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- 2021-05-13 发布
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专题25 尺规作图
☞解读考点
知 识 点
名师点晴
尺规作图
尺规作图概念
了解什么是尺规作图
五种基本作图
1.画一条线段等于已知线段
会用尺规作图法完成五种基本作图,了解五种基本作图的理由,会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程.
2.画一个角等于已知角
3.画线段的垂直平分线
4.过已知点画已知直线的垂线
5.画角平分线
会利用基本作图画较简单的图形.
1.画三角形
会利用基本作图画三角形较简单的图形.
2.画圆
会利用基本作图画圆.
☞2年中考
【2015年题组】
1.(2015深圳)如图,已知△ABC,AB<BC,用尺规作图的方法在BC上取一点P,使得PA+PC=BC,则下列选项正确的是( )
A.B.
C. D.
【答案】D.
考点:作图—复杂作图.
2.(2015三明)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以点A和B为圆心,以相同的长(大于AB)为半径作弧,两弧相交于点M和N,作直线MN交AB于点D,交BC于点E,连接CD,下列结论错误的是( )
A.AD=BD B.BD=CD C.∠A=∠BED D.∠ECD=∠EDC
【答案】D.
【解析】
试题分析:∵MN为AB的垂直平分线,∴AD=BD,∠BDE=90°;∵∠ACB=90°,∴CD=BD;∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°,∴∠A=∠BED;∵∠A≠60°,AC≠AD,∴EC≠ED,∴∠ECD≠∠EDC.故选D.
考点:1.作图—基本作图;2.线段垂直平分线的性质;3.直角三角形斜边上的中线.
3.(2015福州)如图,C,D分别是线段AB,AC的中点,分别以点C,D为圆心,BC长为半径画弧,两弧交于点M,测量∠AMB的度数,结果为( )
A.80° B.90° C.100° D.105°
【答案】B.
【解析】
试题分析:如图,
AB是以点C为圆心,BC长为半径的圆的直径,因为直径对的圆周角是90°,所以∠AMB=90°,所以测量∠AMB的度数,结果为90°.故选B.
考点:1.等腰三角形的性质;2.作图—基本作图.
4.(2015潍坊)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图:
第一步,分别以点A、D为圆心,以大于AD的长为半径在AD两侧作弧,交于两点M、N;
第二步,连接MN分别交AB、AC于点E、F;
第三步,连接DE、DF.
若BD=6,AF=4,CD=3,则BE的长是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】D.
考点:1.平行线分线段成比例;2.菱形的判定与性质;3.作图—基本作图.
5.(2015嘉兴)数学活动课上,四位同学围绕作图问题:“如图,已知直线l和l外一点P,用直尺和圆规作直线PQ,使PQ⊥l于点Q.”分别作出了下列四个图形.其中作法错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】A.
考点:作图—基本作图.
6.(2015衢州)数学课上,老师让学生尺规作图画Rt△ABC,使其斜边AB=c,一条直角边BC=a.小明的作法如图所示,你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是( )
A.勾股定理 B.直径所对的圆心角是直角
C.勾股定理的逆定理 D.90°的圆周角所对的弦是直径
【答案】B.
【解析】
试题分析:由作图痕迹可以看出O为AB的中点,以O为圆心,AB为半径作圆,然后以B为圆心BC=a为半径花弧与圆O交于一点C,故∠ACB是直径所对的圆周角,所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是:直径所对的圆心角是直角.故选B.
考点:1.作图—复杂作图;2.勾股定理的逆定理;3.圆周角定理.
7.(2015自贡)如图,将线段AB放在边长为1的小正方形网格,点A点B均落在格点上,请用无刻度直尺在线段AB上画出点P,使AP=,并保留作图痕迹.(备注:本题只是找点不是证明,∴只需连接一对角线就行)
【答案】作图见试题解析.
考点:作图—应用与设计作图.
8.(2015北京市)阅读下面材料:在数学课上,老师提出如下问题:
小芸的作法如下:
老师说:“小芸的作法正确.”
请回答:小芸的作图依据是 .
【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上;两点确定一条直线.
考点:1.作图—基本作图;2.作图题.
9.(2015百色)已知⊙O为△ABC的外接圆,圆心O在AB上.
