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- 2021-05-13 发布
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90题突破高中数学圆锥曲线
1.如图，已知直线L：的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线上的射影依次为点D、E。
（1）若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；
（2）（理）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。
（文）若为x轴上一点,求证:
2.如图所示，已知圆定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E。
（1）求曲线E的方程；
（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足的取值范围。
A
P
Q
F
O
x
y
3.设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q， 且
⑴求椭圆C的离心率；
⑵若过A、Q、F三点的圆恰好与直线
l： 相切，求椭圆C的方程.
4.设椭圆的离心率为e=
（1）椭圆的左、右焦点分别为F1、F2、A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程.
（2）求b为何值时，过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，而且OQ1⊥OQ2．
5.已知曲线上任意一点P到两个定点F1(-，0)和F2(，0)的距离之和为4．
（1）求曲线的方程；
（2）设过(0，-2)的直线与曲线交于C、D两点，且为坐标原点），求直线的方程．
6.已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．（Ⅰ）当m＋n>0时，求椭圆离心率的范围；
（Ⅱ）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．
7.有如下结论：“圆上一点处的切线方程为”，类比也有结论：“椭圆处的切线方程为”，过椭圆C：的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为 A、B.
（1）求证：直线AB恒过一定点；（2）当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积
8.已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．
9.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为，右焦点与点的距离为。（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率的直线：，使直线与椭圆相交于不同的两点满足，若存在，求直线的倾斜角；若不存在，说明理由。
10.椭圆方程为的一个顶点为，离心率。
（1）求椭圆的方程；
（2）直线：与椭圆相交于不同的两点满足，求。
11.已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作，其中圆心P的坐标为．(1) 若椭圆的离心率，求的方程；
（2）若的圆心在直线上，求椭圆的方程．
12.已知直线与曲线交于不同的两点，为坐标原点．（Ⅰ）若，求证：曲线是一个圆；
（Ⅱ）若，当且时，求曲线的离心率的取值范围．
13.设椭圆的左、右焦点分别为、，A是椭圆C上的一点，且，坐标原点O到直线的距离为．（1）求椭圆C的方程；
（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点，较y轴于点M，若，求直线l的方程．
14.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点的切线方程为为常数）.（I）求抛物线方程；
（II）斜率为的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为的直线PB与抛物线的另一交点为B（A、B两点不同），且满足，求证线段PM的中点在y轴上；
（III）在（II）的条件下，当时，若P的坐标为（1，－1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.
15.已知动点A、B分别在x轴、y轴上，且满足|AB|=2，点P在线段AB上，且
设点P的轨迹方程为c。（1）求点P的轨迹方程C；
（2）若t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点（M、N不在坐标轴上），点Q
坐标为求△QMN的面积S的最大值。
16.设上的两点，
已知，，若且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由
17.如图，F是椭圆(a>b>0)的一个焦点，A,B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为．点C在x轴上，BC⊥BF，
B，C，F三点确定的圆M恰好与直线l1：相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程：（Ⅱ）过点A的直线l2与圆M交于PQ两点，且，求直线l2的方程．
18.如图，椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由.
A
B
M
O
y
x
19.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点. 直线交椭圆于两不同的点.
20.设，点在轴上，点在 轴上，且
（1）当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）设是曲线上的点，且成等差数列，当的垂直平分线与轴交于点时，求点坐标.
21.已知点是平面上一动点，且满足
（1）求点的轨迹对应的方程；
（2）已知点在曲线上，过点作曲线的两条弦和，且，判断：直线是否过定点？试证明你的结论.
22.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．（1）求椭圆的方程：
（2）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；
（3）若直线与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上．
23.过直角坐标平面中的抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点。（1）用表示A，B之间的距离；
（2）证明：的大小是与无关的定值，并求出这个值。
24.设分别是椭圆C：的左右焦点
(1)设椭圆C上的点到两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标
(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点B的轨迹方程
(3)设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM ，PN的斜率都存在，并记为 试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。
25.已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.（I）求椭圆的方程；
（II）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；（III）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足求的取值范围.
26.如图所示，已知椭圆：，、为
A
P
Q
F1
M
N
y
O
x
其左、右焦点，为右顶点，为左准线，过的直线：与椭圆相交于、两点，且有：（为椭圆的半焦距）.（1）求椭圆的离心率的最小值；（2）若，求实数的取值范围；
（3）若,，求证：、两点的纵坐标之积为定值；
27.已知椭圆的左焦点为，左右顶点分别为，上顶点为，过三点作圆，其中圆心的坐标为（1）当＞时，椭圆的离心率的取值范围（2）直线能否和圆相切？证明你的结论
28.已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.第22题
（I）证明: 为定值;
（II）若△POM的面积为，求向量与的夹角；
(Ⅲ) 证明直线PQ恒过一个定点.
29.已知椭圆C：上动点到定点,其中的距离的最小值为1.（1）请确定M点的坐标
（2）试问是否存在经过M点的直线,使与椭圆C的两个交点A、B满足条件（O为原点）,若存在,求出的方程,若不存在请说是理由。
30.已知椭圆，直线与椭圆相交于两点.
（Ⅰ）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；
（Ⅱ）在轴上是否存在点，使的值与无关？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
31.直线AB过抛物线 的焦点F，并与其相交于A、B两点。Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点．O是坐标原点．(I)求 的取值范围；
(Ⅱ)过 A、B两点分剐作此撒物线的切线，两切线相交于N点．求证：∥ ;
(Ⅲ) 若P是不为1的正整数，当 ，△ABN的面积的取值范围为 时，求该抛物线的方程．
32.如图，设抛物线（）的准线与轴交于，焦点为；以、为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的一个交点为.
（Ⅰ）当时，求椭圆的方程及其右准线的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，直线经过椭圆的右焦点，与抛物线交于、，如果以线段为直径作圆，试判断点与圆的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）是否存在实数，使得的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数；若不存在，请说明理由．
33.已知点和动点满足：,且存在正常数，使得。（1）求动点P的轨迹C的方程。
（2）设直线与曲线C相交于两点E，F，且与y轴的交点为D。若求的值。
34.已知椭圆的右准线与轴相交于点，右焦点到上顶点的距离为，点是线段上的一个动点.（I）求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于、两点,使得,并说明理由.
35.已知椭圆C：(.
（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为，求椭圆的标准方程；
（2）在（1）的条件下，设过定点的直线与椭圆C交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率k的取值范围;
（3）如图，过原点任意作两条互相垂直的直线与椭圆()相交于四点，设原点到四边形一边的距离为，试求时满足的条件.
