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- 2021-05-13 发布
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2010 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
参考公式：
样本数据 1 2, nx x x 的标准差 锥体体积公式
2 2 2
1 2
1 ( ) ( ) ( )ns x x x x x xn
1
3V sh
其中 x 为样本平均数 其中 S 为底面面积，h 为高
柱体体积公式 球的表面积，体积公式
V Sh 2 334 , 4S R V R
其中 S 为底面面积，h 为高 其中 R 为球的半径
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。[来源:学科网]
（1）已知集合 2, , | 4, |A x x x R B x x x Z ，则 A B
（A）（0，2） （B）[0，2] （C）|0，2| （D）|0，1，2|
（2）a，b 为平面向量，已知 a=（4，3），2a+b=（3，18），则 a，b 夹角的
余弦值等于
（A） 8
65
（B） 8
65
（C） 16
65
（D） 16
65
（3）已知复数 2
3
(1 3 )
iz
i
，则 i =
(A) 1
4
（B） 1
2
（C）1 （D）2
（4）曲线 2y 2 1x x 在点（1,0）处的切线方程为
（A） 1y x （B） 1y x
（C） 2 2y x （D） 2 2y x
（5）中心在远点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离
心率为
（A） 6 （B） 5 （C） 6
2
（D） 5
2
（6）如图，质点 p 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置
为 0p （ 2 ， 2 ），角速度为 1，那么点 p 到 x 轴距离 d 关于
时间t 的函数图像大致为
(7) 设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上，
则该球的表面积为
（A）3 a2 （B）6 a2 （C）12 a2 （D）24 a2
（8）如果执行右面的框图，输入 N=5，则输出的数等于
（A） 5
4
（B） 4
5
（C） 6
5
（D） 5
6
(9)设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4 (x 0），则 2 0x f x =
（A） 2 4x x x 或 （B） 0 4 x x x 或
（C） 0 6 x x x 或 （D） 2 2 x x x 或
（10）若sin a = - 4
5
，a 是第一象限的角，则 sin( )4a =
（A）- 7 2
10
（B） 7 2
10
（C） 2 - 10
（D） 2
10
（11）已知 ABCD 的三个顶点为 A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，
y）在 ABCD 的内部，则 z=2x-5y 的取值范围是
（A）（-14，16） （B）（-14，20） （C）（-12，18） （D）（-12，20）
（12）已知函数 f(x)=
lg 1,0 10
1 6, 02
x x
x x
若 a，b，c 均不相等，且 f(a)= f(b)= f(c)，则
abc 的取值范围是
（A）（1，10） （B）(5，6) （C）(10，12) （D）(20，24)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个
试题考生都必须做答。第（22）题~第（ 24）题为选考题，考生根据要求做答。
二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
（13）圆心在原点上与直线 2 0x y 相切的圆的方程为-----------。
（14）设函数 ( )y f x 为区间 0,1 上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有
0 1f x ，可以用随机模拟方法计算由曲线 ( )y f x 及直线 0x ， 1x ， 0y
所围成部分的面积，先产生两组i 每组 N 个，区间 0,1 上的均匀随机数 1, 2..... nx x x 和
1, 2..... ny y y ， 由 此 得 到 V 个 点 , 1,2....x y i N 。 再 数 出 其 中 满 足
1 ( )( 1,2..... )y f x i N 的 点 数 1N 那 么 由 随 机 模 拟 方 法 可 得 S 的 近 似 值 为
___________
(15)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的
_______(填入所有可能的几何体前的编号) ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱
柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱
(16)在 ABC 中，D 为 BC 边上一点， 3BC BD , 2AD , 135ADB .若
2AC AB ,则 BD=_____
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分 12 分）
设等差数列 na 满足 3 5a ， 10 9a 。
（Ⅰ）求 na 的通项公式；
（Ⅱ）求 na 的前 n 项和 nS 及使得 nS 最大的序号n 的值。
（18）（本小题满分 12 分）
如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面为等腰梯形， AB ∥CD , AC BD ,垂足为
H ， PH 是四棱锥的高。
（Ⅰ）证明：平面 PAC 平面 PBD ;
（Ⅱ）若 6AB , APB ADB 60°,求四棱锥 P ABCD 的体积。
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做
的第一题计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
（19）（本小题满分 12 分）
为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调
查了 500 位老人，结果如下：
（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；
（Ⅱ）能否有 99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别
有关？
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，
需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。[来源:学。科。网]
附：
