四川省绵阳市平武县中考数学一模试卷含答案解析 29页

‎2016年四川省绵阳市平武县中考数学一模试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选择中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1．的倒数的相反数是（　　）‎ A． B．2 C．﹣2 D．﹣‎ ‎2．下列运算中，正确的是（　　）‎ A．2xa+xa=3x2a2 B．（a2）3=a6 C．3a•2a=6a D．3﹣2=﹣6‎ ‎3．下列说法中正确的是（　　）‎ A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件 B．想了解某种饮料中含色素的情况，宜采用抽样调查 C．数据1，1，2，2，3的众数是3‎ D．一组数据的波动越大，方差越小 ‎4．如图是由几块小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体的左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．某红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 000 94m，用科学记数法表示这个数是（　　）‎ A．9.4×10﹣7m B．9.4×107m C．9.4×10﹣8m D．9.4×108m ‎6．根据以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是（　　）‎ A．3元、2元 B．2元、3元 C．3.4元、1.6元 D．1.6元、3.4元 ‎7．把分式中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值（　　）‎ A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大到原来的4倍 D．缩小到原来的 ‎8．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点A′的对应点A的纵坐标是1.5，则点A'的纵坐标是（　　）‎ A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．4‎ ‎9．如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是（　　）‎ A．π B．π C．π D．条件不足，无法求 ‎10．如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，若∠B=50°，∠C=60°，连接OE，OF，DE，DF，∠EDF等于（　　）‎ A．45° B．55° C．65° D．70°‎ ‎11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎12．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：‎ ‎①当x=3时，y=0；‎ ‎②3a+b＞0；‎ ‎③﹣1≤a≤﹣；‎ ‎④≤n≤4．‎ 其中正确的有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎　‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）‎ ‎13．在函数y=+（x﹣1）0中，自变量x的取值范围是　　　　　　．‎ ‎14．五张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、菱形、平行四边形五个图案，现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为　　　　　　．‎ ‎15．如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为　　　　　　．‎ ‎16．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格进行两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．平均每次下调的百分率是　　　　　　．‎ ‎17．已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根，则x13+8x2+20=　　　　　　．‎ ‎18．小数在数学外小组活动中遇到这样一个问题：如果α、β都为锐角，且tanα=，tanβ=．求α+β的度数．‎ ‎（1）小敏是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得∠ABD=α，∠CBE=β，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC，可证得△ABC是等腰直角三角形，因此可求得α+β=∠ABC=　　　　　　°．‎ ‎（2）请你参考小敏思考问题的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tanα=4，tanβ=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON=α﹣β，由此可得α﹣β=　　　　　　°．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19．（1）解不等式并把不等式组的解集在数轴上表示．‎ ‎（2）解方程．‎ ‎20．体考在即，初三（1）班的课题研究小组对本年级530名学生的体育达标情况进行调查，制作出如图所示的统计图，其中1班有50人．（注：30分以上为达标，满分50分）根据统计图，解答下面问题：‎ ‎（1）初三（1）班学生体育达标率和本年级其余各班学生体育达标率各是多少？