36.已知若过定点、以()为法向量的直线与过点以为法向量的直线相交于动点．(1)求直线和的方程;
(2)求直线和的斜率之积的值，并证明必存在两个定点使得恒为定值；
(3)在（2）的条件下，若是上的两个动点，且，试问当取最小值时，向量与是否平行，并说明理由。
37.已知点,点(其中)，直线、都是圆的切线．（Ⅰ）若面积等于6，求过点的抛物线的方程；（Ⅱ）若点在轴右边，求面积的最小值．
38.我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题。
（1）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，试求d1·d2的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系。
（2）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线
（m、n不同时为0）的距离分别为d1、d2
，且直线L与椭圆M相切，试求d1·d2的值。
（3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明。
（4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）。
39.已知点为抛物线的焦点，点是准线上的动点，直线交抛物线于两点，若点的纵坐标为，点为准线与轴的交点．（Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）求的面积范围；（Ⅲ）设，，求证为定值．
40.已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.（I）求椭圆的方程；
（II）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；
（III）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足求的取值范围.
41.已知以向量为方向向量的直线过点，抛物线：的顶点关于直线的对称点在该抛物线的准线上．（1）求抛物线的方程；（2）设、是抛物线上的两个动点，过作平行于轴的直线，直线与直线交于点，若（为坐标原点，、异于点），试求点的轨迹方程。
42.如图，设抛物线（）的准线与轴交于，焦点为；以、为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的一个交点为.
（Ⅰ）当时，求椭圆的方程及其右准线的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，直线经过椭圆的右焦点，
与抛物线交于、，如果以线段为直径作圆，
试判断点与圆的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）是否存在实数，使得的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数；若不存在，请说明理由．
43.设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率且过椭圆右焦点的直线
与椭圆C交于两点.(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)是否存在直线，使得.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.(Ⅲ)若AB是椭圆C经过原点O的弦， MNAB，求证：为定值．
44.设是抛物线的焦点，过点M(－1，0)且以为方向向量的直线顺次交抛物线于两点。（Ⅰ）当时，若与的夹角为，求抛物线的方程；（Ⅱ）若点满足，证明为定值，并求此时△的面积
45.已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足.（Ⅰ）当点在轴上移动时，求点的轨迹的方程；（Ⅱ）设、为轨迹上两点，且>1, >0,，求实数，
使，且.
46.已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，P为C上任一点，MN是圆的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为的直线恰好与圆相切。（1）已知椭圆的离心率；（2）若的最大值为49，求椭圆C的方程.
47.已知直线与曲线：交于两点，的中点为，若直线和(为坐标原点)的斜率都存在，则.
这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”.
（Ⅰ）证明有心圆锥曲线的“垂径定理”；（Ⅱ）利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题：
① 过点作直线与椭圆交于两点，求的中点的轨迹的方程；
② 过点作直线与有心圆锥曲线交于两点，是否存在这样的直线使点为线段的中点？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.
48.椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率，过的直线与椭圆交于
、两点，且，求面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程．
49.椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e = ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．学科网
（1）求椭圆方程； （2）若，求m的取值范围．学科网
20090327
50.已知点A是抛物线y2＝2px（p>0）上一点，F为抛物线的焦点，准线l与x轴交于点K，已知｜AK｜＝｜AF｜，三角形AFK的面积等于8．（1）求p的值；
（2）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l1，l2，与抛物线相交得两条弦，两条弦
的中点分别为G，H.求｜GH｜的最小值．
51.已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足.（Ⅰ）当点在轴上移动时，求点的轨迹的方程；（Ⅱ）设、为轨迹上两点，且>1, >0,，求实数，
使，且.
52.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线L在y轴上的截距为m(m≠0)，L交椭圆于A、B两个不同点。（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。
53.已知椭圆上的点到右焦点F的最小距离是，到上顶点的距离为，点是线段上的一个动点.
（I）求椭圆的方程;(Ⅱ)是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于、两点,
使得,并说明理由.
54.已知椭圆的上、下焦点分别为，点为坐标平面内的动点，满足（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作曲线的两条切线，切点分别为，求直线的方程：
（3）在直线上否存在点，过该点作曲线的两条切线，切点分别为
，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，试说明理由。
55.已知抛物线的焦点为是抛物线上的两动点，且过两点分别作抛物线的切线，设其交点为
（1）证明线段被轴平分 （2）计算的值（3）求证
56.已知是椭圆的顶点（如图）,直线与椭圆交于异于顶点的两点,且．若椭圆的离心率
是,且．
（１）求此椭圆的方程；
（２）设直线和直线的倾斜角分别为．试判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．
57.已知椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．
A
B
O
M
N
Q
F
过椭圆的右焦点F任做一与坐标轴不平行的直线与椭圆交于、两点，与所在的直线交于点Q.
（1）求椭圆的方程：
（2）是否存在这样直线，使得点Q恒在直线上移动？
若存在,求出直线方程,若不存在,请说明理由.
58.已知方向向量为的直线过点和椭圆的右焦点，且椭圆的离心率为．（I）求椭圆的方程；（II）若已知点，点是椭圆上不重合的两点，且，求实数的取值范围．
59.已知F1,F2是椭圆C: （a>b>0）的左、右焦点，点P在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足。（1）求椭圆C的方程。（2）椭圆C上任一动点M关于直线y=2x的对称点为M1（x1,y1）,求3x1-4y1的取值范围。
60.已知均在椭圆上，直线、分别过椭圆的左右焦点、，当时，有.(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设是椭圆上的任一点，为圆的任一条直径，求的最大值.
61.已知离心率为的椭圆的中心在原点，焦点在轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为。（I）求椭圆及双曲线的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为，在第二象限内取双曲线上一点，连结交椭圆于点，连结并延长交椭圆于点，若。求四边形的面积。
62.已知椭圆C ，过点M(0, 3)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B.
（Ⅰ）若l与x轴相交于点N，且A是MN的中点，求直线l的方程；（Ⅱ）设P为椭圆上一点, 且 (O为坐标原点). 求当时，实数的取值范围.
63.已知椭圆C，过点M(0, 1)的直线l与椭圆C相交于两点A、B.
（Ⅰ）若l与x轴相交于点P，且P为AM的中点，求直线l的方程；
（Ⅱ）设点，求的最大值.
64.已知分别为椭圆的左、右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于直线，垂足为，线段的垂直平分线交于点M。
(Ⅰ)求动点M的轨迹的方程；(Ⅱ)过点作直线交曲线于两个不同的点P和Q，设＝，若∈[2，3]，求的取值范围。
65.已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆在第一象限内的交点是，点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，另一个焦点是，且。（1）求椭圆的方程；
（2）直线过点，且与椭圆交于两点，求的内切圆面积的最大值
66.椭圆与椭圆交于A、B两点，C为椭圆的右项点，（I）求椭圆的方程；
（II）若椭圆上两点E、F使面积的最大值
67.已知椭圆E：(a>b>0),以F1（-c,0）为圆心，以a-c为半径作圆F1，过点B2（0,b）作圆F1的两条切线，设切点为M、N.