（20）（本小题满分 12 分）
设 1F , 2F 分别是椭圆 E： 2x +
2
2
y
b =1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过 1F 的直线l 与
E 相交于 A、B 两点，且 2AF ， AB ， 2BF 成等差数列。
（Ⅰ）求 AB
（Ⅱ）若直线l 的斜率为 1，求 b 的值。
（21）本小题满分 12 分）
设函数 21x
xf x e ax
（Ⅰ）若 a= 1
2
，求 xf 的单调区间；[来源:学科网]
（Ⅱ）若当 x ≥0 时 xf ≥0，求 a 的取值范围
（22）（本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲
如图：已知圆上的弧 AC BD ，过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于
E 点，证明：
（Ⅰ） ACE = BCD 。
（Ⅱ） 2BC =BE x CD。
（23）（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程
已知直线 1C ：{ {t 为参数}。图 2C ：{ { 为参数}
（Ⅰ）当 a=
3
时，求 1C 与 2C 的交点坐标：
（Ⅱ）过坐标原点 O 做 1C 的垂线，垂足为 A、P 为 OA 的中点，当 a 变
化时，
求 P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。
（
X=1+tcosa
y=tsina
X= cos
y=sin
24）（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲[来源:学科网]
设函数 ( )x = 2 4x + 1。
（Ⅰ）画出函数 y= ( )x 的图像：
（Ⅱ）若不等式 ( )x ≤ax 的解集非空，求 n 的取值范围
2011 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合 M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M N ，则 P 的子集共有
A．2 个 B．4 个 C．6 个 D．8 个
2．复数 5
1 2
i
i
A． 2 i B．1 2i
C． 2 i D． 1 2i
3．下列函数中，既是偶函数又在 (0, ) 单调递增的函数是
A． 3y x B． | | 1y x
C． 2 1y x D． | |2 xy
4．椭圆
2 2
116 8
x y 的离心率为
A． 1
3 B． 1
2
C． 3
3 D． 2
2
5．执行右面的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p 是
A．120 B． 720
C． 1440 D． 5040
6．有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可
能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
A． 1
3 B． 1
2 C． 2
3 D． 3
4
7．已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 2y x 上，则 cos2 =
A． 4
5
B． 3
5
C． 3
5 D． 4
5
8．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧
视图可以为
9．已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，| | 12AB ，
P 为 C 的准线上一点，则 ABP 的面积为
A．18 B．24 C． 36 D． 48
10．在下列区间中，函数 ( ) 4 3xf x e x 的零点所在的区间为
A． 1( ,0)4
B． 1(0, )4 C． 1 1( , )4 2 D． 1 3( , )2 4
11．设函数 ( ) sin(2 ) cos(2 )4 4f x x x ，则
A． ( )y f x 在 (0, )2
单调递增，其图象关于直线
4x 对称
B． ( )y f x 在 (0, )2
单调递增，其图象关于直线
2x 对称
C． ( )y f x 在 (0, )2
单调递减，其图象关于直线
4x 对称
D． ( )y f x 在 (0, )2
单调递减，其图象关于直线
2x 对称
12．已知函数 ( )y f x 的周期为 2，当 [ 1,1]x 时 2( )f x x ，那么函数 ( )y f x 的图象
与函数 | lg |y x 的图象的交点共有
A．10 个 B．9 个 C．8 个 D．1 个
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直，则
k=_____________．
14．若变量 x，y 满足约束条件 3 2 9
6 9
x y
x y
，则 2z x y 的最小值是_________．
15． ABC 中， 120 , 7, 5B AC AB ，则 ABC 的面积为_________．
16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底
面面积是这个球面面积的 3
16
，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的
比值为________．
三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 12 分）已知等比数列{ }na 中， 1
1
3a ，公比 1
3q ．
（I） nS 为{ }na 的前 n 项和，证明： 1
2
n
n
aS
（II）设 3 1 3 2 3log log logn nb a a a ，求数列{ }nb 的通项公式．
18．（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， 60DAB ， 2AB AD ，
PD 底面 ABCD．
（I）证明： PA BD ；
（II）设 PD=AD=1，求棱锥 D-PBC 的高．
19．（本小题满分 12 分）
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于
或等于 102 的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生
产了 100 件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：
A 配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数 8 20 42 22 8
B 配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数 4 12 42 32 10
（I）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；
（II）已知用 B 配方生产的一种产品利润 y（单位：元）与其质量指标值 t 的关系式为
