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- 2021-05-13 发布
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数列专题复习专练
1.已知数列{a}是公差d≠0的等差数列,其前n项和为S.
(2)过点Q(1,a),Q(2,a)作直线l,设l与l的夹角为θ,
2.已知数列中,是其前项和,并且,
⑴设数列,求证:数列是等比数列;
⑵设数列,求证:数列是等差数列;
⑶求数列的通项公式及前项和。
3.设a1=1,a2=,an+2=an+1-an(n=1,2,---),令bn=an+1-an(n=1,2---)求数列{bn}的通项公式,(2)求数列{nan}的前n项的和Sn。
4.数列中,且满足
⑴求数列的通项公式;
⑵设,求;
⑶设=,是否存在最大的整数,使得对任意,均有成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。
5.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。
已知数列是等和数列,且,公和为5,那么的值为_____,这个数列的前n项和的计算公式为__
6.已知数列{an}中,a1=1,a2k=a2k-1+(-1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…。
(1)求a3,a5; (2)求{an}的通项公式
7.数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,,n=1,2,3,……,求a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式.
8.已知数列满足 求数列的通项公式;
9.已知数列和,设,求数列的前项和.
10.设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且,,(Ⅰ)求,的通项公式;(Ⅱ)求数列的前n项和.
11.已知数列的通项公式为=,设,求.
12.是等差数列的前n项和,已知的等比中项为,的等差中项为1,求数列的通项.
13.已知数列、都是公差为1的等差数列,其首项分别为、,且
,.设(),则数列的前10项和等于( )
(A)55 (B)70 (C)85 (D)100
14.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为q的无穷等比数列,下列{an}的四组量中:①S1与S2; ②a2与S3; ③a1与an; ④q与an.
其中一定能成为该数列“基本量”的是第组.(写出所有符合要求的组号)
15.已知等比数列的前项和为,且.
(1)求、的值及数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
16.已知数列在直线x-y+1=0上.
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2)若函数
求函数f(n)的最小值;
(3)设表示数列{bn}的前n项和.试问:是否存在关于n的整式g(n), 使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由.
17.设数列是等差数列,.
(Ⅰ)当时,请在数列中找一项,使得成等比数列;
(Ⅱ)当时,若满足,
使得是等比数列,求数列的通项公式.
18.数列{}的前项和满足:
(1)求数列{}的通项公式;
(2)数列{}
中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,请求出一组适合条件的项;若不存在,请说明理由.
19.在等差数列中,,前项和满足,
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)记,求数列的前项和.
答案部分
1.已知数列{a}是公差d≠0的等差数列,其前n项和为S.
(2)过点Q(1,a),Q(2,a)作直线l,设l与l的夹角为θ,
证明:(1)因为等差数列{a}的公差d≠0,所以
Kpp是常数(k=2,3,…,n).
(2)直线l的方程为y-a=d(x-1),直线l的斜率为d.
2.已知数列中,是其前项和,并且,
⑴设数列,求证:数列是等比数列;
⑵设数列,求证:数列是等差数列;
⑶求数列的通项公式及前项和。
分析:由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关,{a}中又有S=4a+2,可由S-S作切入点探索解题的途径.
解:(1)由S=4a,S=4a+2,两式相减,得S-S=4(a-a),即a=4a-4a.(根据b的构造,如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键,注意加强恒等变形能力的训练)
a-2a=2(a-2a),又b=a-2a,所以b=2b①
已知S=4a+2,a=1,a+a=4a+2,解得a=5,b=a-2a=3 ②
由①和②得,数列{b}是首项为3,公比为2的等比数列,故b=3·2.
当n≥2时,S=4a+2=2(3n-4)+2;当n=1时,S=a=1也适合上式.
综上可知,所求的求和公式为S=2(3n-4)+2.
3.设a1=1,a2=,an+2=an+1-an(n=1,2,---),令bn=an+1-an(n=1,2---)求数列{bn}的通项公式,(2)求数列{nan}的前n项的和Sn。
解:(I)因
故{bn}是公比为的等比数列,且
(II)由
注意到可得
记数列的前n项和为Tn,则
4.数列中,且满足
⑴求数列的通项公式;
⑵设,求;
⑶设=,是否存在最大的整数,使得对任意,均有成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。
解:(1)由题意,,为等差数列,设公差为,
由题意得,.