‎ ‎（2）若除初三（1）班外其余班级学生体育考试成绩在30﹣﹣40分的有120人，请补全扇形统计图；（注：请在图中分数段所对应的圆心角的度数）‎ ‎（3）如果要求全年级学生的体育达标率不低于90%，试问在本次调查中，该年级全体学生的体育达标率是否符合要求？‎ ‎21．在一块矩形ABCD的空地上划一块四边形MNPQ进行绿化．如图，四边形的顶点在矩形的边上，且AN=AM=CP=CQ=xcm，已知矩形的边BC=200m，边AB=am，a为大于200的常数，设四边形MNPQ的面积为sm2‎ ‎（1）求S关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．‎ ‎（2）若a=400，求S的最大值，并求出此时x的值．‎ ‎22．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．‎ ‎（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．‎ ‎（2）是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎23．如图，反比例函数y=的图象与二次函数y=﹣x2+bx+c的图象在第一象限内相交A、B两点，A、B两点的纵坐标分别为1，3，且AB=2‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）求二次函数的解析式；‎ ‎（3）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．‎ ‎24．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．‎ ‎（1）求证：PB与⊙O相切；‎ ‎（2）是探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；‎ ‎（3）若tan∠F=，求cos∠ACB的值．‎ ‎25．操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况．‎ 研究：‎ ‎（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系，并结合图2加以证明；‎ ‎（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由；‎ ‎（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图4加以证明．‎ ‎　‎ ‎2016年四川省绵阳市平武县中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选择中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1．的倒数的相反数是（　　）‎ A． B．2 C．﹣2 D．﹣‎ ‎【考点】倒数；相反数．‎ ‎【分析】首先求得的倒数，再求得相反数即可．‎ ‎【解答】解：的倒数是2，2的相反数是﹣2．‎ 故选C．‎ ‎【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．‎ ‎　‎ ‎2．下列运算中，正确的是（　　）‎ A．2xa+xa=3x2a2 B．（a2）3=a6 C．3a•2a=6a D．3﹣2=﹣6‎ ‎【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．‎ ‎【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则以及合并同类项法则和幂的乘方运算法则分别化简求出答案．‎ ‎【解答】解：A、2xa+xa=3xa，故此选项错误；‎ B、（a2）3=a6，正确；‎ C、3a•2a=6a2，故此选项错误；‎ D、3﹣2=，故此选项错误；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式以及合并同类项法则和幂的乘方运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．‎ ‎　‎ ‎3．下列说法中正确的是（　　）‎ A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件 B．想了解某种饮料中含色素的情况，宜采用抽样调查 C．数据1，1，2，2，3的众数是3‎ D．一组数据的波动越大，方差越小 ‎【考点】随机事件；全面调查与抽样调查；众数；方差．‎ ‎【专题】应用题．‎ ‎【分析】利用必然事件的定义、普查和抽样调查的特点、众数的定义、方差的定义即可作出判断．‎ ‎【解答】解：A、打开电视，正在播放《新闻联播》是随机事件，故本选项错误，‎ B、想了解某饮料中含色素的情况，应用抽样调查，故本选项正确，‎ C、数据1，1，2，2，3的众数是1、2，故本选项错误，‎ D、一组数据的波动越大，方差越大，故本选项错误，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了必然事件的定义、普查和抽样调查的特点、众数的定义、方差的性质，难度适中．‎ ‎　‎ ‎4．如图是由几块小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体的左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体．‎ ‎【分析】由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1．据此进行选择．‎ ‎【解答】解：由题意得，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了简单组合体的三视图，左视图是从图形的左侧看到的视图．