- 2.12 MB
- 2021-05-13 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
1.掌握正方形的定义,弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。
2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。
3.正确运用正方形的性质解题。
4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。
5.通过理解四种四边形内在联系,培养学生辩证观点。
正方形的性质
因为正方形是特殊的平行四边形,还是特殊的矩形,特殊的菱形,
所以它具有这些图形性质的综合,因此正方形有以下性质(由学生 和老师一起总结)。
正方形性质定理1:正方形的四个角都是直角,四条边相等。
正方形性质定理2:正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
说明:定理2包括了平行四边形,矩形,菱形对角线的性质,一个题设同时有四个结论,这是该定理的特点,在应用时需要哪个结论就用哪个结论,并非把结论写全。
小结:
(1)正方形与矩形,菱形,平行四边形的关系如上图
(2)正方形的性质:
①正方形对边平行。
②正方形四边相等。
③正方形四个角都是直角。
④正方形对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。
例1.如图,折叠正方形纸片,先折出折痕,再折叠使边与对角线重合,得折痕,使,求.
【解析】:作GM⊥BD,垂足为M.
由题意可知∠ADG=GDM,
则△ADG≌△MDG.
∴DM=DA=2. AC=GM
又易知:GM=BM.
而BM=BD-DM=2-2=2(-1),
∴AG=BM=2(-1).
例2 .如图,为正方形内一点,,并且点到边的距离也等于,求正方形的面积?
【解析】:过作于交于.
设,则,.
由.
可得:.
故.
.
例3. 如图,、分别为正方形的边、上的一点,,垂足为,,则有,为什么?
【解析】:要说明EF=BE+DF,只需说明BE=EM,DF=FM即可,而连结AE、AF.只要能说明△ABE≌△AME,△ADF≌△AMF即可.
理由:连结AE、AF.
由AB=AM,AB⊥BC,AM⊥EF,AE公用,
∴△ABE≌△AME.
∴BE=ME.
同理可得,△ADF≌△AMF.
∴DF=MF.
∴EF=ME+MF=BE+DF.
例4.如下图、分别在正方形的边、上,且,试说明。
【解析】:将△ADF旋转到△ABC,则△ADF≌△ABG
∴AF=AG,∠ADF=∠BAG,DF=BG
∵∠EAF=45°且四边形是正方形,
∴∠ADF﹢∠BAE=45°
∴∠GAB﹢∠BAE=45°
即∠GAE=45°
∴△AEF≌△AEG(SAS)
∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF
例5. 如图,在正方形的、边上取、两点,使,于. 求证:
【解析】:欲证 AG=AB,就图形直观来看,
应证Rt△ABE与Rt△AGE全等,但条件不够.
∠EAF=45°怎么用呢?
显然∠1+∠2=45°,若把它们拼在一起,问题就解决了.
【证明】:把 △AFD绕A点旋转90°至△AHB.
∵∠EAF=45°,∴∠1+∠2=45°.
∵∠2=∠3,∴∠1+∠3=45°.
又由旋转所得 AH=AF,AE=AE.
∴ △AEF≌△AEH.
例6.(1) 如图1,在正方形中,点,分别在边,
上,,交于点,.
求证:.
图2
(2) 如图2,在正方形中,点,,,分别在边,
,,上,,交于点,,.
求的长.
1. 已知点,,,分别在矩形的边,,,上,
,交于点,,. 直接写出下列两题的答案:
①如图3,矩形由个全等的正方形组成,求的长;
②如图4,矩形由个全等的正方形组成,求的长(用的代数式表示).
图4
图3
图1
【解析】
(1) 证明:如图1,∵ 四边形ABCD为正方形,
∴ AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°,
∴ ∠EAB+∠AEB=90°.
∵ ∠EOB=∠AOF=90°,
∴ ∠FBC+∠AEB=90°,∴ ∠EAB=∠FBC,
图2
O′
N
M
∴ △ABE≌△BCF , ∴ BE=CF.