(2)若,
时,
故
(3)
若对任意成立,即对任意成立,
的最小值是,的最大整数值是7。
即存在最大整数使对任意,均有
5.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。
已知数列是等和数列,且,公和为5,那么的值为__3___,这个数列的前n项和的计算公式为__当n为偶数时,;当n为奇数时,
6.已知数列{an}中,a1=1,a2k=a2k-1+(-1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…。
(1)求a3,a5; (2)求{an}的通项公式
解:(I)a2=a1+(-1)1=0,a3=a2+31=3.a4=a3+(-1)2=4 a5=a4+32=13, 所以,a3=3,a5=13.
(II) a2k+1=a2k+3k = a2k-1+(-1)k+3k,所以a2k+1-a2k-1=3k+(-1)k,
同理a2k-1-a2k-3=3k-1+(-1)k-1,a3-a1=3+(-1).
所以(a2k+1-a2k-1)+(a2k-1-a2k-3)+…+(a3-a1)
=(3k+3k-1+…+3)+[(-1)k+(-1)k-1+…+(-1)],
由此得a2k+1-a1=(3k-1)+[(-1)k-1],
于是a2k+1=a2k= a2k-1+(-1)k=(-1)k-1-1+(-1)k=(-1)k=1.
{an}的通项公式为:
当n为奇数时,an=
当n为偶数时,
7.数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,,n=1,2,3,……,求a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式.
解:(I)由a1=1,,n=1,2,3,……,得
,,,
由(n≥2),得(n≥2),
又a2=,所以an=(n≥2),
∴数列{an}的通项公式为
8.已知数列满足 求数列的通项公式;
解:
是以为首项,2为公比的等比数列.
即
9.已知数列和,设,求数列的前项和.
解:,
两式相减得
10.设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且,,(Ⅰ)求,的通项公式;(Ⅱ)求数列的前n项和.
解:(Ⅰ)设的公差为,的公比为,则依题意有且
解得,.所以,.
(Ⅱ).,①
,②
②-①得,
.
11.已知数列的通项公式为=,设,求.
解:==2(-).
=2[(-)+(-)+(-)+……+(-)+(-)]=2(+--).
12.是等差数列的前n项和,已知的等比中项为,的等差中项为1,求数列的通项.
解:由已知得, 即 ,
解得或 或
13.已知数列、都是公差为1的等差数列,其首项分别为、,且
,.设(),则数列的前10项和等于( C )
(A)55 (B)70 (C)85 (D)100
14.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为q的无穷等比数列,下列{an}的四组量中:①S1与S2; ②a2与S3; ③a1与an; ④q与an.
其中一定能成为该数列“基本量”的是第①④ 组.(写出所有符合要求的组号)
15.已知等比数列的前项和为,且.
(1)求、的值及数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
解:(1)当时,.
而为等比数列,得,即,从而.
又.
(2),
两式相减得,
因此,.
16.已知数列在直线x-y+1=0上.
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2)若函数
求函数f(n)的最小值;
(3)设表示数列{bn}的前n项和.试问:是否存在关于n的整式g(n), 使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由.
解:(1)在直线x-y+1=0上
(2),
,
.
(3),
.
……………………………………
故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立.
17.设数列是等差数列,.
(Ⅰ)当时,请在数列中找一项,使得成等比数列;
(Ⅱ)当时,若满足,
使得是等比数列,求数列的通项公式.
解:(Ⅰ)设公差为,则由,得
∵成等比数列,∴解得.故成等比数列.
(Ⅱ),∴,故.
又是等比数列,
则,∴,
又,∴,∴
18.数列{}的前项和满足:
(1)求数列{}的通项公式;
(2)数列{}中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,请求出一组适合条件的项;若不存在,请说明理由.
解:(1)当时有:
两式相减得:
∴数列{}是首项6,公比为2的等比数列.
从而
(2)假设数列{}中存在三项,它们可以构成等差数列,
因此只能是,
即
、、均为正整数,
∴(*)式左边为奇数右边为偶数,不可能成立。
因此数列{}中不存在可以构成等差数列的三项。
19.在等差数列中,,前项和满足,
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)记,求数列的前项和.
解:(Ⅰ)设等差数列的公差为,由得,
所以,即,所以.
(Ⅱ)由,得.故,
当时,;
当时,,
即
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