中考数学经典习题50题 18页

中考数学经典大题 1. 已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P.‎ ‎（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ‎~‎△ACB；‎ ‎（2）当△PQB是等腰三角形时，求AP的长.‎ 2. 如图，对称轴为x=-1‎的抛物线y=ax‎2‎+bx+c（a≠0）‎与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（-3，0）.‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）已知a=1‎，C为抛物线与y轴的交点.‎ ①若点P是抛物线上第三象限内的点，是否存在点P，使得S△POC=4S△BOC，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ②设点Q是线段AC上的动点，作QD‎⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值.‎ ③若M是x轴上方抛物线上的点，过点M作MN‎⊥x轴于点N，若△MNO与△OBC相似，求M点的坐标.‎ 3. 如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E.‎ ‎（1）求证：PA是⊙O的切线；‎ ‎（2）过点C作CF‎⊥‎AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG·AB=12，求AC的长；‎ ‎（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径.‎ 1. 如图，已知函数y=-x‎2‎+2x+3‎与坐标轴分别交于A、D、B三点，顶点为C.‎ ‎（1）求△BAD的面积；‎ ‎（2）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使S△ABP=‎1‎‎2‎S△ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在轴上是否存在一点Q，使得△DOQ与△ABC相似，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由.‎ 2. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，点A、B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形。过点M作直线ι与x轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分AC.‎ ‎（1）求过A、B、E三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）求证：四边形AMCD是菱形；‎ ‎（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 3. 如图1，直角△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直径，⊙O交AC于点D，取CB的中点E，DE的延长线与AB的延长线交于点P.‎ ‎（1）求证：PD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若OB=BP，AD=6，求BC的长；‎ ‎（3）如图2，连接OD，AE相交于点F，若tan‎∠C=2‎，求AFFE的值.‎ 1. 已知抛物线y=ax‎2‎+bx+c经过点A（3，2），B（0，1）和点C（-1，‎-‎‎2‎‎3‎）.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图，若抛物线的顶点为P，点A关于对称轴的对称点为M，过M的直线交抛物线于另一点N（N在对称轴右边），交对称轴于F，若S△PFN=4S△PFM，求点F的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，在轴上是否存在点G，使△BMA与△MBG相似？若存在，求点G的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 2. 如图，PB切⊙O于B点，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO交⊙O于点C，连结BC，AF.‎ ‎（1）直线PA是否为⊙O的切线，并证明你的结论；‎ ‎（2）若BC=16，⊙O的半径的长为17，求tan‎∠AFD的值；‎ ‎（3）若OD：DP=1：3，且OA=3，则图中阴影部分的面积为？‎ 3. 将抛物线C1：y=‎x‎2‎平移后的抛物线C2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）与y轴负半轴交于C点，已知A（-1，0），tan‎∠CAB=3‎.‎ ‎（1）求抛物线C2的解析式；‎ ‎（2）若点P是抛物线C2上的一点，连接PB，PC.求S△BPC=‎3‎‎4‎S△CAB时点P的坐标；‎ ‎（3）D为抛物线C2的顶点，Q是线段BD上一动点，连接CQ，点B，D到直线CQ的距离记为d 1，d2，试求出d1+d2的最大值，并求出此时Q点坐标.‎ 1. 如图1，AB为⊙O的直径，TA为⊙O的切线，BT交⊙O于点D，TO交⊙O于点C、E.‎ ‎（1）若BD=TD，求证：AB=AT；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求tan‎∠BDE的值；‎ ‎（3）如图2，若BDTD‎=‎‎4‎‎3‎，且⊙O的半径r=‎7‎，则图中阴影部分的面积为？‎ 2. 如图，过A（1，0），B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4-x于C、D两点.抛物线y=ax‎2‎+bx+c经过O、C、D三点.‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若点P为抛物线上的一点，连接PD，PC. 求S△PCD=‎1‎‎3‎S△CDB时点P的坐标.‎ ‎（4）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中 ‎△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值.‎ 3. 如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E.‎ ‎（1）求证：AC平分∠DAB；‎ ‎（2）连接BE交AC于点F，若cos‎∠CAD=‎4‎‎5‎，求AFFC的值.‎ 1. 如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长交CD于F点.‎ ‎（1）求证：四边形AECF为平行四边形；‎ ‎（2）若△AEP是等边三角形，连结BP，求证：△APB‎≅‎△EPC；‎ ‎（3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积.