上海市静安区中考数学一模试卷含答案解析 26页

‎2016年上海市静安区中考数学一模试卷 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）‎ ‎1．的相反数是（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎　‎ ‎2．下列方程中，有实数解的是（　　）‎ A．x2﹣x+1=0 B． =1﹣x C． =0 D． =1‎ ‎　‎ ‎3．化简（x﹣1﹣1）﹣1的结果是（　　）‎ A． B． C．x﹣1 D．1﹣x ‎　‎ ‎4．如果点A（2，m）在抛物线y=x2上，将抛物线向右平移3个单位后，点A同时平移到点A′，那么A′坐标为（　　）‎ A．（2，1） B．（2，7） C．（5，4） D．（﹣1，4）‎ ‎　‎ ‎5．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AD=m，∠A=α，那么BC的长为（　　）‎ A．m•tanα•cosα B．m•cotα•cosα C． D．‎ ‎　‎ ‎6．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（　　）‎ A． = B． = C． = D． =‎ ‎　‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）‎ ‎7．化简：（﹣2a2）3=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎8．函数的定义域是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎9．方程=x﹣1的根为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎10．如果函数y=（m﹣3）x+1﹣m的图象经过第二、三、四象限，那么常数m的取值范围为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎11．二次函数y=x2﹣6x+1的图象的顶点坐标是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎12．如果抛物线y=ax2﹣2ax+5与y轴交于点A，那么点A关于此抛物线对称轴的对称点坐标是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎13．如图，已知D、E分别是△ABC的边AB和AC上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，如果AE=1，CE=2，那么EF：BF等于　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎14．在Rt△ABC中，∠C=90°，点G是重心，如果sinA=，BC=2，那么GC的长等于　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎15．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，设=， =，那么=　　　　　　．（用向量，的式子表示）‎ ‎　‎ ‎16．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED=∠B，AB=6，BC=5，AC=4，如果四边形DBCE的周长为10，那么AD的长等于　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎17．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，如果AB=5，BC=8，sinB=，那么tan∠CDE=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎18．将▱ABCD（如图）绕点A旋转后，点D落在边AB上的点D′，点C落到C′，且点C′、B、C在一直线上．如果AB=13，AD=3，那么∠A的余弦值为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题7题，满分78分）‎ ‎19．化简：÷，并求当x=时的值．‎ ‎　‎ ‎20．用配方法解方程：2x2﹣3x﹣3=0．‎ ‎　‎ ‎21．如图，直线y=x与反比例函数的图象交于点A（3，a），第一象限内的点B在这个反比例函数图象上，OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα=．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）求△OAB的面积．‎ ‎　‎ ‎22．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是26.6°，向前走30米到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是45°和33.7°，求该电线杆PQ的高度（结果精确到1米）‎ ‎（备用数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50，cot26.6°=2.00；sin33.7°=0.55，cos33.7°=0.83，tan33.7°=0.67，cot33.7°=1.50）‎ ‎　‎ ‎23．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，BD=AD=AC，AD与CE相交于点F，AE2=EF•EC．‎ ‎（1）求证：∠ADC=∠DCE+∠EAF；‎ ‎（2）求证：AF•AD=AB•EF．‎ ‎　‎ ‎24．