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- 2021-05-13 发布
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2012年普通高等学校招生全国统一考试(2全国卷)
数学(文)试题
一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)
1.已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则( )
A.AB B.CB C.DC D.AD
2.函数(x≥-1)的反函数为( )
A.y=x2-1(x≥0) B.y=x2-1(x≥1)
C.y=x2+1(x≥0) D.y=x2+1(x≥1)
3.若函数(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=( )
A. B. C. D.
4.已知α为第二象限角,,则sin2α=( )
A. B. C. D.
5.椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为( )
A. B.
C. D.
6.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=( )
A.2n-1 B. C. D.
7. 6位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有( )
A.240种 B.360种 C.480种 D.720种
8.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为( )
A.2 B. C. D.1
9.△ABC中,AB边的高为CD.若=a,=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,则=( )
A. B.
C. D.
10.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=( )
A. B. C. D.
11.已知x=ln π,y=log52,,则( )
A.x<y<z B.z<x<y
C.z<y<x D.y<z<x
12.正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=.动点P从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为( )
A.8 B.6 C.4 D.3
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.
13.(x+)8的展开式中x2的系数为__________.
14.若x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为__________.
15.当函数y=sinx-cosx(0≤x<2π)取得最大值时,x=__________.
16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为__________.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.△ABC中,内角A,B,C成等差数列,其对边a,b,c满足2b2=3ac,求A.
18.已知数列{an}中,a1=1,前n项和.
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通项公式.
19.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC.
(1)证明:PC⊥平面BED;
(2)设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.
20.乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换.每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.
(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;
(2) 求开始第5次发球时,甲得分领先的概率.
21.已知函数f(x)=x3+x2+ax.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设f(x)有两个极值点x1,x2,若过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y=f(x)上,求a的值.
22.已知抛物线C:y=(x+1)2与圆M:(x-1)2+(y-)2=r2(r>0)有一个公共点A,且在A处两曲线的切线为同一直线l.
(1)求r;
(2)设m,n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m,n的交点为D,求D到l的距离.
2012年普通高等学校招生全国统一考试(2全国卷)
数学(文)试题
答案解析:
1. B ∵正方形组成的集合是矩形组成集合的子集,
∴CB.
2. A ∵,∴y2=x+1,
∴x=y2-1,x,y互换可得:y=x2-1.
又∵.∴反函数中x≥0,故选A项.
3.C ∵是偶函数,∴f(0)=±1.
∴.∴(k∈Z).
∴φ=3kπ+(k∈Z).
又∵φ∈[0,2π],∴当k=0时,.故选C项.
4.A ∵,且α为第二象限角,
∴.
∴.故选A项.
5. C ∵焦距为4,即2c=4,∴c=2.
又∵准线x=-4,∴.
∴a2=8.∴b2=a2-c2=8-4=4.
∴椭圆的方程为,故选C项.
6.B 当n=1时,S1=2a2,又因S1=a1=1,
所以,.
显然只有B项符合.
7. C 由题意可采用分步乘法计数原理,甲的排法种数为,剩余5人进行全排列:,故总的情况有:·=480种.故选C项.
8. D 连结AC交BD于点O,连结OE,
∵AB=2,∴.
又,则AC=CC1.
作CH⊥AC1于点H,交OE于点M.
由OE为△ACC1的中位线知,
CM⊥OE,M为CH的中点.
由BD⊥AC,EC⊥BD知,BD⊥面EOC,
∴CM⊥BD.∴CM⊥面BDE.
∴HM为直线AC1到平面BDE的距离.
又△ACC1为等腰直角三角形,∴CH=2.∴HM=1.
9. D ∵a·b=0,∴a⊥b.
又∵|a|=1,|b|=2,
∴.
∴.
∴.
∴.
10. C 设|PF2|=m,则|PF1|=2m,
由双曲线定义|PF1|-|PF2|=2a,
∴2m-m=.∴.
又,
∴由余弦定理可得
cos∠F1PF2=.
11. D ∵x=ln π>1,y=log52>,
,且<e0=1,∴y<z<x.
12. B 如图,由题意:
tan∠BEF=,
∴,∴X2为HD中点,
,∴,
,∴,
,∴,
,∴,∴X6与E重合,故选B项.
13.答案:7
解析:∵(x+)8展开式的通项为Tr+1=x8-r()r=Cr82-rx8-2r,
令8-2r=2,解得r=3.
∴x2的系数为2-3=7.
14.答案:-1
解析:由题意画出可行域,由z=3x-y得y=3x-z,要使z取最小值,只需截距最大即可,故直线过A(0,1)时,z最大.
∴zmax=3×0-1=-1.
15.答案:
解析:y=sinx-cosx=.
当y取最大值时,,∴x=2kπ+.
又∵0≤x<2π,∴.
16.答案:
解析:设正方体的棱长为a.连结A1E,可知D1F∥A1E,
∴异面直线AE与D1F所成的角可转化为AE与A1E所成的角,
在△AEA1中,
.
17.解:由A,B,C成等差数列及A+B+C=180°,得B=60°,A+C=120°.
由2b2=3ac及正弦定理得2sin2B=3sinAsinC,
故.
cos(A+C)=cosAcosC-sinAsinC=cosAcosC-,
即cosAcosC-=,cosAcosC=0,
cosA=0或cosC=0,所以A=90°或A=30°.
18.解:(1)由得3(a1+a2)=4a2,解得a2=3a1=3;
由得3(a1+a2+a3)=5a3,解得a3=(a1+a2)=6.