(1)若过两个切点M、N的直线恰好经过点B1(0,-b)时，求此椭圆的离心率;
(2)若直线MN的斜率为-1,且原点到直线MN的距离为4（-1）,求此时的椭圆方程；
(3)是否存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间(-)内取值？若存在，求出椭圆E的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由.
68.已知A,B是抛物线上的两个动点，为坐标原点，
非零向量满足．（Ⅰ）求证：直线经过一定点；
（Ⅱ）当的中点到直线的距离的最小值为时，求的值
69.如图，已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，为坐标原点，。（Ⅰ）求直线l和抛物线C的方程；
（Ⅱ）抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积最大值．
70.已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B恰好是抛物线y=x2的焦点，离心率等于.直线与椭圆Γ交于两点.（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
(Ⅱ) 椭圆Γ的右焦点是否可以为的垂心？若可以,求出直线的方程；若不可以,请说明理由.
71.记平面内动点到两条相交于原点的直线的距离分别为研究满足下列条件下动点的轨迹方程．
（1）已知直线的方程为：，
（a）若，指出方程所表示曲线的形状；
（b）若，求方程所表示的曲线所围成区域的面积；
（c）若，研究方程所表示曲线的性质，写出3个结论．
（2）若，试用表示常数d及直线的方程，使得动点的轨迹方程恰为椭圆的标准方程（）．
72.已知椭圆 是抛物线的一条切线。（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。
73.已知点P （4，4），圆C：与椭圆E：的一个公共点为A（3，1），F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线与圆C相切。
（1）求m的值与椭圆E的方程；
（2）设D为直线PF1与圆C 的切点，在椭圆E上是否存在点Q ，使△PDQ是以PD为底的等腰三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由。
74.已知椭圆的长轴长为，离心率为，分别为其左右
焦点．一动圆过点，且与直线相切．
(Ⅰ) (ⅰ)求椭圆的方程； (ⅱ)求动圆圆心轨迹的方程；
(Ⅱ) 在曲线上有四个不同的点，满足与共线，与共线，且，求四边形面积的最小值．
75.如图，已知椭圆长轴长为4，高心率为过点的直线交椭圆于两点、交轴于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点。
（I）求椭圆方程；
（Ⅱ）探究：是否为常数？
76.设椭圆的上顶点为，椭圆上两点在轴上的射影分别为左焦点和右焦点，直线的斜率为，过点且与垂直的直线与轴交于点，的外接圆为圆．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线与圆相交于两点，且，求椭圆方程；
(3)设点在椭圆C内部，若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于
，求椭圆C的短轴长的取值范围．
77.已知直线：（为常数）过椭圆（）的上顶点和左焦点，直线被圆截得的弦长为．（1）若，求的值；
（2）若，求椭圆离心率的取值范围．
78.已知可行域的外接圆 C 与 x 轴交于点 Al 、 A2 ，椭圆 Cl 以线A1A2为长轴，离心率
（I）求圆 C 及椭圆 Cl 的方程；
（Ⅱ）设椭圆C1的右焦点为 F ，点 P 为圆 C 上异于 A 1、 A2的动点，过原点O作直线 PF 的垂线交直线 x =2于点Q ，判断直线 PQ 与圆C的位置关系，并给出证明．
79.若椭圆:和椭圆: 满足，则称这两个椭圆相似，称为其相似比。
（1）求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程。
（2）设过原点的一条射线分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），求的最大值和最小值.
80.椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为与y轴交于P点（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且（1）求椭圆方程；（2）若的取值范围.
81.设，，为直角坐标系中的单位向量，，，。（1）求动点的轨迹C的方程；
（2）过点作直线与曲线交于A、B两点，若，是否存在直线
使得为矩形?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
82.如图，中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率，分别是椭圆的长轴、短轴的端点，原点到直线的距离为。
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)已知，设点是椭圆上的两个动点，满足,求的取值范围.
83.已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为A（0，-1）。若右焦点到直线的距离为3.（1）求椭圆的方程;（2）设椭圆与直线相交于不同的两点M、N.当时，求m的取值范围.
84.已知直线L过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点，0是坐标原点
（1） 若直线L与x轴平行，且直线与抛物线所围区域的面积为6，求p的值.
（2） 过A,B两点分别作该抛物线的切线，两切线相交于N点，求证：,
（3） 若p是不为1的正整数，当,△ABN的面积的取值范围为时，求：该抛物线的方程.
85.已知曲线C的方程为，F为焦点。
（1）过曲线上C一点（）的切线与y 轴交于A，试探究|AF|与|PF|之间的关系；
（2）若在（1）的条件下P点的横坐标，点N在y轴上，且|PN|等于点P到直线的距离，圆M能覆盖三角形APN，当圆M的面积最小时，求圆M的方程。
86.设椭圆的右焦点为,直线与轴交于点,若（其中为坐标原点）．（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上的任一点，为圆的任意一条直径，求的最大值．
x
y
O
F1
·
·
F2
M
第20题图
87.已知、分别为椭圆:的上、下焦点,其中也是抛物线的焦点,点是与在第二象限的交点,且.
(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)已知点和圆:,过点的动
直线与圆相交于不同的两点,在线段上取一点
,满足:,,(且).
求证:点总在某定直线上.
88.设是抛物线上相异两点，且，直线与轴相交于．（1）若到轴的距离的积为，求该抛物线方程及的面积的最小值.
A
B
C
x
y
F1
F2
（2）在轴上是否存在一点，使直线与抛物线的另一交点为（与点不重合），而直线与轴相交于，且有，若存在，求出点的坐标（用表示），若不存在，说明理由．
89.如图，A为椭圆上的一个动点，
弦AB、AC分别过焦点F1、F2，当AC垂直于x轴时，
恰好有AF1：AF2＝3：1.
(Ⅰ) 求椭圆的离心率；(Ⅱ) 设.
①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，求的值；
②当A点为该椭圆上的一个动点时，试判断是
否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由.