(2) 解:如图2,过点A作AM//GH交BC于M,
过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/,
则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形,
∴ EF=BN,GH=AM,
∵ ∠FOH=90°, AM//GH,EF//BN, ∴ ∠NO/A=90°,
故由(1)得, △ABM≌△BCN, ∴ AM=BN,
∴ GH=EF=4.
(3) ① 8.② 4n.
【双基训练】
1. 如图6,点在线段上,四边形与都是正方形,其边长分别为和,则的面积为________.
(6) (7)
2.你可以依次剪6张正方形纸片,拼成如图7所示图形.如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1,且正方形⑥与正方形③的面积相等,那么正方形⑤的面积为________.
3.如图9,已知正方形的面积为35平方厘米,、分别为边、上的点.、相交于,并且的面积为14平方厘米,的面积为5平方厘米,那么四边形的面积是________.
4. 如图,、、三点在同一条直线上,。分别以
、为边作正方形和正方形,连接,
。
求证:。
5.如图 ,是正方形.是上的一点,于 ,于 .
(1)求证:; A
D
E
F
C
G
B
(2)求证:.
【纵向应用】
6. 在正方形中,.
求证:
7. 在正方形中,.,
求证:
8. 如图13,点为正方形对角线上一点, ,
A
D
求证:
B
C
F
13
E
G
9.已知:点、分别正方形中和的中点,连接和相交于点,
于点.
一、 求证: ;
一、 如果,求的长;
二、 求证:
【练习题答案】
1.6cm2.
2.36.
3.4cm2(面积法).
4.证明:FN=EC。
证明:在正方形ABEF和正方形BCMN中,
AB=BE=EF,BC=BN,∠FEN=∠EBC=90°
∵AB=2BC
∴EN=BC
∴△FEN≌△EBC
∴FN=EC。
5.略
6.提示:注意到基本图形中的AE=AF.
一. 两次应用内角平分线定理和CE=CF可证
二. 过点O作OG‖DE和CO=CG,CF=CE可证.
3, 过点O作OH‖BE, OF= OH=
7.提示:一条线段的一半或2倍这两者的位置关系有哪两种
8.提示:延长AE交GF于点M,DC,使CH=DG,连接HF,
证四边形对角互补,法2:延长FE,AE证全等三角形
9.(1)略(2)(3)作CM⊥DG,证DM=AG=0.5DG
(1)定义:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
(2)特征:
边:两组对边分别平行;四条边都相等;
内角:四个角都是90°;
对角线:对角线互相垂直;对角线相等且互相平分;每条对角线平分一组对角。
(3)主要识别方法:
1:对角线相等的菱形是正方形
2:对角线互相垂直的矩形是正方形
3:四边相等,有一个角是直角的四边形是正方形
4:一组邻边相等的平行四边形是正方形
5:一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变,中点四边形的形状始终是平行四边形。正方形的中点四边形是正方形。
例1. 已知:如图,是正方形内点,.
求证:是正三角形.
A
P
C
D
B
【证明】:如下图做△DGC使与△ADP全等,
可得△PDG为等边△,从而可得
△DGC≌△APD≌△CGP,
得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG=150
所以∠DCP=300 ,从而得出△PBC是正三角形
P
C
G
F
B
Q
A
D
E
例2. 如图,分别以的和为一边,在的外侧作正方形和正方形,点是的中点.
求证:点到边的距离等于的一半.
【证明】:过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG,CI,FH。
可得PQ=。
由△EGA≌△AIC,可得EG=AI,
由△BFH≌△CBI,可得FH=BI。
从而可得PQ= = ,
从而得证。
例4. 如图,四边形为正方形,,,与相交于.
求证:.
【证明】:顺时针旋转△ADE,到△ABG,连接CG.
由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得B,G,D在一条直线上,可得△AGB≌△CGB。
推出AE=AG=AC=GC,可得△AGC为等边三角形。
∠AGB=300,既得∠EAC=300,从而可得∠A EC=750。
又∠EFC=∠DFA=450+300=750.
