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- 2021-05-13 发布
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2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
数 学(理科)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.
1.设集合,集合,则 ( )
A. B. C. D.
【测量目标】集合的基本运算.
【考查方式】通过解不等式再考查集合间的运算.
【难易程度】容易.
【参考答案】A
【试题解析】
故选A.
2.如图,在复平面内,点表示复数,则图中表示的共轭复数的点是 ( )
第2题图
A.A B.B C.C D.D
【测量目标】复平面.
【考查方式】利用共轭复数考查点在复平面上的位置.
【难易程度】容易
【参考答案】B
【试题解析】设,且,则z的共轭复数为,其中,故选B.
3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是 ( )
第3题图
A B C D
第3题图
【测量目标】平图形的直观图和三视图.
【考查方式】给出三视图判断其直观图.
【难易程度】容易.
【参考答案】D
【试题解析】由俯视图的圆环可排除A,B,进一步将已知三视图还原为几何体,故选D.
4.设,集合是奇数集,集合是偶数集.若命题,则( )
A. B.
C. D.
【测量目标】全称量词与存在量词.
【考查方式】给出全称命题求存在命题.
【难易程度】容易.
【参考答案】D
【试题解析】命题p是全称命题:,则是特称命题:.故选D.
5.函数的部分图象如图所示,则的值分别是 ( )
第5题图
A. B. C. D.
【测量目标】函数的图象及其变化.
【考查方式】给出三角函数图象求解析式中的未知参数.
【难易程度】中等.
【参考答案】A
【试题解析】,.由图象知当时,,即..故选A.
6.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是 ( )
A. B. C. D.
【测量目标】双曲线和抛物线的基本性质.
【考查方式】给出抛物线和双曲线的方程,求距离.
【难易程度】中等.
【参考答案】B
【试题解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0),则焦点到渐近线的距离或.
7.函数的图象大致是 ( )
A B C D
第7题图
【测量目标】函数图象的判断.
【考查方式】给出函数解析式判断函数图象.
【难易程度】中等.
【参考答案】C
【试题解析】由函数的定义域可排除A,当时,y=1,当x=4时,,但从选项D的函数图象可以看出函数在上是单调增函数,两者矛盾,故选C.
8.从这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,共可得到的不同值的个数是 ( )
A. B. C. D.
【测量目标】排列组合及其应用.
【考查方式】通过数字组合的对数差不同来考查排列组合.
【难易程度】中等.
【参考答案】C
【试题解析】从1,3,5,7,9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数但,所以不同值的个数为202=18,故选C.
9.节日里某家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 ( )
A. B. C. D.
【测量目标】几何概型.
【考查方式】给出实际案例求现实生活中的几何概型.
【难易程度】较难.
【参考答案】A
【试题解析】设两串彩灯同时通电后,第一次闪亮的时刻分别为,则,而事件发生的概率为,可行域如图阴影部分所示,有几何概型得.
第9题图
10.设函数(,为自然对数的底数).若曲线上存在使得,则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【测量目标】函数零点的应用.
【考查方式】给出函数解析式以及等式方程判断参数范围.
【难易程度】较难.
【参考答案】A
【试题解析】
由已知点在曲线即存在则点都在的图象上,又,所以,,令在[0,1]上单调递增,又.
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.二项式的展开式中,含的项的系数是_________.(用数字作答)
【测量目标】二项式展开式.
【考查方式】求二项式展开式中的某一项.
【难易程度】简单.
【参考答案】10
【试题解析】故填10.
12.在平行四边形中,对角线与交于点,,则_________.
【测量目标】平面向量的四则运算.
【考查方式】给出平面向量的等式求未知参数.
【难易程度】简单.
【参考答案】2
【试题解析】由向量加法的平行四边形法则,得又O是AC的中点,
13.设,,则的值是_________.
【测量目标】二倍角公式.
【考查方式】给出关系式求特殊角的正切值.
【难易程度】中等.
【参考答案】
【试题解析】由题意得而,
14.已知是定义域为的偶函数,当时,,那么,不等式的解集是________ .
【测量目标】解不等式.
【考查方式】给出函数的部分区间的解析式,求函数在整个区间的不等式的解集.
【难易程度】较难.
【参考答案】
【试题解析】故为在定义域上的偶函数由,所以所以不等式的解集为.
15.设为平面内的个点,在平面内的所有点中,若点到点的距离之和最小,则称点为点的一个“中位点”.例如,线段上的任意点都是端点的中位点.则有下列命题:
①若三个点共线,在线上,则是的中位点;
②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点;
③若四个点共线,则它们的中位点存在且唯一;
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.
其中的真命题是____________.(写出所有真命题的序号)
【测量目标】考查新定义.
【考查方式】给出新定义的含义,根据新定义解题.
【难易程度】较难.
【参考答案】①④
【试题解析】当且仅当点C在线段AB上等号成立,所以点C是中位点,故①为真命题. ②③为假命题,若P为点A,C,则点P在线段AC上,若点P是B,D 的中位点,则点P在线段BD上,所以若点P是A,B,C,D的中位点,则p是AC,BD的交点.所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.故④是真命题.
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分) 在等差数列中,,且为和的等比中项,求数列的首项、公差及前项和.
【测量目标】等差数列的性质.
【考查方式】给出等差数列的项与项之间的关系,求通项和前n项和.