90.已知分别是双曲线=l（a>0，b>0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若 ,且的三边长成等差数列．又一椭圆的中心在原点，短轴的一个端点到其右焦点的距离为，双曲线与该椭圆离心率之积为。
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．
答案及解析
1.解：（1）易知
（2） 先探索，当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交于FK中点N ,且
猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点
证明：设，当m变化时首先AE过定点N
∴KAN=KEN ∴A、N、E三点共线 同理可得B、N、D三点共线
∴AE与BD相交于定点
(文)解：（1）易知
（2）(文) 设
∴KAN=KEN ∴A、N、E三点共线
2.解：（1） ∴NP为AM的垂直平分线， ∴|NA|=|NM|
又 ∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆
且椭圆长轴长为
∴曲线E的方程为
（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为
得 由
设 又
整理得
又
又当直线GH斜率不存在，方程为
即所求的取值范围是
3. 解：⑴设Q（x0，0），由F（-c，0） （0，b）知
设，得
因为点P在椭圆上，所以
整理得2b2=3ac，即2(a2－c2)=3ac，,故椭圆的离心率e=
⑵由⑴知，于是F（－a，0）， Q△AQF的外接圆圆心为（a，0），半径r=|FQ|=a 所以，解得a=2，∴c=1，b=，所求椭圆方程为
4.（1）椭圆的方程为
（2）解: 过圆上的一点M（2,）处的切线方程为2x+y－6=0.
令，, 则
化为5x2－24x+36－2b2=0, 由⊿>0得：
由知，,
即b=3∈（,+∞），故b=3
5.解：（1）根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆，其中，，则．
所以动点M的轨迹方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，不满足题意．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，
∵，∴． ∵，，
∴．∴ ．… ①
由方程组 得．则，，代入①，得．
即，解得，或．所以，直线的方程是或．
6. 解：（Ⅰ）设F、B、C的坐标分别为（－c，0），（0，b），（1，0），则FC、BC的中垂线分别为
，．联立方程组，解出
，即，即（1＋b）（b－c）>0，∴ b>c．
从而即有，∴．又，∴．
（Ⅱ）直线AB与⊙P不能相切．由，＝．
如果直线AB与⊙P相切，则·＝－1．
解出c＝0或2，与0＜c＜1矛盾，所以直线AB与⊙P不能相切．
7.【解】（1）设M
∵点M在MA上∴ ① 同理可得②
由①②知AB的方程为
易知右焦点F（）满足③式，故AB恒过椭圆C的右焦点F（）
（2）把AB的方程
∴ 又M到AB的距离
∴△ABM的面积
8. 【解】（Ⅰ）点A代入圆C方程，
得．∵m＜3，∴m＝1．
圆C：．设直线PF1的斜率为k，
则PF1：，即．
∵直线PF1与圆C相切，∴．
解得．
当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．
当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，∴c＝4．F1（－4，0），F2（4，0）．
2a＝AF1＋AF2＝，，a2＝18，b2＝2．椭圆E的方程为：． 2
（Ⅱ），设Q（x，y），，．
∵，即，而，∴－18≤6xy≤18．
则的取值范围是[0，36]．的取值范围是
[－6，6]．
∴的取值范围是[－12，0]．
9.【解】（1）依题意，设椭圆方程为，则其右焦点坐标为
，由，得，
即，解得。
又 ∵ ，∴ ，即椭圆方程为。
（2）由知点在线段的垂直平分线上，
由消去得 即 （*）
由，得方程（*）的，即方程（*）有两个不相等的实数根。
设、，线段的中点，
则，，
，即
，∴直线的斜率为，
由，得，
∴ ，解得：，即，
又，故 ，或，∴ 存在直线满足题意，其倾斜角，或。
10.【解】（1）设，依题意得 即
∴ ，即椭圆方程为。
（2） ∴ ，且点线段的中点，
由消去得 即 （*）
由，得方程（*）的，显然方程（*）有两个不相等的实数根。
设、，线段的中点，
则，
∴ ，即
，∴直线的斜率为，
由，得， ∴ ，解得：，
11.【解】（1）当时，∵，∴，
∴，，点,，
设的方程为
由过点F,B,C得
∴-----------------①
-----------------②
-------------------③
由①②③联立解得，，
∴所求的的方程为
（2）∵过点F,B,C三点，∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，FC的垂直平分线方程为--------④ ∵BC的中点为，
∴BC的垂直平分线方程为-----⑤
由④⑤得，即
∵P在直线上，∴
∵ ∴ 由得
∴椭圆的方程为
12.【解】（Ⅰ）证明：设直线与曲线的交点为
∴ 即：
∴ 在上
∴，
∴两式相减得： ∴ 即：
∴曲线是一个圆
（Ⅱ）设直线与曲线的交点为，
∴曲线是焦点在轴上的椭圆
∴ 即：
将代入整理得：
∴，
在上 ∴
又 ∴
∴2 ∴
∴ ∴
∴ ∴
∴ ∴
13.【解】（1）由题设知
由于，则有，所以点A的坐标为，
故所在直线方程为，
所以坐标原点O到直线的距离为，
又，所以，解得，
所求椭圆的方程为．
（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，则有，
设，由于，∴，解得
又Q在椭圆C上，得，解得， 故直线l的方程为或， 即或．
14. 【解】（I）由题意可设抛物线的方程为,
∵过点的切线方程为,
∴抛物线的方程为
（II）直线PA的方程为,
同理,可得.
又
∴线段PM的中点在y轴上.
（III）由
∵∠PAB为钝角，且P, A, B不共线,
即
又∵点A的纵坐标 ∴当时，；
当
∴∠PAB为钝角时点A的坐标的取值范围为
15.【解】（1）设
（2）t=2时，
16.解：（Ⅰ） 椭圆的方程为
（Ⅱ）由题意，设AB的方程为
由已知得：
(Ⅲ) （1）当直线AB斜率不存在时，即,由得
又 在椭圆上，所以
所以三角形的面积为定值
（2）.当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b
所以三角形的面积为定值.
17.【解】 (1)F(-c，0)，B(0,)，∵kBF=，kBC=-，C(3c，0) 且圆M的方程为(x-c)2+y2=4c2，圆M与直线l1：x+u+3=0相切，
∴ ，解得c=1，∴所求的椭圆方程为
(2) 点A的坐标为(-2，0)，圆M的方程为(x-1)2+y2=4，
过点A斜率不存在的直线与圆不相交，设直线l2的方程为y=k(x+2)，
∵，又，∴cos=
∴∠PMQ=120°，圆心M到直线l2的距离d=，所以，∴k=
所求直线的方程为x×2+2=0．
18.【解】（1）如图建系，设椭圆方程为,则
又∵即
∴ 故椭圆方程为
（2）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则设，∵，故，
于是设直线为 ，由得
∵
又 得 即
由韦达定理得
解得或（舍） 经检验符合条件
19. 【解】
20.【解】 （1）设，则由得为中点，所以
又得，，
所以（）
（2）由（1）知为曲线的焦点，由抛物线定义知，抛物线上任一点到 的距离等于其到准线的距离，即，所以，
根据成等差数列，得，
直线的斜率为，
所以中垂线方程为，
又中点在直线上，代入上式得，即，
所以点.
