的性质和判定,图形面积的计算锐角三角函数,解本题的关键是Rt△AME≌Rt△FNE,难点是计算S△EMN.‎ ‎【同步练】‎ ‎(2016·辽宁丹东·3分)如图,在△ABC中,AD和BE是高,∠ABE=45°,点F是AB的中点,AD与FE、BE分别交于点G、H,∠CBE=∠BAD.有下列结论:①FD=FE;②AH=2CD;③BC•AD=AE2;④S△ABC=4S△ADF.其中正确的有(  )‎ A.1个B.2 个C.3 个D.4个 类型二:涉及四边形综合问题 ‎【例题2】(烟台市 2015 中考 -17)如图,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别是(4,0)和(0,2),反比例函数y=(x>0)的图象过对角线的交点P并且与AB,BC分别交于D,E两点,连接OD,OE,DE,则△ODE的面积为   .‎ ‎【解析】:由A、C的坐标分别是(4,0)和(0,2),得到P(2,1),求得k=2,得到反比例函数的解析式为:y=,求出D(4,),E(1,2)于是问题可解.‎ ‎【解答】解:∵四边形OABC是矩形,‎ ‎∴AB=OC,BC=OA,‎ ‎∵A、C的坐标分别是(4,0)和(0,2),‎ ‎∴OA=4,OB=2,‎ ‎∵P是矩形对角线的交点,‎ ‎∴P(2,1),‎ ‎∵反比例函数y=(x>0)的图象过对角线的交点P,‎ ‎∴k=2,‎ ‎∴反比例函数的解析式为:y=,‎ ‎∵D,E两点在反比例函数y=(x>0)的图象的图象上,‎ ‎∴D(4,),E(1,2)‎ ‎∴S阴影=S矩形﹣S△AOD﹣S△COF﹣S△BDE=4×2﹣×2﹣×2﹣××3=.‎ 故答案为:. ‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义,待定系数法求函数的解析式,矩形的性质三角形的面积的求法,掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键.‎ ‎【同步练】‎ ‎(2016·黑龙江龙东·3分)如图,在正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,连接AE,BF交于点G,将△BCF沿BF对折,得到△BPF,延长FP交BA延长线于点Q,下列结论正确的个数是(  )‎ ‎①AE=BF;②AE⊥BF;③sin∠BQP=;④S四边形ECFG=2S△BGE.‎ A.4 B.‎3 C.2 D.1‎ 类型三:设计规律探索研究问题 ‎【例题3】(郴州市 2015 中考 -16)请观察下列等式的规律:‎ ‎,‎ ‎,,‎ ‎…‎ 则=   .‎ 思路分析:‎ 从题干中观察算式可知(为非0自然数),把算式拆分再抵消即可求解.‎ 解题过程:‎ 解:‎ ‎=+++…‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ 故答案为:.‎ 规律总结:‎ 本题的关键规律为(为非0自然数),通过观察,分析、归纳并发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题.‎ ‎【同步练】‎ ‎(2016·山东省德州市·4分)如图,在平面直角坐标系中,函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1,l2,过点(1,0)作x轴的垂线交l2于点A1,过点A1作y轴的垂线交l2‎ 于点A2,过点A2作x轴的垂线交l2于点A3,过点A3作y轴的垂线交l2于点A4,…依次进行下去,则点A2017的坐标为   .‎ 类型四:设计图形变换综合问题 ‎【例题4】‎ ‎(2016·青海西宁·2分)如图,已知正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°,将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM.若AE=1,则FM的长为  .‎ ‎【考点】旋转的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质.‎ ‎【分析】由旋转可得DE=DM,∠EDM为直角,可得出∠EDF+∠MDF=90°,由∠EDF=45°,得到∠MDF为45°,可得出∠EDF=∠MDF,再由DF=DF,利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等,由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF;则可得到AE=CM=1,正方形的边长为3,用AB﹣AE求出EB的长,再由BC+CM求出BM的长,设EF=MF=x,可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=4﹣x,在直角三角形BEF中,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即为FM的长.