中考数学一轮复习讲义 人教版版八年级上册 实 数 11页

第十三章 实 数 本章小结 小结1 本章概述 本章主要学习算术平方根、平方根、立方根的概念，无理数和实数的概念及实数的运算．教材从典型的实际问题入手，首先介绍算术平方根，给出算术平方根的概念和符号表示．在学习算术平方根的基础上学习平方根，利用乘方与开方互为逆运算的特点探讨数的平方根的特征．类比平方根学习立方根，探讨立方根的特征．最后学习无理数及实数的运算．在有理数范围内成立的一些概念和运算律，在实数范围内仍适用．‎ 本章知识是有理数到实数的扩展，同时也是以后学习二次根式、一元二次方程、函数的基础，在初中数学中占着很重要的地位，应认真学习，准确掌握．‎ 小结2 本章学习重难点 ‎ 【本章重点】了解平方根、立方根及算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，会求某些非负数的平方根及某些数的立方根；掌握无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，并能进行实数的运算．‎ ‎ 【本章难点】掌握平方根、立方根等概念；掌握实数的含义及其运算．‎ 小结3 学法指导 ‎ 1．学习本章的关键是正确理解与运用平方根、立方根、实数的概念及性质，在学习过程中要抓住新旧知识的联系，灵活运用乘方、开方、实数的知识，实现知识的迁移，并使新旧知识融会贯通．‎ ‎2．在本章的学习中，要深刻理解并掌握类比的方法，清楚新旧知识的区别与联系，同时，要动手、动脑、积极思考、参加实践，明确数学来源于生活，又服务于生活．‎ 知识网络结构图 意义 算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根 平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根 表示：a的平方根表示为，a的算术平方根表示为 平方根 实 数 意义 只有非负数才有平方根，0的平方根和算术平方根都是0‎ 立方根 定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根 表示：a的立方根表示为 无理数：无限不循环小数 有理数 分数 整数 有限小数 无限循环小数 实数 ‎ ‎ ‎　　专题总结及应用 ‎　　一、知识性专题 ‎　　专题1 无理数与有理数的有关问题 ‎ 【专题解读】　此类问题一般以填空题、选择题的形式出现，题型逐渐走向开放．区分有理数和无理数的关键有两点：一是正确理解无限循环小数与无限不循环小数的意义；二是能写成分数形式的都是有理数，但，等不是分数．‎ ‎ 例1 在－2，0，，1，，－0.4中，正数有 ( )‎ ‎ A．2个 B．3个 C．4个　 　D．5个 ‎ 分析 正数包括正有理数和正无理数，本题中，1，三个数为正数．故选B．‎ ‎ 【解题策略】　0既不是正数，也不是负数．无理数也有正、负之分．‎ ‎ 例2　请写出两个你喜欢的无理数，使它们的和为有理数，你写的两个无理数是　　　．‎ ‎ 分析 只有根号部分互为相反数的两个无理数的和才是有理数．故填2＋和2－ (答案不唯一)．‎ ‎ 【解题策略】 若两个无理数的和为有理数，这样的两个无理数的形式是a1＋和a2－，其中a1，a2，m都是有理数，b＞0．‎ ‎　　专题2　平方根、立方根的概念 ‎ 【专题解读】 解答此类问题主要注意以下几点：一是开平方和开立方的区别；二是熟悉计算器的使用；三是看题目要求，弄清被开方数．