2017年度中考数学（动态问题）押轴题专练2 24页

动态问题的押轴题解析汇编二 ‎ 动态问题 ‎1．（2011山东聊城 24，12分）（本题共12分）如图，在矩形中，，,点、、分别从点、、三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点、的速度均为‎2cm/s，点的速度为‎4cm/s，当点追上点（即点与点重合）时，三个点随之停止移动，设移动开始第t秒时，的面积为。‎ ‎（1）当时，的值是多少？‎ ‎（2）写出和之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围。‎ ‎（3）若点在矩形的边上移动时，当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似？请说明理由。‎ F B A C G D ‎25题图 ‎【解题思路】(1)根据移动时间和移动速度，可以求得BE、BF、FC和CG的长度，计算出梯形EBCG和三角形BEF、三角形FCG的面积，从而求出的面积为的值。‎ ‎（2）由题意知移动时间的取值范围是＜≤，①当＜≤时，图形如上图，此时可以用含有的代数式表示出BE、BF、FC和CG的长度，进而表示的面积；②当＜≤时，图形如下，此时可以用含有的代数式表示出的长度，从而表示出出的面积为的值。‎ ‎（3）用含有的代数式表示出BE、BF、FC和CG的长度，由于两三角形对应关系的不确定，需要分来两种情况进行讨论。‎ ‎【答案】解：（1）时，,,。则,.‎ ‎∴梯形EBCG的面积为,‎ 的面积为,‎ 的面积为,‎ ‎∴.‎ ‎(2) ①当点在时，此时＜≤.‎ ‎,,。则,.‎ ‎∴梯形EBCG的面积为,‎ 的面积为,‎ 的面积为,‎ ‎∴。‎ 即 （≤≤）。‎ ‎②当点在时，此时＜≤。‎ ‎，，‎ ‎∴。‎ 的面积为。‎ 即 （＜≤）。‎ ‎（3）点在矩形的边上移动时，此时≤≤。‎ ‎①若,即。解得。‎ 又满足≤≤，所以当时，∽；‎ ‎②若,即。解得。‎ 又满足≤≤，所以当时，∽；‎ 综上可知，当或时，以点、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似。‎ ‎【点评】本题是当前的热点问题，动态几何探究综合题，需要综合运用相似等知识以及分类讨论的数学思想，意在考查学生逻辑推理能力、探究发现能力、灵活利用数学知识解决问题的能力。‎ ‎2.（2011年四川省南充市21题8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC, AD=AB=CD=2, ∠C=600, M是BC的中点。‎ ‎（1）求证：⊿MDC是等边三角形；‎ ‎（2）将⊿MDC绕点M旋转，当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC即MC′)同时与AD交于一点F时，点E,F和点A构成⊿AEF.试探究⊿AEF的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出⊿AEF周长的最小值。‎ ‎【解题思路】此题边长给出较多，因而可从边长入手；由图形中的特殊的边角关系，利用全等变换，等量代换寻求周长的最小值。‎ ‎【答案】证明：过点D作DP⊥BC于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q，‎ ‎∵∠C=∠B =60°‎ ‎∴CP=BQ=,CP+BQ=AB 又∵ADPQ是矩形,AD=PQ,BC=2AD,由已知，点M是BC的中点，BM=CM=AD=AB=CD，即△MDC中，CM=CD,∠C=60°，故△MDC是等边三角形.‎ ‎（2）解：△AEF的周长存在最小值，理由如下：‎ 连结AM，由（1）平行四边形ABMD是菱形，△MAB，△MAD和△MC′D′是等边三角形，∠BMA=∠BME+∠AME=60°，∠EMF=∠AMF+∠AME=60°∴∠BME=∠AMF ‎ 在△BME与△AMF中，BM=AM,∠EBM=∠FAM=60°‎ ‎∴△BME≌△AMF(ASA)‎ ‎∴BE=AF,ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB ‎∵∠EMF=∠DMC=60°,故△EMF是等边三角形，EF=MF ‎∵MF的最小值为点M到AD的距离为，即EF的最小值是。‎ ‎△AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF,△AEF周长的最小值为 ‎【点评】等边三角形的判定方法一般有两种：一是三个角都相等的三角形是等边三角形，二是有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。梯形中常用辅助线把梯形问题转化为三角形和平行四边形问题去解决。‎ ‎3． （2011山东潍坊，23，11分）如图，AB是半圆O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F．