备战2020年高考数学一轮复习 第十六单元 空间向量在立体几何中的应用单元B卷 理 10页

第十六单元 空间向量在立体几何中的应用 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知，，，则平面的一个法向量可以是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知正三棱柱，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎3．如图所示，在平行六面体 中，为与的交点．若，， ，则下列向量中与相等的向量是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．如图所示，四棱锥中，底面为菱形，，，侧面为等边三角形且垂直于底面，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），其中白点○代表钠原子，黑点●代表氯原子．建立空间直角坐标系后，图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．如图，在四面体中，、分别在棱、上，且满足，，点是线段的中点，用向量，，表示向量应为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为，则（ ）‎ 3‎ A． B． C． D．‎ ‎8．点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知四边形，，，现将沿折起，使二面角的大小在内，则直线与所成角的余弦值取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如图，平面平面，，，与平面，所成的角分别为和，过，两点分别作两平面交线的垂线，垂足为，，若，则的长为（ ）‎ A．4 B．‎6 ‎C．8 D．9 ‎ ‎11．正四棱锥的侧棱长为，底面边长为，为的中点，则异面直线与所成的角是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面边长为的正三角形，侧棱长为，则与平面所成的角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）‎ ‎13．已知，，，若向量，，共面，则实数 ．‎ ‎14．，，是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角为，那么直线与平面所成角的余弦值是_____．‎ ‎15．已知正方形的边长为，平面，，、分别是，的中点，则点到平面的距离为________．‎ ‎16．如图所示，在正三棱柱中，是的中点，，则异面直线与所成的角为________．‎ 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若平面平面，，求二面角的余弦值．‎ 3‎ ‎18．（12分）如图，已知斜三棱柱的底面是正三角形，侧面是菱形，‎ 且，是的中点，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎19．（12分）如图，四边形为菱形，，，是平面同一侧的两点，‎ 平面，平面，，．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求直线与直线所成角的余弦值．‎ ‎20．（12分）如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，‎ ‎，，．是的中点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．‎ 3‎ ‎21．（12分）如图所示，在底面是菱形的四棱锥中，，‎ ‎， ，点在上，且．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的大小；‎ ‎（3）棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论．‎ ‎22．（12分）如图1，在中，，，，，分别是，‎ 上的点，且，．将沿折起到的位置，‎ 使，如图2．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若是的中点，求与平面所成角的大小；‎ ‎（3）线段上是否存在点，使平面与平面垂直?说明理由．‎ 3‎ 单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B）‎ 第十六单元 空间向量在立体几何中的应用 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．【答案】D ‎【解析】∵，，，∴，，‎ 设平面ABC的一个单位法向量为，则，∴‎ 易知：符合题意．故选D．‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】以为原点，在平面内过作的垂线为轴，以为轴，以为轴，‎ 建立空间直角坐标系，‎ 设正三棱柱的各条棱长为2，‎ 则，，，，，，‎ 设异面直线和所成的角的余弦值为，‎ 则．∴异面直线和所成的角的余弦值大小为．故选C．‎ ‎3．【答案】A ‎【解析】平行六面体的性质可得：，‎ 则，故选A．‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】如图，取的中点，连，，由题意可得平面．在中，，，，则由余弦定理得，所以，因此可建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 则，，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴．‎ ‎∴异面直线与所成角的余弦值为．故选B．‎ ‎5．【答案】A ‎【解析】设图中最上层中间的钠原子所在位置为点，以、为相对顶点，作出长方体，如图所示：‎ ‎∵平面经过点与轴垂直， ∴点在轴上的射影为点，结合得的横坐标为；‎ 同理可得，点在轴上的射影为点，结合得的纵坐标为；‎ 点在轴上的射影为点，结合得的竖坐标为1，‎ ‎∴点的坐标为，故选A．‎ ‎6．【答案】A ‎【解析】，‎ 化简得到，故选A．‎ ‎7．【答案】C ‎【解析】由题意可知，平面的一个法向量为：，‎ 由空间向量的结论可得：．本题选择C选项．‎ ‎8．