如图，直线y=x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，二次函数的图象与y轴相交于点C，与直线y=x+1相交于点A、D，CD∥x轴，∠CDA=∠OCA．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）求这个二次函数的解析式．‎ ‎　‎ ‎25．已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BC=10，cos∠ACB=，点E在对角线AC上，且CE=AD，BE的延长线与射线AD、射线CD分别相交于点F、G，设AD=x，△AEF的面积为y．‎ ‎（1）求证：∠DCA=∠EBC；‎ ‎（2）如图，当点G在线段CD上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；‎ ‎（3）如果△DFG是直角三角形，求△AEF的面积．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2016年上海市静安区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）‎ ‎1．的相反数是（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎【考点】实数的性质．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】符号不同的两个数互为相反数，因此的相反数为﹣，分母有理化得﹣．‎ ‎【解答】解：根据相反数定义得：‎ 的相反数为：﹣，‎ 分子分母同乘得：﹣．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】题目考查了相反数和最简二次根式的定义，学生在进行相反数转换后，不要忘记对二次根式进行化简．‎ ‎　‎ ‎2．下列方程中，有实数解的是（　　）‎ A．x2﹣x+1=0 B． =1﹣x C． =0 D． =1‎ ‎【考点】根的判别式；无理方程；分式方程的解．‎ ‎【分析】A、根据△的值判断即可，‎ B、根据二次根式的意义判断即可；‎ C、根据分式方程的解的定义判断即可；‎ D、根据分式方程的解的定义判断即可．‎ ‎【解答】解：A、∵△=1﹣4=﹣3＜0，‎ ‎∴原方程无实数根，‎ B、当1﹣x＜0，即x＞1时，原方程无实数根，‎ C、当x2﹣x=0，即x=1，或x=0时，原方程无实数根，‎ D、∵=1，‎ ‎∴x=﹣1．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的根得判别式，无理方程的解，分式方程的解，正确的解方程是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．化简（x﹣1﹣1）﹣1的结果是（　　）‎ A． B． C．x﹣1 D．1﹣x ‎【考点】负整数指数幂．‎ ‎【分析】根据a﹣p=（a≠0，p为正整数）先计算x﹣1，再计算括号里面的减法，然后再次计算（）﹣1即可．‎ ‎【解答】解：原式=（﹣1）﹣1‎ ‎=（）﹣1‎ ‎=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了负整数指数幂，关键是掌握负整数指数为正整数指数的倒数．‎ ‎　‎ ‎4．如果点A（2，m）在抛物线y=x2上，将抛物线向右平移3个单位后，点A同时平移到点A′，那么A′坐标为（　　）‎ A．（2，1） B．（2，7） C．（5，4） D．（﹣1，4）‎ ‎【考点】二次函数图象与几何变换．‎ ‎【专题】几何变换．‎ ‎【分析】先把A（2，m）代入y=x2得m=4，于是得到A点坐标为（2，4），由于抛物线向右平移3个单位，则抛物线上所有点都右平移3个单位，然后根据点平移的规律可确定点A′坐标．‎ ‎【解答】解：把A（2，m）代入y=x2得m=4，则A点坐标为（2，4），把点A（2，4）向右平移3个单位后所得对应点A′的坐标为（5，4）．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．‎ ‎　‎ ‎5．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AD=m，∠A=α，那么BC的长为（　　）‎ A．m•tanα•cosα B．m•cotα•cosα C． D．‎ ‎【考点】解直角三角形．‎ ‎【专题】探究型．‎ ‎【分析】根据在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AD=m，∠A=α，可以用含m和α的三角函数值表示出CD，通过角相等，它们的三角函数值也相等，可以解答本题．‎ ‎【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AD=m，∠A=α，‎ ‎∴tanα=，‎ ‎∴CD=m•tanα，‎ ‎∵∠ACB=∠A+∠B=90°，∠BDC=∠B+∠BCD=90°，∠A=α，‎ ‎∴∠BCD=α，‎ ‎∴cos∠BCD=，‎ 即cos，‎ CD=．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查解直角三角函数，解题的关键是明确各个三角函数值的意义，利用转化的思想找到所求问题需要的条件．‎ ‎　‎ ‎6．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（　　）‎ A． = B． = C． = D． =‎ ‎【考点】相似三角形的判定．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】本题中已知∠BAC=∠D，则对应的夹边比值相等即可使△ABC与△ADE相似，结合各选项即可得问题答案．‎ ‎【解答】解：∵∠BAC=∠D，，‎ ‎∴△ABC∽△ADE．‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）‎ ‎7．