2, 94
2,94 102
4, 102
t
y t
t
估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率，并求用 B 配方生产的上述 100 件产品
平均一件的利润．
20．（本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 2 6 1y x x 与坐标轴的交点都在圆 C 上．
（I）求圆 C 的方程；
（II）若圆 C 与直线 0x y a 交于 A，B 两点，且 ,OA OB 求 a 的值．
21．（本小题满分 12 分）
已 知 函 数 ln( ) 1
a x bf x x x
， 曲 线 ( )y f x 在 点 (1, (1))f 处 的 切 线 方 程 为
2 3 0x y ．
（I）求 a，b 的值；
（II）证明：当 x>0，且 1x 时， ln( ) 1
xf x x
．
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做
答是用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．
22．（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲
如图，D，E分别为 ABC 的边AB，AC上的点，且不与 ABC
的顶点重合．已知 AE 的长为 m，AC 的长为 n，AD，AB 的长是
关于 x 的方程 2 14 0x x mn 的两个根．
（I）证明：C，B，D，E 四点共圆；
（II）若 90A ，且 4, 6,m n 求 C，B，D，E 所在圆
的半径．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 2cos (2 2sin
x
y
为参数），M 为 1C 上
的动点，P 点满足 2OP OM ，点 P 的轨迹为曲线 2C ．
（I）求 2C 的方程；
（II）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
3
与 1C 的异于极点
的交点为 A，与 2C 的异于极点的交点为 B，求|AB|．
24．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
设函数 ( ) | | 3f x x a x ，其中 0a ．
（I）当 a=1 时，求不等式 ( ) 3 2f x x 的解集．
（II）若不等式 ( ) 0f x 的解集为｛x| 1}x ，求 a 的值．
2012 年普通高等学校招生全国统一考试
第Ⅰ卷
一、选择题
1.已知集合 A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1b>0)的左、右焦点，P 为直线 x=3a
2
上一点，△F1PF2 是底
角为 30°的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ）
（A）1
2
（B）2
3
（C）3
4
（D）4
5
5.已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1)，B(1,3)，顶点 C 在第一象限，若点（x，y）在△ABC
内部，则 z=－x+y 的取值范围是（ ）
（A）(1－ 3，2) （B）(0，2)
（C）( 3－1，2) （D）(0，1+ 3)
6.如果执行右边的程序框图，输入正整数 N(N≥2)和实数 a1,a2,…,aN，输出 A,B，则（ ）
（A）A+B 为 a1,a2,…,aN 的和
（B）A＋B
2
为 a1,a2,…,aN 的算术平均数
（C）A 和 B 分别是 a1,a2,…,aN 中最大的数和最小的数
（D）A 和 B 分别是 a1,a2,…,aN 中最小的数和最大的数
7.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则
此几何体的体积为（ ）
（A）6 （B）9 （C）12 （D）18
8.平面α截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面α的距离为 2，则此
球的体积为 （ ）
（A） 6π （B）4 3π （C）4 6π （D）6 3π
9.已知ω>0，0<φ<π，直线 x=π
4
和 x=5π
4
是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的
对称轴，则φ=（ ）
（A）π
4
（B）π
3
（C）π
2
（D）3π
4
10.等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A，B 两点，
|AB|=4 3，则 C 的实轴长为（ ）
（A） 2 （B）2 2 （C）4 （D）8
11.当 00)的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上一点，已知以 F 为圆心，FA
为半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点。
（I）若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2，求 p 的值及圆 F 的方程；
（II）若 A，B，F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求
坐标原点到 m，n 距离的比值。
C B
A
D
C1
A1
21.设函数 f(x)= ex－ax－2
(Ⅰ)求 f(x)的单调区间
(Ⅱ)若 a=1，k 为整数，且当 x>0 时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求 k 的最大值
请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，
做答时请写清楚题号。
22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲
如图，D，E 分别为△ABC 边 AB，AC 的中点，直线 DE 交△ABC 的
外接圆于 F，G 两点，若 CF//AB，证明：
(Ⅰ)CD=BC；
(Ⅱ)△BCD∽△GBD
23.本小题满分 10 分)选修 4—4；坐标系与参数方程
已知曲线 C1 的参数方程是 x＝2cosφ
y＝3sinφ
(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程是ρ=2.正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A、B、C、
D 以逆时针次序排列，点 A 的极坐标为(2，π
3)
(Ⅰ)求点 A、B、C、D 的直角坐标；
(Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+|PD|2 的取值范围。
24.（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲
已知函数 f(x) = |x + a| + |x－2|.