(1)在图1中,用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D(保留作图痕迹,不写作法与证明);
(2)如图2,设∠BAC的平分线AD交BC于E,⊙O半径为5,AC=4,连接OD交BC于F.
①求证:OD⊥BC;
②求EF的长.
【答案】(1)作图见试题解析;(2)①证明见试题解析;②.
【解析】
试题分析:(1)按照作角平分线的方法作出即可;
(2)①由AD是∠BAC的平分线,得到,再由垂径定理推论可得到结论;
②由勾股定理求得CF的长,然后根据平行线分线段成比例定理求得,即可求得,继而求得EF的长.
考点:1.相似三角形的判定与性质;2.全等三角形的判定与性质;3.勾股定理;4.圆周角定理;5.作图—复杂作图;6.压轴题.
10.(2015南京)如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求:只要画出示意图,并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)
【答案】答案见试题解析.
【解析】
试题分析:①以A为圆心,以3为半径作弧,交AD、AB两点,连接即可;②连接AC,在AC上,以A为端点,截取1.5个单位,过这个点作AC的垂线,交AD、AB两点,连接即可;③以A为端点在AB上截取
试题解析:满足条件的所有图形如图所示:
考点:1.作图—应用与设计作图;2.等腰三角形的判定;3.勾股定理;4.正方形的性质;5.综合题;6.压轴题.
11.(2015镇江)图①是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形.
(1)如图②,AE是⊙O的直径,用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的前提下,连接OD,已知OA=5,若扇形OAD(∠AOD<180°)是一个圆锥的侧面,则这个圆锥底面圆的半径等于 .
【答案】(1)作图见试题解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)作AE的垂直平分线交⊙O于C,G,作∠AOG,∠EOG的角平分线,分别交⊙O于H,F,反向延长 FO,HO,分别交⊙O于D,B顺次连接A,B,C,D,E,F,G,H,八边形ABCDEFGH即为所求;
(2)由八边形ABCDEFGH是正八边形,求得∠AOD的度数,得到的长,设这个圆锥底面圆的半径为R,根据圆的周长的公式即可求得结论.
试题解析:(1)如图所示,八边形ABCDEFGH即为所求;
(2)∵八边形ABCDEFGH是正八边形,∴∠AOD=×3=135°,∵OA=5,∴的长==,设这个圆锥底面圆的半径为R,∴2πR=,∴R=,即这个圆锥底面圆的半径为.故答案为:.
考点:1.正多边形和圆;2.圆锥的计算;3.作图—复杂作图.
12.(2015广安)手工课上,老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形,聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线,并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积(注:不同的分法,面积可以相等)
【答案】答案见试题解析.
(2)正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,O是AC、BD的交点,连接OE、OF,即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形;然后根据三角形的面积公式,求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可;
(3)正方形ABCD中,F、H分别是BC、DA的中点,O是AC、BD的交点,连接HF,即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形;然后根据三角形的面积公式,求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可;
(4)正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,O是AC的中点,I是AO的中点,连接OE、OB、OF,即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形;然后根据三角形的面积公式,求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可.
试题解析:根据分析,可得:
.
考点:1.作图—应用与设计作图;2.操作型.
13.(2015孝感)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧().
(1)用直尺和圆规作出所在圆的圆心O;(要求保留作图痕迹,不写作法)
(2)若的中点C到弦AB的距离为20m,AB=80m,求所在圆的半径.
【答案】(1)作图见试题解析;(2)50m.
试题解析:(1)如图1,点O为所求;
(2)连接OA,OC,OC交AB于D,如图2,∵C为的中点,∴OC⊥AB,∴AD=BD=AB=40,设⊙O的半径为r,则OA=r,OD=OD﹣CD=r﹣20,在Rt△OAD中,∵,∴,解得r=50,即所在圆的半径是50m.
考点:1.作图—复杂作图;2.勾股定理;3.垂径定理的应用;4.作图题.
14.(2015宜昌)如图,一块余料ABCD,AD∥BC,现进行如下操作:以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交BA,BC于点G,H;再分别以点G,H为圆心,大于GH的长为半径画弧,两弧在∠ABC内部相交于点O,画射线BO,交AD于点E.