‎ 2. 如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=ax‎2‎-2ax-3a（a<0）‎与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC.‎ ‎（1）直接写出点A的坐标，并求出直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；‎ ‎（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为‎5‎‎4‎，求a的值；‎ ‎（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由. ‎ 3. 如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与弧AC相交于点E，连接BC.‎ ‎（1）求证：PA·BC=AB·CD.‎ ‎（2）若PA=10，sinP=‎3‎‎5‎，求PE的长.‎ 1. 已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点.‎ ‎（1）当点P与点O重合时如图1，求证：OE=OF；‎ ‎（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转,当∠OFE=30°时.‎ ①若转到如图2的位置，线段CF、AE、OE之间有一个不变的相等关系式，请写出这个关系式.（不用证明）‎ ②若转到图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请予以证明.‎ 2. 已知如图，在平面直角坐标系xoy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA=1，OB=2，OC=4.‎ ‎（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM-AM|为最大值时，点M的坐标，并直接写出|PM-AM|的最大值.‎ 3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，DE‎⊥‎BD交AB于E，⊙O是△BDE的外接圆，交BC于点F.‎ ‎（1）求证：AC是⊙O的切线；‎ ‎（2）连接EF，若BC=9,CA=12，求EFAC的值.‎ 1. 如图，在正方形ABCD中，AB=5,P是BC边上任意一点，E是BC延长线上一点，连接AP，作PF‎⊥‎AP，使PF=PA，连接CF、AF，AF交CD边于点G，连接PG.‎ ‎（1）求证：∠GCF=∠FCE；‎ ‎（2）判断线段PG，PB与DG之间的数量关系，并证明你的结论；‎ ‎（3）若BP=2，在直线AB上是否存在一点M，使四边形DMPF是平行四边形，若存在，求出BM的长度，若不存在，请说明理由.‎ 2. 已知抛物线y=-‎1‎‎2‎x‎2‎+bx+c与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A（-4,0），B（1，0）.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；‎ ‎（3）已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 3. 如图1，直角△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直径，⊙O交AC于点D，取CB的中点E，DE的延长线与AB的延长线交于点P.‎ ‎（1）求证：PD是⊙O的切线；‎ ‎（2）如图2，连接OD，AE相交于点F，若tan‎∠C=2，求AFFE的值.‎ 1. 已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°.‎ ‎（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；‎ ‎（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；‎ ‎（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离.‎ 2. 如图，抛物线y=ax‎2‎+bx+c的开口向下，与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0）.与y轴交于点C，顶点为D.‎ ‎（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；‎ ‎（2）若△ACD的面积为3.‎ ①求抛物线的解析式；‎ ②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠PAB=∠DAC，求平移后抛物线的解析式.‎ 3. 如图1，△ABC中，AB=AC，AE平分∠BAC，BM平分∠ABC交AE于点M，经过点B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰好为⊙O的直径.‎ ‎（1）求证：AE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AC=6，CE=4，EN‎⊥‎AB于点N，求BN的长；‎ ‎（3）如图2，若CBAB‎=‎‎2‎‎3‎，求tan‎∠MBA的值.‎ 1. 如图，抛物线y=-‎1‎‎2‎x‎2‎+bx+c与x轴分别相交于点A（-2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，顶点为点P.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H.‎ ①当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；‎ ②是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. ‎ 2. 已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连结PD.‎ ‎（1）求证：PD是⊙O的切线；‎ ‎（2）求证：PD2=PB·PA；‎ ‎（3）若PD=4,tan‎∠CDB=‎1‎‎2‎，求直径AB的长.‎ 3. 已知抛物线y=a（x+3）（x-1）（a≠0）‎，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=-‎3‎x+b与抛物线的另一个交点为D.‎ ‎（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，是以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；‎ ‎（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE.一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒‎2‎‎3‎‎3‎个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？