‎ ‎【解答】解:∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM,‎ ‎∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°,‎ ‎∴F、C、M三点共线,‎ ‎∴DE=DM,∠EDM=90°,‎ ‎∴∠EDF+∠FDM=90°,‎ ‎∵∠EDF=45°,‎ ‎∴∠FDM=∠EDF=45°,‎ 在△DEF和△DMF中,‎ ‎,‎ ‎∴△DEF≌△DMF(SAS),‎ ‎∴EF=MF,‎ 设EF=MF=x,‎ ‎∵AE=CM=1,且BC=3,‎ ‎∴BM=BC+CM=3+1=4,‎ ‎∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x,‎ ‎∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2,‎ 在Rt△EBF中,由勾股定理得EB2+BF2=EF2,‎ 即22+(4﹣x)2=x2,‎ 解得:x=,‎ ‎∴FM=.‎ 故答案为:.‎ ‎【同步练】‎ ‎(郴州市 2015 中考 -8)如图,在矩形ABCD中,AB=3,将△ABD沿对角线BD对折,得到△EBD,DE与BC交于点F,∠ADB=30°,则EF=(  )‎ A. B. C. 3 D.‎ 类型五:涉及动态类综合问题 ‎【例题5】(烟台市 2015 中考 -18)如图,直线l:y=﹣x+1与坐标轴交于A,B两点,点M(m,0)是x轴上一动点,以点M为圆心,2个单位长度为半径作⊙M,当⊙M与直线l相切时,则m的值为   .‎ ‎【解析】根据直线ly=﹣x+1由x轴的交点坐标A(0,1),B(2,0),得到OA=1,OB=2,求出AB=;设⊙M与AB相切与C,连接MC,则MC=2,MC⊥AB,通过△BMO~△ABO,即可得到结果.‎ ‎【解答】解:在y=﹣x+1中,‎ 令x=0,则y=1,‎ 令y=0,则x=2,‎ ‎∴A(0,1),B(2,0),‎ ‎∴AB=;‎ 如图,设⊙M与AB相切与C,‎ 连接MC,则MC=2,MC⊥AB,‎ ‎∵∠MCB=∠AOB=90°,∠B=∠B,‎ ‎∴△BMO~△ABO,‎ ‎∴,即 ‎∴BM=2,‎ ‎∴OM=2﹣2,或OM=2+2.‎ ‎∴m=2﹣2或m=2+2.‎ 故答案为:2﹣2,2+2.‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,一次函数的性质,相似三角形的判定和性质,注意分类讨论是解题的关键.‎ ‎【同步练】‎ ‎(枣庄市 2015 中考 -18)如图,在平面直角坐标系中,点A(0,4),B(3,0),连接AB,将△AOB沿过点B的直线折叠,使点A落在x轴上的点A′处,折痕所在的直线交y轴正半轴于点C,则直线BC的解析式为   .‎ 类型六:涉及二次函数综合问题 ‎【例题6】(枣庄市 2015中考 -12)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,对称轴为x=,且经过点(2,0),有下列说法:①abc<0;②a+b=0;③4a+2b+c<0;④若(0,y1),(1,y2)是抛物线上的两点,则y1=y2.上述说法正确的是(  )‎ A.①②④ B.③④ C. ①③④ D.①② ‎ ‎【解析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用,故对于题①可根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号;‎ 对于题②可根据对称轴求出b=﹣a;‎ 对于题③可以把x=2代入函数关系式,结合图象判断函数值与0的大小关系;‎ 对于题④可以求出点(0,y1)关于直线x=的对称点的坐标,根据对称轴即可判断y1和y2的大小.‎ ‎【解答】解:①∵二次函数的图象开口向下,‎ ‎∴a<0,‎ ‎∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点,‎ ‎∴c>0,‎ ‎∵对称轴是直线x=,‎ ‎∴,‎ ‎∴b=﹣a>0,‎ ‎∴abc<0.‎ 故①正确;‎ ‎②∵由①中知b=﹣a,‎ ‎∴a+b=0,‎ 故②正确;‎ ‎③把x=2代入y=ax2+bx+c得:y=4a+2b+c,‎ ‎∵抛物线经过点(2,0),‎ ‎∴当x=2时,y=0,即4a+2b+c=0.‎ 故③错误;‎ ‎④∵(0,y1)关于直线x=的对称点的坐标是(1,y1),‎ ‎∴y1=y2.‎ 故④正确;‎ 综上所述,正确的结论是①②④.