(2)由题设知a1=1.
当n>1时有an=Sn-Sn-1=,
整理得.
于是a1=1,a2=a1,a3=a2,…
an-1=an-2,an=an-1.
将以上n个等式两端分别相乘,整理得.
综上,{an}的通项公式.
19.解法一:(1)证明:因为底面ABCD为菱形,所以BD⊥AC.
又PA⊥底面ABCD,
所以PC⊥BD.
设AC∩BD=F,连结EF.
因为,PA=2,PE=2EC,
故,,,
从而,,
因为,∠FCE=∠PCA,
所以△FCE∽△PCA,∠FEC=∠PAC=90°,
由此知PC⊥EF.
PC与平面BED内两条相交直线BD,EF都垂直,所以PC
⊥平面BED.
(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB,G为垂足.
因为二面角A-PB-C为90°,所以平面PAB⊥平面PBC.
又平面PAB∩平面PBC=PB,故AG⊥平面PBC,AG⊥BC.
BC与平面PAB内两条相交直线PA,AG都垂直,
故BC⊥平面PAB,于是BC⊥AB,
所以底面ABCD为正方形,AD=2,.
设D到平面PBC的距离为d.
因为AD∥BC,且AD平面PBC,BC平面PBC,故AD∥平面PBC,A,D两点到平面PBC的距离相等,即d=AG=.
设PD与平面PBC所成的角为α,则.
所以PD与平面PBC所成的角为30°.
解法二:(1)证明:以A为坐标原点,射线AC为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.
设C(,0,0),D(,b,0),其中b>0,
则P(0,0,2),E(,0,),B(,-b,0).
于是=(,0,-2),=(,b,),=(,-b,),从而,,
故PC⊥BE,PC⊥DE.
又BE∩DE=E,所以PC⊥平面BDE.
(2)=(0,0,2),=(,-b,0).
设m=(x,y,z)为平面PAB的法向量,
则m·=0,m·=0,
即2z=0且x-by=0,
令x=b,则m=(b,,0).
设n=(p,q,r)为平面PBC的法向量,
则n·=0,n·=0,
即且,
令p=1,则,,n=(1,,).
因为面PAB⊥面PBC,故m·n=0,即,故,
于是n=(1,-1,),=(,,2),
,〈n,〉=60°.
因为PD与平面PBC所成角和〈n,〉互余,故PD与平面PBC所成的角为30°.
20.解:记Ai表示事件:第1次和第2次这两次发球,甲共得i分,i=0,1,2;
Bi表示事件:第3次和第4次这两次发球,甲共得i分,i=0,1,2;
A表示事件:第3次发球,甲得1分;
B表示事件:开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2;
C表示事件:开始第5次发球时,甲得分领先.
(1)B=A0·A+A1·,
P(A)=0.4,P(A0)=0.42=0.16,P(A1)=2×0.6×0.4=0.48,
P(B)=P(A0·A+A1·)
=P(A0·A)+P(A1·)
=P(A0)P(A)+P(A1)P()
=0.16×0.4+0.48×(1-0.4)=0.352.
(2) P(B0)=0.62=0.36,P(B1)=2×0.4×0.6=0.48,P(B2)=0.42=0.16,
P(A2)=0.62=0.36.
C=A1·B2+A2·B1+A2·B2
P(C)=P(A1·B2+A2·B1+A2·B2)
=P(A1·B2)+P(A2·B1)+P(A2·B2)
=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B2)
=0.48×0.16+0.36×0.48+0.36×0.16=0.307 2.
21.解:(1)f′(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1.
①当a≥1时,f′(x)≥0,且仅当a=1,x=-1时,f′(x)=0,所以f(x)是R上的增函数;
②当a<1时,f′(x)=0有两个根x1=-1-,x2=-1+.
当x∈(-∞,-1-)时,f′(x)>0,f(x)是增函数;
当x∈(-1-,-1+)时,f′(x)<0,f(x)是减函数;
当x∈(-1+,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数.
(2)由题设知,x1,x2为方程f′(x)=0的两个根,
故有a<1,x12=-2x1-a,x22=-2x2-a.
因此f(x1)=x13+x12+ax1
=x1(-2x1-a)+x12+ax1=x12+ax1
=(-2x1-a)+ax1=(a-1)x1-.
同理,f(x2)=(a-1)x2-.
因此直线l的方程为y=(a-1)x-.
设l与x轴的交点为(x0,0),得,
.
由题设知,点(x0,0)在曲线y=f(x)上,故f(x0)=0,
解得a=0或或.
22.解:(1)设A(x0,(x0+1)2),对y=(x+1)2求导得y′=2(x+1),
故l的斜率k=2(x0+1).
当x0=1时,不合题意,所以x0≠1.
圆心为M(1,),MA的斜率.
由l⊥MA知k·k′=-1,
即2(x0+1)·=-1,
解得x0=0,故A(0,1),
r=|MA|=,即.
(2)设(t,(t+1)2)为C上一点,则在该点处的切线方程为y-(t+1)2=2(t+1)(x-t),
即y=2(t+1)x-t2+1.
若该直线与圆M相切,则圆心M到该切线的距离为,
即,
化简得t2(t2-4t-6)=0,
解得t0=0,,.
抛物线C在点(ti,(ti+1)2)(i=0,1,2)处的切线分别为l,m,n,其方程分别为y=2x+1,①
y=2(t1+1)x-t12+1,②
y=2(t2+1)x-t22+1,③
②-③得.
将x=2代入②得y=-1,故D(2,-1).
所以D到l的距离.