A
F
D
E
C
B
可证:CE=CF。
例6. 设是正方形一边上的任一点,,平分.
求证:.
【证明】:作FG⊥CD,FE⊥BE,可以得出GFEC为正方形。
令AB=Y ,BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。
tan∠BAP=tan∠EPF==,可得YZ=XY-X2+XZ,
即Z(Y-X)=X(Y-X) ,既得X=Z ,得出△ABP≌△PEF ,
得到PA=PF ,得证 。
D
F
E
P
C
B
A
D
A
C
B
P
D
例7. 已知:是边长为1的正方形内的一点,求的最小值.
【证明】:顺时针旋转△BPC 600 ,可得△PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一条直线上,
即如下图:可得最小PA+PB+PC=AF。
既得AF= = =
= =
= 。
例8. 为正方形内的一点,并且,,,求正方形的边长.
【证明】顺时针旋转△ABP 900 ,可得如下图:
既得正方形边长L = = 。
A
C
B
P
D
【双基训练】
1.如图,四边形是正方形,对角线、相交于,四边形是菱形,若正方形的边长为6,则菱形的面积为________.
2.如图,是正方形,为上一点,四边形恰是一个菱形,则=________.
【纵向应用】
3.如图,四边形是边长为的正方形,点,分别是边,的中点,,且交正方形外角的平分线于点.
(1)证明:;
(2)证明:;
(3)求的面积.
【横向拓展】
4.如图,四边形是正方形,是等边三角形,为对角线(不含点)上任意一点,将绕点逆时针旋转得到,连接、、.
⑴ 求证:;
⑵ ①当点在何处时,的值最小;
②当点在何处时,的值最小,并说明理由;
⑶ 当的最小值为时,求正方形的边长.
E
A D
B C
N
M
【练习题答案】
1.36
2.【解析】连结BD交AC于点O,作EM⊥AC于点M.
设正方形边长为a,则AC=BD=AE=a
又∵AC∥BF,BO⊥AC,EM⊥AC,
∴BO=EM=BD=a.
在Rt△AEM中,AE=a,EM=a.
∴∠CAE=30°.
则∠EAB=15°.
3.(1)证明:∵∠AEF=90o,
∴∠FEC+∠AEB=90o.在Rt△ABE中,∠AEB+∠BAE=90o,
∴∠BAE=∠FEC;
(2)证明:∵G,E分别是正方形ABCD的边AB,BC的中点,
∴AG=GB=BE=EC,且∠AGE=180o-45o=135o.
又∵CF是∠DCH的平分线,
∠ECF=90o+45o=135o.
在△AGE和△ECF中,
∴△AGE≌△ECF;
(3)解:由△AGE≌△ECF,得AE=EF.
又∵∠AEF=90o,
∴△AEF是等腰直角三角形.
由AB=a,BE=a,知AE=a,
∴S△AEF=a2.
4.【解析】:⑴∵△ABE是等边三角形,
F
E
A D
B C
N
M
∴BA=BE,∠ABE=60°.
∵∠MBN=60°,
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN.
即∠BMA=∠NBE.
又∵MB=NB,
∴△AMB≌△ENB(SAS). ………………5分
⑵①当M点落在BD的中点时,AM+CM的值最小.
②如图,连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时,
AM+BM+CM的值最小.
理由如下:连接MN.由⑴知,△AMB≌△ENB,
∴AM=EN.
∵∠MBN=60°,MB=NB,
∴△BMN是等边三角形.
∴BM=MN.
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.
根据“两点之间线段最短”,得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长.
⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F,
∴∠EBF=90°-60°=30°.
设正方形的边长为x,则BF=x,EF=.
在Rt△EFC中,
∵EF2+FC2=EC2,
∴()2+(x+x)2=.
解得,x=(舍去负值).
∴正方形的边长为.