‎ 故选:A ‎ ‎【点评】解决此类问题重点是熟练把握二次函数的图象和系数的关系的应用,并注意:当a>0时,二次函数的图象开口向上,当a<0时,二次函数的图象开口向下.‎ ‎【同步练】‎ ‎(2016·湖北随州·3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:(1)‎4a+b=0;(2)‎9a+c>3b;(3)‎8a+7b+‎2c>0;(4)若点A(﹣3,y1)、点B(﹣,y2)、点C(,y3)在该函数图象上,则y1<y3<y2;(5)若方程a(x+1)(x﹣5)=﹣3的两根为x1和x2,且x1<x2,则x1<﹣1<5<x2.其中正确的结论有(  )‎ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ‎【达标检测】‎ ‎1. (枣庄市 2014 中考 -18)图①所示的正方体木块棱长为6cm,沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角,得到如图②的几何体,一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为   cm.‎ ‎2. (2016·黑龙江齐齐哈尔·3分)如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,点M是AD边的中点,连接MC,将菱形ABCD翻折,使点A落在线段CM上的点E处,折痕交AB于点N,则线段EC的长为  .‎ ‎3. (2016·陕西·3分)如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点,若M、N是边AD上的两点,连接MO、NO,并分别延长交边BC于两点M′、N′,则图中的全等三角形共有(  )‎ A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 ‎4. (2016·山东潍坊·3分)已知∠AOB=60°,点P是∠AOB的平分线OC上的动点,点M在边OA上,且OM=4,则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是  .‎ ‎5. (2016·广西桂林·3分)已知直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A,B,点P在抛物线y=﹣ (x﹣ )2+4上,能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有(  )‎ A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 ‎6. (2016·云南省昆明市·4分)如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC、DC分别交于点G,F,H为CG的中点,连接DE,EH,DH,FH.下列结论:‎ ‎①EG=DF;②∠AEH+∠ADH=180°;③△EHF≌△DHC;④若=,则3S△EDH=13S△DHC,其中结论正确的有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎7. (2016·四川攀枝花)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3,则下列结论正确的是(  )‎ A.‎2a﹣b=0‎ B.a+b+c>0‎ C.‎3a﹣c=0‎ D.当a=时,△ABD是等腰直角三角形 ‎8. (2016·四川眉山·3分)如图,已知点A是双曲线在第三象限分支上的一个动点,连结AO并延长交另一分支于点B,以AB为边作等边三角形ABC,点C在第四象限内,且随着点A的运动,点C的位置也在不断变化,但点C始终在双曲线上运动,则k的值是  .‎ ‎ ‎ ‎【达标检测参考答案】‎ 类型一: 设计三角形综合问题 ‎【同步练】‎ ‎(2016·辽宁丹东·3分)如图,在△ABC中,AD和BE是高,∠ABE=45°,点F是AB的中点,AD与FE、BE分别交于点G、H,∠CBE=∠BAD.有下列结论:①FD=FE;②AH=2CD;③BC•AD=AE2;④S△ABC=4S△ADF.其中正确的有(  )‎ A.1个B.2 个C.3 个D.4个 ‎【考点】相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.‎ ‎【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出FD=AB,证明△ABE是等腰直角三角形,得出AE=BE,证出FE=AB,延长FD=FE,①正确;‎ 证出∠ABC=∠C,得出AB=AC,由等腰三角形的性质得出BC=2CD,∠BAD=∠CAD=∠CBE,由ASA证明△AEH≌△BEC,得出AH=BC=2CD,②正确;‎ 证明△ABD~△BCE,得出=,即BC•AD=AB•BE,再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出BC•AD=AE2;③正确;‎ 由F是AB的中点,BD=CD,得出S△ABC=2S△ABD=4S△ADF.