(Ⅰ)当 a =－3 时，求不等式 f(x)≥3 的解集；
(Ⅱ)若 f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求 a 的取值范围。
2013 年普通高等学校招生全国统一考试数学文史类
(全国卷 I 新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．(2013 课标全国Ⅰ，文 1)已知集合 A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则 A∩B＝( )．
A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2}
2．(2013 课标全国Ⅰ，文 2) 2
1 2i
1 i
＝( )．
A．
11 i2
B．
11+ i2
C．
11+ i2 D．
11 i2
3．(2013 课标全国Ⅰ，文 3)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对
值为 2 的概率是( )．
A．
1
2 B．
1
3 C．
1
4 D．
1
6
4．(2013 课标全国Ⅰ，文 4)已知双曲线 C：
2 2
2 2 =1x y
a b
(a＞0，b＞0)的离心率为 5
2
，则
C 的渐近线方程为( )．
A．y＝
1
4 x
B．y＝
1
3 x
C．y＝
1
2 x
D．y＝±x
5．(2013 课标全国Ⅰ，文 5)已知命题 p：∀x∈R,2x＜3x；命题 q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下
列命题中为真命题的是( )．
A．p∧q B． p∧q C．p∧ q D． p∧ q
6．(2013 课标全国Ⅰ，文 6)设首项为 1，公比为 2
3
的等比数列{an}的前 n 项和为
Sn，则( )．
A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2 C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－
2an
7．(2013 课标全国Ⅰ，文 7)执行下面的程序框图，如果输入的 t∈[－1,3]，则
输出的 s 属于( )．
A．[－3,4] B．[－5,2]
C．[－4,3] D．[－2,5]
8．(2013 课标全国Ⅰ，文 8)O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2＝ 4 2x 的焦点，P
为 C 上一点，若|PF|＝ 4 2 ，则△POF 的面积为( )．
A．2 B． 2 2 C． 2 3 D．4
9．(2013 课标全国Ⅰ，文 9)函数 f(x)＝(1－cos x)sin x 在[－π，π]的图像大致为( )．
10．(2013 课标全国Ⅰ，文 10)已知锐角△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c,23cos2A
＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则 b＝( )．
A．10 B．9 C．8 D．5
11．(2013 课标全国Ⅰ，文 11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．
A．16＋8π
B．8＋8π
C．16＋16π
D．8＋16π
12．(2013 课标全国Ⅰ，文 12)已知函数 f(x)＝
2 2 , 0,
ln( 1), 0.
x x x
x x
若
|f(x)|≥ax，则 a 的取值范围是( )．
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．(2013 课标全国Ⅰ，文 13)已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60°，c＝ta＋(1－t)b.若
b·c＝0，则 t＝______.
14．(2013 课标全国Ⅰ，文 14)设 x，y 满足约束条件 1 3,
1 0,
x
x y
则 z＝2x－y 的最大值
为______．
15．(2013 课标全国Ⅰ，文 15)已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，
H 为垂足，α截球 O 所得截面的面积为π，则球 O 的表面积为______．
16．(2013 课标全国Ⅰ，文 16)设当 x＝θ时，函数 f(x)＝sin x－2cos x 取得最大值，则
cos θ＝______.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2013 课标全国Ⅰ，文 17)(本小题满分 12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足
S3＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列
2 1 2 1
1
n na a
的前 n 项和．
18．(2013 课标全国Ⅰ，文 18)(本小题满分 12 分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为
A 药，B 药)的疗效，随机地选取 20 位患者服用 A 药，20 位患者服用 B 药，这 40 位患者在
服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：
服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9
3.0 3.1 2.3 2.4
服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1
2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
19．(2013 课标全国Ⅰ，文 19)(本小题满分 12 分)如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 中，CA＝CB，
AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若 AB＝CB＝2，A1C＝ 6 ，求三棱柱 ABC－A1B1C1 的体积．
20．(2013 课标全国Ⅰ，文 20)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲
线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 y＝4x＋4.
(1)求 a，b 的值；
(2)讨论 f(x)的单调性，并求 f(x)的极大值．
21．(2013 课标全国Ⅰ，文 21)(本小题满分 12 分)已知圆 M：(x＋1)2＋y2＝1，圆 N：(x－1)2
＋y2＝9，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.
(1)求 C 的方程；
(2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时，
求|AB|.
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，
则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．(2013 课标全国Ⅰ，文 22)(本小题满分 10 分)选修 4—1：几何证明选讲
如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB
垂直 BE 交圆于点 D.
23．(2013 课标全国Ⅰ，文 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4：坐标系与参数方程已知曲线
C1 的参数方程为 4 5cos ,
5 5sin
x t
y t
(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程；
(2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
24．(2013 课标全国Ⅰ，文 24)(本小题满分 10 分)选修 4—5：不等式选讲已知函数 f(x)＝
|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当 a＝－2 时，求不等式 f(x)＜g(x)的解集；
(2)设 a＞－1，且当 x∈ 1,2 2
a
时，f(x)≤g(x)，求 a 的取值范围．
2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类
(全国卷 I 新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．
答案：A
解析：∵B＝{x|x＝n2，n∈A}＝{1,4,9,16}，
∴A∩B＝{1,4}．
2．
答案：B
解析： 2
1 2i 1 2i 1 2i i 2 i
1 i 2i 2 2
＝ 11+ i2
.
3．
答案：B
解析：由题意知总事件数为 6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满
足条件的事件数是 2，所以所求的概率为 1
3
.
4．
答案：C
解析：∵ 5
2e ，∴ 5
2
c
a
，即
2
2
5
4
c
a
.
∵c2＝a2＋b2，∴
2
2
1
4
b
a
.∴ 1
2
b
a
.