‎ ‎　‎ ‎5．某红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 000 94m，用科学记数法表示这个数是（　　）‎ A．9.4×10﹣7m B．9.4×107m C．9.4×10﹣8m D．9.4×108m ‎【考点】科学记数法—表示较小的数．‎ ‎【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ ‎【解答】解：0.000 000 94=9.4×10﹣7．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ ‎　‎ ‎6．根据以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是（　　）‎ A．3元、2元 B．2元、3元 C．3.4元、1.6元 D．1.6元、3.4元 ‎【考点】二元一次方程组的应用．‎ ‎【分析】设所买笔的价格为x元，所买的笔记本的价格为y元，根据“5支笔和10本笔记本化了42元钱，10支笔和5本笔记本化了30元钱”列方程组解决问题．‎ ‎【解答】解：设笔的单价为x元/支，笔记本单件为y元/本，‎ 根据题意，得：，‎ 解得：，‎ 故笔的单价为1.2元/支，笔记本单件为3.6元/本．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．把分式中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值（　　）‎ A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大到原来的4倍 D．缩小到原来的 ‎【考点】分式的基本性质．‎ ‎【分析】把分式中的x换成2x，y换成2y，然后根据分式的基本性质进行化简即可．‎ ‎【解答】解：x、y都扩大2倍， ==，‎ 所以，分式的值不改变．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了分式的基本性质，熟记性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点A′的对应点A的纵坐标是1.5，则点A'的纵坐标是（　　）‎ A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．4‎ ‎【考点】位似变换；坐标与图形性质．‎ ‎【分析】根据位似变换的性质得出△ABC的边长放大到原来的2倍，进而得出点A'的纵坐标．‎ ‎【解答】解：∵点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，‎ 并把△ABC的边长放大到原来的2倍．‎ 点A′的对应点A的纵坐标是1.5，‎ 则点A'的纵坐标是：﹣3．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了位似变换的性质，根据已知得出纵坐标的绝对值是2倍关系是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是（　　）‎ A．π B．π C．π D．条件不足，无法求 ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】观察图形在y轴两边阴影部分面积，将y轴左边的阴影对称到右边得到一个半圆的阴影，就是所求的图中阴影面积．‎ ‎【解答】解：由分析知图中阴影面积等于半圆的面积，则s==．‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题主要考抛物线的对称性质，把不规则图形面积如何用规则的图形面积表示，从而来求面积．‎ ‎　‎ ‎10．如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，若∠B=50°，∠C=60°，连接OE，OF，DE，DF，∠EDF等于（　　）‎ A．45° B．55° C．65° D．70°‎ ‎【考点】三角形的内切圆与内心．‎ ‎【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠A=70°．再根据切线的性质定理和四边形的内角和定理，得∠EOF=110度．再根据圆周角定理，得∠EDF=55°．‎ ‎【解答】解：∵∠B=50°，∠C=60°，‎ ‎∴∠A=70°，‎ ‎∴∠EOF=110°，‎ ‎∴∠EDF=∠EOF=55°．‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题综合运用了切线的性质定理、圆周角定理和三角形的内角和定理、四边形的内角和定理．‎ ‎　‎ ‎11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）．‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】先根据勾股定理计算出AB=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠BAC=30°，在根据折叠的性质得BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，由于AD⊥ED得BC∥DE，所以∠CBF=∠BED=30°，在Rt△BCF中可计算出CF=，BF=2CF=，则EF=2﹣，在Rt△DEF中计算出FD=1﹣，ED=﹣1，然后利用S△ABE=S△ABD+S△BED+S△ADE=2S△ABD+S△ADE计算即可．