徐汇区高考数学二模试卷附答案 10页

‎2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 高三数学 　 　 2018.4‎ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）‎ 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．‎ ‎1．已知全集，集合，则 . ‎ ‎2．在的二项展开式中，常数项是 . ‎ ‎3．函数的定义域为_____________．‎ ‎4．已知抛物线的准线方程是，则 .‎ ‎5．若一个球的体积为，则该球的表面积为_________．‎ ‎6．已知实数满足 则目标函数的最小值为___________．‎ ‎7．函数的最小正周期是___________．‎ ‎8．若一圆锥的底面半径为，体积是，则该圆锥的侧面积等于 .‎ ‎9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是，记第二颗骰子出现的点数是，向量，向量，则向量的概率是 .‎ ‎10．已知直线.当在实数范围内变化时，与的交点恒在一个定圆上，则定圆方程是 .‎ ‎11．若函数的最大值和最小值分别为、，则函数图像的一个对称中心是 ． ‎ ‎12．已知向量的夹角为锐角，且满足、，若对任意的，都有成立，则的最小值为 .‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．‎ ‎13．在四边形中，，且·＝0，则四边形是--------（ ）‎ ‎（A）菱形 （B）矩形 （C）直角梯形 （D）等腰梯形 ‎14. 若无穷等比数列的前项和为，首项为，公比为，且，‎ ‎ ()，则复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于----------（ ）‎ ‎ ‎ ‎ （A）第一象限． （B）第二象限．　 （C）第三象限． （D）第四象限．‎ ‎15．在中，“”是“”的------------（ ）‎ ‎ （A） 充分非必要条件 （B）必要非充分条件 ‎（C） 充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎16．如图，圆分别与轴正半轴，轴正半轴相切于点，过劣弧上一点作圆的切线，分别交轴正半轴，轴正半轴于点，若点是切线上一点，则周长的最小值为------------------------------------------------------------------( )‎ ‎（A）10 （B）8 （C） （D）12‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.‎ ‎17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)‎ 如图在长方体中，，，，点为的中点，点为的中点．‎ ‎（1）求长方体的体积；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的大小（用反三角函数表示）．‎ ‎18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)‎ 如图：某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速20公里小时，送快件到处，已知（公里），，是等腰三角形，．‎ ‎（1） 试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？‎ ‎（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里小时，问，汽车能否先到达处？‎ ‎19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)‎ 已知函数，其定义域为，‎ ‎ (1) 当时，求函数的反函数；‎ ‎ (2) 如果函数在其定义域内有反函数，求实数的取值范围．‎ ‎20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)‎ 如图，是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上与均不重合的相异两点，设直线的斜率分别是.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若直线过点，求证：；‎ ‎(3)设直线与轴的交点为(为常数且)，试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．‎ ‎21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)‎ 已知数列的前项和满足，且，数列满足，，其前9项和为36．‎ ‎(1)求数列和的通项公式；‎ ‎(2)当为奇数时，将放在的前面一项的位置上；当为偶数时，将放在前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：，求该数列的前项和；‎ ‎(3)设，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出(用表示)；若不存在，请说明理由．‎ ‎2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 ‎ 数学学科参考答案及评分标准 　 　 2018.4‎ 一． 填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分 ‎１． 　2．20　　 3．　 4． 　　 5．　　　　6．‎ ‎7．　　 8． 9．　 10． 11． 12．　 ‎ 二．选择题：（本大题共有4题，满分20分，每题５分）‎ ‎13．A　　　14．D　　　15．B　　　16．A 三． 解答题：（本大题共5题，满分74分）‎ ‎17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)‎ ‎【解】（1） 连、．是直角三角形，．‎ 是长方体，，，又，‎ 平面，．‎ 又在中，，，，．--------6分 ‎（2）解法一：如图建立空间直角坐标系 则、、、，所以、，10分 则向量与 所成角满足．‎ 异面直线与所成的角等于．14分 解法二：取的中点，连、．‎ ‎，四边形为平行四边形，‎ ‎，等于异面直线与所成的角或其补角．----------------------------------------9分 ‎，，，得，，，‎ ‎，．‎ 异面直线与所成的角等于．----------------------------14分 ‎18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)‎ ‎【解】（1）（公里），‎ 中，由，得（公里）-------------------2分 于是，由知，‎ 快递小哥不能在50分钟内将快件送到处．---------------------------------------6分 ‎（2）在中，由，‎ 得（公里），------------------------------------------------------------8分 在中，，由，‎ 得（公里），-----------------------------------------------------10分 由（分钟）‎ 知，汽车能先到达处．-----------------------------------------------------------14分 ‎19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)‎ ‎【解】(1) ； ------------------------------------------------------6分 ‎(2) 若，即，则在定义域上单调递增，所以具有反函数；---8分 ‎ 若，即，则在定义域上单调递减，所以具有反函数；--10分 ‎ 当，即时，由于区间关于对称轴的对称区间是 ‎，于是当或，即或时， ‎ 函数在定义域上满足1-1对应关系，具有反函数．‎ 综上，．------------------------------------------14分 ‎20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)‎ ‎【解】(1)设，由于，‎ 所以，‎ 因为在椭圆上，于是，即，‎ 所以.------------------------------------------------------------------4分 ‎(2)设直线，，由 得，‎ 于是，------------------------------------6分 ‎．10分 ‎ (3)由于直线与轴的交点为，于是，‎ 联立直线与椭圆的方程，可得 ‎，‎ 于是.-------------------------------------------------12分 因为直线，直线，‎ 两式相除，可知 ‎，‎ 于是，所以，即直线与直线的交点落在定直线上．16分 ‎21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)‎ ‎【解】答案：(1)因为，于是数列是首项为1，公差为的等差数列，‎ 所以，即，‎ 当时，，又因为，所以.--------------2分 又因为，于是数列是等差数列，‎ 设的前项和为，由于，则，由于，‎ 所以．---------------------------------------------------------------------------------4分 ‎(2)数列的前n项和，数列的前项和．----5分 当时，；-----------6分 当时，‎ ‎；----------7分 当时，‎ ‎；------------------------8分 所以，其中．------------------------------------------------10分 ‎(3)由(1)可知，.‎ 若对于任意给定的正整数，存在正整数，使得成等差数列，则，即，---------------------------------------11分 于是，‎ 所以 ‎，即，------------------------------------------13分 则对任意的，能整除，且.‎ 由于当时，中存在多个质数，‎ 所以只能取1或或------------------------------------------------14分 若，则，，于是 ‎，符合；----------------------------15分 若，则，矛盾，舍去；---------------------------------------------16分 若，则，于是，矛盾．-------------------------------17分 综上，当时，存在正整数，满足，且使得成等差数列．-----------------------------------------------------------------------------------------------------18分