天津市高考数学试卷文科 23页

‎2018年天津市高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）设集合A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C=（　　）‎ A．{﹣1，1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{2，3，4}‎ ‎2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大值为（　　）‎ A．6 B．19 C．21 D．45‎ ‎3．（5分）设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5．（5分）已知a=log3，b=（），c=log，则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b ‎6．（5分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（　　）‎ A．在区间[]上单调递增 B．在区间[﹣，0]上单调递减 C．在区间[]上单调递增 D．在区间[，π]上单调递减 ‎7．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎8．（5分）在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，则的值为（　　）‎ A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0‎ ‎　‎ 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9．（5分）i是虚数单位，复数=　 　．‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=exlnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为　 　．‎ ‎11．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为　 　．‎ ‎12．（5分）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为　 　．‎ ‎13．（5分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+的最小值为　 　．‎ ‎14．（5分）己知a∈R，函数f（x）=．若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15．（13分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．‎ ‎（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？‎ ‎（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．‎ ‎（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；‎ ‎（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．‎ ‎16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．‎ ‎（Ⅰ）求角B的大小；‎ ‎（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．‎ ‎17．（13分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2，∠BAD=90°．‎ ‎（Ⅰ）求证：AD⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．‎ ‎18．（13分）设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．‎ ‎（Ⅰ）求Sn和Tn；‎ ‎（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+……+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．‎ ‎19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞‎ ‎0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|=．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．‎ ‎20．（14分）设函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．‎ ‎（Ⅰ）若t2=0，d=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若d=3，求f（x）的极值；‎ ‎（Ⅲ）若曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，求d的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2018年天津市高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）设集合A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C=（　　）‎ A．{﹣1，1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{2，3，4}‎ ‎【分析】直接利用交集、并集运算得答案．‎ ‎【解答】解：∵A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，‎ ‎∴（A∪B）={1，2，3，4}∪{﹣1，0，2，3}={﹣1，0，1，2，3，4}，‎ 又C={x∈R|﹣1≤x＜2}，‎ ‎∴（A∪B）∩C={﹣1，0，1}．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查交集、并集及其运算，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大值为（　　）‎ A．6 B．19 C．21 D．45‎ ‎【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数z=3x+5y的最大值．‎ ‎【解答】解：由变量x，y满足约束条件，‎ 得如图所示的可行域，由解得A（2，3）．‎ 当目标函数z=3x+5y经过A时，直线的截距最大，‎ z取得最大值．‎ 将其代入得z的值为21，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．也可以利用目标函数的几何意义求解最优解，求解最值．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】由x3＞8得到|x|＞2，由|x|＞2不一定得到x3＞8，然后结合查充分条件、必要条件的判定方法得答案．‎ ‎【解答】解：由x3＞8，得x＞2，则|x|＞2，‎ 反之，由|x|＞2，得x＜﹣2或x＞2，‎ 则x3＜﹣8或x3＞8．‎ 即“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查充分条件、必要条件及其判定方法，是基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．