‎ 1. 如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E.‎ ‎（1）求证：PA是⊙O的切线；‎ ‎（2）过点C作CF‎⊥‎AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG·AB=12,求AC的长；‎ ‎（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin‎∠ACE的值.‎ 2. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=-‎2‎‎3‎x+2‎与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点为A（-1，0）.‎ ‎（1）求B、C两点的坐标及该抛物线的解析式；‎ ‎（2）P是线段BC上的一个动点（不与B、C重合），过点P作直线L//y轴，交抛物线于点E，交x轴于点F，设P点的横坐标是m，△BCE的面积为S.‎ ①求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；‎ ②在①的基础上试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并判断△OBE的形状；若不存在，请说明理由；‎ ③Q是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合），且PQ//x轴，试问在x轴上是否存在点R，使△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出R的坐标；若不存在，请说明理由. ‎ 3. 我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.‎ ‎（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA中点.求证：中点四边形EFGH是平行四边形；‎ ‎（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；‎ ‎（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状（不必证明）.‎ 1. 如图，已知抛物线y=ax‎2‎+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B两点（点A在点B左侧），其顶点为M（1，4），MA交y轴于点N，连接OM.‎ ‎（1）求此抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）若P为（1）中抛物线上一点，当S△OAM=S△PAM时，求P点的坐标；‎ ‎（3）将（1）中的抛物线沿y轴折叠，使点A落在点D处，连接MD，Q为（1）中的抛物线上的一点，直线NQ交x轴于点G，当Q点在抛物线上运动时，是否存在点Q，使△ANG与△ADM相似？若存在，求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 2. 如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE‎>‎EC），且BD=2‎3‎.求过点D作DF//BC，交AB的延长线于点F.‎ ‎（1）求证：DF为⊙O的切线；‎ ‎（2）若∠BAC=60°，DE=‎7‎，求图中阴影部分的面积；‎ ‎（3）若ABAC‎=‎‎4‎‎3‎，DF+BF=8，如图2，求BF的长.‎ 3. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x‎2‎+bx+c过A、B、C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，-3），动点P在抛物线上.‎ ‎（1）求b，c的值,B的坐标；（直接写出结果）‎ ‎（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）过动点P作PE‎ ⊥y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线.垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标. ‎ 1. 如图，经过 ABCD的三个顶点A、C、D作⊙O，交BC边于点H，AB切⊙O于点A，延长半径AO交CD于E，交⊙O于F，P是射线AF上一点，且∠PCD=2∠DAF ‎（1）求证：AB=AH；‎ ‎（2）求证：PC是⊙O的切线；‎ ‎（3）若AB=2，AD=‎17‎，求⊙O的半径.‎ 2. 如图，抛物线y=ax‎2‎+bx+c的图象经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3），D为抛物线的顶点.‎ ‎（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；‎ ‎（2）点C关于抛物线对称轴的对称点为点E，连接BC，BE，求tan‎∠CBE的值；‎ ‎（3）点M是抛物线对称轴上一动点，若△DMB与△BCE相似，求点M的坐标. ‎ 3. 如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF=∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG，已知DE=4，AE=8.‎ ‎（1）求证：DF是⊙O的切线；‎ ‎（2）求证：OC2=OE·OP；‎ ‎（3）求线段EG的长.‎ 4. 如图，抛物线y=x‎2‎+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，-3）.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积；‎ ‎（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由. ‎ 1. 在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC（或它们的延长线）于点M，N.‎ ‎（1）观察图1，直接写出∠AEM与∠BNE的关系为： ▲▲▲ ；（不用证明）‎ ‎（2）如图1，当M、N都分别在AB、BC上时，可探究出BN与AM的关系为： ▲▲▲；（不用证明）‎ ‎（3）如图2，当M、N都分别在AB、BC的延长线上时，（2）中BN与AM的关系式是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出你认为成立的结论，并说明理由.‎ 2. 如图，直线y=-x+3‎与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax‎2‎+‎1‎‎2‎x+c经过B、C两点，点E是直线BC上方抛物线上的一动点.