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- 2021-05-13 发布
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第十六讲:特殊的三角形
姓名:_________ 日期:_________
课前热身
1.已知等腰三角形的一个内角为40°,则这个等腰三角形的顶角为( )
A.40° B.100° C.40°或100° D.70°或50°
2.已知实数x,y满足|x-4|+=0,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )
A.20或16 B.20 C.16 D.以上答案均不对
3.如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-2,3),以点O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于( )
A.-4和-3之间 B.3和4之间
C.-5和-4之间 D.4和5之间
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=6,D,E分别在AB,AC上,将△ABC沿DE折叠,使点A落在点A′处,若A′为CE的中点,则折痕DE的长为( )
A. B.2 C.3 D.4
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,则BD=________.
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,若CD=5 cm,则EF=_________cm.
7.如图,△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,已知∠BDC=45°,BD=10 ,AB=20.求∠A的度数.
知识回顾
一、等腰三角形
1、等腰三角形的性质:
⑴等腰三角形的两腰 ,等腰三角形的两个底角 ,简称为
⑵等腰三角形的 、 、 互相重合,简称为
⑶等腰三角形两腰上的 相等,两腰上的 相等,两底角的平分线也相等。
2、等边三角形的性质:
⑴等边三角形的每个内角都等于
⑵等边三角形也是 对称图形,它有 条对称轴
3、有一个角是直角的等腰三角形是 三角形
二、线段的垂直平分线和角的平分线
1、线段垂直平分线:
⑴ 一条线段且 这条线段的直线叫做线段的垂直平分线
⑵线段垂直平分线上的点到 得距离相等
2、角的平分线:
角平分线上的点到 的距离相等
三、直角三角形:
1、勾股定理和它的逆定理:
勾股定理:若一个直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c,则a、b、c满足
逆定理:若一个三角形的三边a、b、c满足 则这个三角形是直角三角形
常见的勾股数, 、 、
2、直角三角形的性质:
除勾股定理外,直角三角形还有如下性质:
⑴直角三角形两锐角
⑵直角三角形斜边的中线等于
⑶在直角三角形中,300所对 边是 边的一半
考点例析
考点一:角的平分线
1、如图,在Rt△ABC中,∠A=Rt∠,∠ABC的平分线BD交AC于点D,AD=3,BC=10,则△BDC的面积是 15
.
2、如图,∠AOB=70°,QC⊥OA于C,QD⊥OB于D,若QC=QD,则∠AOQ= 35
°.
考点二:线段垂直平分线
1、如图,AD⊥BC于点D,D为BC的中点,连接AB,∠ABC的平分线交AD于点O,连结OC,若∠AOC=125°,则∠ABC= 70°
.
2、如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,BC=6cm,AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,则MN的长为( )
A.4cm B.3cm C.2cm D.1cm
考点三:等腰三角形性质的运用
1、在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是AC边上的高,则∠DBC的度数是
A.18° B.24° C.30° D.36°
2、如图,已知AB∥CD,AB=AC,∠ABC=68°,则∠ACD= 44°
.
考点四:等边三角形的判定与性质
1、如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E= 。
2、已知△ABC为等边三角形,BD为中线,延长BC至E,使CE=CD=1,连接DE,则DE= .
考点五:三角形中位线定理
1、如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,∠A=50°,∠ADE=60°,则∠C的度数为( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
2、如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点,若AC+BD=24厘米,△OAB的周长是18厘米,则EF= 3
厘米.
考点六:直角三角形
1、将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,如图,则三角板的最大边的长为( )
A.3cm B.6cm C.3cm D.6cm
2、如图,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,CD⊥AB,垂足为D,CD=1,则AB的长为( )
A.2 B.2 C.+1 D.+1
考点七:勾股定理
1、矩形的两邻边长的差为2,对角线长为4,
则矩形的面积为 6
.
2、如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是 10
.
聚焦中考
1.如图,四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是( )
A.AB=AD B.AC平分∠BCD C.AB=BD D.△BEC≌△DEC
2.如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,则△CDE的周长为( )
A.20 B.12 C.14 D.13
3.如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,AB的垂直平分线OD交AB于点O,交AC于点D,连接BD,下列结论错误的是( )
A.∠C=2∠A B.BD平分∠ABC
C.S△BCD=S△BOD D.点D为线段AC的黄金分割点
4.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(1,),M为坐标轴上一点,且使得△MOA为等腰三角形,则满足条件的点M的个数为( )
A.4 B.5 C.6 D.8
5.在△ABC中,∠C=90°,AB=7,BC=5,则边AC的长为 .
6.如图,▱ABCD的周长为36,对角线AC,BD相交于点O.点E是CD的中点,BD=12,则△DOE的周长为 15
.
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交AC于E,交BC的延长线于F,若∠F=30°,DE=1,则BE的长是 2
.
8.等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边为 6,4或5,5
.
9.如图,△ABC中,AB+AC=6cm,BC的垂直平分线与AC相交于点D,则△ABD的周长为 6cm.
10.在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若∠AOB=60°,AC=10,则AB= 5
.
11.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.
(1)求DE的长;
(2)求△ADB的面积.
12.将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°,点C落在BF上,AC与BD交于点O,连接CD,如图②.
(1)求证:△CDO是等腰三角形;
(2)若DF=8,求AD的长.
课后作业
1.如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,∠ADE=48°,则下列结论中不正确的是( )
A.∠B=48° B.∠AED=66° C.∠A=84° D.∠B+∠C=96°
第1题 第4题 第6题
2.如果三角形的两边长分别是方程x2-8x+15=0的两个根,那么连接这个三角形三边的中点,得到的三角形的周长可能是( )
A.5.5 B.5 C.4.5 D.4
3.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4.AD平分∠BAC交BC于D,则BD的长为( )
A. B. C. D.
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10.若以点C为圆心,CB为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC=( )
A.5 B.5 C.5 D.6
5.正三角形△ABC的边长为3,依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1,使AA1=BB1=CC1=1,则△A1B1C1的面积是( )
A. B. C. D.
6.如图,正方形ODBC中,OC=1,OA=OB,则数轴上点A表示的数是 .
7.如图,为测量位于一水塘旁的两点A、B间的距离,在地面上确定点O,分别取OA、OB的中点C、D,量得CD=20m,则A、B之间的距离是 40
m.
8.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E,垂足为D,连接BE.已知AE=5,tan∠AED=,则BE+CE= 6或16
9.点P在线段AB的垂直平分线上,PA=7,则PB= 7
.
10.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3
(1)求证:BN=DN;
(2)求△ABC的周长.
A
C
D
E
B
11.如图,已知△ABC中,AD、AE分别是BC边上的高和中线,AB=9,AC=7,BC=8,求DE的长.
12.如图,四边形ABCD中,∠ABC=135°,∠BCD=120°,AB=,BC=,CD=6,求AD的长.
副本任务
1.将一副常规的三角尺按如图1方式放置,则图中∠AOB的度数为__ ___.
2.在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,则该三角形为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
3.如图2,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2米,则树高为( )
图1
A.米 B.米 C.(+1)米 D.3 米
图2
4.已知直角三角形的两边长为3和4,则第三边的长为 ______.
5.如图,每个小正方形的边长为1,A、B、C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,放置边长分别为3,4,x的三个正方形,则x的值为( )
A.5 B.6 C.7 D.12
7.如下图,长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点,求蚂蚁爬行的最短路径长。