‎ ‎【解答】解：若输入N=20，‎ 则i=2，T=0，==10是整数，满足条件．T=0+1=1，i=2+1=3，i≥5不成立，‎ 循环，=不是整数，不满足条件．，i=3+1=4，i≥5不成立，‎ 循环，==5是整数，满足条件，T=1+1=2，i=4+1=5，i≥5成立，‎ 输出T=2，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知a=log3，b=（），c=log，则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b ‎【分析】把a，c化为同底数，然后利用对数函数的单调性及1的关系进行比较．‎ ‎【解答】解：∵a=log3，c=log=log35，且5，‎ ‎∴，‎ 则b=（）＜，‎ ‎∴c＞a＞b．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了指数函数与对数式的单调性，是基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（　　）‎ A．在区间[]上单调递增 B．在区间[﹣，0]上单调递减 C．在区间[]上单调递增 D．在区间[，π]上单调递减 ‎【分析】由函数的图象平移求得平移后函数的解析式，结合y=Asin（ωx+φ）型函数的单调性得答案．‎ ‎【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，‎ 所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin2x．‎ 当x∈[]时，2x∈[，]，函数单调递增；‎ 当x∈[，]时，2x∈[，π]，函数单调递减；‎ 当x∈[﹣，0]时，2x∈[﹣，0]，函数单调递增；‎ 当x∈[，π]时，2x∈[π，2π]，函数先减后增．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象变换及其性质，是中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎【分析】画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可．‎ ‎【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线 y=，即bx﹣ay=0，F（c，0），‎ AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，‎ F是AB的中点，EF==3，‎ EF==b，‎ 所以b=3，双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，‎ 可得：，解得a=．‎ 则双曲线的方程为：﹣=1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，则的值为（　　）‎ A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0‎ ‎【分析】用特殊值法，不妨设四边形OMAN是平行四边形，‎ 由题意求得的值．‎ ‎【解答】解：不妨设四边形OMAN是平行四边形，‎ 由OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，‎ 知=﹣=3﹣3=﹣3+3，‎ ‎∴=（﹣3+3）•‎ ‎=﹣3+3•‎ ‎=﹣3×12+3×2×1×cos120°‎ ‎=﹣6．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．‎ ‎　‎ 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9．（5分）i是虚数单位，复数=　4﹣i　．‎ ‎【分析】根据复数的运算法则计算即可．‎ ‎【解答】解：====4﹣i，‎ 故答案为：4﹣i ‎【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=exlnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为　e　．‎ ‎【分析】根据导数的运算法则求出函数f（x）的导函数，再计算f′（1）的值．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=exlnx，‎ 则f′（x）=exlnx+•ex；‎ ‎∴f′（1）=e•ln1+1•e=e．‎ 故答案为：e．‎ ‎【点评】本题考查了导数的运算公式与应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为　　．‎ ‎【分析】求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积．‎ ‎【解答】解：由题意可知四棱锥A1﹣BB1D1D的底面是矩形，边长：1和，‎ 四棱锥的高：A1C1=．‎ 则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为：=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为　（x﹣1）2+y2=1（或x2+y2﹣2x=0）　．‎ ‎【分析】【方法一】根据题意画出图形，结合图形求得圆心与半径，写出圆的方程．‎ ‎【方法二】设圆的一般方程，把点的坐标代入求得圆的方程．‎ ‎【解答】解：【方法一】根据题意画出图形如图所示，‎ 结合图形知经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆，‎ 其圆心为（1，0），半径为1，‎ 则该圆的方程为（x﹣1）2+y2=1．‎ ‎【方法二】设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，‎ 则，‎ 解得D=﹣2，E=F=0；‎ ‎∴所求圆的方程为x2+y2﹣2x=0．‎ 故答案为：（x﹣1）2+y2=1（或x2+y2﹣2x=0）．‎ ‎【点评】本题考查了圆的方程与应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+的最小值为　　．‎ ‎【分析】化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可．‎ ‎【解答】解：a，b∈R，且a﹣3b+6=0，‎ 可得：3b=a+6，‎ 则2a+==≥2=，‎ 当且仅当2a=．即a=﹣3时取等号．‎ 函数的最小值为：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，也可以利用换元法，求解函数的最值．考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）己知a∈R，函数f（x）=．若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是　[]　．‎ ‎【分析】根据分段函数的表达式，结合不等式恒成立分别进行求解即可．‎ ‎【解答】解：当x≤0时，函数f（x）=x2+2x+a﹣2的对称轴为x=﹣1，抛物线开口向上，‎ 要使x≤0时，对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，‎ 则只需要f（﹣3）≤|﹣3|=3，‎ 即9﹣6+a﹣2≤3，得a≤2，‎ 当x＞0时，要使f（x）≤|x|恒成立，即f（x）=﹣x2+2x﹣2a，则直线y=x的下方或在y=x上，‎ 由﹣x2+2x﹣2a=x，即x2﹣x+2a=0，由判别式△=1﹣8a≤0，‎ 得a≥，‎ 综上≤a≤2，‎ 故答案为：[，2]．