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- 2021-05-13 发布
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2019年中考数学提分训练: 相交线与平行线
一、选择题
1.如图,若∠1=50°,则∠2的度数为( )
A. 30° B. 40° C. 50° D. 90°
2.如图所示,已知AB∥CD,∠1=60°,则∠2的度数是( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
3.如图,AB∥CD,则根据图中标注的角,下列关系中成立的是( )
A. ∠1=∠3 B. ∠2+∠3=180° C. ∠2+∠4<180° D. ∠3+∠5=180°
17
4.如图,直线l1∥l2 , 且分别与△ABC的两边AB、AC相交,若∠A=45°,∠1=65°,则∠2的度数为 ( )
A.45° B.65° C.70° D.110°
5.如图,已知直线AB,CD被直线AC所截,AB∥CD,E是平面内任意一点(点E不在直线AB,CD,AC上),设∠BAE=α,∠DCE=β.下列各式:①α+β,②α﹣β,③β﹣α,④360°﹣α﹣β,∠AEC的度数可能是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
6.如图,AB∥CD,EF⊥AB于E,若∠1=60°,则∠2的度数是( )
A.35° B.30° C.25° D.20°
7.如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,若AC平分∠DAB,AB=AE,AC=AD.那么在下列四个结论中:(1)AC⊥BD;(2)BC=DE;(3)∠DBC= ∠DAB;(4)△ABE是正三角形.其中一定正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个
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C. 3个 D. 4个
8.如图,梯形 中, , ( )
A. B. C. D.
9.如图, ,下列结论: ; ; ; ,其中正确的结论有( )
A. B. C. D.
10.如图,已知∠1=60°,如果CD∥BE,那么∠B的度数为( )
A. 70° B. 100° C. 110° D. 120°
11.如图所示,为估算某河的宽度,在河对岸的边上选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上,若测得BE=20m,EC=10m,CD=20m,则河的宽度AB的长为( )
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A. 60m B. 40m C. 30m D. 20m
二、填空题
12.如图,直线 a//b,若∠1 = 40°,则∠2 的度数是________.
13.如图,已知AD∥BC,∠C=38°,∠EAC=88°,则∠B=________
14.如图,一张宽度相等的纸条,折叠后,若∠ABC=124°,则∠1的度数为________
15.如图,要从小河引水到村庄A,最短路线是过A作垂直于河岸的垂线段AD(不考虑其他因素),理由是:________.
16.如图,AB∥CD,CB平分∠ACD.若∠BCD=28°,则∠A的度数为________.
17
17.如图,△ABC中,点D在BA的延长线上,DE∥BC,如果∠BAC=80°,∠C=33°,那 么∠BDE的度数是________.
18.如图,∠1=70°,直线a平移后得到直线b,则∠2-∠3=________°.
19.如图,直线a∥b,∠1=45°,∠2=30°,则∠P=________
三、解答题
20.已知:如图,△ABC是任意一个三角形,求证:∠A+∠B+∠C=180°.
21.如图,点C,F,E,B在一条直线上,∠CFD=∠BEA,CE=BF,DF=AE,写出CD与AB之间的关系,并证明你的结论.
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22.如图,已知AB∥CD,∠B=65°,CM平分∠BCE,∠MCN=90°,求∠DCN的度数.
23.如图,世博园段的浦江两岸互相平行,C、D是浦西江边间隔200m的两个场馆.海宝在浦东江边的宝钢大舞台A处,测得∠DAB=30°, 然后沿江边走了500m到达世博文化中心B处,测得∠CBF=60°, 求世博园段黄浦江的宽度(结果可保留根号).
17
24.如图,直线l1∥l2,∠BAE=125°,∠ABF=85°,则∠1+∠2等于多少度?
25.如图,在△ABC中,点E在BC上,CD⊥AB,EF⊥AB,垂足分别为D、F.
(1)CD与EF平行吗?为什么?
(2)如果∠1=∠2,且∠3=115°,求∠ACB的度数.
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答案解析
一、选择题
1.【答案】B
【解析】 根据平角的概念可知:
故答案为:B.