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，交x轴于点F，当S△BEC=‎3‎‎2‎，请求出点E和点M的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当E点的横坐标为1时，在EM上是否存在点N，使得△CMN和△CBE相似？如果存在，请直接写出点N的坐标；如果不存在，请说明理由. ‎ 1. 如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE‎⊥‎DF，垂足为点E.‎ ‎（1）求证：CE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AE=1，CE=2，求⊙O的半径.‎ 2. 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.‎ ‎（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，‎ ①BC与CF的位置关系为： ‎ ②BC，CD，CF之间的数量关系为： ；（将结论直接写在横线上）‎ ‎（2）数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；‎ ‎（3）拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.已知AB=2‎2‎，CD=‎1‎‎4‎BC，请求出CF的长. ‎ 3. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax‎2‎+bx-8‎与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A、D的坐标分别为（-2，0），（6，-8）.‎ ‎（1）求抛物线的解析式，并分别求出点B和点E的坐标；‎ ‎（2）探究抛物线上是否存在点F使得△FOE‎≅‎△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究，当M为何值时，△OPQ为等腰三角形. ‎ 1. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点G，过点D作EF‎⊥‎AC于点E，交AB的延长线于点F.‎ ‎（1）求证：EF是⊙O的切线；‎ ‎（2）当AB=5，BC=6时，求tan‎∠BAC的值.‎ 2. 已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）.以AD为边做正方形ADEF，连接CF.‎ ‎（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：CF+CD=BC；‎ ‎（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；‎ ‎（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变：‎ ①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；‎ ②若正方形ADEF的边长为2‎2‎，对角线AE，DF相交于点O，连接OC.求OC的长度.‎ 3. 如图，抛物线y=-‎1‎‎2‎x‎2‎+bx+c与x轴分别相交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C，顶点为点P.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H.‎ ①当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；‎ ②是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. ‎ 1. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE‎⊥‎DC交DC的延长线于点E.‎ ‎（1）求证：∠1=∠BAD；‎ ‎（2）求证：BE是⊙O的切线.‎ 2. 我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”.‎ ‎（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子： ▲▲▲ ；‎ ‎（2）问题探究：如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）应用拓展：如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转α（0°‎<∠α<∠BAC）得到Rt△AB,D,（如图3），当凸四边形AD，BC为等邻角四边形时，求出它的面积.‎ 3. 如图，已知抛物线y=ax‎2‎+bx+c（a≠0）‎经过A（-3，0），B（5，0），C（0，5）三点，O为坐标原点.‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）若把抛物线y=ax‎2‎+bx+c（a≠0）‎向下平移‎13‎‎3‎个单位长度，再向右平移n（n‎>‎0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC内，求n的取值范围；‎ ‎（3）设点P在y轴上，且满足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的长. ‎ 1. 如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE.‎ ‎（1）判断△PCE的形状；（不必说明理由）‎ ‎（2）如图2，若点P是BD延长线上一点，其他条件不变，则（1）的结论是否仍然成立，请说明理由；‎ ‎（3）如图3，把“正方形ABCD”改成“菱形ABCD”，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由.‎ 2. 如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB，BC于点M，N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP.‎ ‎（1）求证：直线CP是⊙O的切线；‎ ‎（2）若BC=2‎5‎，sin‎∠BCP=‎5‎‎5‎，求点B到AC的距离；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求△ACP的周长.‎ 3. 如图，抛物线y=-x‎2‎+bx+c与直线y=‎1‎‎2‎x+2‎交于C，D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，‎7‎‎2‎），点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE‎⊥x轴于点E，交CD于点F.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由；‎ ‎（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相似的点P的坐标.‎