∵双曲线的渐近线方程为 by xa
，
∴渐近线方程为 1
2y x .故选 C.
5．
答案：B
解析：由 20＝30 知，p 为假命题．令 h(x)＝x3－1＋x2，
∵h(0)＝－1＜0，h(1)＝1＞0，
∴x3－1＋x2＝0 在(0,1)内有解．
∴∃x∈R，x3＝1－x2，即命题 q 为真命题．由此可知只有 p∧q 为真命题．故选 B.
6．
答案：D
解析： 11
211 3
21 1 1 3
n n
n
n
aa a qa qS q q
＝3－2an，故选 D.
7．
答案：A
解析：当－1≤t＜1 时，s＝3t，则 s∈[－3,3)．
当 1≤t≤3 时，s＝4t－t2.
∵该函数的对称轴为 t＝2，
∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．
∴smax＝4，smin＝3.
∴s∈[3,4]．
综上知 s∈[－3,4]．故选 A.
8．
答案：C
解析：利用|PF|＝ 2 4 2Px ，可得 xP＝3 2 .
∴yP＝ 2 6 .∴S△POF＝ 1
2
|OF|·|yP|＝ 2 3 .
故选 C.
9．
答案：C
解析：由 f(x)＝(1－cos x)sin x 知其为奇函数．可排除 B．当 x∈ π0, 2
时，f(x)＞0，
排除 A.
当 x∈(0，π)时，f′(x)＝sin2x＋cos x(1－cos x)＝－2cos2x＋cos x＋1.
令 f′(x)＝0，得 2 π3x .
故极值点为 2 π3x ，可排除 D，故选 C.
10．
答案：D
解析：由 23cos2A＋cos 2A＝0，得 cos2A＝ 1
25
.
∵A∈ π0, 2
，∴cos A＝ 1
5
.
∵cos A＝
236 49
2 6
b
b
，∴b＝5 或 13
5b (舍)．
故选 D.
11．
答案：A
解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．
V 半圆柱＝ 1
2
π×22×4＝8π，
V 长方体＝4×2×2＝16.
所以所求体积为 16＋8π.故选 A.
12．
答案：D
解析：可画出|f(x)|的图象如图所示．
当 a＞0 时，y＝ax 与 y＝|f(x)|恒有公共点，所以排除 B，C；
当 a≤0 时，若 x＞0，则|f(x)|≥ax 恒成立．
若 x≤0，则以 y＝ax 与 y＝|－x2＋2x|相切为界限，
由 2
,
2 ,
y ax
y x x
得 x2－(a＋2)x＝0.
∵Δ＝(a＋2)2＝0，∴a＝－2.
∴a∈[－2,0]．故选 D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第
22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．答案：2
解析：∵b·c＝0，|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝ 1 11 1 2 2
.
∴b·c＝[ta＋(1－t)b]·b＝0，
即 ta·b＋(1－t)b2＝0.
∴ 1
2 t ＋1－t＝0.
∴t＝2.
14．答案：3
解析：画出可行域如图所示．
画出直线 2x－y＝0，并平移，当直线经过点 A(3,3)时，z 取最大
值，且最大值为 z＝2×3－3＝3.
15．答案： 9 π2
解析：如图，
设球 O 的半径为 R，
则 AH＝ 2
3
R ，
OH＝
3
R .
又∵π·EH2＝π，∴EH＝1.
∵在 Rt△OEH 中，R2＝
2
2+13
R
，∴R2＝ 9
8
.
∴S 球＝4πR2＝ 9π
2
.
16．答案： 2 5
5
解析：∵f(x)＝sin x－2cos x＝ 5 sin(x－φ)，
其中 sin φ＝ 2 5
5
，cos φ＝ 5
5
.
当 x－φ＝2kπ＋ π
2
(k∈Z)时，f(x)取最大值．
即θ－φ＝2kπ＋ π
2
(k∈Z)，θ＝2kπ＋ π
2
＋φ(k∈Z)．
∴cos θ＝ πcos 2
＝－sin φ＝ 2 5
5
.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．
解：(1)设{an}的公差为 d，则 Sn＝ 1
( 1)
2
n nna d .
由已知可得 1
1
3 3 0,
5 10 5,
a d
a d
解得 a1＝1，d＝－1.
故{an}的通项公式为 an＝2－n.
(2)由(1)知
2 1 2 1
1
n na a
＝ 1 1 1 1
3 2 1 2 2 2 3 2 1n n n n
，
从而数列
2 1 2 1
1
n na a
的前 n 项和为
1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 3 2 3 2 1n n
＝
1 2
n
n
.
18．
解：(1)设 A 药观测数据的平均数为 x ，B 药观测数据的平均数为 y .
由观测结果可得
x ＝ 1
20
(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋
2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)
＝2.3，
y ＝ 1
20
(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋
2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)
＝1.6.