‎ ‎【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用分段函数的不等式分别进行转化求解即可．注意数形结合．‎ ‎　‎ 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15．（13分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．‎ ‎（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？‎ ‎（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．‎ ‎（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；‎ ‎（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人．‎ ‎（Ⅱ）（i）从抽取的7名同学中抽取2名同学，利用列举法能求出所有可能结果．‎ ‎（ii）设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，利用列举法能求出事件M发生的概率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2，‎ 由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，‎ ‎∴应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人．‎ ‎（Ⅱ）（i）从抽取的7名同学中抽取2名同学的所有可能结果为：‎ ‎{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，‎ ‎{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，‎ ‎{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21个．‎ ‎（i）设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，‎ 来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，‎ M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，‎ 则事件M包含的基本事件有：‎ ‎{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5个基本事件，‎ ‎∴事件M发生的概率P（M）=．‎ ‎【点评】本题考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．‎ ‎　‎ ‎16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．‎ ‎（Ⅰ）求角B的大小；‎ ‎（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由正弦定理得bsinA=asinB，与bsinA=acos（B﹣）．由此能求出B．‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理得b=，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，cosA=，由此能求出sin（2A﹣B）．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，‎ 又bsinA=acos（B﹣）．‎ ‎∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，‎ ‎∴tanB=，‎ 又B∈（0，π），∴B=．‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，‎ 由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，‎ ‎∵a＜c，∴cosA=，‎ ‎∴sin2A=2sinAcosA=，‎ cos2A=2cos2A﹣1=，‎ ‎∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．‎ ‎【点评】本题考查角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎17．（13分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2，∠BAD=90°．‎ ‎（Ⅰ）求证：AD⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，结合面面垂直的性质可得AD⊥平面ABC，则AD⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND，又M为棱AB的中点，可得∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角，求解三角形可得异面直线BC与MD所成角的余弦；‎ ‎（Ⅲ）连接CM，由△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，可得CM⊥AB，且CM=，再由面面垂直的性质可得CM⊥平面ABD，则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角，求解三角形可得直线CD与平面ABD所成角的正弦值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，‎ 得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND，‎ ‎∵M为棱AB的中点，故MN∥BC，‎ ‎∴∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角，‎ 在Rt△DAM中，AM=1，故DM=，‎ ‎∵AD⊥平面ABC，故AD⊥AC，‎ 在Rt△DAN中，AN=1，故DN=，‎ 在等腰三角形DMN中，MN=1，可得cos∠DMN=．‎ ‎∴异面直线BC与MD所成角的余弦值为；‎ ‎（Ⅲ）解：连接CM，∵△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，‎ 故CM⊥AB，CM=，‎ 又∵平面ABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC，‎ 故CM⊥平面ABD，则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角．‎ 在Rt△CAD中，CD=，‎ 在Rt△CMD中，sin∠CDM=．‎ ‎∴直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．‎ ‎【点评】本题考查异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面垂直等基本知识，考查空间想象能力、运算求解能力与推理论证能力，属中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（13分）设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．