中考数学圆的切线证明综合试题 9页

专题-------圆的切线证明 我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：‎ 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.‎ 例1 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.‎ 求证：EF与⊙O相切.‎ 证明：连结OE，AD.‎ ‎ ∵AB是⊙O的直径，‎ ‎ ∴AD⊥BC.‎ ‎ 又∵AB=BC，‎ ‎⌒‎ ‎⌒‎ ‎ ∴∠3=∠4.‎ ‎ ∴BD=DE，∠1=∠2.‎ ‎ 又∵OB=OE，OF=OF，‎ ‎ ∴△BOF≌△EOF（SAS）.‎ ‎ ∴∠OBF=∠OEF.‎ ‎ ∵BF与⊙O相切，‎ ‎ ∴OB⊥BF.‎ ‎ ∴∠OEF=900.‎ ‎ ∴EF与⊙O相切.‎ 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 ‎ ‎ 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.‎ 求证：PA与⊙O相切.‎ 证明一：作直径AE，连结EC.‎ ‎ ∵AD是∠BAC的平分线，‎ ‎ ∴∠DAB=∠DAC.‎ ‎ ∵PA=PD，‎ ‎ ∴∠2=∠1+∠DAC.‎ ‎ ∵∠2=∠B+∠DAB，‎ ‎ ∴∠1=∠B.‎ ‎ 又∵∠B=∠E，‎ ‎ ∴∠1=∠E ‎ ∵AE是⊙O的直径，‎ ‎ ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.‎ ‎ ∴∠1+∠EAC=900.‎ ‎ 即OA⊥PA.‎ ‎ ∴PA与⊙O相切.‎ 证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.‎ ‎⌒‎ ‎⌒‎ ‎ ∵AD是∠BAC的平分线，‎ ‎ ∴BE=CE，‎ ‎ ∴OE⊥BC.‎ ‎ ∴∠E+∠BDE=900.‎ ‎ ∵OA=OE，‎ ‎ ∴∠E=∠1.‎ ‎ ∵PA=PD，‎ ‎ ∴∠PAD=∠PDA.‎ ‎ 又∵∠PDA=∠BDE,‎ ‎ ∴∠1+∠PAD=900‎ ‎ 即OA⊥PA.‎ ‎ ∴PA与⊙O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.‎ 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.‎ 证明一：连结OD.‎ ‎ ∵AB=AC，‎ ‎ ∴∠B=∠C.‎ ‎ ∵OB=OD，‎ ‎ ∴∠1=∠B.‎ ‎ ∴∠1=∠C.‎ ‎ ∴OD∥AC.‎ D ‎ ∵DM⊥AC，‎ ‎ ∴DM⊥OD.‎ ‎ ∴DM与⊙O相切 证明二：连结OD，AD.‎ ‎ ∵AB是⊙O的直径，‎ ‎ ∴AD⊥BC.‎ ‎ 又∵AB=AC,‎ ‎ ∴∠1=∠2.‎ ‎ ∵DM⊥AC，‎ ‎ ∴∠2+∠4=900‎ C ‎ ∵OA=OD，‎ ‎ ∴∠1=∠3.‎ ‎ ∴∠3+∠4=900.‎ ‎ 即OD⊥DM.‎ ‎ ∴DM是⊙O的切线 说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.‎ 例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.‎ 求证：DC是⊙O的切线 证明：连结OC、BC.‎ ‎ ∵OA=OC，‎ ‎ ∴∠A=∠1=∠300.‎ ‎ ∴∠BOC=∠A+∠1=600.‎ ‎ 又∵OC=OB，‎ ‎ ∴△OBC是等边三角形.‎ D ‎ ∴OB=BC.‎ ‎ ∵OB=BD，‎ ‎ ∴OB=BC=BD.‎ ‎ ∴OC⊥CD.‎ ‎ ∴DC是⊙O的切线.‎ 说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.‎ 例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.‎ 求证：PC是⊙O的切线.‎ 证明：连结OC ‎ ∵OA2=OD·OP，OA=OC，‎ ‎ ∴OC2=OD·OP，‎ ‎ .‎ ‎ 又∵∠1=∠1，‎ ‎ ∴△OCP∽△ODC.‎ ‎ ∴∠OCP=∠ODC.‎ ‎ ∵CD⊥AB，‎ ‎ ∴∠OCP=900.‎ ‎ ∴PC是⊙O的切线.‎ 说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的 例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.‎ 求证：CE与△CFG的外接圆相切.‎ 分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.‎ 证明：取FG中点O，连结OC.‎ ‎ ∵ABCD是正方形，‎ ‎ ∴BC⊥CD，△CFG是Rt△‎ ‎ ∵O是FG的中点，‎ ‎ ∴O是Rt△CFG的外心.‎ ‎ ∵OC=OG，‎ ‎ ∴∠3=∠G，‎ ‎ ∵AD∥BC，‎ ‎ ∴∠G=∠4.‎ ‎ ∵AD=CD，DE=DE，‎ ‎ ∠ADE=∠CDE=450，‎ ‎ ∴△ADE≌△CDE（SAS）‎ ‎ ∴∠4=∠1，∠1=∠3.‎ ‎ ∵∠2+∠3=900,‎ ‎ ∴∠1+∠2=900.‎ ‎ 即CE⊥OC.