化简：（﹣2a2）3=　﹣8a6　．‎ ‎【考点】幂的乘方与积的乘方．‎ ‎【分析】根据积得乘方与幂的乘方的运算法则计算即可．‎ ‎【解答】解：（﹣2a2）3=（﹣2）3•（a2）3=﹣8a6．‎ 故答案为：﹣8a6．‎ ‎【点评】本题主要考查的是积得乘方与幂的乘方的运算，掌握积得乘方与幂的乘方的运算法则是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．函数的定义域是　x≠﹣2　．‎ ‎【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】分式有意义，分母不能为0，故分母x+2≠0，解得x的范围．‎ ‎【解答】解：根据题意得：x+2≠0‎ 解得x≠﹣2．‎ 故答案为x≠﹣2．‎ ‎【点评】本题考查了函数自变量取值范围的求法．分式有意义，分母不能为0．‎ ‎　‎ ‎9．方程=x﹣1的根为　4　．‎ ‎【考点】无理方程．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】首先根据二次根式的基本性质得出x的取值范围，将无理方程两边平方取消二次根号，整理得一元二次方程，解一元二次方程，将解代回x的取值范围验算即可得出答案．‎ ‎【解答】解：由二次根式性质得：‎ x+5≥0，‎ ‎∴x≥5．‎ 将=x﹣1两边平方得：‎ x+5=x2﹣2x+1，‎ 整理得：x2﹣3x﹣4=0，‎ 分解因式：（x﹣4）（x+1）=0，‎ 得：x1=4，x2=﹣1，‎ ‎∵x≥5，‎ ‎∴x=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】题目考查了无理方程的求解和二次根式的性质，求解无理方程常用的方法是平方法，不过求出的解一定要带回无理方程进行验算，看是否符合二次根式的性质．‎ ‎　‎ ‎10．如果函数y=（m﹣3）x+1﹣m的图象经过第二、三、四象限，那么常数m的取值范围为　1＜m＜3　．‎ ‎【考点】一次函数图象与系数的关系．‎ ‎【分析】根据一次函数的性质列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：∵函数y=（m﹣3）x+1﹣m的图象经过第二、三、四象限，‎ ‎∴，‎ 解得1＜m＜3．‎ 故答案为：1＜m＜3．‎ ‎【点评】本题考查的是一次函数的图象上与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＜0时，函数图象经过第二、三、四象限是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．二次函数y=x2﹣6x+1的图象的顶点坐标是　（3，﹣8）　．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】利用配方法将一般式转化为顶点式，即可得出顶点坐标．‎ ‎【解答】解：∵y=x2﹣6x+1=（x﹣3）2﹣8，‎ ‎∴抛物线顶点坐标为（3，﹣8）．‎ 故答案为：（3，﹣8）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标为（h，k）是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．如果抛物线y=ax2﹣2ax+5与y轴交于点A，那么点A关于此抛物线对称轴的对称点坐标是　（2，5）　．‎ ‎【考点】二次函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】首先求得点A的坐标为（0，5），抛物线y=ax2﹣2ax+5对称轴为x=﹣=1，进一步利用二次函数的对称性求得点A关于此抛物线对称轴的对称点坐标是即可．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y=ax2﹣2ax+5与y轴交于点A坐标为（0，5），对称轴为x=﹣=1，‎ ‎∴点A（0，5）关于此抛物线对称轴的对称点坐标是（2，5）．‎ 故答案为：（2，5）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，求得对称轴，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．如图，已知D、E分别是△ABC的边AB和AC上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，如果AE=1，CE=2，那么EF：BF等于　　．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】由DE∥BC，证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到=，由于△DEF∽△BCF，根据相似三角形的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵AE=1，CE=2，‎ ‎∴AC=3，‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴=，‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴△DEF∽△BCF，‎ ‎∴=，‎ 故答案为：1：3．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练正确相似三角形的判定和性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．在Rt△ABC中，∠C=90°，点G是重心，如果sinA=，BC=2，那么GC的长等于　2　．‎ ‎【考点】三角形的重心．‎ ‎【分析】根据题意画出图形，根据sinA=，BC=2可得出AB=3BC=6，利用直角三角形的性质求出CE的长，根据三角形重心的性质即可得出结论．