21.【解】（1）设 （5分）
（6分）
（9分）
（11分）
（13分）
） (15分)
22.【解】 （1）设椭圆方程为
将、、代入椭圆E的方程，得
解得. ∴椭圆的方程
（2），设边上的高为
当点在椭圆的上顶点时，最大为，所以的最大值为．
设的内切圆的半径为，因为的周长为定值6．所以
，
所以的最大值为．所以内切圆圆心的坐标为
（3）法一：将直线代入椭圆的方程并整理．
得．
设直线与椭圆的交点，
由根系数的关系，得．
直线的方程为：，它与直线的交点坐标为
同理可求得直线与直线的交点坐标为．
下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：
，
因此结论成立．
综上可知．直线与直线的交点住直线上． （16分）
法二：直线的方程为：
由直线的方程为：，即
由直线与直线的方程消去，得
∴直线与直线的交点在直线上．
23.解：（1）焦点，过抛物线的焦点且倾斜角为的直线方程是
由
（ 或 )
（2）
∴的大小是与无关的定值，
24.[解]：（1）由于点在椭圆上， 2=4,
椭圆C的方程为 焦点坐标分别为（-1，0） ，（1，0）
（2）设的中点为B（x, y）则点
把K的坐标代入椭圆中得
线段的中点B的轨迹方程为
（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称
设
，得
==
故：的值与点P的位置无关，同时与直线L无关，
25.解：（Ⅰ）∵ ∵直线相切，∴ ∴ ∵椭圆C1的方程是
（Ⅱ）∵MP=MF2，∴动点M到定直线的距离等于它到定点F1（1，0）的距离，
∴动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线 ∴点M的轨迹C2的方程为
（Ⅲ）Q（0，0），设 ∴
∵ ∴
∵，化简得 ∴ ∴
当且仅当 时等号成立
∵
∴当的取值范围是
26.解（1）设直线与椭圆相交于，，因为；
故，，由得：
①；
将代入得：；
由题意得：代入①中，并化简得：
因此，，；即椭圆的离心率的最小值为；
（2）由得：；
A
P
Q
F1
M
N
y
O
x
；由于是的单调增函数，
因为，故，
所以的取值范围：
（3）的方程为；因为；
故，同理：；
所以
（为定值）
27.解（1）由题意的中垂线方程分别为，
于是圆心坐标为=＞，即 ＞即
＞所以＞ ， 于是＞ 即＞ ，所以＜ 即 ＜＜
（2）假设相切， 则，
， 这与＜＜矛盾.
故直线不能与圆相切.
28.解：（I）设点、M、A三点共线，
(II)设∠POM=α，则
由此可得tanα=1.
又
(Ⅲ)设点、B、Q三点共线，
即
即
由（*）式，代入上式，得
由此可知直线PQ过定点E（1，－4）.
29.解析：设，由得故由于且故当时，的最小值为此时，当时，取得最小值为解得不合题意舍去。综上所知当是满足题意此时M的坐标为（1，0）。
（2）由题意知条件等价于，当的斜率不存在时，与C的交点为，此时，设的方程为，代入椭圆方程整理得，由于点M在椭圆内部故恒成立，由知即，据韦达定理得，代入上式得得不合题意。综上知这样的直线不存在。
30.解：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，
将代入， 消去整理得
设 则
由线段中点的横坐标是，得，解得，适合.
注意到是与无关的常数，从而有， 此时
综上，在轴上存在定点，使为常数.
31.解:(Ⅰ) 由条件得 ，设直线AB的方程为
则
∴由韦达定理得
从而有
∴
（Ⅱ）抛物线方程可化为
∴切线NA的方程为：
切线NB的方程为：
从而可知N点、Q点的横坐标相同但纵坐标不同。∥
又由（Ⅰ）知 而
又
（Ⅲ）由
由于
从而
又
而
而p＞0,∴1≤p≤2 又p是不为1的正整数 ∴p=2
故抛物线的方程：
32.【解】∵的右焦点 ∴椭圆的半焦距，又，
∴椭圆的长半轴的长，短半轴的长. 椭圆方程为.
（Ⅰ）当时，故椭圆方程为，
右准线方程为：.
（Ⅱ）依题意设直线的方程为：，
联立 得点的坐标为.
将代入得.
设、，由韦达定理得，.
又，.
∵，于是的值可能小于零，等于零，大于零。
即点可在圆内，圆上或圆外.
（Ⅲ）假设存在满足条件的实数， 由解得：.
∴，，又.
即的边长分别是、、 . ∴时，能使的边长是连续的自然数。
33.解：（1）在△PAB中，|AB|2=|PA|2+|PB|2－2|PA|·|PB|·cos2θ
∴4=（|PA|+|PB|）2－2|PA|·|PB|（1+cos2θ）=（|PA|+|PB|）2－4m，∴（|PA|+|PB|=2），即点P的轨迹为椭圆，点P的轨迹C的方程为．
（2）由（2m+1）x2+2（m+1）x+1－m2=0
设E（x1，y1），F（x2，y2），D（0，1）
则x1+x2=…………① x1·x2=…………②
又，∴（x1，y1－1）=（2+）（x2，y2－1）
∴x1=（2+）x2…………③
将③代入①②得
m=或m=－ ∵m＞0 ∴m=．
34.解：(1)由题意可知，又，解得，
椭圆的方程为；
（2）由（1）得，所以.假设存在满足题意的直线，设的方程为
，代入，得，
设，则 ①，
，
而的方向向量为,
; 当时,,即存在这样的直线; 当时,不存在,即不存在这样的直线 .
35.解：（1）
（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：
由得.