‎ ‎【解答】解：∵∠C=90°，AC=，BC=1，‎ ‎∴AB==2，‎ ‎∴∠BAC=30°，‎ ‎∵△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，‎ ‎∴BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，‎ ‎∵AD⊥ED，‎ ‎∴BC∥DE，‎ ‎∴∠CBF=∠BED=30°，‎ 在Rt△BCF中，CF==，BF=2CF=，‎ ‎∴EF=2﹣，‎ 在Rt△DEF中，FD=EF=1﹣，ED=FD=﹣1，‎ ‎∴S△ABE=S△ABD+S△BED+S△ADE ‎=2S△ABD+S△ADE ‎=2×BC•AD+AD•ED ‎=2××1×（﹣1）+×（﹣1）（﹣1）‎ ‎=1．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系．‎ ‎　‎ ‎12．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：‎ ‎①当x=3时，y=0；‎ ‎②3a+b＞0；‎ ‎③﹣1≤a≤﹣；‎ ‎④≤n≤4．‎ 其中正确的有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【考点】二次函数图象与系数的关系．‎ ‎【分析】①由抛物线的顶点坐标的横坐标可得出抛物线的对称轴为x=1，结合抛物线的对称性及点A的坐标，可得出点B的坐标，由点B的坐标即可断定①正确；②由抛物线的开口向下可得出a＜0，结合抛物线对称轴为x=﹣=1，可得出b=﹣2a，将b=﹣2a代入3a+b中，结合a＜0即可得出②不正确；③由抛物线与y轴的交点的范围可得出c的取值范围，将（﹣1，0）代入抛物线解析式中，再结合b=﹣2a即可得出a的取值范围，从而断定③正确；④结合抛物线的顶点坐标的纵坐标为，结合a的取值范围以及c的取值范围即可得出n的范围，从而断定④正确．综上所述，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：①由抛物线的对称性可知：‎ 抛物线与x轴的另一交点横坐标为1×2﹣（﹣1）=3，‎ 即点B的坐标为（3，0），‎ ‎∴当x=3时，y=0，①正确；‎ ‎②∵抛物线开口向下，‎ ‎∴a＜0．‎ ‎∵抛物线的顶点坐标为（1，n），‎ ‎∴抛物线的对称轴为x=﹣=1，‎ ‎∴b=﹣2a，‎ ‎3a+b=a＜0，②不正确；‎ ‎③∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），‎ ‎∴2≤c≤3．‎ 令x=﹣1，则有a﹣b+c=0，‎ 又∵b=﹣2a，‎ ‎∴3a=﹣c，即﹣3≤3a≤﹣2，‎ 解得：﹣1≤a≤﹣，③正确；‎ ‎④∵抛物线的顶点坐标为（﹣，），‎ ‎∴n==c﹣，‎ 又∵b=﹣2a，2≤c≤3，﹣1≤a≤﹣，‎ ‎∴n=c﹣a，≤n≤4，④正确．‎ 综上可知：正确的结论为①③④．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是结合图象以及给定条件逐个分析4条结论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用二次函数的系数表示出来抛物线的顶点坐标是关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）‎ ‎13．在函数y=+（x﹣1）0中，自变量x的取值范围是　x＞﹣2且x≠1　．‎ ‎【考点】函数自变量的取值范围．‎ ‎【分析】根据二次根式被开方数是非负数，0的0次幂没有意义即可求解．‎ ‎【解答】解：根据题意得：x+2≥0且x﹣1≠0，‎ 解得：x＞﹣2且x≠1．‎ 故答案是：x＞﹣2且x≠1．‎ ‎【点评】本题考查了求函数的自变量的取值范围，一般考虑三个方面：1）二次根式，被开方数是非负数；2）分母不等于0；3）0的0次幂或负指数次幂没有意义．‎ ‎　‎ ‎14．五张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、菱形、平行四边形五个图案，现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为　　．‎ ‎【考点】概率公式；中心对称图形．‎ ‎【分析】先判断出圆、矩形、等边三角形、菱形、平行四边形中的中心对称图形，再根据概率公式解答即可．‎ ‎【解答】解：圆、矩形、等边三角形、菱形、平行四边形中，中心对称图形有圆、矩形、菱形、平行四边形4个；‎ 则P（中心对称图形）=．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】此题考查了概率公式和中心对称图形的定义，要弄清概率公式适用的条件方可解题：‎ ‎（1）试验中所有可能出现的基本事件有有限个；‎ ‎（2）每个基本事件出现的可能性相等．‎ ‎　‎ ‎15．如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为　10cm　．‎ ‎【考点】圆锥的计算．‎ ‎【分析】由圆锥的几何特征，我们可得用半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，据此求得圆锥的底面圆的半径．‎ ‎【解答】解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器底面半径为r，‎ 则由题意得R=30，由Rl=300π得l=20π；　 ‎ 由2πr=l得r=10cm．‎ 故答案是：10cm．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是圆锥的表面积，其中根据已知制作一个无盖的圆锥形容器的扇形铁皮的相关几何量，计算出圆锥的底面半径和高，是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格进行两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．平均每次下调的百分率是　20%　．