④正确;即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵在△ABC中,AD和BE是高,‎ ‎∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°,‎ ‎∵点F是AB的中点,‎ ‎∴FD=AB,‎ ‎∵∠ABE=45°,‎ ‎∴△ABE是等腰直角三角形,‎ ‎∴AE=BE,‎ ‎∵点F是AB的中点,‎ ‎∴FE=AB,‎ ‎∴FD=FE,①正确;‎ ‎∵∠CBE=∠BAD,∠CBE+∠C=90°,∠BAD+∠ABC=90°,‎ ‎∴∠ABC=∠C,‎ ‎∴AB=AC,‎ ‎∵AD⊥BC,‎ ‎∴BC=2CD,∠BAD=∠CAD=∠CBE,‎ 在△AEH和△BEC中,,‎ ‎∴△AEH≌△BEC(ASA),‎ ‎∴AH=BC=2CD,②正确;‎ ‎∵∠BAD=∠CBE,∠ADB=∠CEB,‎ ‎∴△ABD~△BCE,‎ ‎∴=,即BC•AD=AB•BE,‎ ‎∵AE2=AB•AE=AB•BE,BC•AD=AC•BE=AB•BE,‎ ‎∴BC•AD=AE2;③正确;[来源:学科网]‎ ‎∵F是AB的中点,BD=CD,∴‎ S△ABC=2S△ABD=4S△ADF.④正确;‎ 故选:D.‎ 类型二:设计四边形综合问题 ‎【同步练】‎ ‎(2016·黑龙江龙东·3分)如图,在正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,连接AE,BF交于点G,将△BCF沿BF对折,得到△BPF,延长FP交BA延长线于点Q,下列结论正确的个数是(  )‎ ‎①AE=BF;②AE⊥BF;③sin∠BQP=;④S四边形ECFG=2S△BGE.‎ A.4 B.‎3 C.2 D.1‎ ‎【考点】四边形综合题.‎ ‎【分析】首先证明△ABE≌△BCF,再利用角的关系求得∠BGE=90°,即可得到①AE=BF;②AE⊥BF;△BCF沿BF对折,得到△BPF,利用角的关系求出QF=QB,解出BP,QB,根据正弦的定义即可求解;根据AA可证△BGE与△BCF相似,进一步得到相似比,再根据相似三角形的性质即可求解.‎ ‎【解答】解:∵E,F分别是正方形ABCD边BC,CD的中点,‎ ‎∴CF=BE,‎ 在△ABE和△BCF中,‎ ‎,‎ ‎∴Rt△ABE≌Rt△BCF(SAS),‎ ‎∴∠BAE=∠CBF,AE=BF,故①正确;‎ 又∵∠BAE+∠BEA=90°,‎ ‎∴∠CBF+∠BEA=90°,‎ ‎∴∠BGE=90°,‎ ‎∴AE⊥BF,故②正确;‎ 根据题意得,FP=FC,∠PFB=∠BFC,∠FPB=90°‎ ‎∵CD∥AB,‎ ‎∴∠CFB=∠ABF,‎ ‎∴∠ABF=∠PFB,‎ ‎∴QF=QB,‎ 令PF=k(k>0),则PB=2k 在Rt△BPQ中,设QB=x,‎ ‎∴x2=(x﹣k)2+4k2,‎ ‎∴x=,‎ ‎∴sin=∠BQP==,故③正确;‎ ‎∵∠BGE=∠BCF,∠GBE=∠CBF,‎ ‎∴△BGE∽△BCF,‎ ‎∵BE=BC,BF=BC,‎ ‎∴BE:BF=1:,‎ ‎∴△BGE的面积:△BCF的面积=1:5,‎ ‎∴S四边形ECFG=4S△BGE,故④错误.‎ 故选:B.‎ 类型三:设计规律探索研究问题 ‎【同步练】‎ ‎(2016·山东省德州市·4分)如图,在平面直角坐标系中,函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1,l2,过点(1,0)作x轴的垂线交l2于点A1,过点A1作y轴的垂线交l2于点A2,过点A2作x轴的垂线交l2于点A3,过点A3作y轴的垂线交l2于点A4,…依次进行下去,则点A2017的坐标为 (21008,21009) .‎ ‎【考点】一次函数图象上点的坐标特征.‎ ‎【专题】规律型;一次函数及其应用.‎ ‎【分析】写出部分An点的坐标,根据坐标的变化找出变化规律“A2n+1((﹣2)n,2(﹣2)n)(n为自然数)”,依此规律即可得出结论.‎ ‎【解答】解:观察,发现规律:A1(1,2),A2(﹣2,2),A3(﹣2,﹣4),A4(4,﹣4),A5(4,8),…,‎ ‎∴A2n+1((﹣2)n,2(﹣2)n)(n为自然数).‎ ‎∵2017=1008×2+1,‎ ‎∴A2017的坐标为((﹣2)1008,2(﹣2)1008)=(21008,21009).‎ 故答案为:(21008,21009).