,（1）
又
由 ∴ 所以
（2）由（1）（2）得。
（3）由椭圆的对称性可知PQSR是菱形，原点O到各边的距离相等。
当P在y轴上，Q在x轴上时，直线PQ的方程为，由d=1得，
当P不在y轴上时，设直线PS的斜率为k，，则直线RQ的斜率为，
由，得(1)，同理(2)
在Rt△OPQ中，由，即
所以，
化简得， ，即。
综上，d=1时a,b满足条件
36.【解】（1）直线的法向量，的方程：，
即为；…（2分）
直线的法向量，的方程：，
即为。 （4分）
（2）。 （6分）
设点的坐标为，由，得。（8分）
由椭圆的定义的知存在两个定点，使得恒为定值4。
此时两个定点为椭圆的两个焦点。（10分）
（3）设，，则，，
由，得。（12分）
；
当且仅当或时，取最小值。（14分）
，故与平行。（16分）
37.解：(1) 设，由已知，，
设直线PB与圆M切于点A，
又，
(2) 点 B（0，t），点，
进一步可得两条切线方程为：，
，，
，，
，又时，，
面积的最小值为
38.解：（1）；
联立方程；
与椭圆M相交。
（2）联立方程组
消去
（3）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线
的距离分别为d1、d2，且F1、F2在直线L的同侧。那么直线L与椭圆相交的充要条件为：；直线L与椭圆M相切的充要条件为：；直线L与椭圆M相离的充要条件为：
证明：由（2）得，直线L与椭圆M相交
命题得证。
（4）可以类比到双曲线：设F1、F2是双曲线的两个焦点，点F1、F2到直线距离分别为d1、d2，且F1、F2在直线L的同侧。那么直线L与双曲线相交的充要条件为：；直线L与双曲线M相切的充要条件为：；直线L与双曲线M相离的充要条件为：
39.解：（Ⅰ）由题知点的坐标分别为，，于是直线的斜率为， 所以直线的方程为，即为．
（Ⅱ）设两点的坐标分别为，由得，
所以，．于是．
点到直线的距离，所以
.
因为且，于是，所以的面积范围是．
（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得
，，
于是，（）.所以．
所以为定值．
40.解：（Ⅰ）∵
∵直线相切，∴ ∴
∵椭圆C1的方程是
（Ⅱ）∵MP=MF2，∴动点M到定直线的距离等于它到定点F1（1，0）的距离，
∴动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线 ∴点M的轨迹C2的方程为
（Ⅲ）Q（0，0），设 ∴
∵ ∴ ∵，化简得
∴ ∴
当且仅当 时等号成立
∵
∴当的取值范围是
41.解：（1）由题意可得直线： ① 过原点垂直于的直线方程为 ②
由①、②得 ∵抛物线的顶点（即原点）关于直线的对称点在该抛物线的准线上。
∴， ∴抛物线的方程为
（2）设，，，由，得
又，，解得 ③
直线：，即 ④
由③、④及，得点的轨迹方程为
42.解∵的右焦点 ∴椭圆的半焦距，又，
∴椭圆的长半轴的长，短半轴的长. 椭圆方程为.
（Ⅰ）当时，故椭圆方程为， 右准线方程为：.
（Ⅱ）依题意设直线的方程为：， 联立 得点的坐标为.
将代入得.
设、，由韦达定理得，.
又，.
∵，于是的值可能小于零，等于零，大于零。即点可在圆内，圆上或圆外. …8′
（Ⅲ）假设存在满足条件的实数，由解得：.
∴，，又.
即的边长分别是、、 .∴时，能使的边长是连续的自然数
43.解：椭圆的顶点为，即，，所以，椭圆的标准方程为
（2）由题可知,直线与椭圆必相交.
①当直线斜率不存在时，经检验不合题意。
②设存在直线为，且，.
由得，
，，
=
所以，故直线的方程为或 7分
（3）设,
由（2）可得： |MN|=
=
由消去y，并整理得： ，
|AB|=， ∴ 为定值
44.解：（1）当时，直线AB的方程为，代入抛物线方程得：，由 且得
设A，则
故， F ，
， 又
，
故抛物线方程为
（2）直线AB的方程为，代入抛物线方程得
， A是线段MB的中点，故
即， 代入得，
，（定值）。
则
45.解：（Ⅰ）设点，由得.由,
得，即.又点在轴的正半轴上，∴.
故点的轨迹的方程是.
（Ⅱ）由题意可知为抛物线：的焦点，且、为过焦点的直线与抛物
线的两个交点,所以直线的斜率不为.
当直线斜率不存在时，得，不合题意；
当直线斜率存在且不为时，设，代入得
，
则，解得.
代入原方程得，由于，所以，由,
得，∴.
46.解：（1）由题意可知直线l的方程为，因为直线与圆相切，所以=1，既 从而
（2）设则
j当 此时椭圆方程为
k当 解得但故舍去。
综上所述，椭圆的方程为
圆、椭圆、双曲线都有对称中心，统称为有心圆锥曲线，它们统一的标准方程为.圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中,如圆的“垂径定理”的逆定理:圆的平分弦（不是直径）的直径垂直于弦. 类比推广到有心圆锥曲线：
① 47.解：（Ⅰ）证明 设
相减得 注意到
有 即
（Ⅱ）①设 由垂径定理，
即 化简得
当与轴平行时，的坐标也满足方程.
故所求的中点的轨迹的方程为；
② 假设过点P(1,1)作直线与有心圆锥曲线交于两点，且P为的中点，则 由于
直线，即，代入曲线的方程得
即
由 得.
故当时，存在这样的直线，其直线方程为；
当时，这样的直线不存在.
48.解：设椭圆的方程为直线的方程为，
，
则椭圆方程可化为即，
联立得 （*）
有而由已知有，代入得
所以，
当且仅当时取等号
由得，将代入（*）式得
所以面积的最大值为，取得最大值时椭圆的方程为
49科学科网解：（1）设C：＋＝1（a>b>0），设c>0，c2＝a2－b2，由条件知a-c＝，＝，
∴a＝1，b＝c＝，故C的方程为：y2＋＝1
（2）由＝λ得－＝λ（－），（1＋λ）＝＋λ，
∴λ＋1＝4，λ＝3 设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）
得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0
Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*）
x1＋x2＝， x1x2＝
∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴
消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0
m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝，
因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝>0，∴－12m2－2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）
20090327
50.解：（Ⅰ）设，
因为抛物线的焦点，
则
，
，而点A在抛物线上，
.
又故所求抛物线的方程为.6分
（2）由，得，显然直线，的斜率都存在且都不为0.
设的方程为，则的方程为.
由 得，同理可得.
则=.（当且仅当时取等号） 所以的最小值是8.
51.解：（Ⅰ）设点，由得.
由,得，即.
又点在轴的正半轴上，∴.故点的轨迹的方程是.
（Ⅱ）由题意可知为抛物线：的焦点，且、为过焦点的直线与抛物
线的两个交点,所以直线的斜率不为.
当直线斜率不存在时，得，不合题意；
当直线斜率存在且不为时，设，代入得
，
则，解得.
代入原方程得，由于，所以，由,
得，∴.
52.解：（1）设椭圆方程为,则.
