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- 2021-05-13 发布
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中考数学中的折叠问题专题复习
一、教学目标
1、基础知识目标:
使学生进一步巩固掌握折叠图形的性质,会利用其性质进行有关的计算和证明。
2、能力训练目标:
提升学生的空间想象能力、抽象思维能力、逻辑推理能力及综合运用数学知识解决问题的能力。
3、情感态度与价值观要求:
鼓励学生积极参与数学学习活动,对数学证明有好奇心和求知欲。
二、教学重点、难点
重点:会利用折叠图形的性质进行有关的计算和证明。
难点:综合运用所学数学知识进行有关的计算和证明。
三、教学方法
讲、练、测相结合的教学方法,在老师的引导下,通过讲、练、测的有机结合,达到知识、技能、方法的全线突破。
四、教学程序及设想
1、巧设情景,设疑引入
观察与发现:小明将纸片ABC(AB>AC)沿过A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展开纸片;再次折叠该三角形纸片,使点A和点D重合,折痕为EF,展开纸片后得到AEF(如图1)。小明认为AEF是等腰三角形,你同意吗?请说明理由。引出课题。
2、运用性质,折叠问题实质上就是轴对称变换归类探究。
归类一:折叠后求角的度数
典例解析:将矩形纸片ABCD折叠,使得D点与B重合,点C落在点C'处, 折痕为EF,如果∠ABE=20°,则∠EFC'=( )
A. 125° B. 80° C. 75° D. 无法确定
评析:本题只要抓住折叠的本质特征,折叠前后的两个图形全等,找出翻折前后的一些不变量,其次要注意利用矩形的性质,如矩形的每个角都是90°、对边互相平行等。
体验感悟:随后给学生一定的时间去感悟和体会这类题的解题思路和方法。
1、如图所示,把一张长方形纸条ABCD沿AF折叠,已知∠ADB=20°,那么,∠BAF为多少度时,才能使AB'∥BD?(∠BAF=55°)
利用折叠的性质求角的度数,当条件中有某些角的度数时,综合题中的其他条件,找已知角和未知角的关系,从而求的未知角的度数。若条件中没有任何一个角的度数已知时,该怎样思考?
2、如图,四边形ABCD是一张矩形纸片,AD=2AB,沿过点D的折痕,将A角翻折,使A落在BC边上的A1处,则∠E A1B=
(本题和上题的区别在于条件中没有任何一个角的度数是已知的,要把线段之间的关系转化角的度数,然后求得未知角的度数。在难度上有所加深,其目的在于培养学生综合运用所学数学知识解决问题的能力。)
利用折叠的性质,除了可以求角的度数之外,还可以求线段的长度引出。
归类二:求线段的长度
例2、如图在长方形ABCD中,AB=8,BC=10,经折叠,A点落在BC边的F点处,折痕DE与AB的交点是E,求EF的长。
解:
连接DF,设AE=X
根据题意,AE=EF=X,DF=AD=BC=10
所以根据勾股定理得CF=6
所以BF=10-6=4
因为BE=8-X
所以根据勾股定理得:
(8-X)2+42=X2
所以
64-16X+16=0
解得
X=5
所以EF的长是5
(这道题基础性强,且有一定的综合性,有利于培养学生综合运用所学知识解决问题的能力。同时对应的练习题的设置,在上题的基础上综合性又有所提升,既巩固了基础知识又提升了学生综合运用数学知识解决问题的能力。同时又为综合运用做好了知识和技能的准备。)
本题把折叠问题转化成轴对称问题,对称点的连线被对称轴垂直平分,连结两对称点即可得到相等的线段利用勾股定理求出未知线段
体验感悟:
1、将矩形ABCD纸片沿EF折叠,使D点与BC边的中点D′重合,若BC = 8,CD = 9,则EF = .