‎ ‎ 例3 要到玻璃店配一块面积为1．‎21 m2‎的正方形玻璃，那么该玻璃的边长为 　　m．‎ ‎ 分析　正方形的边长是其面积的算术平方根，故该玻璃的边长为＝1.1(m)．故填1.1．‎ ‎ 【解题策略】 解题的关键是要弄清正方形的面积和边长的关系．‎ ‎ 例4　计算．‎ ‎ 分析　．‎ ‎　 解：原式＝．‎ ‎　 例5 已知b＝a3＋‎2c，其中b的算术平方根为19，c的平方根是±3，求a的值．‎ ‎ 　分析　因为b的算术平方根是19，所以b＝192＝361．又因为c的平方根是±3，所以c＝(±3)2＝9．代入已知条件即可求出a的值．‎ ‎ 解：因为b的算术平方根是19，所以b＝192＝361．‎ ‎ 　　又c的平方根是±3．所以c＝(±3)2＝9．‎ 所以a3＝b－‎2c＝361－18＝343，即a＝7．‎ ‎　　专题3 实数的有关概念及计算 ‎ 【专题解读】本知识点是中考的热点，也是必考内容，主要考查实数的分类，实数的相反数、绝对值、倒数等性质，与数轴的对应关系及简单的计算，多以选择题、填空题的形式出现．‎ ‎ 例6　把下列各数分别填入相应的集合里：，，－3.14159，，，，，0，－0.，1.414，，1.2112111211112…(每两个相邻的2中间依次多1个1)．‎ ‎ (1)正有理数集合：{ …}；‎ ‎ (2)有理数集合：{ …}；‎ ‎ (3)无理数集合：{ …}；‎ ‎ (4)实数集合：{ …}．‎ ‎ 分析 准确理解实数的概念，按要求分类，注意不要遗漏．‎ ‎ 解：(1)正有理数集合：{，，1.414，…}．‎ ‎ (2)有理数集合：{，－3.14159，，，0，－0.，1.414，…}．‎ ‎ 　　 (3)无理数集合：{，，，‎1.‎‎21121112l 1112…，，…}．‎ ‎ 　　 (4)全体数均属实数．‎ ‎ 【解题策略】 (1)带根号的数不一定是无理数：(2)分数是有理数，但这种形式的数是无理数；(3)只有无限不循环小数才是无理故．‎ ‎ 例7 如图13－13所示，在数轴上点A和B之间的整数点有　　 __个．‎ ‎ 分析　解决本题的关键是确定－与之间有哪些整数，由于－2＜－＜－1，2＜＜3，所以－与之间的整数有－1，0，1，2，所以A，B两点之间的整数点有4个．故填4．‎ ‎ 规律·方法　数轴上的点表示的数并非都是有理数，数轴上的点与实数是一一对应的．‎ ‎ 例8 已知a，b为数轴上的点，如图13－14所示，求的值．‎ ‎ 分析　解决此题的关键在于去掉分子的绝对值符号，也就是要确定a＋b的正负．由图可知a＞0，b＜0，且＞，所以a＋b＜0，因此＝－(a＋b)．‎ ‎　　解：由题意可知a＞0，b＜0，且＞，所以a＋b＜0，即＝－(a＋b)．‎ ‎　　　　所以．‎ ‎ 专题4 非负数的性质及其应用 ‎ 【专题解读】 解决有关非负数的问题的关键是灵活运用非负数的性质，如：若几个非负数之和为零，则这几个非负数都为零；若两个非负数互为相反数，则这两个非负数分别为零等等．另外，还要熟悉一些常见的非负数的形式，如偶次方、绝对值、算术平方根等．‎ ‎ 例9　若与互为相反数，则的值为 　　　 ．‎ ‎ 分析　依题意知，根据非负数的性质可知＝0，＝0，即，b－1＝0，所以，b＝1，所以原式＝．故填．‎ ‎ 【解题策略】 有限个非负数之和为零，则必有每个非负数同时为零，即若x1≥0，x2≥0，…，xn≥0，且x1＋x2＋…＋xn＝0，则x1＝x2＝…＝xn＝0．