∴椭圆方程为
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m, 又KOM=,
，联立方程有
， ∵直线l与椭圆交于A．B两个不同点，
（3）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可
设，
则 由
而
故直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
53.解析：(1)由题意可知且，解得，
椭圆的方程为；
（2）由（1）得，所以.假设存在满足题意的直线，设的方程为
，代入，得，
设，则 ①，
，
而的方向向量为,
;
当时,,即存在这样的直线;当时,不存在,即不存在这样的直线
54解：（1）因为为椭圆的上、下焦点，所以设。
所以
因为
所以，整理可得
所以所求动点的轨迹的方程为
（2）（法一）设过点所作曲线的切线的斜率为，则切线方程为
由 可得：
，所以或
过点所作曲线的切线方程为和
由和可分别解得：和
所以直线的方程的方程为：
（法二）设过点所作曲线的两切线的切点为，
则 记 则，
则两条切线的方程为
即
和
即：
因为两条切线均经过点，所以且
所以 直线的方程的方程为：
（3）若存在，不妨设其坐标为，过点所作曲线的切线斜率为，
则切线方程为，即
由可得：
因为直线和抛物线相切，所以
设两条切线的斜率分别为，则
因为 所以
所以 两条切线垂直 所以所以
所以 在直线上是存在点满足题意。
55. 解：（1）设由得
直线的方程为：;直线的方程为：
解方程组得
由已知，三点共线，设直线的方程为：
与抛物线方程联立消可得：
所以点的纵坐标为-2，所以线段中点的纵坐标O 即线段被轴平分。
（2）
=0
而 所以在直角中，
由影射定理即得
56. 解：（１）由已知可得，所以椭圆方程为．
（２）是定值．理由如下：
由（１），A2（2，0），B（0，1），且//A2B，所以直线的斜率．
设直线的方程为,，
即，且 ．
． 又因为，
＝
．
又 是定值．
57.解析：（1）设椭圆方程为
将、、代入椭圆E的方程，得
解得. ∴椭圆的方程
（也可设标准方程，知类似计分）
（2） 可知：将直线
代入椭圆的方程并整理．得
设直线与椭圆的交点，
由根系数的关系，得
直线的方程为：
由直线的方程为：，即
由直线与直线的方程消去，得
∴直线与直线的交点在直线上． 故这样的直线存在
58.（1）∵直线的方向向量为∴直线的斜率为，又∵直线过点
∴直线的方程为∵，∴椭圆的焦点为直线与轴的交点
∴椭圆的焦点为∴，又∵∴ ，∴
∴椭圆方程为
（2）设直线MN的方程为由，得
设坐标分别为则 (1) (2)
＞0∴,
∵，显然，且
∴∴
代入(1) (2)，得
∵,得，即
解得且.
59.解：（1）由已知，点P在椭圆上∴有 ①
又，M在y轴上，∴M为P、F2的中点，∴.
∴由， ②
解①②,解得（舍去），∴ 故所求椭圆C的方程为。
（2）∵点关于直线的对称点为，
∴ 解得 ∴
∵点P在椭圆C:上，∴∴。
即的取值范围为［－10，10］。
60.解:(Ⅰ)因为，所以有
所以为直角三角形；
则有所以，
又，
在中有 即，解得
所求椭圆方程为
(Ⅱ)
从而将求的最大值转化为求的最大值
是椭圆上的任一点，设，则有即
又，所以
而,所以当时，取最大值 故的最大值为
61.解：（I）设椭圆方程为 则根据题意，双曲线的方程为
且满足 解方程组得
椭圆的方程为，双曲线的方程
（Ⅱ）由（I）得设则由得为的中点，所以点坐标为，
将坐标代入椭圆和双曲线方程，得
消去，得 解之得或（舍）
所以，由此可得 所以
当为时，直线的方程是
即，代入，得 所以或-5（舍）
所以轴。 所以
62.（Ⅰ）解：设A(x1, y1)，因为A为MN的中点，且M的纵坐标为3，N的纵坐标为0，
所以，又因为点A(x1, y1)在椭圆C上
所以，即，解得，
则点A的坐标为或，
所以直线l的方程为或.
（Ⅱ）解：设直线AB的方程为或，A(x1, y1)，B(x2, y2)，，
当AB的方程为时，，与题意不符.
当AB的方程为时：
由题设可得A、B的坐标是方程组的解，
消去y得，所以即，
则
因为 ，
所以，解得，
所以. 因为，即，
所以当时，由，得，
上述方程无解，所以此时符合条件的直线不存在；
当时，，
因为点在椭圆上，所以， 化简得， 因为，所以，则. 综上，实数的取值范围为.
63. （Ⅰ）解：设A(x1, y1)，
因为P为AM的中点，且P的纵坐标为0，M的纵坐标为1，所以，解得，又因为点A(x1, y1)在椭圆C上，所以，即，解得， 则点A的坐标为或，所以直线l的方程为，或.
（Ⅱ）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则
所以，则
当直线AB的斜率不存在时，其方程为，，此时；
当直线AB的斜率存在时，设其方程为，
由题设可得A、B的坐标是方程组的解，消去y得
所以，
则，
所以，
当时，等号成立, 即此时取得最大值1.
综上，当直线AB的方程为或时，有最大值1.
64.解：(Ⅰ)设M，则，由中垂线的性质知
||= 化简得的方程为
（另：由知曲线是以x轴为对称轴，以为焦点，以为准线的抛物线
所以 ， 则动点M的轨迹的方程为）
(Ⅱ)设，由＝ 知 ①
又由在曲线上知 ②
由 ① ② 解得 所以 有
===
设 有 在区间上是增函数，
得，进而有 ，所以的取值范围是
65.解：（1）设椭圆方程为，点在直线上，且点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点， 则点为。
，而为，则有
则有，所以 又因为
所以 所以椭圆方程为：
（2）由（1）知,过点的直线与椭圆交于两点，则
的周长为，则（为三角形内切圆半径），当的面积最大时，其内切圆面积最大。
设直线方程为：，，则
所以
令，则，所以，而在上单调递增，
所以，当时取等号，即当时，的面积最大值为3，结合，得的最小值为
66.解：（I）根据题意， 设A
解得
（Ⅱ）设
①
②
由①-②得
直线EF的方程为即
并整理得，
又
当
67.解：（1）圆F1的方程是（x+c）2+y2=(a-c)2,因为B2M、B2N与该圆切于M、N点，所以B2、M、F1、N四点共圆，且B2F1为直径，则过此四点的圆的方程是(x+)2+(y-)2=,从而两个圆的公共弦MN的方程为cx+by+c2=(a-c)2,又点B1在MN上, ∴a2+b2-2ac=0,∵b2=a2-c2,
∴2a2-2ac-c2=0,即e2+2e-2=0,∴e=-1.(负值已舍去)
(2)由（1）知，MN的方程为cx+by+c2=(a-c)2,由已知-=-1.