‎ ‎【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中坐标的变化,解题的关键是找出变化规律“A2n+1((﹣2)n,2(﹣2)n)(n为自然数)”.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,写出部分An点的坐标,根据坐标的变化找出变化规律是关键.‎ 类型四:设计图形变换综合问题 ‎【同步练】‎ ‎(郴州市 2015 中考 -8)如图,在矩形ABCD中,AB=3,将△ABD沿对角线BD对折,得到△EBD,DE与BC交于点F,∠ADB=30°,则EF=(  )‎ A. B. C. 3 D.‎ 思路分析:‎ 考查了翻折变换问题,我们利用翻折变换的性质得出:∠1=∠2=30°,进而结合锐角三角函数关系求出FE的长.‎ 解题过程:‎ 解:如图所示:由题意可得:∠1=∠2=30°,则∠3=30°,‎ 可得∠4=∠5=60°,‎ ‎∵AB=DC=BE=3,‎ ‎∴tan60°=,‎ 解得:EF=.‎ 故选:A.‎ 规律总结:‎ 解此类问题关键是抓住翻折变换的性质以及锐角三角函数关系,得出∠4=∠5=60°.‎ 类型五:涉及动态类综合问题 ‎【同步练】‎ ‎(枣庄市 2015 中考 -18)如图,在平面直角坐标系中,点A(0,4),B(3,0),连接AB,将△AOB沿过点B的直线折叠,使点A落在x轴上的点A′处,折痕所在的直线交y轴正半轴于点C,则直线BC的解析式为   .‎ ‎【解析】本题考查了折叠的性质和勾股定理的应用,在Rt△OAB中,OA=4,OB=3,可用勾股定理计算出AB=5,再根据折叠的性质得BA′=BA=5,CA′=CA,则OA′=BA′﹣OB=2,设OC=t,则CA=CA′=4﹣t,在Rt△OA′C中,根据勾股定理得到t2+22=(4﹣t)2,解得t=,则C点坐标为(0,),然后利用待定系数法确定直线BC的解析式.‎ ‎【解答】解:∵A(0,4),B(3,0),‎ ‎∴OA=4,OB=3,‎ 在Rt△OAB中,AB==5,‎ ‎∵△AOB沿过点B的直线折叠,使点A落在x轴上的点A′处,‎ ‎∴BA′=BA=5,CA′=CA,‎ ‎∴OA′=BA′﹣OB=5﹣3=2,‎ 设OC=t,则CA=CA′=4﹣t,‎ 在Rt△OA′C中,‎ ‎∵OC2+OA′2=CA′2,‎ ‎∴t2+22=(4﹣t)2,解得t=,‎ ‎∴C点坐标为(0,),‎ 设直线BC的解析式为y=kx+b,‎ 把B(3,0)、C(0,)代入得,解得,‎ ‎∴直线BC的解析式为.‎ 故答案为:. ‎ ‎【点评】本题的关键是把握住折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等并能灵活运用,同时也要把握勾股定理和待定系数法求一次函数解析式.‎ 类型六:涉及二次函数综合问题 ‎【同步练】‎ ‎(2016·湖北随州·3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:(1)‎4a+b=0;(2)‎9a+c>3b;(3)‎8a+7b+‎2c>0;(4)若点A(﹣3,y1)、点B(﹣,y2)、点C(,y3)在该函数图象上,则y1<y3<y2;(5)若方程a(x+1)(x﹣5)=﹣3的两根为x1和x2,且x1<x2,则x1<﹣1<5<x2.其中正确的结论有(  )‎ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ‎【考点】二次函数图象与系数的关系.‎ ‎【分析】(1)正确.根据对称轴公式计算即可.‎ ‎(2)错误,利用x=﹣3时,y<0,即可判断.‎ ‎(3)正确.由图象可知抛物线经过(﹣1,0)和(5,0),列出方程组求出a、b即可判断.‎ ‎(4)错误.利用函数图象即可判断.‎ ‎(5)正确.利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题.‎ ‎【解答】解:(1)正确.∵﹣ =2,‎ ‎∴‎4a+b=0.故正确.‎ ‎(2)错误.∵x=﹣3时,y<0,‎ ‎∴‎9a﹣3b+c<0,‎ ‎∴‎9a+c<3b,故(2)错误.‎ ‎(3)正确.由图象可知抛物线经过(﹣1,0)和(5,0),‎ ‎∴解得,‎ ‎∴‎8a+7b+‎2c=‎8a﹣‎28a﹣‎10a=﹣‎30a,‎ ‎∵a<0,‎ ‎∴‎8a+7b=‎2c>0,故(3)正确.‎ ‎(4)错误,∵点A(﹣3,y1)、点B(﹣,y2)、点C(,y3),‎ ‎∵﹣2=,2﹣(﹣)=,‎ ‎∴<‎ ‎∴点C离对称轴的距离近,‎ ‎∴y3>y2,‎ ‎∵a<0,﹣3<﹣<2,‎ ‎∴y1<y2‎ ‎∴y1<y2<y3,故(4)错误.‎ ‎(5)正确.∵a<0,‎ ‎∴(x+1)(x﹣5)=﹣3/a>0,‎ 即(x+1)(x﹣5)>0,‎ 故x<﹣1或x>5,故(5)正确.‎ ‎∴正确的有三个,‎ 故选B.