过D点做半圆的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q．‎ ‎（1）求证：△ABC∽ΔOFB；‎ ‎（2）当ΔABD与△BFO的面积相等时，求BQ的长；‎ ‎（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点．‎ ‎【解题思路】（1）要证△ABC∽ΔOFB，易证∠ACB=∠OBF=90°，由AC⊥BD和OF⊥BD，得AC∥OF，所以∠BAC=∠FOB，利用“两角对应相等，两三角形相似”即可证得；（2）连接OP，由DP、DA是切线，可知∠DAB=∠OPD=90°，由ΔABD与△BFO的面积相等，且（1）得△ABC∽ΔOFB，可知△ABC≌ΔOFB，所以OA=OB，因此OA=OP=AD=DP=1，从而得证四边形OADP是正方形，所以DP∥AB，进而确定BQ=AD=1；（3）过点Q作AM的垂线QK，由（1）△ABC∽ΔOFB，得，而OB=1，所以，利用切线长定理易证：AD=DP，QB=QP，再利用勾股定理，确定，，进而得证结论．‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵AB为直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，即AC⊥BC．‎ 又∵OE⊥BC，∴OE//AC，∴∠BAC=∠FOB．‎ ‎∵BN是半圆的切线，故∠BCA=∠OBF=90°．‎ ‎∴△ACB∽△OBF．‎ ‎（2）由△ACB∽△OBF，得∠OFB=∠DBA，∠DAB=∠OBF=90°，‎ ‎∴△ABD∽△BFO，‎ 当△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO．‎ ‎∴AD=BO=AB =1．‎ ‎∵DA⊥AB，∴DA为⊙O的切线．‎ 连接OP，∵DP是半圆O的切线，‎ ‎∴DA=DP=1，∴DA=AO=OP=DP=1，‎ ‎∴四边形ADPO为正方形．‎ ‎∴DP//AB，∴四边形DABQ为矩形．‎ ‎∴BQ=AD=1． ‎ ‎（3）由（2）知，△ABD∽△BFO，‎ ‎∴，∴．‎ ‎∵DPQ是半圆O的切线，∴AD=DP，QB=QP．‎ 过点Q作AM的垂线QK，垂足为K，在Rt△DQK中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴BF=2BQ，∴Q为BF的中点．‎ ‎【点拨】本题考查了相似三角形、切线长定理、勾股定理等知识，综合性较强．在解题时要注意利用已知条件，构建模型，第三问是动点移动问题，解决时要把动点转化为静点来分析．难度较大．‎ ‎4．（2011广东省，21，9分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图(2)‎ 题21图(1)‎ B H F A（D）‎ G C E C（E）‎ B F A（D）‎ 题21图(2)‎ ‎（1）问：始终与△AGC相似的三角形有△HAB及△HGA；‎ ‎（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由）；‎ ‎（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形.‎ ‎【解题思路】第（1）小题可以利用角的关系来证明，也可以考虑先证明DE⊥BC,还可以考虑用三角形的中位线来证明．第（2）小题关键之处在于要分顶点的两种不同对应关系来讨论．第（3）小题当“四边形MEND与△BDE的面积相等”相等时可带来≌‎ ‎,可以推证得到DE=BE,DM=BM.对于本题，还有很重要的一点那就是∽，它的三边之比是3:4:5.综合这些结论可以通过列方程等方法解决本题.‎ ‎【答案】（1）△HAB及△HGA ‎（2）由△AGC∽△HAB，得AC/HB=GC/AB，即9/y=x/9，故y=81/x (00），△MPQ的面积为S.‎ ‎（1）点C的坐标为 ，直线l的解析式为 ‎ ‎（2）试求出点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围。‎ ‎（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值。‎ ‎（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形，请直接写出t的值。‎ ‎【解题思路】（1）A的坐标为（8，0），B的坐标为（11，4）由平行四边形的性质可知点C的坐标为（3，4），又O（0,0）所以直线l的解析式为。（2）由题意可知随着P、Q两点的运动△MPQ的形状也在发生变化，所以我们要分情况讨论，易求出AB=OC=5，OP=t，AQ=2t，OM=t，Q与B重合时2t =5，t=，M与C重合时，Q在AB上，t =5，t=3，点Q与点M相遇时，16﹣2t=t， t=。