由以上计算结果可得 x ＞ y ，因此可看出 A 药的疗效更好．
(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：
从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有 7
10
的叶集中在茎 2,3 上，而 B 药疗效的试
验结果有 7
10
的叶集中在茎 0,1 上，由此可看出 A 药的疗效更好．
19．
(1)证明：取 AB 的中点 O，连结 OC，OA1，A1B.
因为 CA＝CB，
所以 OC⊥AB.
由于 AB＝AA1，∠BAA1＝60°，
故△AA1B 为等边三角形，
所以 OA1⊥AB.
因为 OC∩OA1＝O，所以 AB⊥平面 OA1C.
又 A1C⊂平面 OA1C，故 AB⊥A1C.
(2)解：由题设知△ABC 与△AA1B 都是边长为 2 的等边三角形，
所以 OC＝OA1＝ 3 .
又 A1C＝ 6 ，则 A1C2＝OC2＋ 2
1OA ，
故 OA1⊥OC.
因为 OC∩AB＝O，所以 OA1⊥平面 ABC，OA1 为三棱柱 ABC－A1B1C1 的高．
又△ABC 的面积 S△ABC＝ 3 ，故三棱柱 ABC－A1B1C1 的体积 V＝S△ABC×OA1＝3.
20．
解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得 f(0)＝4，f′(0)＝4.
故 b＝4，a＋b＝8.
从而 a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)· 1e 2
x
.
令 f′(x)＝0 得，x＝－ln 2 或 x＝－2.
从而当 x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；
当 x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.
故 f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当 x＝－2 时，函数 f(x)取得极大值，极大值为 f(－2)＝4(1－e－2)．
21．
解：由已知得圆 M 的圆心为 M(－1,0)，半径 r1＝1；圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r2＝3.设圆
P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R.
(1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3 的椭圆
(左顶点除外)，其方程为
2 2
=14 3
x y (x≠－2)．
(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，
所以 R≤2，当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时，R＝2.
所以当圆 P 的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.
若 l 的倾斜角为 90°，则 l 与 y 轴重合，可得|AB|＝ 2 3 .
若 l 的倾斜角不为 90°，由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴，设 l 与 x 轴的交点为 Q，则
1
| |
| |
QP R
QM r
，
可求得 Q(－4,0)，所以可设 l：y＝k(x＋4)．
由 l 与圆 M 相切得
2
| 3 |
1
k
k
＝1，解得 k＝ 2
4
.
当 k＝ 2
4
时，将 2 24y x 代入
2 2
=14 3
x y ，并整理得 7x2＋8x－8＝0，解得 x1,2＝
4 6 2
7
，
所以|AB|＝ 21 k |x2－x1|＝18
7
.
当 k＝ 2
4
时，由图形的对称性可知|AB|＝18
7
.
综上，|AB|＝ 2 3 或|AB|＝18
7
.
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，
则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．
(1)证明：连结 DE，交 BC 于点 G.
由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.
而∠ABE＝∠CBE，
故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.
又因为 DB⊥BE，
所以 DE 为直径，∠DCE＝90°，
由勾股定理可得 DB＝DC.
(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，
故 DG 是 BC 的中垂线，
所以 BG＝ 3
2
.
设 DE 的中点为 O，连结 BO，则∠BOG＝60°.
从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，
所以 CF⊥BF，
故 Rt△BCF 外接圆的半径等于 3
2
.
23．
解：(1)将 4 5cos ,
5 5sin
x t
y t
消去参数 t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即 C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将 cos ,
sin
x
y
代入 x2＋y2－8x－10y＋16＝0 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以 C1 的极坐标方程为
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2 的普通方程为 x2＋y2－2y＝0.
由
2 2
2 2
8 10 16 0,
2 0
x y x y
x y y
解得 1,
1
x
y
或 0,
2.
x
y
所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 π2, 4
， π2, 2
.
24．
解：(1)当 a＝－2 时，不等式 f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.
设函数 y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
则 y＝
15 , ,2
12, 1,2
3 6, 1.
x x
x x
x x
其图像如图所示．从图像可知，当且仅当 x∈(0,2)时，y＜0.
所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．
(2)当 x∈ 1,2 2
a
时，f(x)＝1＋a.
不等式 f(x)≤g(x)化为 1＋a≤x＋3.
所以 x≥a－2 对 x∈ 1,2 2
a
都成立．
故
2
a ≥a－2，即 a≤ 4
3
.
从而 a 的取值范围是 41, 3
.
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标 I）
文科数学
一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
（1） 已知集合 { | 1 3}M x x ， { | 2 1}N x x ，则 M N I
A. )1,2( B. )1,1( C. )3,1( D. )3,2(
（2）若 0tan ，则
A. sin 2 0 B. 0cos C. sin 0 D. 02cos
（3）设 iiz
1
1 ，则 || z
A.