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ ‎∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=2，‎ ‎∴AB=3BC=6．‎ ‎∵点G是重心，‎ ‎∴CD为△ABC的中线，‎ ‎∴CD=AB=3，‎ ‎∴CG=CD=×3=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查的是三角形的重心，根据题意画出图形，由锐角三角函数的定义求出AB的长是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，设=， =，那么=　﹣﹣　．（用向量，的式子表示）‎ ‎【考点】*平面向量．‎ ‎【分析】首先根据题意画出图形，然后过点D作DE∥AB，交BC于点E，易得四边形ABCD是平行四边形，则可求得与，再利用三角形法则求解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：如图，过点D作DE∥AB，交BC于点E，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴BE=AD，DE=AB，‎ ‎∵BC=2AD， =， =，‎ ‎∴==， ==，‎ ‎∴=﹣=﹣（+）=﹣（+）=﹣﹣．‎ 故答案为：﹣﹣．‎ ‎【点评】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的判定与性质．注意结合题意画出图形，利用图形求解是关键．‎ ‎　‎ ‎16．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED=∠B，AB=6，BC=5，AC=4，如果四边形DBCE的周长为10，那么AD的长等于　4　．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质．‎ ‎【专题】计算题；图形的相似．‎ ‎【分析】由两对角相等的三角形相似，得到三角形AED与三角形ABC相似，由相似得比例，表示出AD，AE，DE，根据四边形DBCE周长求出AD的长即可．‎ ‎【解答】解：∵∠A=∠A，∠AED=∠B，‎ ‎∴△AED∽△ABC，‎ ‎∴==，‎ ‎∵AB=6，BC=5，AC=4，‎ ‎∴==，‎ 设AD=4k，AE=6k，DE=5k，‎ ‎∵四边形DBCE周长DB+DE+EC+BC=10，‎ ‎∴6﹣4k+5k+4﹣6k+5=10，‎ 解得：k=1，‎ 则AD=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，如果AB=5，BC=8，sinB=，那么tan∠CDE=　　．‎ ‎【考点】平行四边形的性质；解直角三角形．‎ ‎【分析】首先由已知条件和勾股定理计算CE=5，所以CD=AB，进而得到∠CDE=∠CED=∠ADE，所以tan∠CDE=tan∠ADE，于是得到结论．‎ ‎【解答】解：在△ABE中，AE⊥BC，AB=5，sinB=，∴BE=3，AE=4．‎ ‎∴EC=BC﹣BE=8﹣3=5．‎ ‎∵平行四边形ABCD，‎ ‎∴CD=AB=5．‎ ‎∴△CED为等腰三角形．‎ ‎∴∠CDE=∠CED．‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ADE=∠CED．‎ ‎∴∠CDE=∠ADE．‎ 在Rt△ADE中，AE=4，AD=BC=8，‎ ‎∴tan∠CDE==，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的运用、勾股定理的运用、平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质，解题的关键是找到图形中相等的角．‎ ‎　‎ ‎18．将▱ABCD（如图）绕点A旋转后，点D落在边AB上的点D′，点C落到C′，且点C′、B、C在一直线上．如果AB=13，AD=3，那么∠A的余弦值为　　．‎ ‎【考点】旋转的性质；平行四边形的性质．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】‎ 根据平行四边形的性质得∠DAB=∠D′AB′，AB=AB′=C′D′=13，再由AB′∥C′D′得∠D′AB′=∠BD′C′，加上∠C=∠DAB，则∠C=∠BD′C′，接着由点C′、B、C在一直线上，AB∥CD得到∠C=∠C′BD′，所以∠C′BD′=∠BD′C′，可判断△C′BD′为等腰三角形，作C′H⊥D′B，根据等腰三角形的性质得BH=D′H，由于BD′=10得到D′H=5，然后根据余弦的定义得到cos∠HD′C′=，由此得到∠A的余弦值．‎ ‎【解答】解：∵▱ABCD绕点A旋转后得到▱AB′C′D′，‎ ‎∴∠DAB=∠D′AB′，AB=AB′=C′D′=13，‎ ‎∵AB′∥C′D′，‎ ‎∴∠D′AB′=∠BD′C′，‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴∠C=∠DAB，‎ ‎∴∠C=∠BD′C′，‎ ‎∵点C′、B、C在一直线上，‎ 而AB∥CD，‎ ‎∴∠C=∠C′BD′，‎ ‎∴∠C′BD′=∠BD′C′，‎ ‎∴△C′BD′为等腰三角形，‎ 作C′H⊥D′B，则BH=D′H，‎ ‎∵AB=13，AD=3，‎ ‎∴BD′=10，‎ ‎∴D′H=5，‎ ‎∴cos∠HD′C′==，‎ 即∠A的余弦值为．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的性质．解决本题的关键是证明△C′BD′为等腰三角形．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题7题，满分78分）‎ ‎19．化简：÷，并求当x=时的值．‎ ‎【考点】分式的化简求值．