专题十六中考数学四边形 13页

专题十六 中考数学四边形 ‎ 小结1 概述 通过学习平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的定义、性质及判定，了解它们之间的关系，并能灵活运用它们的性质和判定解决一些计算问题和实际问题.同时，本章探索并了解了有关三角形中位线、梯形中位线的相关知识． ‎ 小结2 学习重难点 ‎【重点】掌握并会灵活运用平行四边形的定义、性质及判定；会灵活应用平行四边形及特殊平行四边形的相关知识解决一些简单的实际问题；掌握梯形及等腰梯形的定义、性质及判定，并会灵活运用；理解并掌握三角形中位线、梯形中位线的定义及性质，会应用它们解决一些计算及实际问题.‎ ‎【难点】掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质及判定条件，以及它们之间存在的联系与区别，会应用三角形中位线、梯形中位线解决一些简单问题.‎ ‎【应注意的问题】通过设立问题情境，主动探索和自觉总结四边形的相关性质，掌握四边形的性质；同时要熟识几种特殊四边形的判定，掌握转化思想在本章中的应用，如将梯形问题转化为三角形和平行四边形问题来解决.‎ 小结3 中考透视 中考关于四边形的考题大多结合三角形知识进行考查，而平行四边形的性质是证明两条直线平行、线段相等及角相等的依据.另外关于平行四边形的面积及周长、对称性也常出现在中考题中，这类题有填空题、选择题、计算题和证明题，深刻理解和牢记多边形、平行四边形的性质和判定是关键和前提．‎ 知识网络结构图 ‎ 专题总结及应用 一、 知识性专题 专题1 平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性质 ‎【专题解读】 围绕平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性质进行命题.‎ 例1 下列说法错误的是 ( )‎ A.平行四边形的对角相等 B.等腰梯形的对角线相等 C.两条对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相垂直的四边形是菱形 例2 如图19-125所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，设△DEA的面积为，梯形ABCD的面积为，则与的关系为 .‎ 例3如图19-126所示，ABCD是正方形，G是BC上一点，于点E，于点F.‎ ‎（1）求证△ABF≌△DAE；‎ ‎（2）求证.‎ 例4 如图19-127所示，将一张矩形纸片ABCD沿着GF折叠（F在BC边上，不与B，C重合），使得C点落在矩形ABCD的内部点E处，FH平分，则的度数a满足 （ ）‎ A.90°＜a＜180°‎ B.a=90°‎ C.0°＜a＜90°‎ D.a随关折痕位置的变化而变化 例5 如果菱形的一条对角线长是12㎝，面积是30，那么这个菱形的另一条对角线长为 ㎝.‎ 例6 如图19-128所示，的周长为16㎝，AC，BD相交于点O，，交AD于点E，则的△DCE周长为 （ ）‎ A.4㎝ B.6㎝ C.8㎝ D.10㎝ 二、规律方法专题 专题3 构造中位线解决线段的倍分关系 ‎【专题解读】 题目中涉及或2倍关系时，常常考虑构造中位线.‎ 例7 四边形ABCD为平行四边形，∥AC，DE交AC的延长线于F点，交 BE于E点.‎ ‎（1）求证 ‎（2）若求BE的长；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求四边形ABED的面积.‎ 专题4 构造平行四边形解决线段相等、角相等的问题 ‎【专题解读】 利用平行四边形边、角的性质可以解决有关线段相等、角相等的问题.‎ 例8 如图19-130所示，在中，是DC的中点，E是垂足，求证.‎ 例9 如图19-131所示，在中，E，F分别是边AD，BC的中点，AC分别交BE，DF于点M，N.给出下列结论：①△ABM≌△CDN；②③④S△AMB S△ABC.其中正确的结论是 . （只填序号）‎ ‎‎ 专题6 动手操作题 ‎【专题解读】 这类题的特点是根据给出的图形，需要通过裁剪、平移、旋转等方法才能得到题中要求的图形和结论.‎ 例10 某市要在一块块形状为平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求其分别在的四条边上，请你设计两种方案.‎ 方案（一）：如图19-132（1）所示，两个出入口E，F已确定，请在图（1）上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法.‎ 方案（二）：如图19-132（2）所示，一个出入口M已确定，请在图（2）上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法.‎ 三、 思想方法专题 专题7 转化思想 ‎【专题解读】 本章中转化思想主要是将梯形问题转化为三角形和平行四边形问题来处理.‎ 例11 如图19-134所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么AD的长度为 .‎ 专题8 方程思想 ‎【专题解读】 本章主要体现在通过方程（组）、不等式（组）恒等变形等式代数方法解决有关图形计算的问题.‎ 例12 已知两个多边形的内角和为1440°，且两多边形的边数之比为1：3，求它们的边数分别是多少.‎ ‎2011中考真题精选 ‎1. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF=DE．连接BF、CD、AC． （1）求证：四边形ABFC是平行四边形； （2）如果DE2=BE•CE，求证四边形ABFC是矩形．‎ 考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．‎ 专题：证明题．‎ ‎2. （2011四川广安，23，8分）如图5所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝ 60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE＝BE．‎ 图5‎ 考点：菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，线段的倍分关系 专题：四边形 ‎3. （2010重庆，24，10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．‎ ‎（1）求EG的长；‎ ‎（2）求证：CF=AB+AF．‎ A B E G C D F ‎24题图 考点：梯形；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理 ‎4. （2011•泰州，24，10分）如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．‎ ‎（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？‎ ‎（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由．