(1)求证:AB=AE;
(2)若∠A=100°,求∠EBC的度数.
【答案】(1)证明见试题解析;(2)40°.
考点:1.作图—基本作图;2.等腰三角形的判定与性质.
15.(2015随州)如图,射线PA切⊙O于点A,连接PO.
(1)在PO的上方作射线PC,使∠OPC=∠OPA(用尺规在原图中作,保留痕迹,不写作法),并证明PC是⊙O的切线;
(2)在(1)的条件下,若PC切⊙O于点B,AB=AP=4,求的长.
【答案】(1)作图见试题解析,证明见试题解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)按照作一个角等于已知角的作图方法作图即可,连接OA,作OB⊥PC,由角平分线的性质证明OA=OB即可证明PC是⊙O的切线;
(2)先证明△PAB是等边三角形,则∠APB=60°,进而∠POA=60°,在Rt△AOP中求出OA,用弧长公式计算即可.
试题解析:(1)作图如右图,连接OA,过O作OB⊥PC,∵PA切⊙O于点A,∴OA⊥PA,又∵∠OPC=∠OPA,OB⊥PC,∴OA=OB,即d=r,∴PC是⊙O的切线;
(2)∵PA、PC是⊙O的切线,∴PA=PB,又∵AB=AP=4,∴△PAB是等边三角形,∴∠APB=60°,∴∠AOB=120°,∠POA=60°,在Rt△AOP中,tan60°=,∴OA=,∴=.
考点:1.切线的判定与性质;2.弧长的计算;3.作图—基本作图.
16.(2015广州)如图,AC是⊙O的直径,点B在⊙O上,∠ACB=30°.
(1)利用尺规作∠ABC的平分线BD,交AC于点E,交⊙O于点D,连接CD(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)所作的图形中,求△ABE与△CDE的面积之比.
【答案】(1)作图见试题解析;(2).
试题解析:(1)如图所示;
考点:1.作图—复杂作图;2.圆周角定理.
17.(2015吉林省)图①,图②,图③都是4×4的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长均为1.在图①,图②中已画出线段AB,在图③中已画出点A.按下列要求画图:
(1)在图①中,以格点为顶点,AB为一边画一个等腰三角形;
(2)在图②中,以格点为顶点,AB为一边画一个正方形;
(3)在图③中,以点A为一个顶点,另外三个顶点也在格点上,画一个面积最大的正方形.
【答案】(1)作图见试题解析;(2)作图见试题解析;(3)作图见试题解析.
【解析】
试题分析:(1)根据勾股定理,结合网格结构,作出两边分别为的等腰三角形即可;
(2)根据勾股定理逆定理,结合网格结构,作出边长为的正方形;
(3)根据勾股定理逆定理,结合网格结构,作出最长的线段作为正方形的边长即可.
试题解析:(1)如图①,符合条件的C点有5个:
;
(3)如图③,边长为的正方形ABCD的面积最大.
.
考点:作图—应用与设计作图.
18.(2015哈尔滨)图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点.
(1)在图1中画出等腰直角三角形MON,使点N在格点上,且∠MON=90°;
(2)在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD,使正方形ABCD面积等于(1)中等腰直角三角形MON面积的4倍,并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形,且正方形ABCD面积没有剩余(画出一种即可).
【答案】(1)答案见试题解析;(2)答案见试题解析.
试题解析:(1)如图1所示;
(2)如图2、3所示;
考点:作图—应用与设计作图.
19.(2015六盘水)如图,已知Rt△ACB中,∠C=90°,∠BAC=45°.
(1)(4分)用尺规作图,在CA的延长线上截取AD=AB,并连接BD(不写作法,保留作图痕迹);
(2)(4分)求∠BDC的度数;
(3)(4分)定义:在直角三角形中,一个锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作cotA,即,根据定义,利用图形求cot22.5°的值.
【答案】(1)答案见试题解析;(2)22.5°;(3).
试题解析:(1)如图,
(2)∵AD=AB,∴∠ADB=∠ABD,而∠BAC=∠ADB+∠ABD,∴∠ADB=∠BAC=×45°=22.5°,即∠BDC的度数为22.5°;
(3)设AC=x,∵∠C=90°,∠BAC=45°,∴△ACB为等腰直角三角形,∴BC=AC=x,AB=AC=,∴AD=AB=,∴CD==,在Rt△BCD中,cot∠BDC===,即cot22.5°=.