‎ ‎【达标检测】‎ ‎1. (枣庄市 2014 中考 -18)图①所示的正方体木块棱长为6cm,沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角,得到如图②的几何体,一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为   cm.‎ ‎【解析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题,要求蚂蚁爬行的最短距离,需将图②的几何体表面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果.‎ ‎【解答】:如图所示:‎ ‎△BCD是等腰直角三角形,△ACD是等边三角形,‎ 在Rt△BCD中,CD==cm,‎ ‎∴BE=CD=cm,‎ 在Rt△ACE中,AE==cm,‎ ‎∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为()cm.‎ 故答案为:(). ‎ ‎【点评】解决本题的关键就是把图②的几何体表面展开成平面图形,根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质解决问题.‎ ‎2. (2016·黑龙江齐齐哈尔·3分)如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,点M是AD边的中点,连接MC,将菱形ABCD翻折,使点A落在线段CM上的点E处,折痕交AB于点N,则线段EC的长为 ﹣1 .‎ ‎【考点】翻折变换(折叠问题);菱形的性质.‎ ‎【分析】过点M作MF⊥DC于点F,根据在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M为AD中点,得到2MD=AD=CD=2,从而得到∠FDM=60°,∠FMD=30°,进而利用锐角三角函数关系求出EC的长即可.‎ ‎【解答】解:如图所示:过点M作MF⊥DC于点F,‎ ‎∵在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M为AD中点,‎ ‎∴2MD=AD=CD=2,∠FDM=60°,‎ ‎∴∠FMD=30°,‎ ‎∴FD=MD=,‎ ‎∴FM=DM×cos30°=,‎ ‎∴MC==,‎ ‎∴EC=MC﹣ME=﹣1.‎ 故答案为:﹣1.‎ ‎3. (2016·陕西·3分)如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点,若M、N是边AD上的两点,连接MO、NO,并分别延长交边BC于两点M′、N′,则图中的全等三角形共有(  )‎ A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 ‎【考点】正方形的性质;全等三角形的判定.‎ ‎【分析】可以判断△ABD≌△BCD,△MDO≌△M′BO,△NOD≌△N′OB,△MON≌△M′ON′由此即可对称结论.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AB=CD=CB=AD,∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°,AD∥BC,‎ 在△ABD和△BCD中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABD≌△BCD,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠MDO=∠M′BO,‎ 在△MOD和△M′OB中,‎ ‎,‎ ‎∴△MDO≌△M′BO,同理可证△NOD≌△N′OB,∴△MON≌△M′ON′,‎ ‎∴全等三角形一共有4对.‎ 故选C.‎ ‎4. (2016·山东潍坊·3分)已知∠AOB=60°,点P是∠AOB的平分线OC上的动点,点M在边OA上,且OM=4,则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是 2 .‎ ‎【考点】轴对称-最短路线问题.‎ ‎【分析】过M作MN′⊥OB于N′,交OC于P,即MN′的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值,解直角三角形即可得到结论.‎ ‎【解答】解:过M作MN′⊥OB于N′,交OC于P,‎ 则MN′的长度等于PM+PN的最小值,‎ 即MN′的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值,‎ ‎∵∠ON′M=90°,OM=4,‎ ‎∴MN′=OM•sin60°=2,‎ ‎∴点P到点M与到边OA的距离之和的最小值为2.