【分析】根据平角的定义即可得出答案。
2.【答案】C
【解析】 :如图
∵AB∥CD,∠1=60°
∴∠1=∠3=60°
∵∠2+∠3=180°
∴∠2=180°-60°=120°
故答案为:C
【分析】根据平行线的性质,可求出∠3的度数,再根据平角的定义,可求出结果。
3.【答案】D
【解析】 A、∵OC与OD不平行,∴∠1=∠3不成立,故本选项不符合题意;
B、∵OC与OD不平行,∴∠2+∠3=180°不成立,故本选项不符合题意;
C、∵AB∥CD,∴∠2+∠4=180°,故本选项不符合题意;
D、∵AB∥CD,∴∠3+∠5=180°,故本选项符合题意.
故答案为:D.
【分析】根据二直线平行,内错角相等,同位角相等,同旁内角互补,由于OC与OD不平行,故∠1=∠3不成立;由于OC与OD不平行,故∠2+∠3=180°不成立;根据AB∥CD,从而∠2+∠4=180°,根据AB∥CD,故∠3+∠5=180°,从而可得答案。
4.【答案】C
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【解析】 如图所示,
∵l1∥l2 ,
∴∠4=∠1=65°,
∵∠A=45°,
∴∠3=180°-∠4-∠A=180°-65°-45°=70°,
∴∠2=∠3=70°.
故答案为:C.
【分析】根据二直线平行同位角相等得出∠4=∠1=65°,根据三角形的内角和得出∠3的度数,再根据对顶角相等得出∠2=∠3=70°.
5.【答案】D
【解析】 点 有4种可能位置.
( 1 )如图,
由 ∥ 可得
( 2 )如图,过 作 平行线,
则由 ∥ 可得
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( 3 )如图,
由 ∥ 可得
( 4 )如图,
由 ∥ 可得
的度数可能为
故答案为:D.
【分析】根据点E有4种可能的位置,因此分4种情况进行讨论。分别画出图形根据平行线的性质及三角形的外角性质,分别计算求解即可。
6.【答案】B
【解析】 ∵AB∥CD,
∴∠3=∠1=60°,
∵EF⊥AB,
∴∠2+∠3=90°,
∴∠2=90°﹣60°=30°.
故答案为:B.
【分析】根据两直线平行,同位角相等求解即可。
7.【答案】B
【解析】 反证法:假设AC⊥BD,由AB=AE得: ∠AEB=∠ABE=90° 显然三角形ABE中∠EAB=0°是不成立的 所以假设不成立,所以①错误;
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因为AC平分∠DAB,那么∠DAE=∠CAB 而DA=CA,AE=AB 所以△DAE≌△CAB(SAS) 所以DE=CB,∠ADE=∠ACB 所以②正确;
∠ADE=∠ACB 而∠DEA=∠CEB(对顶角相等) 所以∠DAE=∠EBC(根据三角形内角和180°知) 又∠DAE=∠DAB, 故 ∠DBC= ∠DAB 所以③正确;
由AE=AB ,但题中再也找不出三角形是等边三角形了的条件了, 所以④错误。
故答案为:B。【分析】利用反证法,及三角形的内角和可以判定①错误;利用角平分线的定义及三角形全等的判定方法由SAS判定出△DAE≌△CAB,根据全等三角形的对应边相等得出DE=CB, 所以②正确;根据全等三角形对应角相等得出∠ADE=∠ACB,根据等顶角相等及三角形的内角和得出∠DAE=∠EBC,再根据角平分线的定义及等量代换得出)∠DBC= ∠DAB 所以③正确;由AE=AB ,但题中再也找不出三角形是等边三角形了的条件了, 所以④错误;从而得出但。
8.【答案】B
【解析】 ∵AB∥CD,∠A=45°,
∴∠ADC=180°-∠A=135°,
故答案为:B.