‎ ‎ ∴CE与△CFG的外接圆相切 二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”‎ 例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.‎ 求证：AC与⊙D相切.‎ 证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.‎ ‎ ∵AB是⊙D的切线，‎ ‎ ∴DE⊥AB.‎ ‎ ∵DF⊥AC，‎ ‎ ∴∠DEB=∠DFC=900.‎ ‎ ∵AB=AC，‎ ‎ ∴∠B=∠C.‎ ‎ 又∵BD=CD，‎ ‎ ∴△BDE≌△CDF（AAS）‎ ‎ ∴DF=DE.‎ ‎ ∴F在⊙D上.‎ ‎ ∴AC是⊙D的切线 证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.‎ ‎ ∵AB与⊙D相切，‎ ‎ ∴DE⊥AB.‎ ‎ ∵AB=AC，BD=CD，‎ ‎ ∴∠1=∠2.‎ ‎ ∵DE⊥AB，DF⊥AC，‎ ‎ ∴DE=DF.‎ ‎ ∴F在⊙D上.‎ ‎ ∴AC与⊙D相切.‎ 说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.‎ 例8 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.‎ 求证：CD是⊙O的切线.‎ 证明一：连结OA，OB，作OE⊥CD，E为垂足.‎ ‎ ∵AC，BD与⊙O相切，‎ ‎ ∴AC⊥OA，BD⊥OB.‎ ‎ ∵AC∥BD，‎ ‎ ∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.‎ O ‎ ∵∠COD=900，‎ ‎ ∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900.‎ ‎ ∵∠4+∠5=900.‎ ‎ ∴∠1=∠5.‎ ‎ ∴Rt△AOC∽Rt△BDO.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵OA=OB，‎ ‎ ∴.‎ ‎ 又∵∠CAO=∠COD=900，‎ ‎ ∴△AOC∽△ODC，‎ ‎ ∴∠1=∠2.‎ ‎ 又∵OA⊥AC，OE⊥CD,‎ ‎ ∴OE=OA.‎ ‎ ∴E点在⊙O上.‎ ‎ ∴CD是⊙O的切线.‎ 证明二：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.‎ ‎ ∵AC，BD与⊙O相切，‎ ‎ ∴AC⊥OA，BD⊥OB.‎ ‎ ∵AC∥BD，‎ ‎ ∴∠F=∠BDO.‎ ‎ 又∵OA=OB，‎ ‎ ∴△AOF≌△BOD（AAS）‎ ‎ ∴OF=OD.‎ ‎ ∵∠COD=900，‎ ‎ ∴CF=CD，∠1=∠2.‎ ‎ 又∵OA⊥AC，OE⊥CD，‎ ‎ ∴OE=OA.‎ ‎ ∴E点在⊙O上.‎ ‎ ∴CD是⊙O的切线.‎ 证明三：连结AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连结OF.‎ ‎ ∵AC与⊙O相切，‎ ‎ ∴AC⊥AO.‎ ‎ ∵AC∥BD，‎ ‎ ∴AO⊥BD.‎ ‎ ∵BD与⊙O相切于B，‎ ‎ ∴AO的延长线必经过点B.‎ ‎ ∴AB是⊙O的直径.‎ ‎ ∵AC∥BD，OA=OB，CF=DF，‎ ‎ ∴OF∥AC，‎ ‎ ∴∠1=∠COF.‎ ‎ ∵∠COD=900，CF=DF，‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴∠2=∠COF.‎ ‎ ∴∠1=∠2.‎ ‎ ∵OA⊥AC，OE⊥CD，‎ ‎ ∴OE=OA.‎ ‎ ∴E点在⊙O上.‎ ‎ ∴CD是⊙O的切线 说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A、O、B三点共线.‎ 此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.‎ 以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.‎ 以下是武汉市2007----2010中考题汇编：‎ A B D C E F G O ‎(第22题图)‎ ‎（2007中考）22．(本题8分)如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12。以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E。‎ ‎(1)求证：直线EF是⊙O的切线；‎ ‎(2)求CF:CE的值。‎ ‎（2008中考）22．（本题8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．⑴求证：DE是⊙O的切线；⑵若，求的值。‎ F E D C B A O ‎（2009中考）22．（本题满分8分）‎ C E B A O F D 如图，中，，以为直径作交边于点，是边的中点，连接．‎ ‎（1）求证：直线是的切线；‎ ‎（2）连接交于点，若，求的值．‎ ‎（2010中考）22．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．‎ ‎ (1) 求证：直线PB与⊙O相切；‎ ‎ (2) PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．‎