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- 2021-05-13 发布
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典型例题一
例1 比较与的大小,其中.
解:
,
,
,
,
∴ .
说明:由例1可以看出实数比较大小的依据是:①;
②;③.
典型例题二
例2 比较与的大小,其中
解:
,
,
,
,
,
∴ 当时,;
当时,
说明:两个实数比较大小,通常用作差法来进行,其一般步骤是:第一步:作差;第二步:变形,常采用配方,因式分解等恒等变形手段;第三步:定号,贵州省是能确定是大于0,还是等于0,还是小于0.最后得结论.概括为“三步,—结论”,这里的“变形”一步最为关键.
典型例题三
例3 ,比较与()的大小.
分析:直接作差需要将与()展开,过程复杂,式子冗长,可否考虑根据两个式子特点,予以变形,再作差.
解:∵=()[来源:学科网]
,
,
∴
.
则有时,()恒成立.
说明:有的确问题直接作差不容易判断其符号,这时可根据两式的特点考虑先变形,到比较易于判断符号时,再作差,予以比较,如此例就是先变形后,再作差.
典型例题四
例4 设,比较与的大小.
解:作差,
1)当时,即,
∴ ;
2)当,即时,,
∴;
3)当但,即或时,,
∴.
说明:如本题作差,变形,变形到最简形式时,由于式中含有字母,不能定号,必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号.此时要注意分类合理恰当.
典型例题五
例5 比较与的大小
分析:两个数是幂的形式,比较大小一般采用作商法。
解:
说明:求商法比大小的变形要围绕与1比大小进行.
典型例题六
例6 设,且,比较:与的大小。
分析:比较大小一般方法是求差法或求商法,利用不等式的性质进行变形,然后确定大小。
解:
当时,,
当时,
即,
又,
说明:求商法的基本步骤是:①求商,②变形,③与1比大小从而确定两个数的大小.
典型例题七
例7 实数满足条件:①;②;③
,则有( )
A. B.
C. D.
(天津市2001年南开中学期末试题)[来源:学+科+网Z+X+X+K]
分析:先由条件②③分析出与的关系,根据条件利用①用数轴数形结合比出大小.
解:∵,∴与同侧
∵,∴与异侧
∵
∴把标在数轴上,只有下面一种情况
由此得出,∴此题选D.
说明:比较大小时可以借助于数轴,利用推出的一些结论在数轴上标出它们的相对位置,这样容易看出几个数之间的大小关系,尤其是比较的个数较多时适用.
典型例题八
例8 已知①;②,求:的取值范围.
分析:此题是给代数式的字母的范围,求另外代数式的范围.分为两步来进行:(1)利用待定系数法将代数式用和表示.(2)利用不等式性质及题目条件确定的范围.
解:设:
由①+②×2得:
:.
说明:此题的一种典型错误做法,如下:
,即:
:
此解法的错误原因是因为与是两个相互联系,相互制约的量,而不是各自独立的,当取到最大值或最小值时,不一定能取到最值,所以用以上方法可能扩大变量的范围.
避免出错的方法是通过待定系数法“整体代入”,见解题过程.
[来源:学科网]
典型例题九
例9 判断下列各命题的真假,并说明理由.
(1)若,则
(2)若,则
(3)若,则
(4)若,则
(5)若,则
(6)若,则
分析:利用不等式的性质来判断命题的真假.
解:(1),是真命题.
(2)可用赋值法:,有,是假命题.
也可这样说明:,[来源:Z。xx。k.Com]
∵ ,只能确定,
但的符号无法确定,从而的符号确定不了,所以无法得到,实际上有:
(3)与(2)类似,由,从而是假命题.
(4)取特殊值:
有,∴ 是假命题.
定理3的推论是同向不等式可相加,但同向不等式相减不一定成立.只有异向不等式可相减,即
(5), ∴是真命题.
(6)定理4成立的条件为必须是正数.