‎ ‎（Ⅰ）求Sn和Tn；‎ ‎（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+……+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设等比数列{bn}的公比为q，由已知列式求得q，则数列{bn}的通项公式与前n项和可求；等差数列{an}的公差为d，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，代入等差数列的通项公式与前n项和公式可得Sn；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）求出T1+T2+……+Tn，代入Sn+（T1+T2+……+Tn）=an+4bn，化为关于n的一元二次方程求解正整数n的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{bn}的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得q2﹣q﹣2=0．‎ ‎∵q＞0，可得q=2．‎ 故，；‎ 设等差数列{an}的公差为d，由b4=a3+a5，得a1+3d=4，‎ 由b5=a4+2a6，得3a1+13d=16，‎ ‎∴a1=d=1．‎ 故an=n，；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），可得T1+T2+……+Tn=‎ ‎=2n+1﹣n﹣2．‎ 由Sn+（T1+T2+……+Tn）=an+4bn，‎ 可得，‎ 整理得：n2﹣3n﹣4=0，解得n=﹣1（舍）或n=4．‎ ‎∴n的值为4．‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识，考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|=．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．‎ ‎【分析】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知可得，又a2=b2+c2，解得a=3，b=2，即可．‎ ‎（Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则Q（﹣x1，﹣y1）．‎ 由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得x2﹣x1=2[x1﹣（﹣x1）]，x2=5x1，‎ 联立方程求出由＞0.，可得k．‎ ‎【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，‎ 由已知可得，又a2=b2+c2，‎ 解得a=3，b=2，‎ ‎∴椭圆的方程为：，‎ ‎（Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则Q（﹣x1，﹣y1）．‎ ‎∵△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，∴|PM|=2|PQ|，从而x2﹣x1=2[x1﹣（﹣x1）]，‎ ‎∴x2=5x1，‎ 易知直线AB的方程为：2x+3y=6．‎ 由，可得＞0．‎ 由，可得，‎ ‎⇒，⇒18k2+25k+8=0，解得k=﹣或k=﹣．‎ 由＞0．可得k，故k=﹣，‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的方程、几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）设函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．‎ ‎（Ⅰ）若t2=0，d=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若d=3，求f（x）的极值；‎ ‎（Ⅲ）若曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，求d的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出t2=0，d=1时f（x）的导数，利用导数求斜率，再写出切线方程；‎ ‎（Ⅱ）计算d=3时f（x）的导数，利用导数判断f（x）的单调性，求出f（x）的极值；‎ ‎（Ⅲ）曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，‎ 等价于关于x的方程f（x）+（x﹣t2）﹣6=0有三个互异的实数根，‎ 利用换元法研究函数的单调性与极值，求出满足条件的d的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），‎ t2=0，d=1时，f（x）=x（x+1）（x﹣1）=x3﹣x，‎ ‎∴f′（x）=3x2﹣1，‎ f（0）=0，f′（0）=﹣1，‎ ‎∴y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣0=﹣1×（x﹣0），‎ 即x+y=0；‎ ‎（Ⅱ）d=3时，f（x）=（x﹣t2+3）（x﹣t2）（x﹣t2﹣3）‎ ‎=﹣9（x﹣t2）‎ ‎=x3﹣3t2x2+（3﹣9）x﹣+9t2；‎ ‎∴f′（x）=3x2﹣6t2x+3﹣9，‎ 令f′（x）=0，解得x=t2﹣或x=t2+；‎ 当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表；‎ x ‎（﹣∞，‎ t2﹣）‎ t2﹣‎ ‎（t2﹣，‎ t2+）‎ t2+‎ ‎（t2+，‎ ‎+∞）‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 单调增 极大值 单调减 极小值 单调增 ‎∴f（x）的极大值为f（t2﹣）=﹣9×（﹣）=6，‎ 极小值为f（t2+）=﹣9×=﹣6；‎ ‎（Ⅲ）曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，‎ 等价于关于x的方程（x﹣t2+d）（x﹣t2）（x﹣t2﹣d）+（x﹣t2）﹣6=0有三个互异的实数根，‎ 令u=x﹣t2，可得u3+（1﹣d2）u+6=0；‎ 设函数g（x）=x3+（1﹣d2）x+6，则 曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有3个互异的公共点，‎ 等价于函数y=g（x）有三个不同的零点；‎ 又g′（x）=3x2+（1﹣d2），‎ 当d2≤1时，g′（x）≥0恒成立，此时g（x）在R上单调递增，不合题意；‎ 当d2＞1时，令g′（x）=0，解得x1=﹣，x2=；‎ ‎∴g（x）在（﹣∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，‎ 在（x2，+∞）上也单调递增；‎ ‎∴g（x）的极大值为g（x1）=g（﹣）=+6＞0；‎ 极小值为g（x2）=g（）=﹣+6；‎ 若g（x2）≥0，由g（x）的单调性可知，‎ 函数g（x）至多有两个零点，不合题意；‎ 若g（x2）＜0，即＞27，解得|d|＞，‎ 此时|d|＞x2，g（|d|）=|d|+6＞0，且﹣2|d|＜x1；‎ g（﹣2|d|）=﹣6|d|3﹣2|d|+6＜0，‎ 从而由g（x）的单调性可知，‎ 函数y=g（x）在区间（﹣2|d|，x1），（x1，x2），（x2，|d|）内各有一个零点，符合题意；‎ ‎∴d的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．‎ ‎【点评】本题主要考查了导数的运算以及导数的几何意义，运用导数研究函数的单调性与极值的应用问题，是综合题．‎ ‎　‎