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  • 2021-05-13 发布

全国高考真题理科数学分类汇编六不等式和线性规划逐题详解

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‎ 2014年高考题专题整理 --不等式和线性规划 ‎ 第I部分 ‎ ‎1.【2014年四川卷(理04)】若,,则一定有 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由,又,‎ 由不等式性质知:,所以 ‎2.【2014年江西卷(理11)】(1).(不等式选做题)对任意,的最小值为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎3.【2014年安徽卷(理05)】满足约束条件,若取得最大值的最优解不唯一,则实数 的值为 ‎(A)或 (B)或 ‎ ‎(C)或 (D)或 ‎【答案】D ‎【解析】可行域如右图所示,可化为,由题意知或 12‎ ‎4.【2014年天津卷(理02)】设变量、满足约束条件,则目标函数的最小值为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出可行域,如图所示.解方程组得即点A(1,1).‎ 当目标函数线过可行域内A点时,目标函数有最小值,即zmin=1×1+2×1=3.‎ ‎5.【2014年山东卷(理09)】已知满足的约束条件当目标函数在该约束条件下取得最小值时,的最小值为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎【解析】求得交点为,则,即圆心到直线的距 离的平方。‎ 12‎ ‎6.【2014年全国新课标Ⅰ(理09)】不等式组的解集记为.有下面四个命题:‎ ‎:,:,‎ ‎:,:.‎ 其中真命题是 ‎ ., ., ., .,‎ ‎【答案】:C ‎【解析】:作出可行域如图:设,即,当直线过时,‎ ‎,∴,∴命题、真命题,选C.‎ ‎7.【2014年全国新课标Ⅱ(理09)】设x,y满足约束条件,则的最大值为( )‎ A. 10 B. 8 C. 3 D. 2‎ ‎ ‎ ‎【答案】 B ‎【解析】‎ ‎8.【2014年山东卷(理05)】已知实数满足,则下列关系式恒成立的是 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 12‎ ‎【答案】D ‎【解析】,排除A,B,对于C ,是周期函数,排除C。‎ ‎9.【2014年北京卷(理06)】若满足且的最小值为-4,则的值为( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由约束条件作出可行域如图,‎ 由kx﹣y+2=0,得x=,∴B(﹣).由z=y﹣x得y=x+z.‎ 由图可知,当直线y=x+z过B(﹣)时直线在y轴上的截距最小,即z最小.‎ 此时,解得:k=﹣.故选:D ‎10.【2014年天津卷(理07)】设、,则“”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】当ab≥0时,可得a>b与a|a|>b|b|等价.当ab<0时,可得a>b时a|a|>0>b|b|;反之,由a|a|>b|b|知a>0>b,即a>b.‎ 12‎ ‎11.【2014年广东卷(理03)】若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为M和m,则M-m=‎ A.8    B.7      C.6       D.5‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题画出如图所示的可行域;由图可知当直线经过点时,‎ ‎,当直线经过点时,,所以,故选C.‎ ‎ 第II部分 ‎ ‎12.【2014年湖南卷(理13)】若关于x的不等式的解集为, 则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依得可得,解得 ‎13.【2014年湖南卷(理14)】若变量满足约束条件,且的最小值为,则____.‎ 12‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出约束条件中三条直线的交点为,且不等式组限制的区域如图,所以,则当为最优解时,,‎ 当为最优解时,, 因为,所以,故填.‎ ‎14.【2014年全国大纲卷(14)】设x、y满足约束条件,则的最大值为 .‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】由约束条件作出可行域如图,‎ 联立,解得C(1,1).化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式,得.