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- 2021-05-13 发布
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二次函数与相似的结合
题型一:动点在线段上
如图,平面直角坐标系中,已知,一次函数的图像与轴、轴分别交于点、两点,二次函数的图像经过点、点;
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)点是该二次函数图像的顶点,求△的面积;
(3)如果点在线段上,且△与△相似,求点的坐标;
如图,抛物线与轴交于、两点(在的左侧),与轴交于点
,抛物线的顶点为;
(1)求、的值;
(2)求的值;
(3)若点是线段上一个动点,联结;问是否存在点,使得以点、、为顶点的三角形与△相似?若存在,求出点坐标;若不存在,请说明理由;
如图,已知抛物线的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点为A(-1,0),顶点为B. 点C(5,m)在抛物线上,直线BC交x轴于点E.
(1) 求抛物线的表达式及点E的坐标;
(2) 联结AB,求∠B的正切值;
x
y
A
B
E
C
O
(第24题图)
(3) 点G为线段AC上一点,过点G作CB的垂线交x轴于点M(位于点E右侧),
当△CGM与△ABE相似时,求点M的坐标.
【参考答案】24.(本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)小题3分,第(3)小题5分)
解:(1)∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴.
∵抛物线与x轴的一个交点为A(-1,0),∴.
∴抛物线的表达式为.………………………………………………(2分)
∴顶点B(1,-2).…………………………………………………………………(1分)
∵点C(5,m)在抛物线上,∴. ∴C点坐标为(5,6).
设直线BC的表达式为y=kx+b(k≠0),
则,∴即BC的表达式为y=2x-4.
∴E(2,0).……………………………………………………………………………(1分)
(2)作CH⊥x轴,垂足为H,作BP⊥x轴,垂足为P,
∵C(5,6),A(-1,0),∴CH=6=AH. ∴∠CAH=45°.
∵B(1,-2),A(-1,0),∴BP=2=AP.∴∠BAP=45°.
∴∠CAB=90°. …………………………………………………………………………(1分)
∵CH=6=AH,CH⊥x轴,∴
∵BP=2=AP,BP⊥x轴,∴
∴…………………………………………………………………(2分)
(3)∵∠CAB=90°,∴∠B+∠ACB=90°.
∵GM⊥BC,∴∠CGM+∠ACB=90°.∴∠CGM=∠B. ………………………………(1分)
∵△CGM与△ABE相似,∴∠BAE=∠CMG或∠BAE=∠MCG.
情况1:当∠BAE=∠CMG时,
∵∠BAE=45°,∴∠CMG=45°. ∵GM⊥BC,∴∠MCE=45°.∴∠MCE=∠EAB.
∵∠AEB=∠CEM,∴△ABE∽△CME. ……………………………………………(1分)
∴.即.∴EM=5. ∴M(7,0). ……………………………(1分)
情况2:当∠BAE=∠MCG时,
∵∠BAE=∠CAM,∴∠MCG=∠CAM.∴MC=MA. ………………………………(1分)
设M(x,0),∵C(5,6),A(-1,0),∴∴x=5.
∴M(5,0). …………………………………………………………………………(1分)
题型二:动点在线段的延长线上
如图7,已知抛物线与轴交于点和点(点在点的左侧),与轴交于点,且,点是抛物线的顶点,直线和交于点。
(1) 求点的坐标;
(2) 联结,求的余切值;
(3) 设点在线段延长线上,如果和相似,求点的坐标。
【答案】(1)(2)3(3)
【解析】(1)∵抛物线与轴的交于点和点(点在点的左侧) ,
与轴交于点,,且,
∴
∴
(2)
(3)由,可得,在AOC和BCD中, ,
,
又;
;
当相似时,可知;
又点在线段的延长线上,,可得;
;
由题意,得直线的表达式为;设.
,解得(舍去)
点M的坐标是
题型三:动点在对称轴上
如图,抛物线经过点,,为抛物线的顶点。
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;
(2)点关于抛物线的对称点为点,联结,,求的正切值;
(3)点是抛物线对称轴上一点,且△和△相似,求点的坐标。
【答案】(1);(2)(3) 或
【解析】(1)∵抛物线经过点,
∴ 可解得
∴ 顶点坐标
(2)过点作垂直于交于点
∵点与点关于对称轴对称
∴,,平行于轴
∵
∴,
在等腰直角三角形中,
∴
在直角三角形中,,
∴
∴的正切值为
(3) 设抛物线对称轴交轴与点
∵在直角三角形中,,
∴ ,
∴点在点的下方
∴当与相似时,有下列两种情况:
当 时,即 可解得
∴
当 时,即 可解得
∴
综上所述: 或
2)动点在平移后的对称轴上
在平面直角坐标系中,点是抛物线上的一点,将此抛物线向下平移个单位以后经过点,平移后的新抛物线的顶点记为,新抛物线的对称轴和线段的交点记为。
(1) 求平移后得到的新抛物线的表达式,并求出点C的坐标;
(2) 求的正切值;
(3) 如果点是新抛物线对称轴上的一点,且和相似,试求点的坐标。
【答案】(1);(2)(3)或
【解析】
(1)∵点是抛物线上的一点,代入得:①
又∵抛物线向下平移个单位以后经过点,平移后的抛物线解析式为:。
代入得:②,由①②得:
平移后得到的新抛物线的表达式:,顶点
(2) ∵、、,易得
由勾股定理逆定理得是直角三角形,
(3) 设抛物线对称轴与轴相交于点
,,
易得,
∴点只能在对称轴点的下方,和相似,有以下两种情况:
①,,,
②,,,
综上,或
题型四:动点在某直线上
y
A
O
C
B
x
(第24题图)
如图,已知抛物线经过的三个顶点,其中点,点,轴.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)求的值;
(3)若点D为抛物线的顶点,点E是直线AC上一点,
当与相似时,求点E的坐标.
