2011年甘肃兰州市初中毕业生学业考试数学试卷 15页

‎2011年甘肃兰州市初中毕业生学业考试数学试卷 ‎ ‎ 注意事项：‎ ‎1.全卷共150分，考试时间120分钟.‎ ‎2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座号等个人信息填（涂）写在答题卡的相应位置.‎ ‎3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置.‎ 一、选择题（本题15小题，每小题4分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.下列方程中是关于的一元二次方程的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2.如图，某反比例函数的图像过（-2,1），则此反比例函数表达式为 A. B. C. D. ‎ ‎3.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于 A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°‎ ‎4.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△则tan的值为 A. B. C. D. ‎ ‎5.抛物线的顶点坐标是 A. （1,0） B. （-1,0） C. （-2,1） D. (2,-1)‎ ‎6.如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形的数字表示在该位置的小立方块的个数，这个几何体的主视图是 ‎7.一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是 A. m=3，n=5 B. m=n=4 C. m+n=4 D. m+n=8‎ ‎8.点M（-sin60°，con60°）关于x轴对称的点的坐标是 A. （， ） B. （，） C. （，） D. （，）‎ ‎9.如图所示的二次函数的图像中，刘星同学观察得出了下面四条信息：‎ ‎（1）＞0；（2）c＞1；(3)2a-b＜0；(4)a+b+c＜0.你认为其中错误的有 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 ‎10.用配方法解方程时，原方程应变形为 A. B. C. D. ‎ ‎11.某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为 A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎12.如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6.则⊙O的半径为 A. 6 B. 13 C. D. ‎ ‎13.现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形.‎ 其中真命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎14.如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是 ‎15.如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行与坐标轴，点C在反比例函数的图像上.若点A的坐标为（-2，-2），则k的值为 A. 1 B. -3 C. 4 D. 1或-3‎ 二、填空题（本题5小题，每小题4分，共20分）‎ ‎16.如图，OB是⊙O的半径，点C、D在⊙O上，∠DCB=27°，则∠OBD= 度.‎ ‎17.某水库大坝的横截面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1：，坝外斜坡的坡度i=1:1，则两个坡角的和为 .‎ ‎18.已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O所经过的路线长是 m.（结果用π表示）‎ ‎19.关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，a≠0）.则方程的解是 .‎ ‎20.如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 ‎ .‎ 三、解答题（本题8小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎21. （2011甘肃兰州，21，7分）已知a是锐角，且sin（a+15°）=.‎ 计算4cosα+tanα+的值.‎ ‎22.（本小题满分7分）如图，有A、B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份内标上数字.现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将A转盘指针指向的数字记为x，B转盘指针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为P（x，y）.记s=x+y.‎ ‎（1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标；‎ ‎（2）李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当s＜6时甲获胜，否则乙获胜.你认为这个游戏公平吗？对谁有利？‎ ‎23.（本小题满分7分）今年起，兰州市将体育考试正式纳入中考考查科目之一，其等级作为考生录取的重要依据之一.某中学为了了解学生体育活动情况，随即调查了720名初二学生，调查内容是：“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”，利用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图.