大连民族学院附中创新设计高考数学一轮复习单元训练数系的扩充与复数的引入 5页

大连民族学院附中2019版《创新设计》高考数学一轮复习单元训练：数系的扩充与复数的引入 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．若复数的实部与虚部互为相反数，则( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎2．在复平面内,复数对应的点的坐标在( )‎ A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B[来源:Z_xx_k.Com]‎ ‎3．复数z=（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为( )‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎4．是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在( )‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎5．是虚数单位，若，则的值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎6．复数等于( )‎ A．3-4i B．5-4i C．3-2i D．5-2i ‎【答案】A ‎7．已知i是虚数单位，则复数的虚部等于( )‎ A． B． C． D． 1‎ ‎【答案】D ‎8．若复数是纯虚数，则实数m为( )‎ A． 1 B． －1 C． 0 D． ±1‎ ‎【答案】D ‎9．若复数是纯虚数(是虚数单位，是实数)，则等于( )‎ A．3 B． C． D．2‎ ‎【答案】D ‎10．如果复数的实部和虚部互为相反数，则的值等于( )‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】A ‎11．设a,b为实数，若复数，则( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎12．在复平面内，复数对应的点位于( )[来源:学.科.网][来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ A．第一象限 B．第二象限 ‎ C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)‎ 二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13． ；‎ ‎【答案】 ‎ ‎14．已知为复数，若，则 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎15．若z是复数，|z ＋2－2i|=2,则|z＋1－i|＋|z|的最大值是____________‎ ‎【答案】3＋4‎ ‎16．若复数其中是虚数单位，则复数的实部为 .‎ ‎【答案】-20‎ 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．已知复数，且在复平面中对应的点分别为A,B,C,求的面积.‎ ‎【答案】得，‎ 所以A(1,1), B(0,2), C(1,-3), . ‎ ‎18．设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满足[来源:1]‎ 其中S为实数且|S|≤2．[来源:1ZXXK]‎ 求证：复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．‎ ‎【答案】设====q，则由下式得a1(1+q+q2+q3+q4)=(1+q+q2+q3+q4)．‎ ‎∴ (a12q4－4) (1+q+q2+q3+q4)=0，故a1q2=±2，或1+q+q2+q3+q4=0．‎ ‎⑴ 若a1q2=±2，则得±2(++1+q+q2)=S．ÞS=±2(q+)2+(q+)－1=±2(q++)2－．‎ ‎∴ 由已知，有(q++)2－∈R，且|(q++)2－|≤1．‎ 令q++=h(cosθ+isinθ)，(h>0)．则h2(cos2θ+isin2θ)－∈R．Þsin2θ=0．‎ ‎ －1≤h2(cos2θ+isin2θ)－≤1．Þ≤h2(cos2θ+isin2θ)≤，Þcos2θ>0．Þθ=kπ(k∈Z)‎ ‎ ∴ q+∈R．再令q=r(cosα+isinα)，(r>0)．则q+=(r+)cosα+i(r－)sinα∈R．Þsinα=0或r=1．‎ ‎ 若sinα=0，则q=±r为实数．此时q+≥2或q+≤－2．此时q++≥，或q++≤－．‎ 此时，由|(q++)2－|≤1，知q=－1．此时，|ai|=2． ‎ 若r=1，仍有|ai|=2，故此五点在同一圆周上．‎ ‎⑵ 若1+q+q2+q3+q4=0．则q5－1=0，∴ |q|=1．此时|a1|=|a2|=|a3|=|a4|=|a5|，即此五点在同一圆上．‎ 综上可知，表示复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．‎ ‎19．设复数，当取何实数时？‎ ‎ (1）是纯虚数；‎ ‎ (2）对应的点位于复平面的第二象限。‎ ‎【答案】（1）是纯虚数当且仅当，‎ ‎ 解得，‎ ‎ (2）由 ‎ 所以当3时，‎ ‎ 对应的点位于复平面的第二象限。‎ ‎20．已知，且以下命题都为真命题：‎ 命题 实系数一元二次方程的两根都是虚数；‎ 命题 存在复数同时满足且.‎ 求实数的取值范围.‎ ‎【答案】由命题为真，可得;‎ 由命题为真，可知复平面上的圆和圆有交点，‎ 于是由图形不难得到，‎ 故两个命题同时为真的实数的取值范围是.‎ ‎21．设 ‎(1）求 | z1| 的值以及z1的实部的取值范围；‎ ‎(2）若，求证：为纯虚数。‎ ‎【答案】 (1)设，则 因为 z2是实数，b≠0，于是有a2+b2=1，即|z1|=1，还可得 由-1≤z2≤1，得-1≤2a≤1，解得，即z1的实部的取值范围是.‎ ‎(2） ‎ 因为aÎ，b≠0，所以为纯虚数.‎ ‎22．已知复数（）满足：，且在复平面上的对应点的轨迹经过点 ‎(1） 求的轨迹；‎ ‎(2） 若过点，倾斜角为的直线交轨迹于两点，求的面积。‎ ‎【答案】（Ⅰ）根据题目条件，设轨迹的方程为：，将代入方程，得：‎ ‎ ，（舍去）‎ 所以的轨迹方程是： （）‎ ‎(Ⅱ）直线的方程为：‎ ‎ 联立方程：‎ ‎∴△OMN的面积 ‎