‎ ‎5. (2016·广西桂林·3分)已知直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A,B,点P在抛物线y=﹣ (x﹣ )2+4上,能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有(  )‎ A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 ‎【考点】二次函数图象上点的坐标特征;一次函数图象上点的坐标特征;等腰三角形的判定.‎ ‎【分析】以点B为圆心线段AB长为半径做圆,交抛物线于点C、M、N点,连接AC、BC,由直线y=﹣x+3可求出点A、B的坐标,结合抛物线的解析式可得出△ABC等边三角形,再令抛物线解析式中y=0求出抛物线与x轴的两交点的坐标,发现该两点与M、N重合,结合图形分三种情况研究△ABP为等腰三角形,由此即可得出结论.‎ ‎【解答】解:以点B为圆心线段AB长为半径做圆,交抛物线于点C、M、N点,连接AC、BC,如图所示.‎ 令一次函数y=﹣x+3中x=0,则y=3,‎ ‎∴点A的坐标为(0,3);‎ 令一次函数y=﹣x+3中y=0,则﹣x+3,‎ 解得:x=,‎ ‎∴点B的坐标为(,0).‎ ‎∴AB=2.‎ ‎∵抛物线的对称轴为x=,‎ ‎∴点C的坐标为(2,3),‎ ‎∴AC=2=AB=BC,‎ ‎∴△ABC为等边三角形.‎ 令y=﹣(x﹣)2+4中y=0,则﹣(x﹣)2+4=0,‎ 解得:x=﹣,或x=3.‎ ‎∴点E的坐标为(﹣,0),点F的坐标为(3,0).‎ ‎△ABP为等腰三角形分三种情况:‎ ‎①当AB=BP时,以B点为圆心,AB长度为半径做圆,与抛物线交于C、M、N三点;‎ ‎②当AB=AP时,以A点为圆心,AB长度为半径做圆,与抛物线交于C、M两点,;‎ ‎③当AP=BP时,作线段AB的垂直平分线,交抛物线交于C、M两点;‎ ‎∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个.‎ 故选A.‎ ‎6. (2016·云南省昆明市·4分)如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC、DC分别交于点G,F,H为CG的中点,连接DE,EH,DH,FH.下列结论:‎ ‎①EG=DF;②∠AEH+∠ADH=180°;③△EHF≌△DHC;④若=,则3S△EDH=13S△DHC,其中结论正确的有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质.‎ ‎【分析】①根据题意可知∠ACD=45°,则GF=FC,则EG=EF﹣GF=CD﹣FC=DF;‎ ‎②由SAS证明△EHF≌△DHC,得到∠HEF=∠HDC,从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=180°;‎ ‎③同②证明△EHF≌△DHC即可;‎ ‎④若=,则AE=2BE,可以证明△EGH≌△DFH,则∠EHG=∠DHF且EH=DH,则∠DHE=90°,△EHD为等腰直角三角形,过H点作HM垂直于CD于M点,设HM=x,则DM=5x,DH=x,CD=6x,则S△DHC=×HM×CD=3x2,S△EDH=×DH2=13x2.‎ ‎【解答】解:①∵四边形ABCD为正方形,EF∥AD,‎ ‎∴EF=AD=CD,∠ACD=45°,∠GFC=90°,‎ ‎∴△CFG为等腰直角三角形,‎ ‎∴GF=FC,‎ ‎∵EG=EF﹣GF,DF=CD﹣FC,‎ ‎∴EG=DF,故①正确;‎ ‎②∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,‎ ‎∴FH=CH,∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD,‎ 在△EHF和△DHC中,,‎ ‎∴△EHF≌△DHC(SAS),‎ ‎∴∠HEF=∠HDC,‎ ‎∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°,故②正确;‎ ‎③∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,‎ ‎∴FH=CH,∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD,‎ 在△EHF和△DHC中,,‎ ‎∴△EHF≌△DHC(SAS),故③正确;‎ ‎④∵=,‎ ‎∴AE=2BE,‎ ‎∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,‎ ‎∴FH=GH,∠FHG=90°,‎ ‎∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD,‎ 在△EGH和△DFH中,,‎ ‎∴△EGH≌△DFH(SAS),‎ ‎∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°,‎ ‎∴△EHD为等腰直角三角形,‎ 过H点作HM垂直于CD于M点,如图所示:‎ 设HM=x,则DM=5x,DH=x,CD=6x,‎ 则S△DHC=×HM×CD=3x2,S△EDH=×DH2=13x2,‎ ‎∴3S△EDH=13S△DHC,故④正确;‎ 故选:D.