根据图示，解答下列问题：‎ ‎（1）若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩，选出的是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是多少？‎ ‎（2）“没时间”锻炼的人数是多少？并补全频数分布直方图；‎ ‎（3）2011年兰州市区初二学生约为2.4万人，按此调查，可以估计2011年兰州市区初二学生中每天锻炼未超过1小时的学生约有多少万人？‎ ‎（4）请根据以上结论谈谈你的看法.‎ ‎24.（本小题满分7分）如图，一次函数的图像与反比例函数（＞0）的图像交与点P，PA⊥轴于点A，PB⊥轴于点B.一次函数的图像分别交轴、轴于点C、点D，且=27，=.‎ ‎(1)求点D的坐标；‎ ‎（2）求一次函数与反比例函数的表达式；‎ ‎（3）根据图像写出当取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？‎ ‎25. （本小题满分9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.‎ ‎（1）请完成如下操作：‎ ‎①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD.‎ ‎(2)请在（1）的基础上，完成下列问题：‎ ‎①写出点的坐标：C 、D ；‎ ‎②⊙D的半径= （结果保留根号）；‎ ‎③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的地面面积为 （结果保留π）；‎ ‎④若E（7,0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由.‎ ‎26. （本小题满分9分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△‎ ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边/腰=.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：‎ ‎（1）sad60°= .‎ ‎（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 .‎ ‎（3）如图②，已知sinA=，其中∠A为锐角，试求sadA的值.‎ ‎27. （本小题满分12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD＞AB)，将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE.‎ ‎（1）求证：四边形AFCE是菱形；‎ ‎（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24，求△ABF的周长；‎ ‎（3）在线段AC上是否存在一点P，使得？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.‎ ‎28. （本小题满分12分）如图所示，在平面直角坐标系X0Y中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线经过点A、B和D（4，）.‎ ‎（1）求抛物线的表达式.‎ ‎（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设S=().‎ ‎①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；‎ ‎②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.‎ ‎（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.‎ 一、选择题（本题15小题，每小题4分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 答案 C B C B A D D B D C A C A B D 二、填空题（本题5小题，每小题4分，共20分）‎ ‎16．63 17．75° 18. 19． x1= -4,x2= -1 20．‎ 三、解答题（本题8小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（本题满分7分）‎ 解：∵sin60°=‎ ‎∴α+15°=60°‎ ‎∴α=45°………………………………………………………………………………2分 ‎∴－4cosα—(－3.14)0+tanα+=2—4×—1+1+3=3………7分 每算对一个给1分，最后结果得1分 ‎22．（本题满分7分）‎ 解：（1）列表： ‎ ‎ y ‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎ 6‎ ‎1‎ ‎（1，2）‎ ‎（1，4）‎ ‎（1，6）‎ ‎2‎ ‎（2，2）‎ ‎（2，4）‎ ‎（2，6）‎ ‎3‎ ‎（3，2）‎ ‎（3，4）‎ ‎（3，6）‎ ‎4‎ ‎（4，2）‎ ‎（4，4）‎ ‎（4，6）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎…… 4分 ‎ ‎ ‎（2）∵P（甲获胜）= ……………………………………………………5分 ‎ P（乙获胜）= ……………………………………………6分 ‎∴这个游戏不公平，对乙有利。 ……………………………………………7分 ‎ ‎ 23．（本题满分7分）‎ 解：（1） ‎ ‎∴选出的恰好是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是………………2分 ‎（2）720×(1)12020=400(人) ∴“没时间”锻炼的人数是400 ……4分 ‎ （计算和作图各得1分 ） ‎ ‎（3）2.4×(1-)=1.8(万人) ∴2010年兰州市初二学生每天锻炼未超过1小时 约有1.8万人. ……………………………………………………………6分 ‎（4）说明:内容健康，能符合题意即可. ………………………………………7分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 24．