‎ ‎ 例10　已知a，b，c都是实数，且满足(2－a)2＋＝0，且ax２＋bx＋c＝0，求代数式3x2＋6x＋1的值．‎ ‎ 分析 先根据非负数的性质求出a，b，c的值，再整体代入求值．‎ ‎ 解：依题意知(2－a)2≥0，≥0，≥0，‎ ‎ 　　所以解得 ‎ 　　 所以ax2＋bc＋c＝0即为2x2＋4x－8＝0，可化为x2＋2x＝4，‎ ‎ 　　故3x2＋6x＋1＝3(x2＋2x)＋1＝3×4＋1＝13．‎ ‎ 【解题策略】　本题在求代数式的值时充分采用了整体代入的方法．‎ ‎ 例11 已知实数x，y满足，求的平方根．‎ ‎ 分析　要求的平方根，关键是知道x，y的值，由非负数的性质知，有限个非负数之和等于零，则每个非负数都等于零，从而得到一个关于x，y的二元一次方程组．解出x，y的值．‎ ‎ 解：因为．‎ ‎ 　　又≥0，≥0，‎ ‎ 　　所以解得所以．‎ ‎ 　　所以．‎ ‎ 　例12　若a，b为实数，且，求的值．‎ ‎ 　分析　因为与均成立．所以a2－1≥0，且1－a2≥0，可得出a2－1＝0．即a＝±1．又a＋1≠0．所以a＝1．进而代入求值．‎ 解：因为a，b为实数，且a2－1≥0，1－a2≥0，所以a2－1＝1－a2＝0．‎ ‎ 　　所以a＝±1．又因为a＋1≠0，所以a＝1．代入原式，得b＝．‎ ‎ 　　所以＝－3．‎ ‎　　二、规律方法专题 ‎ 专题5　实数比较大小的方法 ‎ 1．平方法 ‎ 当a＞0，b＞0时，a＞b．‎ ‎ 例13 比较和的大小．‎ ‎ 解：因为＝12，＝18，‎ ‎ 　　 12＜18，所以＜．‎ ‎　 2．移动因数法 ‎　 利用a＝ (a≥0)，将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小．‎ ‎ 　例14 比较和的大小．‎ ‎ 分析 本题应先将根号外的4和5分别移到根号内，然后比较被开方数的大小即可；另外，本题也可用平方法来解．‎ ‎ 解：因为，，＜，所以＜．‎ ‎ 3．作差法 ‎ 当a－b＝0时，可知a＝b；当a－b＞0时，可知a＞b；当a－b＜0时，可知a＜b．‎ ‎ 例15　比较与的大小．‎ ‎ 分析　本题用作差法比较．将4和3移到根号内．‎ ‎ 解：因为－＝＜0．所以＜．‎ ‎ 4．作商法 ‎ 若，则A＝B；若＞1．则A＞B；若＜1．则A＜B．(A，B＞0且B≠0)‎ ‎ 例16 比较和的大小．‎ ‎ 分析　本题考查应用作商法比较大小．‎ ‎ 解：因为＜1，所以＜．‎ ‎　　三、思想方法专题 ‎ 专题6　分类讨论思想 ‎ 【专题解读】　当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，应按所有可能的情况分别讨论．实数的分类是这一思想的具体体现．要学会运用分类讨论思想对可能存在的情况进行分类讨论．要不重不漏．本章在研究平方根、立方根及算术平方根的性质以及化简绝对值时均用到了分类讨论思想．‎ ‎ 例17　已知数轴上有A，B两点，且这两点之间的距离为，若点A在数轴上表示的数为，则点B在数轴上表示的数为　　　　　 ．‎ ‎ 分析 本题要分为两种情况进行分析：①当B点在A点的左边时；②当B点在A点的右边时．当B点在A点的左边时，则，故B点表示的数是；②当B点在A点的右边时，则，故B点表示的数是．综上，点B在数轴上表示的数为或．故填或．‎ ‎ 【解题策略】 本题也可运用数轴上两点间的距离公式来解决，设表示B点的数为x，则，故或，则x＝或x＝．