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- 2021-05-13 发布
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第2课 运动的图像 追及、相遇问题
1.解决运动学图像问题的关键是明确图像要素的物理意义
a.通过理解v-t图像的物理意义解决运动学问题
(1)(2014全国Ⅱ,6分)甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t=0到t=t1的时间内,它们的v-t图像如图所示。在这段时间内( )
A.汽车甲的平均速度比乙的大
B.汽车乙的平均速度等于
C.甲、乙两汽车的位移相同
D.汽车甲的加速度大小逐渐减小,汽车乙的加速度大小逐渐增大
答案:A
解析:根据v-t图像可以看出,在0~t1这段时间内,汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移
x乙,故C项错误。根据v=得,汽车甲的平均速度甲大于汽车乙的平均速度乙,故A项正确。作出初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的图线如图所示,由图可知汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移,即汽车乙的平均速度小于,故B项错误。v-t图像的斜率反映了加速度的大小,因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小,故D项错误。
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(2)(2018改编,10分)一摩托车由静止开始在平直的公路上行驶,前20 s内摩托车做匀加速运动至速度达到30 m/s,20 s至45 s内摩托车做匀速直线运动,而后摩托车匀减速到停止用了30 s,求:
①摩托车在0~20 s这段时间内的加速度大小a;
②摩托车在0~75 s这段时间内的平均速度大小。
答案:①1.5 m/s2(3分) ②20 m/s(7分)
解析:①加速度a=(2分)
解得a=1.5 m/s2(1分)
②根据题意作出0~75 s的v-t图像如图所示
则由图得0~75 s的位移
x=×30×(75+25)m=1 500 m(4分)
==m/s=20 m/s(3分)
b.通过解读x-t图像的物理意义解决运动学问题
(3)(多选)(2013全国Ⅰ,6分)如图,直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置—时间(x-t)图线,由图可知( )
A.在时刻t1,a车追上b车
B.在时刻t2,a、b两车运动方向相反
C.在t1到t2这段时间内,b车的速率先减小后增加
D.在t1到t2这段时间内,b车的速率一直比a车大
答案:BC
解析:开始时a在b的前边,在时刻t1,a、b两车的位置坐标相同,故b车追上a车,故A项错误。在时刻t2
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,由两图线切线的斜率方向相反,知两车运动方向相反,故B项正确。由图知在t1到t2这段时间内,b车图线斜率先减小到0,再反向增大,则b车的速率先减小后增大,故C项正确。在t1到t2这段时间内,a车图线斜率始终大于0且大小不变,而b车的速率在某一时刻减小到0,所以b车的速率不是一直比a车大,故D项错误。
c.通过理解x与v的关系图像的物理意义解决运动学问题
(4)(2018改编,12分)研究表明,一般人的刹车反应时间,即图(a)中“反应过程”所用时间t0=0.4 s,但饮酒会导致反应时间延长,在某次试验中,志愿者少量饮酒后驾车在试验场的水平路面上匀速行驶,从发现情况到汽车停止,行驶距离L=39 m。减速过程中汽车位移x与速度v的关系曲线如图(b)所示,此过程可视为匀变速直线运动。求:
①减速过程汽车加速度的大小及所用时间;
②饮酒使志愿者的反应时间比一般人增加了多少?
答案:①8 m/s2,2.5 s(6分) ② 0.3 s(6分)
解析:①设减速过程中汽车加速度的大小为a,所用时间为t,由题图(b)可得初速度v0=
72 km/h=20 m/s,末速度vt=0,位移x=25 m,由运动学公式得
v=2ax①(2分)
t=②(2分)
①②联立解得
a=8 m/s2③(1分)
t=2.5 s④(1分)
②设志愿者反应时间为,反应时间的增加量为Δt,由运动学公式得
L=v0+x⑤(2分)
Δt=-t0⑥(2分)
⑤⑥联立解得Δt=0.3 s⑦(2分)
d.理解直线运动的加速度、速度、位移、时间的关系,选择符合题意的运动学图像
(5)(多选)(经典题,4分)一物体做直线运动,其加速度随时间变化的a-t图像如图所示。下列v-t图像中,可能正确描述此物体运动的是( )
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答案:AC
解析:在0~内,物体沿加速度方向做匀变速运动,v-t图像是倾斜的直线。在~T内,加速度为0,物体做匀速直线运动或处于静止状态,v-t图像是平行于t轴的直线。在T~2T内,加速度反向,物体做匀变速直线运动,到2T时刻速度与初速度相同,v-t图像是向下倾斜的直线,故A项、C项均正确,B项、D项均错误。
(6)(2014福建理综,6分)如图所示,滑块以初速度v0沿表面粗糙且足够长的固定斜面,从顶端下滑,直至速度为零。对于该运动过程,若用h、s、v、a分别表示滑块的下降高度、位移、速度和加速度的大小,t表示时间,则下列图像最能正确描述这一运动规律的是( )
答案: B
解析:滑块沿斜面下滑过程中,受重力、支持力和滑动摩擦力作用,做匀减速直线运动,故速度—时间图像为向下倾斜的直线,故C项错误。滑块加速度保持不变,故D项错误。设滑块的加速度大小为a,则滑块的位移s=v0t-at2,s-t图像为开口向下的抛物线,故B项正确。设斜面倾角为θ,滑块下降高度h=ssin θ,所以h-t图像也是开口向下的抛物线,故A项错误。
2.求解追及、相遇问题的关键是求两物体的相对位移
a.运用函数法、相对运动法和图像法解决速度小的物体追速度大的物体类型的题目
(7)(2018改编,14分)一辆汽车在平直公路上以3 m/s2的加速度由静止开始行驶,此时在汽车前方18 m处一辆自行车正以6 m/s的速度匀速行驶,求:
①汽车开动后,追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?最远距离是多少?