举反例:
,则有
说明:在利用不等式的性质解题时,一定要注意性质定理成立的条件.要说明一个命题是假命题可通过举反例.
典型例题十
例10 求证:
分析:把已知的大小关系转化为差数的正负,再利用不等式的性质完成推理.
证明:利用不等式的性质,得
典型例题十一
例11 若,则下面不等式中成立的一个是( )
(A) (B)
(C) (D)
解:由不等式的性质知:(A)、(B)、(C)成立的条件都不充分,所以选(D),其实(D) 正是异向不等式相减的结果.
说明:本的解法都是不等式性质的基本应用,对于不等式的基本性质要逐条掌握准确,以便灵活应用.
典型例题十二
例12 若,则下面各式中恒成立的是( ).
(A) (B)
(C) (D)
分析 本题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形,应看到,已知条件中含有两个内容,即,和,根据不等式的性质,可得,,继而得到且,故,因此选A.
典型例题十三
例13 若,则一定成立的不等式是( )
A. B. C. D.
分析:A错,当时有;同样B错;D没有考虑各数取零和正负号的关系,所以也不对.
故选C,因为不等式两边同时加上一个任意数(此题是),原不等式成立.
说明:这类题可以采用特例法:令即得C成立.
典型例题十四
例14 已知:,求证:.[来源:Z,xx,k.Com]
分析:要证明的式子中,左右均为二项差,其中都有一项是两字母积的形式,因此在证明时,对两项积要注意性质的使用,对两项差的证明要注意使用同向加性或异向减性来处理.
证明:
又∴由同向加性可得:.
说明:此题还可采用异向减性来处理:做这类题过程并不复杂,关键是记准性质,并能正确地应用.
典型例题十五
例15已知集合求:.
分析:要求,需要先求集合和,从已知来看,的范围容易求,的元素由可以推算,但在推算过程中,要注意运用不等式的性质.
解:
说明:本题中的条件,意在明确集合中的元素为,若去掉此条件,会出现不确定的情况.比如,的实数和的整数显然是有区别的.另外,这里集合的元素是通过集合的元素求出的,解题时,一定要看清.
典型例题十六
例16 设和都是非零实数,求不等式和同时成立的充要条件.
分析:本题是求两个不等式同时成立的充要条件,因此,这两个不等式不能分开来讨论.如果分开讨论,则成立的条件就是本身;而成立的条件则是与同号,且,但这个条件只是的一个充分条件,并且与第一个不等式是矛盾的.所以必须研究这两个不等式同时成立的条件.显然,应该从求它们同时成立的必要条件入手.
解:先求,同时成立的必要条件,即当,同时成立时,与应具备什么条件.
由,得
由可知,再由知,即与异号,因此是不等式与同时成立的必要条件.
再求,同时成立的充分条件.
事实上,当时,必有,且,因而成立.从而是不等式,同时成立的充分条件.
因此,两个不等式,同时成立的充要条件是.
说明:本题结果表明,与同时成立,其充要条件是为正数,为负数.这与成立的条件,不要混淆.解本题是从必要条件入手的,即若,同时成立,则要研究从不等式和看与的大小有什么关系,从中得出结论(),再把这个结论作为一个充分条件去验证及能否同时成立.从而解决了本题.
典型例题十七
例17 已知函数满足:则应满足( )
(A) (B)
(C) (D)
分析:如果能用与将“线性”表示出:,就可利用不等式的基本性质,由、的取值范围,推出满足的条件.
解:∵
∴
故
由不等式的基本性质,得
故选(C).
说明:(1)也可设,由代定系数法求得,.
(2)下面的错误是值得引以为戒的∵
又
∴
故选(A)
上述推理错误产生的原因是由于将条件
化为使、的取值范围扩大所致.事实上,作为点集
与之间的关系是,如图点集N是图中乱世形OABD所围成的区域,点集M是由平行四边形MNBP所围成的区域,这样就直观地表现了,揭示了上述解法的错误.