‎ ‎ 专题7　数形结合思想 ‎ 【专题解读】 实数与数轴上的点是一一对应的，实数在数轴上的表示是数形结合思想的具体表现，通过把实数在数轴上直观地表示出来，可以形象、直观地感受实数的客观存在．为理解实数的概念及其相关性质提供了有力的帮助．‎ ‎ 例‎18　‎a，b在数轴上的位置如图13－15所示，那么化简的结果是 ( )‎ ‎ 　　A．‎2a－b 　　　　　　　　 B．b ‎ 　　C．－b 　　　　　　　　　 D．－‎2a＋b ‎ 分析　先由数轴判断实数a，b的正负，再判断a－b的正负，最后化简、合并．由数轴知a＞0，b＜0，a＞b，所以a－b＞0，所以＝a－b－a＝－b．故选C．‎ ‎ 专题8　类比思想 ‎ 【专题解读】 本章在学习实数的有关概念及性质、运算时，可以类比已学过的有理数加以理解和运用．‎ ‎ 例19　已知四个命题：①如果一个数的相反数等于它本身，那么这个数是0；②若一个数的倒数等于它本身，则这个数是1；③‎ 若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是1或0；④如果一个数的绝对值等于它本身．那么这个数是正数．其中真命题有 ( )‎ ‎ 　　A．1个 　　 B．2个 　　 C．3个 　　 D．4个 ‎ 分析　倒数等于它本身的数为±1，故②错；绝对值等于它本身的数除了正数还有0．故④错．①③是正确的．故选B．‎ ‎ 例20　设a为实数，则的值 ( )‎ ‎ 　 A．可以是负数 B．不可能是负数 ‎ C．必是正数 D．正数、负数均可 分析　若a＜0，则，所以＝－‎2a＞0；若a≥0，则，所以＝0．因此不可能为负数．故选B． ‎ 综合验收评估测试题 ‎ (时间：120分钟 满分：120分)‎ ‎ 一、选择题(每小题3分，共30分)‎ ‎　　1． 的平方根是 ( )‎ ‎　　 A．81 　　 B．±3 　　 C．3 　　 D．－3‎ ‎　　2．计算的结果是 ( )‎ ‎ 　　A．9 　　 B．－‎9 ‎‎ C．3　　 D．－3‎ ‎　　3．与最接近的两个整数是 ( )‎ ‎ A．1和2 B．2和‎3 ‎‎ C．3和4 D．4和5‎ ‎　　4．如图13－16所示，数轴上的点P表示的数可能是 ( )‎ ‎ A． B．－‎ ‎ C．－3.8　 D．－‎ ‎　　5．下列实数中，是无理数的为 ( )‎ ‎ A．3.14 B． C． 　　D．‎ ‎　　6．的平方的立方根的相反数为 ( )‎ ‎ A．4 B． C． D．‎ ‎ 7．的算术平方根是 ( )‎ ‎ A．8 B．±‎8 ‎‎ C． D．‎ ‎ 8．如图13－17所示，数轴上A，B两点表示的数分别为－1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为( )‎ ‎ A．－2－ B．－1－‎ ‎　 C．－2＋ 　　D．1＋‎ ‎　　9．已知a，b为实数，则下列命题中，正确的是 ( )‎ ‎ A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＞，则a2＞b2‎ ‎ C．若＜b，则a2＞b2 D．若＞3，则a2＜b2‎ ‎ 10．下列说法中，正确的是 ( )‎ ‎ 　　A．两个无理数的和是无理数 ‎ 　　 B．一个有理数与一个无理数的和是无理数 ‎ 　　 C．两个无理数的积还是无理数 ‎ 　　D．