Q在AB上时，如图1，0＜t≤，M在OC上时，如图2，＜t≤3，M、Q两点都在CB上时，如图3，3＜t＜。（3）根据（2）中S的三种情况，分别求出S的最大值，然后比较，求出最大值。（4）由题意可知∠NMQ=90°，△QMN为直角三角形，要使△QMN为等腰三角形，只需MN=MQ，∵OP=t，∴PN=，又∵PM=4，∴MN=－4，CM=（－4），∵Q的速度是2，∴AB+BQ=2t，BQ=2t－5，∴MQ=BC－CM－BQ= 8－（－4）－（2t－5）=16－3t，∴‎ ‎－4=16－3t，t=。‎ ‎【答案】解：（1）点C的坐标为（3，4），直线l的解析式为。‎ ‎ （2）根据题意，得OP=t，AQ=2t，分三种情况讨论：‎ ‎ ①当0＜t≤时，如图1，M点的坐标是（t，）‎ ‎ 过点C作CD⊥x轴于D，过点Q作QE⊥x轴于E，可得 ‎ △AEQ∽△ODC ‎ ∴，‎ ‎ ∴AE=，EQ=‎ 图1‎ ‎ ∴Q点的坐标是（8+，），∴PE=8+﹣t=8+‎ ‎∴S==××（8+）=+‎ ‎②当＜t≤3时，如图2过点Q作QF⊥x轴于F ‎∵BQ=2t﹣5，∴OF=11﹣（2t﹣5）=16﹣2t。‎ ‎∴点Q的坐标是（16﹣2t，4）∴PF=16﹣2t﹣t=16﹣3t。‎ 图2‎ ‎∴S==××（16﹣3t）=+‎ ‎③当点Q与点M相遇时，16﹣2t=t，解得t=‎ 当3＜t＜时，如图3，MQ=16﹣2t﹣t=16﹣3t，MP=4‎ 图3‎ S==×4×（16﹣3t）=﹣6t﹣32。‎ ‎ （3）①当0＜t≤时，S=+=‎ ‎ ∵a=＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x=﹣20，‎ ‎ ∴当0＜t≤时，S随t的增大而增大。‎ ‎∴t=时，S有最大值，最大值为 ‎ ②当＜t≤3时，S=+=‎ ‎ ∵a=﹣2＞0，抛物线开口向下，‎ ‎ ∴t=时，S有最大值，最大值为 ‎ ③当3＜t＜时，S=﹣6t﹣32，∵k=﹣6＜0，∴S随t的增大而减小。‎ ‎ 又∵t=3时，S=14，当t=时S=0，∴0＜S＜14.‎ ‎ 综上所述，当t=时，S有最大值，最大值为 ‎ （4）当t=时，△QMN为等腰三角形 ‎【点评】本题是一个代数、几何综合题，涉及到的知识点较多，主要涉及到平行四边形性质、勾股定理、三角函数、三角形面积、二次函数、一次函数、等腰三角形等。第一问较为简单一般不会出错，第二问需要根据动点的位置进行分类讨论，关键在于准确进行分类，分类的依据就是点的位置的变化（动点在不同线段上），此问容易因分类不清而导致错误，这一问是第三问的前提，一定要认真细心确保正确，不然第三问就不可能做对，第三问根据第二问的结果分别求出每个表达式的最大值，再进行比较，有范围的函数的最值要时刻注意自变量的取值范围，第四问判断等腰三角形的存在性问题也要分情况讨论，对应此题先判断三角形是直角三角形就降低了难度。难度较大。‎ ‎11. （2011黑龙江绥化，28，10分）‎ ‎ 已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，∠ABC=60°，BC与x轴交于点C。‎ （1） 试确定直线BC的解析式.‎ （2） 若动点P从A点出发沿AC向点C运动(不与A、C重合),同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动(不与A、C重合),动点P的运动速度是每秒1个单位长度,动点Q的运动速度是每秒2个单位长度.设△APQ的面积为S,P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围。‎ （3） 在（2）的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎【解题思路】（1）根据直线，可出求出其与坐标轴交点的坐标：A（-4，0），B（0，4），所以OA=4，OB=4，可求出∠BAO=60°，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，OC=OA=4，∴C（4，0），用待定系数法求出一次函数的关系式；（2）分当点Q在BC和AB上两种情况，求出AP上高的表达式从而写出S与t的函数关系式；（3）当点Q与点B重合时，△APQ的面积最大，AQ（B）作为菱形的一边有三种情况（4，0）（-4，8）（-4，-8），AQ（B）作为菱形的一条对角线有一种情况（-4，）.‎ ‎【答案】（1）由已知得A点坐标（-4，0），点B坐标为（0，4）.∵OA=4，OB=4，∴∠BAO=60°，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形.∵OC=OA=4，∴C点坐标（4，0）.设直线BC的解析式为y=kx+b, ,∴,∴直线BC的解析式为.（2）当P点在AO之间运动时，作QH⊥x轴.∵，∴，∴QH=5t.，∴S△APQ=(0