2
1 B.
2
2 C.
2
3 D. 2
（4）已知双曲线 )0(13
2
2
2
ay
a
x 的离心率为 2，则 a
A. 2 B.
2
6 C.
2
5 D. 1
（5）设函数 )(),( xgxf 的定义域为 R ，且 )(xf 是奇函数， )(xg 是偶函数，则下列结论中
正确的是
A. )()( xgxf 是偶函数 B. )(|)(| xgxf 是奇函数
C. |)(|)( xgxf 是奇函数 D. |)()(| xgxf 是奇函数
（6）设 FED ,, 分别为 ABC 的三边 ABCABC ,, 的中点，则 FCEB
A. AD B. AD2
1 C. BC2
1 D. BC
（7）在函数① |2|cos xy ，② |cos| xy ，③ )62cos( xy ,④ )42tan( xy 中，
最小正周期为 的所有函数为
A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③
8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一
个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱
9.执行右面的程序框图，若输入的 , ,a b k 分别为 1,2,3，则
输出的 M ( )
A. 20
3
B. 7
2
C. 16
5
D. 15
8
10.已知抛物线 C： xy 2 的焦点为 F , yxA 00, 是 C
上一点， xFA 04
5 ，则 x0
（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
（11）设 x ， y 满 足 约 束 条 件 ,
1,
x y a
x y
且
z x ay 的最小值为 7，则 a
（A）-5 （B）3
（C）-5 或 3 （D）5 或-3
（12）已知函数 3 2( ) 3 1f x ax x ，若 ( )f x 存在唯
一的零点 0x ，且 0 0x ，则 a 的取值范围是
（A） 2, （B） 1,
（B）（C） , 2 （D） , 1
第 II 卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分
（13）将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率
为________.
（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A 、 B 、C 三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；
乙说：我没去过C 城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为________.
（15）设函数
1
1
3
, 1,
, 1,
xe x
f x
x x
则使得 2f x 成立的 x 的取值范围是________.
（16）如图，为测量山高 MN ，选择 A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从 A 点测得 M
点的仰角 60MAN ， C 点的仰角 45CAB 以及 75MAC ；从 C 点测得
60MCA .已知山高 100BC m ，则山高 MN ________ m .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分 12 分）
已知 na 是递增的等差数列， 2a ， 4a 是方程 2 5 6 0x x 的根。
（I）求 na 的通项公式；
（II）求数列
2
n
n
a
的前 n 项和.
（18）（本小题满分 12 分）
从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表
得如下频数分布表：
质量指标值分组 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125)
频数 6 26 38 22 8
（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值
作代表）；
（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低
于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
19(本题满分12分)
如图，三棱柱 111 CBAABC 中，侧面 CCBB 11 为菱形， CB1 的中点为O，且 AO 平
面 CCBB 11 .
（1）证明： ;1 ABCB
（2）若 1ABAC , ,1,601 BCCBB 求三棱柱 111 CBAABC 的高.
20.（本小题满分 12 分）
已知点 )2,2(P ，圆C : 0822 yyx ，过点 P 的动直线l 与圆C 交于 BA, 两点，线段 AB
的中点为 M ，O 为坐标原点.
（1）求 M 的轨迹方程；
（2）当 OMOP 时，求l 的方程及 POM 的面积
21（12 分）
设函数 21ln 12
af x a x x bx a ，曲线 1 1y f x f 在点 ， 处的切线斜率
为 0
（1）求 b;
（2）若存在 0 1,x 使得 0 1
af x a
，求 a 的取值范围。
请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答
时请写清题号.
（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1，几何证明选讲
如图，四边形 ABCD 是 O 的内接四边形， AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E ，
且CB CE .
（I）证明： D E ；
（II）设 AD 不是 O 的直径， AD 的中点为 M ，且 MB MC ，证明： ABC 为等
边三角形.
（23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
已知曲线 194:
22
yxC ，直线
ty
txl 22
2: （t 为参数）
（1）写出曲线 C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（2）过曲线C 上任意一点 P 作与l 夹角为 30°的直线，交l 于点 A ，求 PA 的最大值与最
小值.
（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5；不等式选讲
若 ,0,0 ba 且 abba
11
（I）求 33 ba 的最小值；
（II）是否存在 ba, ，使得 632 ba ？并说明理由.
