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- 2021-05-13 发布
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2012届高考数学(理)考前60天冲刺【六大解答题】数列专练
1.数列的前项和记为,,.
(1)当为何值时,数列是等比数列;
(2)在(I)的条件下,若等差数列的前项和有最大值,且,又,,成等比数列,求.
解:(I)由,可得,
两式相减得,
∴当时,是等比数列,
要使时,是等比数列,则只需,从而.
(II)设的公差为d,由得,于是,
故可设,又,
由题意可得,ks5u
解得,
∵等差数列的前项和有最大值,∴
∴.
2.已知数列的首项的等比数列,其前项和中,
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,,求
解:(Ⅰ)若,则不符合题意,∴, ……………………………2分
当时,由得
∴ ………………………………………… 6分
(Ⅱ)∵ ……………………………………7分
∴ ………………………………………9分
∴==
3.已知数列的首项,且满足
(1)设,求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和
解:(Ⅰ),,,.
数列是以1为首项,4为公差的等差数列.……………………………………3分
,则数列的通项公式为.………………… 6分
(Ⅱ)……………①
……………… ②
②①并化简得.
4.已知数列的前n项和为,若
(1)求证:为等比数列; (2)求数列的前n项和。
(1)解:由 得:
∴,即
∴ 4分
又因为,所以a1 =-1,a1-1 =-2≠0,
∴是以-2为首项, 2为公比的等比数列. 6分
(2)解:由(1)知,,即 8分
∴ 10分
故
5.已知数列的前项和满足:(为常数,且,).
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)设,若数列为等比数列,求的值.
解:解:(Ⅰ)因为,所以
当时,,,
即以为a首项,a为公比的等比数列.
∴; …………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
若为等比数列,则有, 而,,
故,解得
再将代入得成等比数列, 所以成立
6.已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn为数列{}的前n项和,若Tn≤λan+1对∀n∈N*恒成立,求实数λ的最小值.
解:(1)设公差为。由已知得……………………3分
解得或 (舍去) 所以,故 ……………………………6分
(2)因为
所以 ……………………9分
因为对恒成立。即,,对恒成立。
又 所以实数的最小值为
7.在各项均为正数的数列中,已知点在函数的图像上,且.
(Ⅰ)求证:数列是等比数列,并求出其通项;
(Ⅱ)若数列的前项和为,且,求.
.【解】(Ⅰ)因为点在函数的图像上,
所以,…………………………1分 且,所以,
故数列是公比的等比数列.……………………3分
因为,所以,
即,则,……………… ……………4分
所以…………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以.…………………7分
所以……①………………9分
……②…………………10分
①-②式得…………………11分
即
8.数列中,已知
(I)求数列的通项公式;
(II)令,若恒成立,求k的取值范围。
解析:(1)解:因为,所以,
即,………………………………………………2分
令,故是以为首项,2为公差的等差数列。
所以,………………………………………………4分
因为,故。…………………………………………6分
(2)因为,
所以,……………………8分
所以
,………………………………10分
因为恒成立,故。
9.在数列中,, 且.
(1)求,的值;
(2)证明:数列是等比数列,并求的通项公式;
(3)求数列的前项和.
(1)解:∵, 且,
∴,
.…………2分
(2)证明:
∵,
∴数列是首项为,公比为的等比数列.
∴,即,
∴的通项公式为.…………8分
(3)∵的通项公式为,
∴
.…………12分
10.已知数列满足
(Ⅰ)求数列的通项;
(Ⅱ)若求数列的前项和。
解:(Ⅰ)
(1) (2)
(1)-(2)得即(n)又也适合上式
(Ⅱ)
(1)-(2)
11.已知正项数列的前项和为,且.
(Ⅰ)求证:数列是等差数列;(Ⅱ)求解关于的不等式;
(Ⅲ)记数列,,证明:.
解:(Ⅰ) ..当时,,化简得.由,得.数列是等差数列. …
(Ⅱ)由(I)知,又由,
得.,即..
又,不等式的解集为.