【难易程度】中等.
【试题解析】设该数列公差为,前项和为.由已知,可得
.
所以,(步骤1)
解得,或,即数列的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.
所以数列的前项和或(步骤2).
17.(本小题满分12分) 在中,角的对边分别为,且.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影.
【测量目标】正弦定理和余弦定理.
【考查方式】给出三角形中角的关系通过投影考查余弦定理.
【难易程度】中等.
【试题解析】由,得
,
即,
则,即. (步骤1)
由,得,
由正弦定理,有,所以,.
由题知,则,故.
根据余弦定理,有,
解得或(舍去). (步骤2)
故向量在方向上的投影为. (步骤3)
18.(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生.
(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率;
(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行次后,统计记录了输出的值为的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.
运行
次数
输出的值
为的频数
输出的值
为的频数
输出的值
为的频数
…
…
…
…
甲的频数统计表(部分) 乙的频数统计表(部分)
运行
次数
输出的值
为的频数
输出的值
为的频数
输出的值
为的频数
…
…
…
…
当时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大;
(Ⅲ)按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出的值为2的次数的分布列及数学期望.
第18题图
【测量目标】选择结构的程序框图.
【考查方式】通过实际案列来考查对框图的识别。
【难易程度】较难
【试题解析】.变量x是在1,2,3,……24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能.
当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,故;
当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,故;
当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故. (步骤1)
当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下:
输出的值
为的频率
输出的值
为的频率
输出的值
为的频率
甲
乙
比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大. (步骤2)
(3)随机变量可能饿取值为0,1,2,3.
故的分布列为
所以
即的数学期望为1. (步骤3)
19.(本小题满分12分) 如图,在三棱柱中,侧棱底面,,,分别是线段的中点,是线段的中点.
(Ⅰ)在平面内,试作出过点与平面平行的直线,说明理由,并证明直线平面;
(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线交于点,交于点,求二面角的余弦值.
第19题图
【测量目标】二面角平面角的基本知识.
【考查方式】给出几何体的相关性质求相关知识.
【难易程度】较难.
【试题解析】如图,在平面内,过点做直线//,因为在平面外,
第19题图
在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知, //平面.
由已知,,是的中点,所以,,则直线.
因为平面,所以直线.又因为在平面内,且与相交,所以直线平面. (步骤1)
解法一:
连接,过作于,过作于,连接.
由知,平面,所以平面平面.
所以平面,则.
所以平面,则.
故为二面角的平面角(设为). (步骤2)
设,则由,,有,.
又为的中点,所以为的中点,且,
在中, ;在中, .
从而,,,
所以.
所以.
故二面角的余弦值为. (步骤3)
解法二:
设.如图,过作平行于,以为坐标原点,分别以,的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系(点与点重合).
第19题图
则,.
因为为的中点,所以分别为的中点,
故,
所以,,. (步骤1)
设平面的一个法向量为,则
即故有
从而
取,则,所以. (步骤2)
设平面的一个法向量为,则
即故有
从而
取,则,所以.(步骤3)
设二面角的平面角为,又为锐角,
则.
故二面角的余弦值为. (步骤4)
20.(本小题满分13分) 已知椭圆:的两个焦点分别为,且椭圆经过点.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设过点的直线与椭圆交于、两点,点是线段上的点,且
,求点的轨迹方程.
【测量目标】圆锥曲线中的轨迹问题.
【考查方式】给出椭圆方程求动点的轨迹方程.
【难易程度】较难.
【试题解析】,
所以,.
又由已知,,
所以椭圆C的离心率 (步骤1)
由知椭圆C的方程为.
设点Q的坐标为(x,y).
(1)当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于两点,此时Q点坐标为 (步骤2)
(2) 当直线l与x轴不垂直时,设直线的方程为.
因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为,则
. 又
由,得
,即
①
将代入中,得
② (步骤3)
由得.
由②可知
代入①中并化简,得 ③
因为点在直线上,所以,代入③中并化简,得.
由③及,可知,即.
又满足,故.
由题意,在椭圆C内部,所以y1 (步骤4)
又由有
且y1,则.
所以点Q的轨迹方程是,其中(步骤5)
21.(本小题满分14分)已知函数,其中是实数.设,为该函数图象上的两点,且.
(Ⅰ)指出函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线互相垂直,且,求的最小值;
(Ⅲ)若函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围.
【测量目标】不等式的综合应用.
【考查方式】给出函数解析式回答在各种条件下的问题.
【难易程度】较难.
【试题解析】函数的单调递减区间为,单调递增区间为(步骤1)
由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为,故当点A处的切线与点B处的切垂直时,有.(步骤2)
当时,对函数求导,得.
因为,所以,
所以.
因此 (步骤3)
当且仅当,即时等号成立.
所以函数的图象在点A,B处的切线互相垂直时,的最小值为1(步骤4)
当或时,,故.
当时,函数的图象在点处的切线方程为
,即
当时,函数的图象在点处的切线方程为
,即. (步骤5)
两切线重合的充要条件是
由①及知,.
由①②得,.
设,(步骤6)
则.
所以是减函数.
则,
所以.
又当且趋近于时,无限增大,所以a的取值范围是.
故当函数的图像在点A,B处的切线重合时,a的取值范围是.(步骤7)