（本题满分7分）‎ 解：（1）根据题意，得：‎ ‎………………………………………………………………………………1分 ‎（2）在△和△中， ‎ ‎ ,‎ ‎∴ …………………………………2分 ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎△中，∵‎ ‎ ∴………………………………………3分 ‎ ………………………………………4分 一次函数的解析式为： ………………………………………………………………5分 反比例函数解析式为： ………………………………………………………………………6分 ‎（3）如图可得： ……………………………………………………………7分 ‎25.（本题满分9分）‎ 解：（1）①建立平面直角坐标系………………………………………………1分 ‎②找出圆心 …………………………………………………………3分 ‎（2）①C（6，2）；D（2，0） …………………………………………5分 每个点的坐标得1分 ‎②2　 ……………………………………………………………………6分 ‎③ ……………………………………………………………………7分 ‎④直线EC与⊙D相切　　………………………………………………8分 证CD2＋CE2＝DE2＝25　　　（或通过相似证明）‎ 得∠DCE＝90°　 …………………………………………………………9分 ‎∴直线EC与⊙D相切　‎ ‎26．（本题满分9分）‎ ‎（1）1 …………………………2分 ‎（2）………………………4分 ‎ (3) 解：                                   ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 如图，在△ABC中，∠ACB=，sin∠A.‎ 在AB上取点D，使AD=AC，‎ 作DH⊥AC，H为垂足，令BC =3k，AB =5k，‎ ‎ 则AD= AC==4k，………………………………6分 又在△ADH中，∠AHD=，sin∠A.‎ ‎ ∴，.‎ 则在△CDH中，，.…………8分 于是在△ACD中，AD= AC=4k，.‎ 由正对定义可得：sadA= ………………………………………………9分 ‎27．（本题满分12分）‎ 解: （1）证明：由题意可知OA＝OC，EF⊥AO ‎∵AD∥BC ‎∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO ‎∴△AOE≌△COF ‎∴AE＝CF，又AE∥CF ‎∴四边形AECF是平行四边形　…………………………2分 ‎∵AC⊥EF　‎ ‎∴四边形AECF是菱形………………………………………………………………4分 ‎（2）∵四边形AECF是菱形　‎ ‎∴AF＝AE＝10cm 设AB＝ａ，BF＝ｂ，‎ ‎∵△ABF的面积为24cm2‎ a＋b＝100，ab＝48 ……………………………………………………………………6分 ‎(a＋b）＝196　ａ＋ｂ＝14或ａ＋ｂ＝－14（不合题意，舍去）……………………7分 ‎△ABF的周长为ａ＋ｂ＋10＝24cm………………………………………………………8分 ‎（3）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点……………9分 证明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAO＝∠EAP ‎∴△AOE∽△AEP　　　　　　‎ ‎∴　‎ ‎∴　AE＝AO·AP ……………………………………………………11分 ‎ ‎ ‎∵四边形AECF是菱形，‎ ‎∴AO＝AC ‎∴AE＝AC·AP ‎∴2AE=AC·AP……………………………………………………………………12分 ‎ ‎ ‎28．（本题满分12分）‎ 解: (1)据题意知: A(0, －2), B(2, －2) ，D（4，—）, ‎ 则 解得 ‎ ‎ ‎ ‎ ∴抛物线的解析式为: ……………………………………… 3分（三个系数中，每对1个得1分）‎ ‎ ‎ ‎ (2) ①由图象知: PB=2－2t, BQ= t, ∴S=PQ2=PB2+BQ2=(2－2t)2 + t2 , ‎ 即 S=5t2－8t+4 (0≤t≤1) ……………………………………………………… 5分 ‎（解析式和t取值范围各1分）‎ ‎②假设存在点R, 可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.‎ ‎∵S=5t2－8t+4 (0≤t≤1), ∴当S=时, 5t2－8t+4=,得 20t2－32t+11=0, ‎ 解得 t = ，t = （不合题意，舍去） ……………………………………… 7分 此时点 P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，—）‎ 若R点存在，分情况讨论:‎ ‎1O假设R在BQ的右边, 这时QRPB, 则，R的横坐标为3, R的纵坐标为—‎ ‎ 即R (3, －)，代入, 左右两边相等，‎ ‎∴这时存在R(3, －)满足题意. …………………………………………………… 8分 ‎2O假设R在BQ的左边, 这时PRQB, 则：R的横坐标为1, 纵坐标为－即(1, －) 代入, 左右两边不相等, R不在抛物线上. ……………………… 9分 ‎3O假设R在PB的下方, 这时PRQB, 则：R(1，—)代入, ‎ ‎ 左右不相等, ∴R不在抛物线上. ………………………………………………… 10分 ‎ 综上所述, 存在一点R(3, －)满足题意. ‎ ‎（3）∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，M的坐标为（1，—）…………………………………………………… 12分