【答案】D ‎【解析】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，‎ 可得点，，设点的坐标为，则，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 由二次函数的性质可得，当时，取得最大值为，‎ 当或时，且当或时，取得最大值为，‎ 由此的取值范围是，故选D．‎ ‎9．【答案】A ‎【解析】∵．，∴，，且，，‎ ‎∴是二面角的平面角，‎ 以为原点，为轴，为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎，，，‎ 设二面角的平面角为，则，‎ 连、，则，，‎ ‎∴，，‎ 设、的夹角为，则，‎ ‎∵，∴，‎ 故，∴．本题选择A选项．‎ ‎10．【答案】B ‎【解析】连接和，设，与平面成的角，‎ 在中，，与平面所成的角，在中，，因此在中，，故选B．‎ ‎11．【答案】C ‎【解析】取的中点，连接、，则，异面直线与所成的角为，因为，，，又在中，由余弦定理可得，则在中，可得，在中，由余弦定理得，所以，故选C．‎ ‎12．【答案】A ‎【解析】记点到平面的距离为，与平面所成的角为，连接，‎ ‎∵，即，∴，‎ 则，所以，故选A．‎ 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）‎ ‎13．【答案】1‎ ‎【解析】∵，，共面，∴存在实数，，使，‎ 即，∴，解得．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】过点向平面作垂线，垂足为，连接，易知为的角平分线，‎ 过点向作垂线，垂足为，连接，易知，设，‎ 在中，，，‎ 在中，，，‎ 在中，．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，由题意得平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】在平面内，过作的平行线，过作于，连接，则在中，为与所成的角，设，则，‎ ‎∴，，∴，∴．‎ 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）取的中点，连接，，‎ ‎∵为等边三角形，∴，∵，，∴且．‎ 又∵，∴四边形为矩形，∴，‎ ‎∵，∴平面 又∵平面，∴，‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，‎ 以为坐标原点，以，，所在方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，‎ 设，则，∵，∴，‎ 又，得，∴，，，‎ ‎∴，，‎ 设平面法向量，‎ 由，得，取，得，‎ 又知是平面的一个法向量，设，‎ ‎∴，‎ ‎∴二面角的余弦值为．‎ ‎18．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）证明∵侧面是菱形，且，‎ ‎∴为正三角形，∵点为的中点，∴．‎ ‎∵，∴，由已知，∴平面．‎ ‎（2）如图建立空间直角坐标系，设菱形边长为，‎ 得，，，．‎ 则，，，．‎ 设平面的法向量，由，得，‎ 令得．‎ 设面的法向量，‎ 由，得，‎ 令，得．‎ 所以．‎ 又二面角的平面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．‎ ‎19．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）证明：连结，和交于点，连结，，‎ ‎∵平面，∴，，‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∵，∴是等腰直角三角形，且，‎ ‎∵，‎ ‎∴，∵，∴．∴．‎ ‎∴，∴，∴，‎ ‎∴，∴．‎ 又∵，∴平面，∴平面平面．‎ ‎（2）分别以，所在射线为轴，轴，以过点平行于的直线为轴，建立建立空间直角坐标系，如图所示．设，‎ 则，，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴．‎ 所以直线与直线所成角的余弦值为．‎ ‎20．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）证明：∵平面，平面，‎ ‎∴，∵，，∴，‎ ‎∴，∴．‎ 又，∴平面，‎ ‎∵平面，∴平面平面．‎ ‎（2）如图，以为原点，、、分别为轴、轴、轴正向，‎ 建立空间直角坐标系，则，，．‎ 设，则，，，．‎ 设平面的法向量为，则由得，‎ 令，则，，所以平面的法向量为．‎ 设平面的法向量为，则由，‎ 得令，则，．‎ 所以平面的法向量为．‎ 依题意，，‎ 解得．于是，，‎ 设直线与平面所成角为．‎ 则．‎ 即直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎21．【答案】（1）见解析；（2）；（3）当点为中点时，有平面．‎ ‎【解析】（1）证明：∵四边形是菱形，，且 ‎∴，又，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，且．∴平面．‎ ‎（2）连接，∵底面是菱形，∴，设．‎ 以为原点，，分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则各点坐标分别为：‎ ‎，，，，．‎ ‎∵点在上，且．∴，即．‎ ‎∴，即点的坐标为．‎ 又平面的一个法向量为，‎ 设平面的一个法向量为，，，‎ 由，得，可令，得，‎ ‎∴，∴，‎ 所以二面角的大小为．‎ ‎（3）证明：假设在上存在点满足题设条件，‎ 设，得，‎ ‎∴，‎ 依题意，平面，则有，∴，‎ 即，解得，‎ ‎∴当点为中点时，有平面．‎ ‎22．【答案】（1）见解析；（2）；（3）不存在，见解析．‎ ‎【解析】（1）证明：因为，，所以．‎ 所以，，所以平面．所以．‎ 又因为，．所以平面．‎ ‎（2）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，．‎ 设平面的法向量为，则，．‎ 又，，所以令，‎ 则，．所以．‎ 设与平面所成的角为，因为，‎ 所以．‎ 所以与平面所成角的大小为．‎ ‎（3）线段上不存在点，使平面与平面垂直，理由如下：‎ 假设这样的点存在，设其坐标为，其中．‎ 设平面的法向量为，则，．‎ 又，，所以令，则，．‎ 所以．‎ 平面与平面垂直当且仅当，即．‎ 解得，这与矛盾．‎ 所以线段上不存在点，使平面与平面垂直．‎