(Ⅲ)当时,
.
.
,
故
12,已知递增的等比数列满足是的等差中项。
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若是数列的前项和,求
解:(1)设等比数列的公比为q,有题意可得解答:q=2(舍去)
,∴等比数列的通项公式为:
(2)∵ ∴anbn=(n+1)2n,用错位相减法得:
13.已知等差数列满足:,,的前n项和为.
(Ⅰ)求及;
(Ⅱ)令bn=(),求数列的前n项和。
解析:(Ⅰ)设等差数列的公差为d,因为,,所以有
,解得,
所以;==。………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以bn===,
所以==,
即数列的前n项和=。
14.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,nan+1=(n+2)Sn(n=1,2,3,…).
(1)求证:数列{}为等比数列,并由此求出Sn;
(2)若数列{bn}满足:b1=,=(n∈N*),试求数列{bn}的通项公式.
解:(1)证明:由nan+1=(n+2)Sn,得n(Sn+1-Sn)=(n+2)Sn,即=2·,∴数列{}是首项为=a1=1,公比为2的等比数列,∴=2n-1,Sn=n2n-1.
(2)由条件得==+2n-1.设cn=,则c1=,当n≥2时,cn=c1+(c2-c1)+(c3-c2)+…+(cn-cn-1)=2-1+20+21+…+2n-2=(2n-1),当n=1时,也满足上式.
∴cn=(2n-1)(n∈N*),从而bn=ncn=(2n-1).
15.已知数列的首项,,
(1)若,求证是等比数列并求出的通项公式;
(2)若对一切都成立,求的取值范围。
(1) 由题意知,, ,
, ……………………………… 4分
所以数列是首项为,公比为的等比数列;……………5分
, ……………………8分
(2)由(1)知, ……………10分
由知,故得 ……………11分
即 得,又,则
16.在数列中,为其前项和,满足.
(I)若,求数列的通项公式;
(II)若数列为公比不为1的等比数列,且,求.
解:(I)当时,所以
即,所以当时,;
当时,
所以数列的通项公式为.…………7分
(II)当时,,所以, . ,,,
由题意得,,所以.
此时,,从而
因为所以,从而为公比为3的
等比数列,得,,
17.等比数列为递增数列,且,数列(n∈N※)
(1)求数列的前项和;
(2),求使成立的最小值.
解:(1)是等比数列,,两式相除得:
,为增数列,,-------4分
--------6分
,数列的前项和---8分
(2)==
即:-------12分 --------14分
(只要给出正确结果,不要求严格证明)
18.在数列中,为常数,,且成公比不等于1的等比数列.
(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)设,求数列的前项和
解:(Ⅰ)∵为常数,∴. ………………2分
∴.
又成等比数列,∴,解得或.…4分
当时,不合题意,舍去. ∴. …………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,. ………………………………………………8分
∴ …………10分
∴
…………………………………………12分
19.已知数列满足:;。数列的前n项和为,且。
⑴求数列、的通项公式;⑵令数列满足,求其前n项和为。
解:
(1)由已知得数列为等差数列,首项为1,公差为1.所以其通项公式为
因为,所以,所以数列为等比数列,
又 所以
(2)由已知得:,
所以
所以
所以
20.已知等比数列中,公比,且,,分别为某等差数列的第5项,第3项,第2项.
⑴求数列的通项公式;
⑵设,求数列的前项和.
解:⑴由条件知. 即,
又∴,又.∴
∴. …………………………7分
⑵前项和
∴当时,,∴
当时,,
∴
21.已知数列{ }、{ }满足:.
(1)求;
(2)求数列{ }的通项公式;
(3)设,求实数为何值时恒成立
解:(1)
∵ ∴ ……………4分
(2)∵ ∴
∴数列{}是以-4为首项,-1为公差的等差数列 ……………6分
∴ ∴ ……………8分
(3)
∴
∴ ……………10分
由条件可知恒成立即可满足条件设
a=1时,恒成立, a>1时,由二次函数的性质知不可能成立
a