‎ ‎【考点】一元二次方程的应用．‎ ‎【专题】增长率问题．‎ ‎【分析】设出平均每次下调的百分率，根据从5元下调到3.2列出一元二次方程求解即可．‎ ‎【解答】解：设平均每次下调的百分率为x，‎ 由题意，得5（1﹣x）2=3.2． ‎ 解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8． ‎ ‎∵降价的百分率不可能大于1，∴x2=1.8不符合题意，舍去．‎ 符合题目要求的是x1=0.2=20%．‎ 即：平均每次下调的百分率是20%．‎ 故答案是：20%．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的应用，在解决有关增长率的问题时，注意其固定的等量关系．‎ ‎　‎ ‎17．已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根，则x13+8x2+20=　﹣1　．‎ ‎【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．‎ ‎【分析】由于x1、x2是方程的两根，根据根与系数的关系可得到两根之和的值，根据方程解的定义可得到x12、x1的关系，根据上面得到的条件，对所求的代数式进行有针对性的拆分和化简，然后再代值计算．‎ ‎【解答】解：∵x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根，‎ ‎∴x12=﹣3x1﹣1，x1+x2=﹣3；‎ ‎∴x13+8x2+20=（﹣3x1﹣1）x1+8x2+20‎ ‎=﹣3x12﹣x1+8x2+20‎ ‎=﹣3（﹣3x1﹣1）﹣x1+8x2+20‎ ‎=9x1﹣x1+8x2+23‎ ‎=8（x1+x2）+23‎ ‎=﹣24+23‎ ‎=﹣1．‎ 故x13+8x2+20=﹣1．‎ ‎【点评】此题是典型的代数求值问题，涉及到根与系数的关系以及方程解的定义．在解此类题时，如果所求代数式无法化简，应该从已知入手看能得到什么条件，然后根据得到的条件对所求代数式进行有针对性的化简和变形．‎ ‎　‎ ‎18．小数在数学外小组活动中遇到这样一个问题：如果α、β都为锐角，且tanα=，tanβ=．求α+β的度数．‎ ‎（1）小敏是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得∠ABD=α，∠CBE=β，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC，可证得△ABC是等腰直角三角形，因此可求得α+β=∠ABC=　45　°．‎ ‎（2）请你参考小敏思考问题的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tanα=4，tanβ=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON=α﹣β，由此可得α﹣β=　45　°．‎ ‎【考点】解直角三角形；等腰直角三角形；正方形的性质．‎ ‎【分析】如图1，把α，β放在正方形网格中，使得∠ABD=α，∠CBE=β，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC，可证得△ABC是等腰三角形，可求得α+β=∠ABC=45°；‎ 如图2，把α，β放在正方形网格中，使得∠MOG=α，∠NOH=β，且ON在∠MOG内，连接MN，可证得△MON是等腰三角形，可求得α﹣β=45°．‎ ‎【解答】解：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得∠ABD=α，∠CBE=β，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC，可证得△ABC是等腰三角形，‎ 因此可求得α+β=∠ABC=45°；‎ 参考小敏思考问题的方法解决问题：‎ 如果α，β都为锐角，当tanα=4，tanβ=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON=α﹣β，由此可得α﹣β=45°．‎ 故答案为：45；45．‎ ‎【点评】本题考查了作图﹣应用与设计图，等腰三角形的性质，解直角三角形等，根据函数值作出直角三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19．（1）解不等式并把不等式组的解集在数轴上表示．‎ ‎（2）解方程．‎ ‎【考点】解分式方程；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．‎ ‎【专题】计算题；分式方程及应用．‎ ‎【分析】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可；‎ ‎（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ ‎【解答】解：（1），‎ 由①得：x＞1，‎ 由②得：x≥，‎ ‎∴不等式组的解集为x≥，‎ 在数轴上表示为：‎ ‎；‎ ‎（2）去分母得：x+2（x﹣2）=x+2，‎ 解得：x=3，‎ 经检验x=3是分式方程的解．‎ ‎【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．体考在即，初三（1）班的课题研究小组对本年级530名学生的体育达标情况进行调查，制作出如图所示的统计图，其中1班有50人．（注：30分以上为达标，满分50分）根据统计图，解答下面问题：‎ ‎（1）初三（1）班学生体育达标率和本年级其余各班学生体育达标率各是多少？‎ ‎（2）若除初三（1）班外其余班级学生体育考试成绩在30﹣﹣40分的有120人，请补全扇形统计图；（注：请在图中分数段所对应的圆心角的度数）‎ ‎（3）如果要求全年级学生的体育达标率不低于90%，试问在本次调查中，该年级全体学生的体育达标率是否符合要求？