考点:1.作图—复杂作图;2.解直角三角形;3.新定义;4.综合题.
20.(2015山西省)如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.
(1)尺规作图:作⊙C,使它与AB相切于点D,与AC相交于点E,保留作图痕迹,不写作法,请标明字母;
(2)在你按(1)中要求所作的图中,若BC=3,∠A=30°,求的长.
【答案】(1)作图见试题解析;(2).
试题解析:(1)如图,
⊙C为所求;
(2)∵⊙C切AB于D,∴CD⊥AB,∴∠ADC=90°,∴∠DCE=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°,∴∠BCD=90°﹣∠ACD=30°,在Rt△BCD中,∵cos∠BCD=,∴CD=3cos30°=,∴的长==.
考点:1.作图—复杂作图;2.切线的性质;3.弧长的计算;4.作图题.
21.(2015济宁)如图,在△ABC中,AB=AC,∠DAC是△ABC的一个外角.
实验与操作:
根据要求进行尺规作图,并在图中标明相应字母(保留作图痕迹,不写作法)
(1)作∠DAC的平分线AM;
(2)作线段AC的垂直平分线,与AM交于点F,与BC边交于点E,连接AE,CF.
猜想并判断四边形AECF的形状并加以证明.
【答案】(1)作图见试题解析;(2)作图见试题解析,四边形AECF的形状为菱形.
【解析】
考点:1.作图—复杂作图;2.角平分线的性质;3.线段垂直平分线的性质;4.作图题;5.探究型;6.菱形的判定.
22.(2015宁波)在边长为1的小正方形组成的方格纸中,若多边形的各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上,这样的多边形称为格点多边形.记格点多边形内的格点数为a,边界上的格点数为b,则格点多边形的面积可表示为,其中m,n为常数.
(1)在下面的方格中各画出一个面积为6的格点多边形,依次为三角形、平行四边形(非菱形)、菱形;
(2)利用(1)中的格点多边形确定m,n的值.
【答案】(1)答案见试题解析;(2).
(2)∵格点多边形内的格点数为a,边界上的格点数为b,则格点多边形的面积可表示为:,其中m, n为常数,
∴三角形:,平行四边形:,菱形:,则,解得:.
考点:作图—应用与设计作图.
23.(2015杭州)“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形,记这些三角形的三边分别为a,b,c,并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度.
(1)用记号(a,b,c)(a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形,如(2,3,3)表示边长分别为2,3,3个单位长度的一个三角形.请列举出所有满足条件的三角形.
(2)用直尺和圆规作出三边满足a<b<c的三角形(用给定的单位长度,不写作法,保留作图痕迹).
【答案】(1)共9种:(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(2,3,4),(2,4,4),(3,3,3),(3,3,4),(3,4,4),(4,4,4);(2)答案见试题解析.
【解析】
试题分析:(1)应用列举法,根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形;
(2)首先判断满足条件的三角形只有一个:a=2,b=3,c=4,再作图:①作射线AB,且取AB=4;
②以点A为圆心,3为半径画弧;以点B为圆心,2为半径画弧,两弧交于点C;
③连接AC、BC.则△ABC即为满足条件的三角形.
考点:1.作图—应用与设计作图;2.三角形三边关系.
24.(2015温州)各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形.如何计算它的面积?奥地利数学家皮克(G•Pick,1859~1942年)证明了格点多边形的面积公式,其中a表示多边形内部的格点数,b表示多边形边界上的格点数,S表示多边形的面积.如图,,,.
(1)请在图中画一个格点正方形,使它的内部只含有4个格点,并写出它的面积.
(2)请在图乙中画一个格点三角形,使它的面积为,且每条边上除顶点外无其它格点.(注:图甲、图乙在答题纸上)
【答案】.
【解析】
试题分析:(1)根据皮克公式画图计算即可;
(2)根据题意可知a=3,b=3,画出满足题意的图形即可.
试题解析:(1)方法不唯一,如图①或图②所示:
(2)方法不唯一,如图③或图④所示:
考点:作图—应用与设计作图.
