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- 2021-05-13 发布
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2019年11月份温州市普通高中高考适应性测试
数学试题
一、选择题:每小题4分,共40分
1. 已知全集,,,则( )
A. B. C. D.
2. 设实数满足不等式组,则的最大值为( )
A.0 B.2 C.4 D.6
3. 某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积等于( )
A. B. C. D.
4. 若双曲线的离心率为,则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
5. 已知,是实数,则“且”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6. 函数的图象可能是( )
1. 在四面体中,是等边三角形,,二面角的大小为,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2. 已知随机变量满足,,其中,令随机变量,则( )
A. B. C. D.
3. 如图,为椭圆上的一动点,过点作椭圆的两条
切线,,斜率分别为,.若为定值,则( )
A. B. C. D.
1. 已知数列满足,,给出以下两个命题:命题:对任意,都有;命题:存在,使得对任意,都有.则( )
A.真,真 B.真,假 C.假,真 D.假,假
二、填空题:单空题每题4分,多空题每题6分
2. 若复数满足,其中为虚数单位,则 , .
3. 直线与轴、轴分别交于点,,则 ;以线段为直径的圆的方程为 .
4. 若对,恒有,其中,则 , .
5. 如图所示,四边形中,,,,则的面积为 , .
1. 学校水果店里有苹果、香蕉、石榴、橘子、葡萄、西梅6种水果,西梅数量不多,只够一人购买.甲、乙、丙、丁4位同学前去购买,每人只选择其中一种,这4位同学购买后,恰好买了其中3种水果,则他们购买水果的可能情况有 种.
2. 已知平面向量,,满足,,,与的夹角为,则的最大值为 .
3. 设函数,若在上的最大值为2,则实数所有可能的取值组成的集合是 .
三、解答题:5小题,共74分
4. (本题满分14分)在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知,.
(1)求角A的值;
(2)求函数()的值域.
5. (本题满分15)如图,已知四棱锥,,平面平面,且,.
(1)证明:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
1. (本题满分15)已知等差数列的首项,数列的前项和为,且,,成等比数列.
(1)求通项公式;
(2)求证:();
2. (本题满分15)如图,是抛物线的焦点,过的直线交抛物线于,两点,其中,.过点作轴的垂线交抛物线的准线于点,直线交抛物线于点,.
(1)求的值;
(2)求四边形的面积的最小值.
1. (本题满分15)已知实数,设函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,若对任意的,均有,求的取值范围.
注:为自然对数的底数.
参考答案
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
A
A
B
C
D
C
B
二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.
11.,; 12., 13.,; 14.,;
15.600; 16.; 17..
三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(Ⅰ)由正弦定理,得,
则,得,
又为锐角,故;
(Ⅱ)
,
因,故,
于是,因此,
即的值域为.
19.(I)证明:分别取,的中点,,连结,,.
因,为的中点,
故.
同理,,.
故平面.
故.
因平面平面,平面平面,
平面,,
故平面.
则.
又,是平面中的相交直线,
故平面.
(II)法一:设直线和交于点,连结,则.
因,故,
则.
取的中点,连结,,则,
所以就是直线与平面所成角.
不妨设,则在中,,
故,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
法二:由(I)知,,又∥,
故.
如图,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,
不妨设,则,,,
,,
则,,.
设是面的一个法向量,
则,即,
取,则.
设直线与平面所成的角为,
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20.解答:(I)记为的公差,则对任意,,
即为等比数列,公比.
由,,成等比数列,得,
即,解得,即.
所以,即;
(II)由(I),即证:.
下面用数学归纳法证明上述不等式.
①当时,不等式显然成立;
②假设当时,不等式成立,即,
则当时,.
因,
故.
于是,
即当时,不等式仍成立.
综合①②,得.
所以.
21.解答:(I)易得直线的方程为,
代入,得,所以;
(II)点,则,直线,
代入,得.
设,则.
设到的距离分别为,由,得
,
因此.
设函数,则,
可得,当时,单调递减;当时,单调递增,
从而当时,取得最小值.
22.解答:(I)由,解得.
①若,则当时,,故在内单调递增;
当时,,故在内单调递减.
②若,则当时,,故在内单调递增;
当时,,故在内单调递减.
综上所述,在内单调递减,在内单调递增.
(II),即(﹡).
令,得,则.
当时,不等式(﹡)显然成立,
当时,两边取对数,即恒成立.
令函数,即在内恒成立.
由,得.
故当时,,单调递增;当时,,
单调递减.
因此.
令函数,其中,
则,得,
故当时,,单调递减;当时,,单调
递增.
又,,
故当时,恒成立,因此恒成立,
即当时,对任意的,均有成立.