‎ ‎【考点】条形统计图；扇形统计图．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（1）由频率分布直方图求出30分以上的频率，即为初三（1）班的达标率；由扇形统计图中30分以下的频率求出30分以上的频率，即为其余班的达标率；‎ ‎（2）根据30﹣40分的人数除以其余各班的人数求出所占的百分比，乘以360度，求出30﹣40分所占的角度，补全扇形统计图即可；‎ ‎（3）根据其余各班体育达标率小于90%，得到在本次调查中，该年级全体学生的体育达标率不符合要求．‎ ‎【解答】解：（1）根据条形统计图得：初三（1）班学生体育达标率为0.6+0.3=0.9=90%；‎ 根据扇形统计图得：本年级其余各班学生体育达标率为1﹣12.5%=87.5%；‎ 答：初三（1）班学生体育达标率和本年级其余各班学生体育达标率分别是：90%、87.5%；‎ ‎（2）其余各班的人数为530﹣50=480（人），‎ ‎30﹣40分人数所占的角度为×360°=90°，‎ ‎0﹣30分人数所占的角度为360×12.5%=45°，‎ ‎30﹣40分人数所占的角度为360﹣90°﹣45°=225°，‎ 补全扇形统计图，如图所示：‎ ‎（3）由（1）知初三（1）班学生体育达标率为90%，由扇形统计图得到其余各班体育达标率为87.5%＜90%，‎ 则该年级全体学生的体育达标率不符合要求．‎ 答：该年级全体学生的体育达标率不符合要求．‎ ‎【点评】此题考查了条形统计图，用样本估计总体，以及扇形统计图，弄清题意是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．在一块矩形ABCD的空地上划一块四边形MNPQ进行绿化．如图，四边形的顶点在矩形的边上，且AN=AM=CP=CQ=xcm，已知矩形的边BC=200m，边AB=am，a为大于200的常数，设四边形MNPQ的面积为sm2‎ ‎（1）求S关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．‎ ‎（2）若a=400，求S的最大值，并求出此时x的值．‎ ‎【考点】二次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）根据四边形MNPQ的面积=矩形ABCD的面积﹣4个三角形面积计算即可．‎ ‎（2）利用配方法求出二次函数的最值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意S=200a﹣2×x2﹣2×（200﹣a）（a﹣x）=﹣2x2+（200+a）x（0＜x＜a）；‎ ‎（2）∵a=400，‎ ‎∴S=﹣2x2+600x=﹣2（x﹣150）2+45000．‎ ‎∴x=150时，S最大值=45000，‎ ‎∴S最大值为45000cm2，此时x=150cm．‎ ‎【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是学会利用分割法求三角形面积，学会利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎22．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．‎ ‎（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．‎ ‎（2）是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】根与系数的关系；根的判别式．‎ ‎【分析】（1）分类讨论：当k=0时，方程变形一元一次方程，有一个实数解；当k≠0时，计算判别式得到△=（2k﹣1）2，由此得到△≥0，由此判断当k≠0时，方程有两个实数根；‎ ‎（2）由韦达定理可得x1+x2=﹣，x1x2=，令+=2，建立关于k的方程，解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）当k=0时，方程变形为x+2=0，解得x=﹣2；‎ 当k≠0时，△=（2k+1）2﹣4•k•2=（2k﹣1）2，‎ ‎∵（2k﹣1）2≥0，‎ ‎∴△≥0，‎ ‎∴当k≠0时，方程有实数根，‎ ‎∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；‎ ‎（2）存在，‎ 设方程两根为x1、x2，‎ 则x1+x2=﹣，x1x2=，‎ ‎∵+=2，即=2，‎ ‎∴=2，即﹣=2，‎ 解得：k=﹣，‎ 故存在实数k使方程两根的倒数和为2．‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义、根与系数的关系，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．‎ ‎　‎ ‎23．如图，反比例函数y=的图象与二次函数y=﹣x2+bx+c的图象在第一象限内相交A、B两点，A、B两点的纵坐标分别为1，3，且AB=2‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）求二次函数的解析式；‎ ‎（3）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【专题】综合题．‎ ‎【分析】（1）设出A、B两点的坐标，根据两点都在反比例函数的图象上，可找出两坐标之间的关系，由AB两点之间的距离可求出K的值，从而求出其解析式；‎ ‎（2）根据（1）中所求A，B两点的坐标，分别代入二次函数的解析式即可求出b、c的值，从而求出二次函数的解析式；‎ ‎（3）设出M，N两点的坐标，由A，B两点的坐标可求出过A，B两点直线的解析式，根据其解析式可设出过M，N两点的直线解析式，找出两点坐标与的关系，再根据平行四边形的性质即可求出未知数的值从而求出其解析式．