‎ 考点：相似三角形的判定；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质。‎ 专题：证明题；综合题。‎ ‎5. （2010重庆，26，12分）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．‎ ‎（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；‎ ‎（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；‎ ‎（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．‎ A D C O B P F E ‎26题图 考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列二次函数关系式；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；矩形的性质；解直角三角形 ‎6. （2011湖北咸宁，22，10分）（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．‎ ‎（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．‎ ‎（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的长．‎ 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。‎ ‎7.（2011•贵港）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．‎ ‎（1）求证：四边形ABED是菱形；‎ ‎（2）若∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．‎ 考点：梯形；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质。‎ 专题：几何综合题。‎ ‎8. （2011•安顺）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．‎ ‎（1）说明四边形ACEF是平行四边形；‎ ‎（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．‎ 考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定。‎ ‎9. （2011•湘西州）如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠ACB=30°，AB=2．‎ ‎（1）求AC的长．‎ ‎（2）求∠AOB的度数．‎ ‎（3）以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．‎ 考点：矩形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质。‎ 专题：综合题。‎ ‎10.（2011年山东省东营市，19，8分）如图，在四边形ABCD中，DB平分∠ADC，∠ABC=120°，∠C=60°，∠BDC=30°；延长CD到点E，连接AE，使得∠E=∠C． （1）求证：四边形ABDE是平行四边形； （2）若DC=12，求AD的长．‎ 考点：等腰梯形的性质；含30度角的直角三角形；平行四边形的判定与性质．‎ 专题：计算题；证明题．‎ ‎11. （2011浙江宁波，23，？）如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G．‎ ‎（1）求证：DE∥BF；‎ ‎（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．‎ 考点：菱形的判定；平行线的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质。‎ 专题：证明题。‎ ‎12. （2011浙江嘉兴，23，10分）以四边形ABCD的边AB．BC．CD．DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E．F．G．H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．‎ ‎（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；‎ ‎（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），‎ ‎①试用含α的代数式表示∠HAE；‎ ‎②求证：HE=HG；‎ ‎③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．‎ 考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；菱形的判定与性质．‎ 专题：证明题．‎ ‎13. （2011梧州，22，8分）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF．‎ 考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。‎ 专题：证明题。‎ ‎14. （2011•玉林，25，10分）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．‎ ‎（1）求证：EB=GD；‎ ‎（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；‎ ‎（3）若AB=2，AG=，求EB的长．‎ 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。‎ ‎15. （2011•安顺，25，9分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．‎ ‎（1）说明四边形ACEF是平行四边形；‎ ‎（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．‎ ‎ ‎ 考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定。‎ ‎16. （2011海南，23，10分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP＝BQ．‎ ‎（1）求证：△BDQ≌△ADP；‎ ‎（2）已知AD＝3，AP ‎＝2，求cos∠BPQ的值（结果保留根号）．‎ 考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形。‎ ‎17. （2011黑龙江省哈尔滨,23，6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F．求证：DF=BE．‎ 考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。‎ 专题：证明题。‎