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  • 2021-05-13 发布

高考数学理考前60天冲刺六大解答题数列专练含答案

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‎2012届高考数学(理)考前60天冲刺【六大解答题】数列专练 ‎1.数列的前项和记为,,.‎ ‎(1)当为何值时,数列是等比数列;‎ ‎(2)在(I)的条件下,若等差数列的前项和有最大值,且,又,,成等比数列,求.‎ 解:(I)由,可得,‎ 两式相减得, ‎ ‎∴当时,是等比数列, ‎ 要使时,是等比数列,则只需,从而. ‎ ‎(II)设的公差为d,由得,于是, ‎ 故可设,又,‎ 由题意可得,ks5u 解得,‎ ‎∵等差数列的前项和有最大值,∴ ‎ ‎∴.‎ ‎2.已知数列的首项的等比数列,其前项和中,‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,,求 解:(Ⅰ)若,则不符合题意,∴, ……………………………2分 当时,由得 ‎∴ ………………………………………… 6分 ‎(Ⅱ)∵ ……………………………………7分 ‎∴ ………………………………………9分 ‎∴== ‎ ‎3.已知数列的首项,且满足 ‎ (1)设,求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;‎ ‎ (2)设,求数列的前n项和 解:(Ⅰ),,,.‎ 数列是以1为首项,4为公差的等差数列.……………………………………3分 ‎,则数列的通项公式为.………………… 6分 ‎(Ⅱ)……………①‎ ‎……………… ②‎ ‎②①并化简得.‎ ‎4.已知数列的前n项和为,若 ‎ (1)求证:为等比数列; (2)求数列的前n项和。‎ ‎(1)解:由 得: ∴,即 ∴ 4分 又因为,所以a1 =-1,a1-1 =-2≠0, ∴是以-2为首项, 2为公比的等比数列. 6分 ‎(2)解:由(1)知,,即 8分 ∴ 10分 故 ‎5.已知数列的前项和满足:(为常数,且,). ‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,若数列为等比数列,求的值.‎ 解:解:(Ⅰ)因为,所以 当时,,,‎ 即以为a首项,a为公比的等比数列.‎ ‎ ∴; …………6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,‎ 若为等比数列,则有, 而,,‎ 故,解得 ‎ 再将代入得成等比数列, 所以成立 ‎6.已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设Tn为数列{}的前n项和,若Tn≤λan+1对∀n∈N*恒成立,求实数λ的最小值.‎ 解:(1)设公差为。由已知得……………………3分 解得或 (舍去) 所以,故 ……………………………6分 ‎(2)因为 所以 ……………………9分 因为对恒成立。即,,对恒成立。‎ 又 所以实数的最小值为 ‎ ‎7.在各项均为正数的数列中,已知点在函数的图像上,且.‎ ‎(Ⅰ)求证:数列是等比数列,并求出其通项;‎ ‎(Ⅱ)若数列的前项和为,且,求.‎ ‎.【解】(Ⅰ)因为点在函数的图像上, ‎ ‎ 所以,…………………………1分 且,所以,‎ 故数列是公比的等比数列.……………………3分 ‎ 因为,所以,‎ 即,则,……………… ……………4分 所以…………………………………6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以.…………………7分 所以……①………………9分 ‎……②…………………10分 ‎①-②式得…………………11分 即 ‎8.数列中,已知 ‎ (I)求数列的通项公式;‎ ‎ (II)令,若恒成立,求k的取值范围。‎ 解析:(1)解:因为,所以,‎ 即,………………………………………………2分 令,故是以为首项,2为公差的等差数列。‎ 所以,………………………………………………4分 因为,故。…………………………………………6分 ‎(2)因为,‎ 所以,……………………8分 所以 ‎,………………………………10分 ‎ 因为恒成立,故。‎ ‎9.在数列中,, 且.‎ ‎(1)求,的值;‎ ‎(2)证明:数列是等比数列,并求的通项公式;‎ ‎(3)求数列的前项和.‎ ‎(1)解:∵, 且,‎ ‎∴,‎ ‎.…………2分 ‎(2)证明:‎ ‎∵,‎ ‎∴数列是首项为,公比为的等比数列.‎ ‎∴,即,‎ ‎∴的通项公式为.…………8分 ‎(3)∵的通项公式为,‎ ‎∴‎ ‎.…………12分 ‎10.已知数列满足 ‎(Ⅰ)求数列的通项;‎ ‎(Ⅱ)若求数列的前项和。‎ 解:(Ⅰ)‎ ‎ (1) (2)‎ ‎ (1)-(2)得即(n)又也适合上式 ‎(Ⅱ)‎ ‎(1)-(2) ‎ ‎11.已知正项数列的前项和为,且.