‎ 12‎ 由图可知,当直线过C点时,直线在y轴上的截距最大,z最大.‎ 此时zmax=1+4×1=5.故答案为:5‎ ‎15.【2014年辽宁卷(理16)】对于,当非零实数a,b满足,且使最大时,的最小值为 .‎ ‎【答案】﹣2‎ ‎【解析】∵4a2﹣2ab+4b2﹣c=0,∴=‎ 由柯西不等式得,‎ ‎[][]=|2a+b|2故当|2a+b|最大时,有 ‎∴∴﹣+===,‎ ‎ 当b=时,取得最小值为﹣2.故答案为:﹣2‎ ‎16.【2014年陕西卷(理15)】(不等式选做题)设,且,则的最小值为 ‎ ‎17.【2014年重庆卷(理16)】若不等式对任意实数恒成立,学 科网则实数的取值范围是____________.‎ 12‎ ‎【答案】-1≤a≤‎ ‎【解析】转化为左边的最小值,‎ 左边,当时取等号,故 ‎18.【2014年福建卷(理11)】若变量 x,y满足约束条件,则z=3x+y的最小值为 _________ .‎ ‎ ‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】作出不等式对应的平面区域如图,‎ 由z=3x+y,得y=﹣3x+z,‎ 平移直线y=﹣3x+z,由图象可知当直线y=﹣3x+z,经过点A(0,1)时,直线y=﹣3x+z的截距最小,此时z最小.此时z的最小值为z=0×3+1=1,故答案为:1‎ ‎19.【2014年福建卷(理13)】要制作一个容器为4m3,高为1m的无盖长方形容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是  (单位:元)‎ ‎【答案】160‎ ‎【解析】设池底长和宽分别为a,b,成本为y,则∵长方形容器的容器为4m3,高为1m,‎ 故底面面积S=ab=4,y=20S+10[2(a+b)]=20(a+b)+80,∵a+b≥2=4,‎ 故当a=b=2时,y取最小值160,即该容器的最低总造价是160元,故答案为:160‎ 12‎ ‎20.【2014年浙江卷(理13)】当实数、满足时,恒成立,则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由约束条件作可行域如图,‎ 联立,解得C(1,).联立,解得B(2,1).在x﹣y﹣1=0中取y=0得A(1,0).‎ 要使1≤ax+y≤4恒成立,则,解得:1.∴实数a的取值范围是.故答案为:‎ ‎21.【2014年上海卷(理05)】若实数满足,则的最小值为 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】:‎ 12‎ ‎ 第III部分 ‎ ‎ ‎22.【2014年福建卷(理23)】已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)若p,q,r为正实数,且p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3.‎ ‎ ‎ ‎( 1)解:∵|x+1|+|x﹣2|≥|(x+1)﹣(x﹣2)|=3,当且仅当﹣1≤x≤2时,等号成立,‎ ‎ ∴f(x)的最小值为3,即a=3;‎ ‎(2)证明:由(1)知,p+q+r=3,又p,q,r为正实数,‎ ‎ ∴由柯西不等式得,(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2‎ ‎ =(p+q+r)2=32=9,‎ ‎ 即p2+q2+r2≥3‎ ‎23.【2014年辽宁卷(理24)】(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数,,记的解集为M,的解集为N.‎ ‎(1)求M;‎ ‎(2)当时,证明:.‎ ‎ (Ⅰ) ‎ 当时,由得,故;‎ 当时,由得,故;‎ 所以的解集为.‎ ‎(Ⅱ)由得解得,因此,故.‎ 当时,,于是 ‎.‎ 12‎ ‎24.【2014年全国新课标Ⅰ(理24)】(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 若,且.‎ ‎(Ⅰ) 求的最小值;‎ ‎(Ⅱ)是否存在,使得?并说明理由.‎ ‎【解析】:(Ⅰ) 由,得,且当时等号成立,‎ 故,且当时等号成立,‎ ‎∴的最小值为. ……5分 ‎(Ⅱ)由,得,又由(Ⅰ)知,二者矛盾,‎ 所以不存在,使得成立. ……………10分 ‎25.【2014年全国新课标Ⅱ(理24)】 (本小题满分10)选修4-5:不等式选讲 设函数=‎ ‎(Ⅰ)证明:2;‎ ‎(Ⅱ)若,求的取值范围.‎ ‎ (Ⅰ)由a>0,有f(x)=|x+1/a|+|x-a|≥|x+1/a-(x-a)|=1/a+a≥2.‎ 所以f(x)≥2.‎ ‎(Ⅱ)f(x)=|3+1/a|+|3-a|.‎ 当a>3时,f(3)=a+1/a,由f(3)<5得3<a< 当0