全国高考真题理科数学分类汇编六不等式和线性规划逐题详解 12页

‎ 2014年高考题专题整理 --不等式和线性规划 ‎ 第I部分 ‎ ‎1.【2014年四川卷（理04）】若，，则一定有 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，又，‎ 由不等式性质知：，所以 ‎2.【2014年江西卷（理11）】(1).（不等式选做题）对任意,的最小值为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎3.【2014年安徽卷（理05）】满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数 的值为 ‎（A）或 （B）或 ‎ ‎（C）或 （D）或 ‎【答案】D ‎【解析】可行域如右图所示，可化为，由题意知或 12‎ ‎4.【2014年天津卷（理02）】设变量、满足约束条件，则目标函数的最小值为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出可行域，如图所示．解方程组得即点A(1，1)．‎ 当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值，即zmin＝1×1＋2×1＝3.‎ ‎5.【2014年山东卷（理09）】已知满足的约束条件当目标函数在该约束条件下取得最小值时，的最小值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎【解析】求得交点为，则，即圆心到直线的距 离的平方。‎ 12‎ ‎6.【2014年全国新课标Ⅰ（理09）】不等式组的解集记为.有下面四个命题：‎ ‎：，：,‎ ‎：，：.‎ 其中真命题是 ‎ .， .， .， .，‎ ‎【答案】：C ‎【解析】：作出可行域如图：设，即，当直线过时，‎ ‎，∴，∴命题、真命题，选C.‎ ‎7.【2014年全国新课标Ⅱ（理09）】设x,y满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A. 10 B. 8 C. 3 D. 2‎ ‎ ‎ ‎【答案】 B ‎【解析】‎ ‎8.【2014年山东卷（理05）】已知实数满足，则下列关系式恒成立的是 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 12‎ ‎【答案】D ‎【解析】，排除A,B，对于C ，是周期函数，排除C。‎ ‎9.【2014年北京卷（理06）】若满足且的最小值为-4，则的值为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由约束条件作出可行域如图，‎ 由kx﹣y+2=0，得x=，∴B（﹣）．由z=y﹣x得y=x+z．‎ 由图可知，当直线y=x+z过B（﹣）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．‎ 此时，解得：k=﹣．故选：D ‎10.【2014年天津卷（理07）】设、，则“”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】当ab≥0时，可得a>b与a|a|>b|b|等价．当ab<0时，可得a>b时a|a|>0>b|b|；反之，由a|a|>b|b|知a>0>b，即a>b.‎ 12‎ ‎11.【2014年广东卷（理03）】若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为M和m，则M-m=‎ A．8 　　 B.7 　　　 　C.6 　　　　　 D.5‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题画出如图所示的可行域；由图可知当直线经过点时，‎ ‎，当直线经过点时，，所以，故选C.‎ ‎ 第II部分 ‎ ‎12.【2014年湖南卷（理13）】若关于x的不等式的解集为， 则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依得可得，解得 ‎13.【2014年湖南卷（理14）】若变量满足约束条件，且的最小值为，则____.‎ 12‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出约束条件中三条直线的交点为,且不等式组限制的区域如图,所以,则当为最优解时,,‎ 当为最优解时,, 因为,所以,故填.‎ ‎14.【2014年全国大纲卷（14）】设x、y满足约束条件，则的最大值为 .‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得C（1，1）．化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得．‎ 12‎ 由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．‎ 此时zmax=1+4×1=5．故答案为：5‎ ‎15.【2014年辽宁卷（理16）】对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 .‎ ‎【答案】﹣2‎ ‎【解析】∵4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，∴=‎ 由柯西不等式得，‎ ‎[][]=|2a+b|2故当|2a+b|最大时，有 ‎∴∴﹣+===，‎ ‎ 当b=时，取得最小值为﹣2．故答案为：﹣2‎ ‎16.【2014年陕西卷（理15）】(不等式选做题)设，且，则的最小值为 ‎ ‎17.【2014年重庆卷（理16）】若不等式对任意实数恒成立，学 科网则实数的取值范围是____________.‎ 12‎ ‎【答案】-1≤a≤‎ ‎【解析】转化为左边的最小值，‎ 左边，当时取等号，故 ‎18.【2014年福建卷（理11）】若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为　_________　．‎ ‎　‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】作出不等式对应的平面区域如图，‎ 由z=3x+y，得y=﹣3x+z，‎ 平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=﹣3x+z的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=0×3+1=1，故答案为：1‎ ‎19.【2014年福建卷（理13）】要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是　 （单位：元）‎ ‎【答案】160‎ ‎【解析】设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，‎ 故底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，∵a+b≥2=4，‎ 故当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故答案为：160‎ 12‎ ‎20.【2014年浙江卷（理13）】当实数、满足时，恒成立，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由约束条件作可行域如图，‎ 联立，解得C（1，）．联立，解得B（2，1）．在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）．‎ 要使1≤ax+y≤4恒成立，则，解得：1．∴实数a的取值范围是．故答案为：‎ ‎21.【2014年上海卷（理05）】若实数满足，则的最小值为 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】：‎ 12‎ ‎ 第III部分 ‎ ‎ ‎22.【2014年福建卷（理23）】已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3．‎ ‎　‎ ‎( 1）解：∵|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，‎ ‎ ∴f（x）的最小值为3，即a=3；‎ ‎（2）证明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，‎ ‎ ∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2‎ ‎ =（p+q+r）2=32=9，‎ ‎ 即p2+q2+r2≥3‎ ‎23.【2014年辽宁卷（理24）】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数，，记的解集为M，的解集为N.‎ ‎（1）求M；‎ ‎（2）当时，证明：.‎ ‎ （Ⅰ） ‎ 当时，由得，故；‎ 当时，由得，故；‎ 所以的解集为.‎ ‎(Ⅱ)由得解得，因此，故.‎ 当时，，于是 ‎.‎ 12‎ ‎24.【2014年全国新课标Ⅰ（理24）】（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 若，且.‎ ‎(Ⅰ) 求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由.‎ ‎【解析】：(Ⅰ) 由，得，且当时等号成立，‎ 故，且当时等号成立，‎ ‎∴的最小值为. ……5分 ‎（Ⅱ）由，得，又由(Ⅰ)知，二者矛盾，‎ 所以不存在，使得成立. ……………10分 ‎25.【2014年全国新课标Ⅱ（理24）】 （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数=‎ ‎（Ⅰ）证明：2；‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围.‎ ‎ （Ⅰ）由a>0,有f（x）=｜x+1/a｜+｜x-a｜≥｜x+1/a-(x-a)｜=1/a+a≥2.‎ 所以f（x）≥2.‎ ‎（Ⅱ）f（x）=｜3+1/a｜+｜3-a｜.‎ 当a＞3时，f（3）=a+1/a，由f（3）＜5得3＜a＜ 当0