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标 1 卷）文
一、选择题：每小题 5 分,共 60 分
1、已知集合 { 3 2, }, {6,8,10,12,14}A x x n n N B ，则集合 A B 中的元素个数为
（A） 5 （B）4 （C）3 （D）2
2、已知点 (0,1), (3,2)A B ，向量 ( 4, 3)AC ，则向量 BC
（A） ( 7, 4) （B） (7,4) （C） ( 1,4) （D） (1,4)
3、已知复数 z 满足 ( 1) 1z i i ，则 z （ ）
（A） 2 i （B） 2 i （C） 2 i （D） 2 i
4、如果 3 个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从
1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（ ）
（A） 3
10
（B） 1
5
（C） 1
10
（D） 1
20
5、已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为 1
2
，E 的右焦点与抛物线 2: 8C y x 的焦点重
合， ,A B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则 AB
（A） 3 （B） 6 （C）9 （D）12
6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：
“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思
为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆
底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆放的米各位多
少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放
的米有（ ）
（A）14斛 （B） 22 斛 （C）36 斛 （D） 66 斛
7、已知{ }na 是公差为 1 的等差数列， nS 为{ }na 的前 n 项和，若 8 44S S ，则 10a （ ）
（A） 17
2
（B）19
2
（C）10 （D）12
8、函数 ( ) cos( )f x x 的部分图像如图所示，则
( )f x 的单调递减区间为（ ）
（A） 1 3( , ),4 4k k k Z
（ B ） 1 3(2 ,2 ),4 4k k k Z （ C ）
1 3( , ),4 4k k k Z
（D） 1 3(2 ,2 ),4 4k k k Z
9、执行右面的程序框图，如果输入的 0.01t ，则输出的 n （ ）
（A） 5 （B） 6 （C）10 （D）12
10、已知函数
1
2
2 2, 1( )
log ( 1), 1
x xf x
x x
，
且 ( ) 3f a ，则 (6 )f a （A） 4
7
（B） 5
4
（C） 3
4
（D） 1
4
11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r ）组成一个几何体，该几何体的三视图
中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16 20 ，则 r ( )
（A）1
（B） 2
（C） 4
（D）8
12 、 设 函 数 ( )y f x 的 图 像 与 2x ay 的 图 像 关 于 直 线 y x 对 称 ， 且
( 2) ( 4) 1f f ，则 a ( ) （A） 1 （B）1 （C）2 （D）
4
二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分
13、数列 na 中 1 12, 2 ,n n na a a S 为 na 的前 n 项和，若 126nS ，则 n .
14. 已 知 函 数 3 1f x ax x 的 图 像 在 点 1, 1f 的 处 的 切 线 过 点 2,7 ， 则
a .
15. 若 x,y 满足约束条件
2 0
2 1 0
2 2 0
x y
x y
x y
,则 z=3x+y 的最大值为 ．
16.已知 P 是双曲线
2
2: 18
yC x 的右焦点，P 是 C 左支上一点， 0,6 6A ，当 APF
周长最小时，该三角形的面积为 ．
三、解答题
17. （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知 , ,a b c 分 别 是 ABC 内 角 , ,A B C 的 对 边 ，
2sin 2sin sinB A C .
（I）若 a b ，求 cos ;B
（II）若 90B ，且 2,a 求 ABC 的面积.
18.（本小题满分 12 分）如图四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 交点，BE ABCD 平面 ，
（I）证明：平面 AEC 平面 BED ；
（II）若 120ABC ， ,AE EC 三棱锥 E ACD 的体积为 6
3
，求该三棱锥的侧面
积.
19. （本小题满分 12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x
（单位：千元）对年销售量（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的宣传
费 ix ，和年销售量 1,2,3, ,8iy i 的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计
量的值.
（I）根据散点图判断， y a bx 与 y c d x ，哪一个宜作为年销售量 y 关于年宣传
费 x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；
（III）已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 0.2z y x ，根据（II）的结果回答下
列问题：
（i）当年宣传费 90x 时，年销售量及年利润的预报值时多少？（ii）当年宣传费 x 为何值
时，年利润的预报值最大？
20.（本小题满分 12 分）已知过点 1,0A 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C： 2 22 3 1x y
交于 M，N 两点.（I）求 k 的取值范围；（II） 12OM ON ，其中 O 为坐标原点，求 MN .
21. （本小题满分 12 分）设函数 2 lnxf x e a x .
（I）讨论 f x 的导函数 f x 的零点的个数；
（II）证明：当 0a 时 22 lnf x a a a
.
请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题
号
22. （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲
如图 AB 是圆 O 直径，AC 是圆 O 切线，BC 交圆 O 与点 E.
（I）若 D 为 AC 中点，求证：DE 是圆 O 切线；
（II）若 3OA CE ，求 ACB 的大小.
23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，直线 1 : 2C x ，圆 2 2
2 : 1 2 1C x y ，以坐标原点为极
点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（I）求 1 2,C C 的极坐标方程.
（II）若直线 3C 的极坐标方程为 π R4
，设 2 3,C C 的交点为 ,M N ，求 2C MN 的
面积.
24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式证明选讲
已知函数 1 2 , 0f x x x a a .
（I）当 1a 时求不等式 1f x 的解集；
（II）若 f x 图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围.
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