‎ ‎【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．‎ ‎【解答】解：原式=•‎ ‎=，‎ 当x=时，原式==﹣．‎ ‎【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．用配方法解方程：2x2﹣3x﹣3=0．‎ ‎【考点】解一元二次方程-配方法．‎ ‎【分析】首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．‎ ‎【解答】解：2x2﹣3x﹣3=0，‎ x2﹣x﹣=0，‎ x2﹣x+=+，‎ ‎（x﹣）2=，‎ x﹣=±，‎ 解得：x1=，x2=．‎ ‎【点评】此题考查利用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．‎ ‎　‎ ‎21．如图，直线y=x与反比例函数的图象交于点A（3，a），第一象限内的点B在这个反比例函数图象上，OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα=．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）求△OAB的面积．‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（1）用直线求出点A坐标为（3，4），反比例函数解析式y=，设点B坐标为（x，），tanα=，得出=，x=6，得出B点坐标（6，2）；‎ ‎（2）过A点做AC⊥x轴，交OB于点C，将三角形OAB分为两个三角形，分别求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵直线y=x与反比例函数的图象交于点A（3，a），‎ ‎∴A（3，4），‎ 反比例函数解析式y=，‎ ‎∵点B在这个反比例函数图象上，‎ 设B（x，），‎ ‎∵tanα=，‎ ‎∴=，‎ 解得：x=±6，‎ ‎∵点B在第一象限，‎ ‎∴x=6，‎ ‎∴B（6，2）．‎ 答：点B坐标为（6，2）．‎ ‎（2）设直线OB为y=kx，（k≠0），‎ 将点B（6，2）代入得：k=，‎ ‎∴OB直线解析式为：y=x，‎ 过A点做AC⊥x轴，交OB于点C，如下图：‎ 则点C坐标为：（3，1），‎ ‎∴AC=3‎ S△OAB的面积 ‎=S△OAC的面积+S△ACB的面积，‎ ‎=×|AC|×6‎ ‎=9．‎ ‎△OAB的面积为9．‎ ‎【点评】题目考查了一次函数与反比例函数的基本性质．求函数解析式及函数交点是函数常见问题．题目整体较为简单，学生在解决（2）中的面积问题可以利用多种方法求解．‎ ‎　‎ ‎22．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是26.6°，向前走30米到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是45°和33.7°，求该电线杆PQ的高度（结果精确到1米）‎ ‎（备用数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50，cot26.6°=2.00；sin33.7°=0.55，cos33.7°=0.83，tan33.7°=0.67，cot33.7°=1.50）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ ‎【分析】延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE﹣BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．‎ ‎【解答】解：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米．‎ 在直角△ABE中，∠PBE=45°，‎ 则BE=PE=x米；‎ ‎∵∠PAE=26.6°‎ 在直角△APE中，AE=PE•cot∠PAE≈2x，‎ ‎∵AB=AE﹣BE=30米，‎ 则2x﹣x=30，‎ 解得：x=30．‎ 则BE=PE=30米．‎ 在直角△BEQ中，QE=BE•tan∠QBE=30×tan33.7°=30×0.67≈20.1米．‎ ‎∴PQ=PE﹣QE=30﹣20=10（米）．‎ 答：电线杆PQ的高度是10米．‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形的应用，注意掌握当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边的长是解答此类题的一般思路．‎ ‎　‎ ‎23．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，BD=AD=AC，AD与CE相交于点F，AE2=EF•EC．‎ ‎（1）求证：∠ADC=∠DCE+∠EAF；‎ ‎（2）求证：AF•AD=AB•EF．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BAD，∠ADC=∠ACD，推出△EAF∽△ECA，根据相似三角形的性质得到∠EAF=∠ECA，于是得到∠ADC=∠ACD=∠ACE+∠ECB=∠DCE+∠EAF；‎ ‎（2）根据相似三角形的性质得到，即，推出△FAE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到，于是得到FA•AC=EF•AB，等量代换即可得到结论．‎ ‎【解答】证明：（1）∵BD=AD=AC，‎ ‎∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠ACD，‎ ‎∵AE2=EF•EC，‎ ‎∴，‎ ‎∵∠E=∠E，‎ ‎∴△EAF∽△ECA，‎ ‎∴∠EAF=∠ECA，‎ ‎∴∠ADC=∠ACD=∠ACE+∠ECB=∠DCE+∠EAF；‎ ‎（2）∵△EAF∽△ECA，‎ ‎∴，即，‎ ‎∵∠EFA=∠BAC，∠EAF=∠B，‎ ‎∴△FAE∽△ABC，‎ ‎∴，‎ ‎∴FA•AC=EF•AB，‎ ‎∵AC=AD，‎ ‎∴AF•AD=AB•EF．