25.(2015青岛)【问题提出】
用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?
【问题探究】
不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形,为探究m与n之间的关系,我们可以先从特殊入手,通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论.
【探究一】
(1)用3根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
此时,显然能搭成一种等腰三角形.
所以,当n=3时,m=1.
(2)用4根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况,不能搭成三角形.
所以,当n=4时,m=0.
(3)用5根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒,则不能搭成三角形.
若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒,则能搭成一种等腰三角形.
所以,当n=5时,m=1.
(4)用6根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒,则不能搭成三角形.
若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒,则能搭成一种等腰三角形.
所以,当n=6时,m=1.
综上所述,可得:表①
【探究二】
(1)用7根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的三角形?
(仿照上述探究方法,写出解答过程,并将结果填在表②中)
(2)用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
(只需把结果填在表②中)
表②
你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究,…
【问题解决】:
用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?(设n分别等于4k﹣1,4k,4k+1,4k+2,其中k是正整数,把结果填在表③中)
表③
【问题应用】:
用2016根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?(写出解答过程),其中面积最大的等腰三角形每腰用了 根木棒.(只填结果)
【答案】【探究二】:2;1;2;2;【问题解决】:k;k﹣1;k;k;【问题应用】:672.
试题解析:(1)用7根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
此时,能搭成二种等腰三角形,即分成2根木棒、2根木棒和3根木棒,则能搭成一种等腰三角形
用10根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
分成3根木棒、3根木棒和4根木棒,则能搭成一种等腰三角形
分成4根木棒、4根木棒和2根木棒,则能搭成一种等腰三角形
所以,当n=10时,m=2.
故答案为:2;1;2;2.
问题解决:由规律可知,答案为:k;k﹣1;k;k.
问题应用:2016÷4=504,504﹣1=503,当三角形是等边三角形时,面积最大,2016÷3=672,∴用2016根相同的木棒搭一个三角形,能搭成503种不同的等腰三角形,其中面积最大的等腰三角形每腰用672根木棒.
考点:1.作图—应用与设计作图;2.三角形三边关系;3.等腰三角形的判定与性质;4.探究型;5.综合题;6.压轴题.
【2014年题组】
1.(2014·安顺)用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )
A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS
【答案】B.
考点:作图—基本作图;全等三角形的判定与性质.
2.(2014涉县一模)如图,AD为⊙O的直径,作⊙O的内接正三角形ABC,甲、乙两人的作法分别如下:
甲:①作OD的垂直平分线,交⊙O于B,C两点.
②连接AB,AC.△ABC即为所求作的三角形.
乙:①以D为圆心,OD的长为半径作圆弧,交⊙O于B,C两点.
②连接AB,BC,CA.△ABC即为所求作的三角形.
对于甲、乙两人的作法,可判断( )
A.甲、乙均正确 B.甲、乙均错误
C.甲正确,乙错误 D.甲错误,乙正确
【答案】A.
【解析】
试题分析:根据甲的思路,作出图形如下:
连接OB,BD,∵OD=BD,OD=OB,∴OD=BD=OB,∴△BOD为等边三角形,∴∠OBD=∠BOD=60°,又BC垂直平分OD,∴OM=DM,∴BM为∠OBD的平分线,∴∠OBM=∠DBM=30°,又OA=OB,且∠BOD为△AOB的外角,∴∠BAO=∠ABO=30°,∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°,同理∠ACB=60°,∴∠BAC=60°,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC,∴△ABC为等边三角形,故乙作法正确,故选A
考点:垂径定理;等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形.
3.(2014·玉林)如图,BC与CD重合,∠ABC=∠CDE=90°,△ABC≌△CDE,并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到.请你利用尺规作出旋转中心O
(保留作图痕迹,不写作法,注意最后用墨水笔加黑),并直接写出旋转角度是 .
【答案】90°.
【解析】
试题分析:如图所示:旋转角度是90°.
考点:作图-旋转变换.
4.(2014•河南)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:
①分别以B,C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;
②作直线MN交AB于点D,连接CD,若CD=AC,∠B=25°,则∠ACB的度数为
【答案】105°.
考点:作图—基本作图;线段垂直平分线的性质.