‎ ‎【解答】（1）解：∵A、B两点都在反比例函数y=的图象上，两点的纵坐标分别为1，3，‎ 故可设A（x1，1）B（x2，3），分别代入反比例函数的解析式为k=x1，k=3x2，‎ 解得x1=3x2，‎ 由AB=2，‎ 可得（x1﹣x2）2+（1﹣3）2=（2）2，x2=±2，‎ 因为函数图象在第一象限，‎ 故x2=2，k=3x2=6，‎ ‎∴该反比例函数的解析式为：‎ y=；‎ ‎（2）由（1）可知，A（6，1），B（2，3），代入二次函数的解析式，‎ 得，‎ 解得，‎ 故此二次函数的解析式为：y=﹣x2+x﹣8；‎ ‎（3）解：设M（x，0），N（0，y），过A、B两点的直线解析式为y=kx+b，‎ 把A、B两点坐标代入得，‎ 解得k=﹣．‎ 则设经过M、N两点的直线解析式为y=﹣x+b，‎ 把M（x，0），N（0，y）代入得y=b，x=2b，‎ ‎∵MN=AB，即x2+y2=（2）2，即b2=4，b=±2，‎ 故过M，N两点的直线解析式为：y=﹣x+2或y=﹣x﹣2．‎ ‎【点评】本题考查的是一次函数，反比例函数及二次函数图象上点的坐标特点，涉及面较广，但难度适中．‎ ‎　‎ ‎24．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．‎ ‎（1）求证：PB与⊙O相切；‎ ‎（2）是探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；‎ ‎（3）若tan∠F=，求cos∠ACB的值．‎ ‎【考点】圆的综合题．‎ ‎【分析】（1）先判断出△OAP≌△OBP，再判断出∠OQP=90°即可；‎ ‎（2）先由射影定理得到OA2=OD×OP，再根据OA=EF，代入，化简即可；‎ ‎（3）根据∠F的正切，设出BD，表示出FD=2a，AD=a，DE=a，EF=a，得到AC=a即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图，‎ 连接OA，‎ ‎∵PD⊥AB，‎ ‎∴OP垂直平分AB，‎ ‎∴PA=PB，OA=OB，‎ ‎∴△OAP≌△OBP，‎ ‎∴∠OAP=∠OBP，‎ ‎∵PA为⊙O的切线，‎ ‎∴∠OAP=90°，‎ ‎∴∠OQP=90°，‎ ‎∵点B在⊙O上，‎ ‎∴BP与⊙O相切，‎ ‎（2）EF，OD，OP间的数量关系为4EF2=OD×OP，‎ 理由：∵∠OAP=90°，AD⊥OP，‎ ‎∴OA2=OD×OP，‎ ‎∵OA=EF，‎ ‎∴OD×OP=EF2，‎ ‎∴4EF2=OD×OP，‎ ‎（3）∵tanF=，设BD=a，‎ ‎∴FD=2a，AD=a，DE=a，EF=a，‎ ‎∴OD=a，‎ ‎∴AC=a，‎ ‎∴cos∠ACB=．‎ ‎【点评】此题是圆的综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，切线的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数，解本题的关键是找出线段间的关系．‎ ‎　‎ ‎25．操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况．‎ 研究：‎ ‎（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系，并结合图2加以证明；‎ ‎（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由；‎ ‎（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图4加以证明．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；矩形的判定与性质；旋转的性质．‎ ‎【专题】综合题；压轴题；操作型；分类讨论．‎ ‎【分析】（1）因为△ABC是等腰直角三角形，所以连接PC，容易得到△ACP、△CPB都是等腰直角三角形．连接CP，就可以证明△CDP≌△BEP，再根据全等三角形的对应边相等，就可以证明DP=PE；‎ ‎（2）△PBE能成为等腰三角形，位置有四种；‎ ‎（3）作MH⊥CB，MF⊥AC，构造相似三角形△MDF和△MHE，然后利用对应边成比例，就可以求出MD和ME之间的数量关系．‎ ‎【解答】解：（1）连接PC．‎ ‎∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，‎ ‎∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACB=45°．‎ ‎∴∠ACP=∠B=45°．‎ 又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，‎ ‎∴∠DPC=∠BPE．‎ ‎∴△PCD≌△PBE．‎ ‎∴PD=PE；‎ ‎（2）共有四种情况：‎ ‎①当点C与点E重合，即CE=0时，PE=PB；‎ ‎②CE=2﹣，此时PB=BE；‎ ‎③当CE=1时，此时PE=BE；‎ ‎④当E在CB的延长线上，且CE=2+时，此时PB=EB；‎ ‎（3）MD：ME=1：3．‎ 过点M作MF⊥AC，MH⊥BC，垂足分别是F、H．‎ ‎∴MH∥AC，MF∥BC．‎ ‎∴四边形CFMH是平行四边形．‎ ‎∵∠C=90°，‎ ‎∴▱CFMH是矩形．‎ ‎∴∠FMH=90°，MF=CH．‎ ‎∵，HB=MH，‎ ‎∴．‎ ‎∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，‎ ‎∴∠DMF=∠EMH．‎ ‎∵∠MFD=∠MHE=90°，‎ ‎∴△MDF∽△MEH．‎ ‎∴．‎ ‎【点评】此题比较复杂，综合考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、图形的变换．‎ 综合性很强，勾股定理的计算要求也比较高．‎ ‎　‎