∴b=c,而原点到MN的距离为d==|2c-a|=a,
∴a=4,b2=c2=8,所求椭圆方程是;
(3)假设这样的椭圆存在，由（2）则有-<-<-,
∴<<,∴<<,∴<<.故得2<<3,
∴3<<4,求得3
设椭圆上任意一点为，则
由条件可以整理得：对任意恒成立，
所以有：或者
解之得： 2
77.解：（1）取弦的中点为M，连结OM 由平面几何知识，OM=1
得：， ∵直线过F、B ，∴则
（2）设弦的中点为M，连结OM 则
解得
∴
78. 解：（1）由题意可知，可行域是以及点为顶点的三角形，
∵，∴为直角三角形，
∴外接圆C以原点O为圆心，线段A1A2为直径，故其方程为．
∵2a=4，∴a=2．又，∴，可得．
∴所求椭圆C1的方程是．
（2）直线PQ与圆C相切．设，则．
当时，，∴；
当时，
∴直线OQ的方程为．因此，点Q的坐标为．
∵
∴当时，，；
当时候，，∴，.
综上，当时，，故直线PQ始终与圆C相切．
79. 解：（1）设所求的椭圆方程为，则有
解得
∴所要求的椭圆方程为
（2）①当射线与轴重合时，=
②当射线不与坐标轴重合时，由椭圆的对称性，我们仅考察A、B在第一象限的情形。
设其方程为（），设，
由 解得
由 解得
令 则由 知
, 记，则在上是增函数，∴，
∴ 由①②知，的最大值为，的最小值为。
80.解：（1）设，由条件知
∴ 故C的方程为：
（2）由 ∴
设l与椭圆C交点为
（*）
∵ ∴
∴ 消去
∴ 整理得
，因，∴
∴ ∴
容易验证所以（*）成立 即所求m的取值范围为
81.解：（1）∵，，
∴动点到定点、的距离之和为8
∴曲线C的轨迹方裎为
(2)直线过，若是轴，则A、B是椭圆的顶点。∵
∴与重合，与为矩形矛盾。∴直线的斜率存在．
设：，，
由得
∵恒成立．∴由韦达定理得
， ∵
∴是平行四边形． 若存在，使它为矩形，则 即
∴,即
∴ ，，
所求直线的方程为
82.解：(Ⅰ)设椭圆的长半轴长为，短半轴长，半焦距为，由离心率，得
∵ ∴ ①
∵直线的方程为，原点到直线的距离为，∴ ②
①代人②，解得 ∴椭圆的标准方程为
(Ⅱ) ∵ ∴·= ∴·=·(-)=2
设,则，即
∴·=2
∵≤≤ ∴≤≤ ∴·的取值范围是
83.解：（1）依题意可设椭圆方程为 ，则右焦点F
由题设 解得 故所求椭圆的方程为.
（2）设P为弦MN的中点，由 得 .
由于直线与椭圆有两个交点， 即 ①
，从而，
又，则，
即 ② 把②代入①得 解得
又由②得 解得. 故所求m的取范围是
（1） 84.(1)解：由条件得M（0，-），F（0，）把y=代入中得x=-p或p
所以直线与抛物线所围区域面积S===
又S=6，所以p=3
（2）证：设直线AB的方程为y=kx+,A(x1,y1),B(x2,y2)
由得，，，
抛物线方程可化为，，所以，，所以
切线NA的方程为：，切线NB的方程为：，
两方程联立得，从而可知N点，Q点的横坐标相同，但纵坐标不同，
所以，又，，所以N（pk,）,而M（0，-），
，又，，
（3）解：因为==
=，又，，所以k=2或-2
由于，=
，从而，又=
，==
而的取值范围是，，，而p>0
所以1≤p≤2,又p是不为1的正整数，所以p=2
故抛物线的方程为x2=4y
85.
86.解：（1）由题设知:
由得:
解得，椭圆的方程为
（2）
从而将求的最大值转化为求的最大值
是椭圆上的任一点，设，则有
即 又，
当时，取最大值
的最大值为
87.解: (Ⅰ)方法一、由知,设,
因在抛物线上,故…①
又,则……②, 由①②解得,.
椭圆的两个焦点,,点椭圆上,
由椭圆定义得
∴,又,∴, ∴椭圆的方程为.
方法二、由知,设,因在抛物线上,故…①
又,则……②, 由①②解得,.
而点椭圆上,故有即…③, 又,则…④
由③④可解得,,∴椭圆的方程为.
(Ⅱ)设,,
由可得:,即
由可得:,即
⑤⑦得: ⑥⑧得:
两式相加得
又点在圆上，且,所以,
即, ∴点总在定直线上.
88.解：（1）∵ ·＝0，则x1x2＋y1y2＝0，又P、Q在抛物线上，故y12＝2px1，y22＝2px2，故得
＋y1y2＝0， y1y2＝－4p2 Þ |y1y2|＝4p2 又|y1y2|＝4，故得4p2＝4，p=1．
设E(a,0），直线PQ方程为x＝my＋a
联立方程组 消去x得y2－2pmy－2pa＝0
面积最小值为4.
（2）设E(a,0），直线PQ方程为x＝my＋a 联立方程组
消去x得y2－2pmy－2pa＝0 ∴ y1y2＝－2pa ①
设F(b,0)，R(x3,y3)，同理可知，y1y3＝－2pb ② 由①、②可得 ＝ ③
若 ＝3，设T(c,0)，则有(x3－c,y3－0)＝3(x2－c,y2－0)
∴ y3＝3y2 即 ＝3 ④ 将④代入③，得 b＝3a．
又由（Ⅰ）知，·＝0 Þ y1y2＝－4p2，代入①，可得
－2pa＝－4 p2 Þ a＝2p． 故b＝6p．
故知，在x轴上，是否存在异于E的一点F(6p,0)，使得 ＝3．
89.解（Ⅰ）设，则.由题设及椭圆定义得
，消去得，所以离心率.
(Ⅱ)解法一： 由(1)知，，所以椭圆方程可化为 .
①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，，直线的方程为.
由得 ，解得，
∴ 点的坐标为.
又，所以，，所以，.
②当A点为该椭圆上的一个动点时，为定值6.
证明 设，，则.
若为椭圆的长轴端点，则或，
所以.
若为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则由得，
，所以.
又直线的方程为，所以由得
. ，
∴.
由韦达定理得 ，所以. 同理.
∴.
综上证得，当A点为该椭圆上的一个动点时，为定值6.
解法二：设，，则
∵，∴；
又①，②，将、代入②得：
即③；
③①得：；
同理：由得，∴，∴.
90.解：设，不妨P在第一象限，则由已知得
解得（舍去）。设椭圆离心率为
可设椭圆的方程为
（Ⅱ）①当AB
②当AB与轴不垂直时，设直线AB的方程为，
由已知得代入椭圆方程，整理得
当且仅当时等号成立，此时
③当
综上所述：，
此时面积取最大值
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