②经过多长时间汽车追上自行车,此时汽车的速度是多少?
答案:①2 s,24 m(8分) ②6 s,18 m/s(6分)
解析:①两车相距最远时速度相等,即有
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v汽= v自=6 m/s(1分)
此时汽车运动的时间t1==2 s(2分)
此过程中自行车位移x自= v自t1=12 m (2分)
汽车的位移x汽=at12=6 m (2分)
故汽车追上自行车前两车的最远距离为
Δxmax=x0+x自- x汽=24 m(1分)
②汽车追上自行车时有
at2=v自t+x0(3分)
解得t=6 s(1分)
此时汽车的速度v=at=18 m/s(2分)
b.速度大的物体追速度小的物体类型的追及、相遇问题
(8)(经典题,8分)一辆客车以速度v1前进,司机发现前面在同一直线上有辆货车正在以v2匀速前进,且v2<v1,货车车尾与客车车头距离为s,客车立即刹车,做匀减速运动,而货车仍保持原速度前进。求客车的加速度大小符合什么条件时,客车与货车不会相撞?
答案:a>(8分)
解析:设客车的加速度大小为a时,刚好撞上货车,所用时间为t,则
客车位移x1=v1t-at2 ①(2分)
货车位移x2=v2t ②(2分)
刚撞上时有x1-x2=s ③(1分)
v2=v1-at ④(2分)
①②③④联立解得a=(1分)
故客车的加速度大小至少为时,客车与货车不会相撞。
(9)(多选)(2016全国Ⅰ,6分)甲、乙两车在平直公路上同向行驶,其v-t图像如图所示。已知两车在t=3 s时并排行驶,则( )
A.在t=1 s时,甲车在乙车后
B.在t=0时,甲车在乙车前7.5 m
C.两车另一次并排行驶的时刻是t=2 s
D.甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
答案:BD
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解析:由图像知,在1~3 s内,两车的位移相等,又两车在t=3 s时并排行驶,所以两车在t=1 s时也并排行驶,故A项、C项均错误。t=1 s时两车并排行驶,即两车相遇,则0~1 s内有x乙=x甲+Δx,v-t图线与坐标轴围成的面积表示位移,则在t=0时,甲车在乙车前的距离Δx= m=7.5 m,故B项正确。甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离也就是从第1 s末到第3 s末两车运动的位移Δx′= m=40 m,故D项正确。
c.在限制条件发生前后分阶段研究有限制条件的追及、相遇问题
(10)(经典题,20分)一辆值勤的警车停在公路边,当警员发现从他旁边以10 m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时,决定前去追赶,经过5.5 s后警车发动起来,并以2.5 m/s2的加速度做匀加速运动,但警车的行驶速度必须控制在90 km/h以内。
①警车在追赶货车的过程中,两车间的最大距离是多少?
②判定警车在加速阶段能否追上货车(要求通过计算说明);
③警车发动后要多长时间才能追上货车?
答案:①75 m(6分) ②不能(计算说明见解析)(7分) ③12 s(7分)
解析:①警车在追赶货车的过程中,当两车速度相等时,它们的距离最大,设警车发动后经过t1时间两车的速度相等,则
t1=①(2分)
两车速度相等时两车的位移分别为
x货= v货(t0+t1)②(1分)
x警=at12③(1分)
所以两车间的最大距离Δx=x货-x警④(1分)
①②③④联立解得Δx=75 m(1分)
②当警车刚达到最大速度时,运动时间
t2=⑤(2分)
x货1= v货(t0+t2) ⑥(2分)
x警1=at⑦(2分)
⑤⑥⑦联立解得x货1=155 m>x警1=125 m,故此时警车尚未追上货车。(1分)
③警车刚达到最大速度时两车距离
Δx1=x货1-x警1⑧(2分)
警车达到最大速度后做匀速运动,设再经过Δt时间追赶上货车,以货车为参考系,则
Δt=⑨(2分)
t=t2+Δt⑩(2分)
⑧⑨⑩联立得t=12 s(1分)
即警车发动后12 s才能追上货车。
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