【分析】根据梯形的定义及平行线的性质:同旁内角互补,即可求出 ∠ D的度数。
9.【答案】A
【解析】 因为∠B=∠C,所以AB∥CD,∠A=∠AEC,因为∠A=∠D,所以∠AEC=∠D,所以AE∥DF,∠AMC=∠FNC,因为∠BND=∠FNC,所以∠AMC=∠BND,无法得到AE⊥BC,所以正确的结论有①②④,故答案为:A.【分析】根据平行线的判定方法,由∠B=∠C,根据内错角相等,二直线平行得出AB∥CD;再根据二直线平行内错角相等得出∠A=∠AEC,又∠A=∠D,故∠AEC=∠D,再根据同位角相等,二直线平行得出AE∥DF;根据二直线平行,内错角相等,再根据相等角的邻补角相等得出AMC=∠BND;题中没有任何地方给出或找出角的度数,故不能判定垂直。
10.【答案】D
【解析】 ∵∠1=60°,
∴∠2=180°﹣60°=120°.
∵CD∥BE,
∴∠2=∠B=120°.
【分析】先根据补角的定义求出∠1的邻补角的度数,再由平行线的性质即可得出结论.
11.【答案】B
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【解析】 ∵AB⊥BC,CD⊥BC,
∴△BAE∽△CDE,
∴ ,
∵BE=20m,CE=10m,CD=20m,
∴ ,
解得:AB=40,
故答案为:B.
【分析】根据垂直于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥CD,根据平行于三角形一边的直线,截其它两边,所截得的三角形与原三角形相似得出△BAE∽△CDE,根据相似三角形对应边成比例,即可得出答案。
二、填空题
12.【答案】140°
【解析】 :如图,
∵a∥b,∠1=40°,
∴∠3=∠1=40°,
∴∠2=180°-∠3=180°-40°=140°.
故答案为:140°.
【分析】根据二直线平行,同位角相等得出∠3=∠1=40°,根据邻补角的定义得出答案。
13.【答案】50°
【解析】 :∵AD∥BC
∴∠EAD=∠B,∠DAC=∠C=38°
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=88°-38°=50°
∴∠B=50°
故答案为:50°
【分析】根据平行线的性质可得出∠EAD=∠B,∠DAC=∠C,再根据已知求出∠EAD的度数,就可求出∠B的度数。
14.【答案】62°
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【解析】 :如图
AB∥CD
∴∠2+∠ABC=180°
∴∠2=180°-124°=76°
∵2∠1=180°-76°
∴∠1=62°
故答案为:62°
【分析】根据平行线的性质,可证得∠2+∠ABC=180°,求出∠2的度数,再根据折叠的性质,可得出2∠1=180°-76°,即可得出结果。
15.【答案】在连接直线外一点与直线上各点的线段中,垂线段最短
【解析】 :如图
∵AD⊥BD于点D
∴AD最短(在连接直线外一点与直线上各点的线段中,垂线段最短)
故答案为:在连接直线外一点与直线上各点的线段中,垂线段最短【分析】根据垂线段最短,解答此题。
16.【答案】124°
【解析】 根据平行线的性质得到∠ABC=∠BCD=28°,根据角平分线的定义得到∠ACB=∠BCD=28°,根据三角形的内角和即可得到∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=124°,
故答案为:124°.
【分析】由平行线的性质得到∠ABC=∠BCD=28°,再根据角平分线的定义得到∠ACB=∠BCD=28°,所以根据三角形的内角和即可得到∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=124°。
17.【答案】113°
17
【解析】 :∵∠BAC=80°,∠C=33°,
∴△ABC中,∠B=67°.
∵DE∥BC,
∴∠BDE=180°﹣∠B=180°﹣67°=113°.
故答案为:113°.【分析】先利用三角形的内角和定理求出∠B的度数,再根据两直线平行,同旁内角互补,就可求出∠BDE的度数。
18.【答案】110
【解析】 :延长直线,如图:
∵直线a平移后得到直线b,
∴a∥b,
∴∠5=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°,
∵∠2=∠4+∠5,
∵∠3=∠4,
∴∠2﹣∠3=∠5=110°,
故答案为:110.
【分析】延长直线后根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可.
