高考数学考点归纳之函数与方程 11页

高考数学考点归纳之函数与方程一、基础知识1．函数的零点(1)零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.2．函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.3．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．二、常用结论有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． [典例]　(1)(2018·福建期末)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是(　　)A．0　　　　　　　　　　B．1C．2D．3(2)设函数f(x)＝x－lnx，则函数y＝f(x)(　　)A．在区间，(1，e)内均有零点B．在区间，(1，e)内均无零点C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点[解析]　(1)解方程法令f(x)＋3x＝0，则或解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2.(2)法一：图象法令f(x)＝0得x＝lnx．作出函数y＝x和y＝lnx的图象，如图，显然y＝f(x)在内无零点，在(1，e)内有零点．法二：定理法 当x∈时，函数图象是连续的，且f′(x)＝－＝<0，所以函数f(x)在上单调递减．又f＝＋1>0，f(1)＝>0，f(e)＝e－1<0，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内．[答案]　(1)C　(2)D[解题技法]　掌握判断函数零点个数的3种方法(1)解方程法若对应方程f(x)＝0可解，通过解方程，即可判断函数是否有零点，其中方程有几个解就对应有几个零点．(2)定理法利用函数零点的存在性定理进行判断，但必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数．(3)数形结合法合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其是否有交点，若有交点，其中交点的个数，就是函数零点的个数．[题组训练]1.函数f(x)＝x3－x2－1的零点所在的区间是(　　)A．(0,1)B．(－1,0)C．(1,2)D．(2,3)解析：选C　函数f(x)＝x3－x2－1是连续函数．因为f(1)＝1－1－1＝－1<0，f(2)＝8－4－1＝3>0，所以f(1)f(2)<0，结合选项可知函数的零点所在的区间是(1,2)．2.函数f(x)＝的零点个数为(　　)A．3B．2 C．7D．0解析：选B　法一：(解方程法)由f(x)＝0得或解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．法二：(图象法)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．3.设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：选B　函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在区间．如图如示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．考法(一)　已知函数零点个数求参数范围[典例]　(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)A．[－1,0)　　　　　　　B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)[解析]　令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)． 在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．[答案]　C考法(二)　已知函数零点所在区间求参数范围[典例]　(2019·安庆摸底)若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数a的取值范围是________．[解析]　∵函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，∴方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解．方程a＝4x－2x可变形为a＝2－，∵x∈[－1,1]，∴2x∈，∴2－∈.∴实数a的取值范围是.[答案]　[题组训练]1．(2019·北京西城区模拟)若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)A．(1,3)　　　　　　　　B．(1,2) C．(0,3)D．(0,2)解析：选C　因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得00，可知函数f(x)在区间(0,1)上有且只有一个零点，故选B.3．(2018·豫西南部分示范性高中联考)函数f(x)＝lnx－的零点所在的区间为(　　)A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：选B　易知f(x)＝lnx－的定义域为(0，＋∞)，且在定义域上单调递增．∵f(1)＝－2<0，f(2)＝ln2－>0，∴f(1)·f(2)<0，∴根据零点存在性定理知f(x)＝lnx－的零点所在的区间为(1,2)．4．若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是(　　)A．(1，＋∞)B．(－∞，1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,1)解析：选C　由题意知，f(－1)·f(1)＜0，即(1－a)(1＋a)＜0，解得a＜－1或a＞1.5．已知实数a＞1,0＜b＜1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是(　　)A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)解析：选B　因为a＞1,0＜b＜1，所以f(x)＝ax＋x－b在R上是单调增函数，所以f(－1)＝－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，由零点存在性定理可知，f(x)在区间(－1,0)上存在零点．6．若a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由函数零点的存在性定理可知函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．7．函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为(　　)A．0B．1C．2D．3解析：选C　由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝lnx(x>0)的图象如图所示．由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.8．(2019·郑州质量测试)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)A．(0,1]B．[1，＋∞)C．(0,1)D．(－∞，1]解析：选A　画出函数f(x)的大致图象如图所示．因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需00时，f(x)有一个零点，需－a<0，即a>0.综上，0