一个有理数与一个无理数的积是无理数 ‎　　二、填空题(每小题3分，共30分)‎ ‎　　11．已知a为实数，那么等于 ．‎ ‎ 12．已知一个正数的两个平方根分别是3x－2和5x＋6，则这个数是　 　　 ．‎ ‎　　13．若x3＝64，则x的平方根为　 　　　．‎ ‎　　14．若5是a的平方根，则a＝ 　 ，a的另一个平方根是 　　　 ．‎ ‎　　15．的相反数为 　　　．‎ ‎　　16．若，则x＝　　 ．‎ ‎17．若m＜0．则化简＝　　　 ．‎ ‎　　18．若，则x＝　 ．‎ ‎　　19．设a，b为有理数，且，则ab的值为 　　　 ．‎ ‎ 20．若对应数轴上的点A，－对应数轴上的点B，那么A，B之间的距离为 　 ．‎ ‎　　三、解答题(每小题10分，共60分)‎ ‎ 21．已知x，y满足y＜，化简．‎ ‎　　22．已知9x2－16＝0，且x是负数，求的值．‎ ‎ 23．设2＋的小数部分是a，求a(a＋2)的值．‎ ‎　　24．计算．‎ ‎　　25．用‎48米长的篱笆在空地上围一个绿化场地，现有两种设计方案：一种是围成正方形场地；另一种是围成圆形场地．选用哪一种方案围成的场地的面积较大?并说明理由．‎ ‎26．已知△ABC三边长分别为a，b，c，且满足，试求c的取值范围．‎ 参考答案 ‎1．B[提示：＝9，9的平方根是±3．] ‎ ‎2．C ‎ ‎3．C[提示：∵9＜10＜16，∴3＜＜4．] ‎ ‎4．B[提示：因为≈2.236，所以－≈－2.236．]　‎ ‎5．C　‎ ‎6．C　‎ ‎7．D[提示：将化简．即＝8．] ‎ ‎8．A[提示：因为A表示－1，B表示，所以AB的长是，点C表示的数是－1－(＋1)＝－1－－1＝－2－．]　‎ ‎9．B ‎ ‎10．B ‎ ‎11．0[提示：因为有意义，所以－a2≥0．又因为a2≥0，所以a2＝0，所以a＝0，所以＝0．] ‎ ‎12．　[提示：由已知得3x－2与5x＋6互为相反数，所以3x－2＋5x＋6＝0，所以8x＋4＝0，所以x＝．3x－2＝3×()－2＝，5x＋6＝5×()＋6＝，所以这个数是．] ‎ ‎13．±2[提示：由x3＝64可知x＝4，故本题要求4的平方根．] ‎ ‎14．25 －‎ ‎5[提示：一个数的平方根的平方即为这个数，正数有两个平方根，它们互为相反数．] ‎ ‎15． ‎ ‎16．或 ‎ ‎17．－‎3m　‎ ‎18．　　‎ ‎19．［提示：应先求出a，b的值，再求ab的值．由a＋＝3－，得a＝3，b＝－2，所以ab＝3－2＝．] ‎ ‎20．[提示：画数轴分析即可．]　减号改为加号 ‎21解．由题意可知 所以即x＝1，所以y＜即为y＜，所以＝ 不等于号都不规范＝－1． ‎ ‎22．解：由9x2－16＝0得9x2＝16，即x＝±．又因为x为负数，所以x＝－．将x＝－代入，可得＝6． ‎ ‎23．解：因为的整数部分为2，所以2＋的整数部分为4，所以2＋的小数部分为(2＋)－4，即a＝－2，所以a(a＋2)＝(－2)×(－2＋2)＝(－2)×＝7－． ‎ ‎24．解：原式＝4－1＋1＋1＝5． ‎ ‎25．解：选用围成圆形场地的方案围成的面积大．设S1，S2分别表示围成的正方形场地和圆形场地的面积，则S1＝＝144＝ (平方米)，S2＝π·＝ (平方米)．∵π＜4，∴＞，∴＞，∴＞144，∴S1＞S2，即围成的圆形场地的面积大． ‎ ‎26．解：因为＝0，而≥0，(b－2)2≥0，所以＝0，(b－2)2＝0，所以a＝1，b＝2．由三角形的三边关系知1＜c＜3．‎