19.【答案】75
【解析】 :过P作PM∥直线a,
∵直线a∥b,
∴直线a∥b∥PM,
∵∠1=45°,∠2=30°,
∴∠EPM=∠2=30°,∠FPM=∠1=45°,
∴∠EPF=∠EPM+∠FPM=30°+45°=75°,
17
故答案为:75
【分析】过点P做PM∥a,所以PM∥b,再利用两直线平行,内错角相等,即可知∠P=∠1+∠2=
三、解答题
20.【答案】证明:过点A作EF∥BC,
∵EF∥BC,
∴∠1=∠B,∠2=∠C,
∵∠1+∠2+∠BAC=180°,
∴∠BAC+∠B+∠C=180°,
即∠A+∠B+∠C=180°
【解析】【分析】过点A作EF∥BC,根据二直线平行,内错角相等得出∠1=∠B,∠2=∠C,根据平角的定义得出∠1+∠2+∠BAC=180°,根据等量代换即可得出答案。
21.【答案】CD∥AB,CD=AB,
证明如下:
∵CE=BF,
∴CE-EF=BF-EF,
∴CF=BE.
在△DFC和△AEB中,
∵CF=BE,
∴△DFC≌△AEB(SAS),
∴CD=AB,∠C=∠B,
∴CD∥AB.
【解析】【分析】CD∥AB,CD=AB,理由如下 :根据等式的性质由CE=BF,得出CF=BE.然后由SAS判断出△DFC≌△AEB,根据全等三角形对应角相等,对应边相等得出CD=AB,∠C=∠B,再根据内错角相等,两直线平行得出CD∥AB.
22.【答案】解:∵ AB∥CD,∴ ∠B+∠BCE=180°(两直线平行,同旁内角互补).
∵ ∠B=65°,∴ ∠BCE=115°.
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∵ CM平分∠BCE,∴ ∠ECM= ∠BCE =57.5°.
∵ ∠ECM +∠MCN +∠NCD =180°,∠MCN=90°,
∴ ∠NCD=180°-∠ECM-∠MCN=180°-57.5°-90°=32.5°
【解析】【分析】因为两直线平行,内错角相等,同旁内角互补,可知∠BCE、∠BCD的度数,又因为MC为∠BCE的角平分线,且MC⊥NC,即可知∠NCD的度数.
23.【答案】解:过点C作CE∥DA交AB于点E.
∵DC∥AE,∴四边形AECD是平行四边形,∴AE=DC=200m,EB=AB﹣AE=300m.∵∠CEB=∠DAB=30°,∠CBF=60°,∴∠ECB=30°,∴CB=EB=300m.在Rt△CBF中,CF=CB•sin∠CBF=300×sin60°= m.
答:世博园段黄浦江的宽度为 m .
【解析】【分析】过点C作CE∥DA交AB于点E.根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AECD是平行四边形,根据平行四边形的对边平行且相等得出AE=DC=200m,∠CEB=∠DAB=30°,根据线段的和差得出EB的长度,根据三角形的外角定理得出∠ECB=30°,在Rt△CBF中,由正弦函数的定义得出CF=CB•sin∠CBF,从而得出世博园段黄浦江的宽度。
24.【答案】解:如图,过点A向左作AC∥l1.过点B向左作BD∥l2,
则∠1=∠3,∠2=∠4.
∵l1∥l2,
∴AC∥BD,
∴∠CAB+∠DBA=180°,
∵∠3+∠4+∠CAB+∠DBA=125°+85°=210°,
∴∠3+∠4=30°,
∴∠1+∠2=30°.
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【解析】【分析】添加辅助线,过点A向左作AC∥l1.过点B向左作BD∥l2 , 可得出∠1=∠3,∠2=∠4,再根据平行线的性质证明∠CAB+∠DBA=180°,再求出∠3+∠4的值,即可求解。
25.【答案】(1)解:CD平行于EF,
理由是:∵CD⊥AB,EF⊥AB,
∴∠CDF=∠EFB=90°,
∴CD∥EF;
(2)解:∵CD∥EF,∴∠2=∠DCB,∵∠1=∠2,∴∠1=∠DCB,∴BC∥DG,
∴∠3=∠ACB,∵∠3=115°,∴∠ACB=115°.
【解析】【分析】(1)在同一平面内,如果两条直线同时垂直于第三条支线,则这两条直线平行;所以CD//EF;
(2)由(1)的结论可知∠2=∠DCB,所以∠1=∠DCB,BC//DG,所以∠ACB=∠3=.
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