2、已知矩形纸片ABCD,AB=2,AD=1,将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合。
(1)如果折痕FG分别与AD、AB交与点F、G(如图1),求DE的长;
(2)如果折痕FG分别与CD、AB交与点F、G(如图2),△AED的外接圆与直线BC相切,求折痕FG的长。
(图①中FG是折痕,点A与点E重合,根据折叠的对称性,已知线段AF的长,可得到线段EF的长,从而将求线段的长转化到求Rt△
DEF的一条直角边DE. 图②中,连结对应点A、E,则折痕FG垂直平分AE,取AD的中点M,连结MO,则MO=DE,且MO∥CD,又AE为Rt△AED的外接圆的直径,则O为圆心,延长MO交BC于N,则ON⊥BC,MN=AB,又Rt△AED的外接圆与直线BC相切,所以ON是Rt△AED的外接圆的半径,即ON=AE,根据勾股定理可求出DE= ,OE= . 通过Rt△FEO∽Rt△AED,求得FO= ,从而求出EF的长。)
对称点的连线被对称轴垂直平分,连结两对称点既可以得到相等的线段,也可以构造直角三角形, 本题把折叠问题转化为轴对称问题,利用勾股定理和相似求出未知线段,最后把所求的线段转化到直角三角形中去处理。
归类三:综合运用
1、将边长OA=8,OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中,顶点O为原点,顶点C、A分别在X轴和Y轴上。在OA、OC边上选取适当的点E、F,连接EF,将△EOF沿EF折叠,使点O落在AB边上的点D处。
图① 图② 图③
(1)如图①,当点F与点C重合时,OE的长度为 ;
(2)如图②,当点F与点C不重合时,过点D作DG∥y轴交EF于点,交于点。
求证:EO=DT;
(3)在(2)的条件下,设,写出与之间的函数关系式为 ,自变量的取值范围是 ;
(4)如图③,将矩形OABC变为平行四边形,放在平面直角坐标系中,且OC=10,OC边上的高等于8,点F与点C不重合,过点D作DG∥y轴交EF于点,交OC于点,求出这时的 坐标与之间的函数关系式(不求自变量的取值范围)。
(1)5
(2)证明:∵△EDF是由△EFO折叠得到的,∴∠1=∠2.
又∵DG∥y轴,∠1=∠3.
∴∠2=∠3.∴DE=DT.
∵DE=EO,∴EO=DT.
(3).
(4)解:连接OT,
由折叠性质可得OT=DT.
∵DG=8,TG=y,∴OT=DT=8-y.
∵DG∥y轴,∴DG⊥x轴.
在Rt△OTG中,∵,∴.
∴.
根据轴对称的性质:折叠部分一定全等,折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴,对称线段所在的夹角相等,在解题过程中要充分运用以上结论,借助辅助线构造直角三角形,结合相似形锐角三角函数解折叠题,可以使解题思路更加清晰,解题步骤更加简洁。
体验感悟:将平行四边形纸片ABCD,按如图方式折叠,使点C与A重合,点D落在D′处,折痕为EF,
(1)求证:∠BAE=∠D′AF
(2)求证:△ABE≌△AD′F
(3)连接CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形,证明你的结论。
(通过写出分析过程,整理解题思路,根据分析过程,写出证明过程。整个解题过程可以简单概括为:读信息、定方法、找条件、理思路、写解题过程五步。使学生有章可循,从而避免学生手足无措,无处下手的现象发生。)
五、课堂小结
解决折叠问题,要认真审题,弄清那些是翻折部分,哪些是翻折后重叠部分,要抓住图形之间最本质的位置关系,从而进一步发现其中的数量关系,充分挖掘图形中的几何性质,将其中的基本的数量关系用方程的形式表达出来,并迅速求解。
六、板书设计
(二)运用:
1、求角的度数;
2、求线段的长度
3、综合运用
(一)折叠的性质:
折叠图形中折叠部分在折叠前后
1、对应角相等
2、对应线段相等
课后检测:
一、 折叠后求角度
1、把一张矩形纸片ABCD沿EF对折,使C、D点分别落在C1、D1的位置上, EC1交AD于G,已知∠EFG=58°,那么∠BEG= __ 。
2、把一张长方形纸片ABCD按如图方式折叠,EM、FM为折痕,折叠后的B点、C点落在B′M或B′M的延长线上,那么∠EMF的度数是( )。
A 85° B 90° C 95° D 100°
3、如图Rt △ABC中,∠B=90°,AB=3cm,AC=5cm,
将△ABC折叠,使点C与点A重合,得折痕DE,则△ABE的周长为__ 。
二、 折叠后求点的坐标
4、 如图,在直角坐标系中放入一边长OC为6的矩形纸片ABCO,将纸翻折后,使点B恰好落在x轴上,记为B′,折痕为CE,已知tan∠OB′C=34。
(1)求出B′点的坐标;
(2)求折痕CE所在直线的解析式。
(3)作B′G∥AB交CE于G,已知抛物线y= 通过G点,以O为圆心OG的长为半径的圆与抛物线是否还有除G点以外的交点?若有,请找出这个交点坐标。