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，证得△EAF∽△ECA是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．如图，直线y=x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，二次函数的图象与y轴相交于点C，与直线y=x+1相交于点A、D，CD∥x轴，∠CDA=∠OCA．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）求这个二次函数的解析式．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）首先利用一次函数解析式计算出A、B两点坐标，然后再根据平行线的性质可得∠ACO=∠BAO，再利用三角函数可得CO长，进而可得C点坐标；‎ ‎（2）首先证明△CBD∽△OBA，根据相似三角形的性质可得=，然后可得D点坐标，再设出二次函数解析式，利用待定系数法求出解析式即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数y=x+1中，当y=0时，x=﹣2，‎ ‎∴A（﹣2，0），‎ ‎∵函数y=x+1中，当x=0时，y=1，‎ ‎∴B（0，1），‎ ‎∵CD∥x轴，‎ ‎∴∠BAO=∠ADC，‎ ‎∵∠CDA=∠OCA，‎ ‎∴∠ACO=∠BAO，‎ ‎∴tan∠ACO=tan∠BAO=，‎ ‎∴CO=4，‎ ‎∴C（0，4）；‎ ‎（2）∵∠AOB=∠OCD=90°，∠BAO=∠BDC=90°，‎ ‎∴△CBD∽△OBA，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴CD=6，‎ ‎∴D（6，4），‎ 设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，‎ ‎∵图象经过A（﹣2，0），D（6，4），C（0，4），‎ ‎∴，‎ 解得：．‎ ‎∴二次函数的解析式为y=﹣x2+x+4．‎ ‎【点评】此题主要考查了一次函数、二次函数以及相似三角形和三角函数的综合应用，关键是掌握一次函数与坐标轴交点的求法，以及待定系数法求二次函数解析式的方法．‎ ‎　‎ ‎25．已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BC=10，cos∠ACB=，点E在对角线AC上，且CE=AD，BE的延长线与射线AD、射线CD分别相交于点F、G，设AD=x，△AEF的面积为y．‎ ‎（1）求证：∠DCA=∠EBC；‎ ‎（2）如图，当点G在线段CD上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；‎ ‎（3）如果△DFG是直角三角形，求△AEF的面积．‎ ‎【考点】相似形综合题．‎ ‎【专题】压轴题；数形结合．‎ ‎【分析】（1）由AD与BC平行，得到一对内错角相等，再由AD=CE，AC=BC，利用SAS可得△DCA≌△ECB，由全等三角形的性质可得结论；‎ ‎（2）由AD与BC平行，得到三角形AEF与三角形CEB相似，由相似得比例表示出AF，过E作EH垂直于AF，根据锐角三角函数定义表示出EH，进而表示出y与x的函数解析式，并求出x的范围即可；‎ ‎（3）分两种情况考虑：①当∠FDG=90°时，如图2所示，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，即为x的值，代入求出y的值，即为三角形AEF面积；②当∠DGF=90°时，过E作EM⊥BC于点M，如图3所示，由相似列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而求出y的值，即为三角形AEF面积．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DAC=∠ECB，‎ 在△DCA和△ECB中，‎ ‎，‎ ‎∴△DCA≌△ECB（SAS），‎ ‎∴∠DCA=∠EBC；‎ ‎（2）∵AD∥BC，‎ ‎∴△AEF∽△CEB，‎ ‎∴，即，‎ 解得：AF=，‎ 作EH⊥AF于H，如图1所示，‎ ‎∵cos∠ACB=，‎ ‎∴EH=AE=（10﹣x），‎ ‎∴y=S△AEF=×（10﹣x）×=，‎ ‎∴y=，‎ ‎∵点G在线段CD上，‎ ‎∴AF≥AD，即≥x，‎ ‎∴x≤5﹣5，‎ ‎∴0＜x≤5﹣5，‎ ‎∴y关于x的函数解析式为：y=，（0＜x≤5﹣5）；‎ ‎（3）分两种情况考虑：‎ ‎①当∠FDG=90°时，如图2所示：‎ 在Rt△ADC中，AD=AC×=8，即x=8，‎ ‎∴S△AEF=y==；‎ ‎②当∠DGF=90°时，过E作EM⊥BC于点M，如图3所示，‎ 由（1）得：CE=AF=x，‎ 在Rt△EMC中，EM=x，MC=x，‎ ‎∴BM=BC﹣MC=10﹣x，‎ ‎∵∠GCE=∠GBC，∠EGC=∠CGB，‎ ‎∴△CGE∽△BGC，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∵∠EBM=∠CBG，∠BME=∠BGC=90°，‎ ‎∴△BME∽△BGC，‎ ‎∴==，‎ ‎∴=，即x=5，‎ 此时y==15，‎ 综上，此时△AEF的面积为或15．‎ ‎【点评】此题属于相似型综合题，涉及的知识有：平行线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，利用了分类讨论的思想，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．‎