【参考答案】24.解:(1)∵抛物线经过点和点
∴……………………………………………………1分
解得………………………………………………………………2分
∴这条抛物线的解析式为………………………………1分
(2)过点作,垂足为
,,
又
是等腰直角三角形
………………………………………………………1分
,,点也在该抛物线上
过点作,垂足为点
……………………………………………1分
又∵在Rt△中,
∴…………………………………………………1分
∴在Rt△中,……………………………1分
(3)过点D作,垂足为
∵点是抛物线的顶点∴………………1分
∴
∴又∵∴是等腰直角三角形
∴
又∵
∴………………………………………………………1分
∴当△CDE与△ABC相似时,存在以下两种情况:
……………1分
…………1分
题型五:动点在轴上
如图9,在平面直角坐标系中,顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点,= 2,.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)联结,求的大小;
(3)如果点在轴上,且△与△相似,求点的坐标.
图9
2017年青浦一模24】已知,如图8,在平面直角坐标系中,抛物线与轴正半轴交于点和点,与轴交于点,且,点是第一象限内的点,联结,△是以为斜边的等腰直角三角形.
(1) 求这个抛物线的表达式;
(2) 求点的坐标;
(3) 点在轴上,若以为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似,求点的坐标.
【答案】(1)(2)(3)点坐标为或
【解析】(1)由题意可得
代入得
(2) 过点作
为等腰直角三角形
可证四边形为正方形
,解得在第一象限内
(3) ,可得为等腰直角三角形
,则点在轴左侧
i.
,
ii.
若点在轴右侧,不存在
综上所述:点坐标为或
在平面直角坐标系中,抛物线与轴相交点和点,与轴相交于点,抛物线的顶点为点,联结,,。
(1) 求这条抛物线的表达式及顶点的坐标;
(2) 求证:
(3) 如果点在轴上,且在点的右侧,,求点的坐标。
【答案】(1);(2)略(3)
【解析】(1)∵抛物线过点A()和点,
∴将两点坐标代入解析式可得:
可解得
∴
根据顶点公式可得
(2) 代入到求得,,所以有
可以求得:,,
,
在和中,有,
(3) 在OC上取一点F使得OF=OA,
由(2)得B(3,0),C(0,3),OB=OC,∠OBC=45°,∠CBE=135°
OA=OF,∠AFO=45°,∠AFC=135°,∠AFC=∠CBE,又∠BCE=∠ACO,
△AFC∽△BCE
,
,
题型六:动点在抛物线上
如图1,已知抛物线的方程C1: (m>0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.
(1)若抛物线C1过点M(2, 2),求实数m的值;
(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
图1
【解析】(1)将M(2, 2)代入,得.解得m=4.
(4)①如图3,过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′.
由于∠BCE=∠FBC,所以当,即时,△BCE∽△FBC.
设点F的坐标为,由,得.
解得x=m+2.所以F′(m+2, 0).由,得.所以.
由,得.整理,得0=16.此方程无解.
图2 图3 图4
②如图4,作∠CBF=45°交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′,
由于∠EBC=∠CBF,所以,即时,△BCE∽△BFC.
在Rt△BFF′中,由FF′=BF′,得.
解得x=2m.所以F′.所以BF′=2m+2,.
由,得.解得.
综合①、②,符合题意的m为.
2)动点在直线下方的抛物线
24. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图像与轴交于、两点,点的坐标为,与轴交于点,点是直线下方抛物线上的任意一点;
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)联结、,并将△沿轴对折,得到四边形
,如果四边形为菱形,求点的坐标;
(3)如果点在运动过程中,能使得以、、为顶点的
三角形与△相似,请求出此时点的坐标;
【正确答案】
3) 动点在直线上方的抛物线
如图11所示,已知抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C.
(1)求A、B、C三点的坐标.
(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积.
(3)在轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG轴
于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似.
图11
C
P
B
y
A
若存在,请求出M点的坐标;否则,请说明理由.
【解析:】(1)令,得 解得
令,得
∴ A B C (2分)
(2)∵OA=OB=OC= ∴BAC=ACO=BCO=
∵AP∥CB, ∴PAB=
过点P作PE轴于E,则APE为等腰直角三角形
令OE=,则PE= ∴P
∵点P在抛物线上 ∴
解得,(不合题意,舍去)
∴PE= 4分)
∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE
= 6分)
(3). 假设存在
∵PAB=BAC = ∴PAAC
∵MG轴于点G, ∴MGA=PAC =
在Rt△AOC中,OA=OC= ∴AC=
G
M
第28题图2
C
B
y
P
A
在Rt△PAE中,AE=PE= ∴AP= 7分)
设M点的横坐标为,则M
①点M在轴左侧时,则
(ⅰ) 当AMG PCA时,有=
∵AG=,MG=
即
解得(舍去) (舍去)
(ⅱ) 当MAG PCA时有=
即
解得:(舍去)
G
M
第28题图3
C
B
y
P
A
∴M (10分)
② 点M在轴右侧时,则
(ⅰ) 当AMG PCA时有=
∵AG=,MG=
∴
解得(舍去)
∴M
(ⅱ) 当MAGPCA时有=
即
解得:(舍去)
∴M
∴存在点M,使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似
M点的坐标为,, (13分)