‎ ‎7. (2016·四川攀枝花)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3,则下列结论正确的是(  )‎ A.‎2a﹣b=0‎ B.a+b+c>0‎ C.‎3a﹣c=0‎ D.当a=时,△ABD是等腰直角三角形 ‎【考点】二次函数图象与系数的关系.‎ ‎【分析】由于抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1,3,得到对称轴为直线x=1,则﹣=1,即‎2a+b=0,得出,选项A错误;‎ 当x=1时,y<0,得出a+b+c<0,得出选项B错误;‎ 当x=﹣1时,y=0,即a﹣b+c=0,而b=﹣‎2a,可得到a与c的关系,得出选项C错误;‎ 由a=,则b=﹣1,c=﹣,对称轴x=1与x轴的交点为E,先求出顶点D的坐标,由三角形边的关系得出△ADE和△BDE都为等腰直角三角形,得出选项D正确;即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1,3,‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x=1,则﹣=1,‎ ‎∴‎2a+b=0,‎ ‎∴选项A错误;‎ ‎∴当自变量取1时,对应的函数图象在x轴下方,‎ ‎∴x=1时,y<0,则a+b+c<0,‎ ‎∴选项B错误;‎ ‎∵A点坐标为(﹣1,0),‎ ‎∴a﹣b+c=0,而b=﹣‎2a,‎ ‎∴a+‎2a+c=0,‎ ‎∴‎3a+c=0,‎ ‎∴选项C错误;‎ 当a=,则b=﹣1,c=﹣,对称轴x=1与x轴的交点为E,如图,‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣,‎ 把x=1代入得y=﹣1﹣=﹣2,‎ ‎∴D点坐标为(1,﹣2),‎ ‎∴AE=2,BE=2,DE=2,‎ ‎∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形,‎ ‎∴△ADB为等腰直角三角形,‎ ‎∴选项D正确.‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系:当a>0,抛物线开口向上;抛物线的对称轴为直线x=﹣;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c).‎ ‎8. (2016·四川眉山·3分)如图,已知点A是双曲线在第三象限分支上的一个动点,连结AO并延长交另一分支于点B,以AB为边作等边三角形ABC,点C在第四象限内,且随着点A的运动,点C的位置也在不断变化,但点C始终在双曲线上运动,则k的值是 ﹣3 .‎ ‎【分析】根据反比例函数的性质得出OA=OB,连接OC,过点A作AE⊥y轴,垂足为E,过点C作CF⊥y轴,垂足为F,根据等边三角形的性质和解直角三角形求出OC=OA,求出△OFC∽△AEO,相似比,求出面积比,求出△OFC的面积,即可得出答案.‎ ‎【解答】解:∵双曲线的图象关于原点对称,‎ ‎∴点A与点B关于原点对称,‎ ‎∴OA=OB,‎ 连接OC,如图所示,‎ ‎∵△ABC是等边三角形,OA=OB,‎ ‎∴OC⊥AB.∠BAC=60°,‎ ‎∴tan∠OAC==,‎ ‎∴OC=OA,‎ 过点A作AE⊥y轴,垂足为E,过点C作CF⊥y轴,垂足为F,‎ ‎∵AE⊥OE,CF⊥OF,OC⊥OA,‎ ‎∴∠AEO=∠OFC,∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF,‎ ‎∴△OFC∽△AEO,相似比,‎ ‎∴面积比,‎ ‎∵点A在第一象限,设点A坐标为(a,b),‎ ‎∵点A在双曲线上,‎ ‎∴S△AEO=ab=,‎ ‎∴S△OFC=FC•OF=,‎ ‎∴设点C坐标为(x,y),‎ ‎∵点C在双曲线上,‎ ‎∴k=xy,‎ ‎∵点C在第四象限,‎ ‎∴FC=x,OF=﹣y.‎ ‎∴FC•OF=x•(﹣y)=﹣xy=﹣,‎ 故答案为:﹣3.‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,等边三角形的性质,解直角三角形,相似三角形的性质和判定的应用,能综合运用知识点进行 推理和计算是解此题的关键.‎