5.(2014•梅州)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,分别以A、C为圆心,大于AC长为半径画弧,两弧相交于点M、N,连结MN,与AC、BC分别交于点D、E,连结AE,则:
(1)∠ADE= ;
(2)AE EC;(填“=”“>”或“<”)
(3)当AB=3,AC=5时,△ABE的周长=
【答案】(1)90°;(2)=;(3)7.
考点:线段垂直平分线的性质;勾股定理的应用.
☞考点归纳
归纳 1:作三角形
基础知识归纳:
利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形;
(2)已知两边及其夹角作三角形;
(3)已知两角及其夹边作三角形;
(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形;
(5)已知一直角边和斜边作直角三角形.
注意问题归纳:用没有刻度的直尺和圆规作图.只使用圆规和直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的平面几何作图题.
【例1】已知:线段a、c和∠β(如图),利用直尺和圆规作△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠β.(不写作法,保留作图痕迹).
【答案】作图见解析.
考点:作图—基本作图.
归纳 2:用角平分线、线段的垂直平分线性质画图
基础知识归纳:
角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
线段垂直平分线的性质:①垂直平分线垂直且平分其所在线段.②垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.
基本做图如图:
【例2】两个城镇A,B与两条公路ME,MF位置如图所示,其中ME是东西方向的公路.现电信部门需在C处修建一座信号发射塔,要求发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条公路ME,MF的距离也必须相等,且在∠FME的内部.
【答案】作图见解析.
考点:作图—应用与设计作图.
归纳 3:与圆有关的尺规作图
基础知识归纳:
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆);
(2)作三角形的内切圆;
(3)作圆的内接正方形和正六边形.
注意问题归纳:关键是找准圆周心作出圆.
【例3】如图,在△ABC中,先作∠BAC的角平分线AD交BC于点D,再以AC边上的一点O为圆心,过A,D两点作⊙O(用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔加黑)
【答案】
考点:作图—复杂作图.
☞1年模拟
1.(2015届山东省胶南市校级模拟)已知:用直尺和圆规作图,(不写作法,保留作图痕迹,)
如图,在∠AOB内,求作点P,使P点到OA,OB的 距离相等,并且P点到M,N的距离也相等.
【答案】作图见解析.
【解析】
试题分析:点P到M、N两点的距离相等即作MN的垂直平分线;点P到OA、OB的距离也相等.即作角平分线,两线的交点就是点P的位置.
试题解析:如图所示:
考点:1.作图—复杂作图;2.角平分线的性质;3.线段垂直平分线的性质.
2.(2015届广东省黄冈中学校级模拟)已知△ABC中,∠C=90°,请利用尺规作出△ABC的内切圆O(不写 作法,请保留作图痕迹)
【答案】作图见解析.
考点:1.三角形的内切圆与内心;2.作图—复杂作图.
3.(2015届湖北省宜昌市兴山县模拟考试)如图:在△ABC中,AD⊥BC,垂足是D.
(1)作△ABC的外接圆O,作直径AE(尺规作图);
(2)若AB=8,AC=6,AD=5,求△ABC的外接圆直径AE的长.
【答案】(1)作图见解析;(2)9.6.
试题解析:(1)如图:
(2)证明:由作图可知AE为⊙O的直径,∴∠ABE=90°,(直径所对的圆周角是直角)
∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴∠ABE=∠ADC,∵
∴∠E=∠C,∴△ABE∽△ADC,∴,即 ,∴AE=9.6.
考点:1.三角形的外接圆与外心;2.作图—复杂作图.
4.(2015届江苏省盐城模拟考试)实践操作:
如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,利用直尺和圆规按下列要求作图,并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹,不写作法)
(1)作∠BCA的角平分线,交AB于点O;
(2)以O为圆心,OB为半径作圆.
综合运用:
在你所作的图中,(1)AC与⊙O的位置关系是 (直接写出答案)
(2)若BC=6,AB=8,求⊙O的半径.
【答案】实践操作:画图见解析;综合运用:(1)相切;(2)3.
试题解析:实践操作:
(1)如图所示:CO即为所求;
(2)如图所示:⊙O即为所求;
综合运用:
(1)AC与⊙O的位置关系是:相切;
考点:1.作图—复杂作图;2.直线与圆的位置关系.