‎ ‎(Ⅰ)求证:数列是等差数列;(Ⅱ)求解关于的不等式;‎ ‎(Ⅲ)记数列,,证明:.‎ 解:(Ⅰ) ..当时,,化简得.由,得.数列是等差数列. …‎ ‎(Ⅱ)由(I)知,又由,‎ 得.,即..‎ 又,不等式的解集为. ‎ ‎(Ⅲ)当时,‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎,‎ 故 ‎ ‎12,已知递增的等比数列满足是的等差中项。‎ ‎ (Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎ (Ⅱ)若是数列的前项和,求 解:(1)设等比数列的公比为q,有题意可得解答:q=2(舍去)‎ ‎,∴等比数列的通项公式为:‎ ‎ (2)∵ ∴anbn=(n+1)2n,用错位相减法得:‎ ‎ ‎ ‎13.已知等差数列满足:,,的前n项和为.‎ ‎ (Ⅰ)求及;‎ ‎ (Ⅱ)令bn=(),求数列的前n项和。‎ 解析:(Ⅰ)设等差数列的公差为d,因为,,所以有 ‎,解得,‎ 所以;==。………………6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以bn===,‎ 所以==,‎ 即数列的前n项和=。‎ ‎14.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,nan+1=(n+2)Sn(n=1,2,3,…).‎ ‎(1)求证:数列{}为等比数列,并由此求出Sn;‎ ‎(2)若数列{bn}满足:b1=,=(n∈N*),试求数列{bn}的通项公式.‎ 解:(1)证明:由nan+1=(n+2)Sn,得n(Sn+1-Sn)=(n+2)Sn,即=2·,∴数列{}是首项为=a1=1,公比为2的等比数列,∴=2n-1,Sn=n2n-1.‎ ‎(2)由条件得==+2n-1.设cn=,则c1=,当n≥2时,cn=c1+(c2-c1)+(c3-c2)+…+(cn-cn-1)=2-1+20+21+…+2n-2=(2n-1),当n=1时,也满足上式.‎ ‎∴cn=(2n-1)(n∈N*),从而bn=ncn=(2n-1).‎ ‎15.已知数列的首项,,‎ ‎ (1)若,求证是等比数列并求出的通项公式;‎ ‎ (2)若对一切都成立,求的取值范围。‎ ‎(1) 由题意知,, ,‎ ‎, ……………………………… 4分 所以数列是首项为,公比为的等比数列;……………5分 ‎ , ……………………8分 ‎(2)由(1)知, ……………10分 由知,故得 ……………11分 ‎ 即 得,又,则 ‎16.在数列中,为其前项和,满足.‎ ‎(I)若,求数列的通项公式;‎ ‎(II)若数列为公比不为1的等比数列,且,求.‎ 解:(I)当时,所以 即,所以当时,;‎ 当时,‎ 所以数列的通项公式为.…………7分 ‎(II)当时,,所以, . ,,,‎ 由题意得,,所以.‎ 此时,,从而 因为所以,从而为公比为3的 等比数列,得,,‎ ‎17.等比数列为递增数列,且,数列(n∈N※)‎ ‎(1)求数列的前项和;‎ ‎(2),求使成立的最小值.‎ 解:(1)是等比数列,,两式相除得:‎ ‎ ,为增数列,,-------4分 ‎ --------6分 ‎ ,数列的前项和---8分 ‎(2)==‎ 即:-------12分 --------14分 ‎(只要给出正确结果,不要求严格证明)‎ ‎18.在数列中,为常数,,且成公比不等于1的等比数列.‎ ‎ (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)设,求数列的前项和 ‎ 解:(Ⅰ)∵为常数,∴. ………………2分 ‎ ∴.‎ ‎ 又成等比数列,∴,解得或.…4分 ‎ 当时,不合题意,舍去. ∴. …………………6分 ‎ (Ⅱ)由(Ⅰ)知,. ………………………………………………8分 ‎ ∴ …………10分 ‎ ∴‎ ‎ …………………………………………12分 ‎19.已知数列满足:;。数列的前n项和为,且。‎ ‎⑴求数列、的通项公式;⑵令数列满足,求其前n项和为。‎ 解:‎ ‎(1)由已知得数列为等差数列,首项为1,公差为1.所以其通项公式为 因为,所以,所以数列为等比数列,‎ 又 所以 ‎(2)由已知得:,‎ 所以 所以 所以 ‎20.已知等比数列中,公比,且,,分别为某等差数列的第5项,第3项,第2项.‎ ‎⑴求数列的通项公式;‎ ‎⑵设,求数列的前项和.‎ 解:⑴由条件知. 即,‎ 又∴,又.∴ ‎ ‎ ∴. …………………………7分 ‎⑵前项和 ‎∴当时,,∴ ‎ 当时,,‎ ‎∴‎ ‎21.已知数列{ }、{ }满足:.‎ ‎(1)求; ‎ ‎(2)求数列{ }的通项公式;‎ ‎(3)设,求实数为何值时恒成立 解:(1) ‎ ‎ ∵ ∴ ……………4分 ‎ (2)∵ ∴‎ ‎ ∴数列{}是以-4为首项,-1为公差的等差数列 ……………6分 ‎ ∴ ∴ ……………8分 ‎ (3) ‎ ‎∴‎ ‎ ∴ ……………10分 ‎ 由条件可知恒成立即可满足条件设 ‎ a=1时,恒成立, a>1时,由二次函数的性质知不可能成立 ‎ a