高考双曲线单元测试题 18页

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  • 2021-05-13 发布

高考双曲线单元测试题

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2019 高考双曲线单元测试题 1.双曲线 的渐近线为( ) A. B. C. D. 2.A 已知双曲线 的中心为原点,点 是双曲线 的一个焦点,点 到渐近线的距离为 1,则 的方程为( ) A. B. C. D. 3.双曲线 的渐近线方程为 ,则 的离心率为( ) A. 2 B. C. D. 4.已知双曲线 ,则双曲线 的焦点坐标为( ) A. B. C. D. 5.已知双曲线 的离心率 e=2,则双曲线 C 的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 6.斜率为 的直线与双曲线 恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是( ) A. [2,+∞) B. (2,+∞) C. D. 7.已知双曲线 ( , )的左、右焦点分别为 、 ,焦距为 ( ),抛物线 的准线交双曲线左支于 , 两点,且 ( 为坐标原点),则该双曲线的离心率为( ) A. B. 2 C. D. 8.若双曲线 与双曲线 的焦距相等,则实数 的值为( ) A. -1 B. 1 C. 2 D. 4 9.已知点 是双曲线 ( , )右支上一点, 是右焦点,若 ( 是坐 标原点)是等边三角形,则该双曲线离心率 为( ) A. B. C. D. 10.已知双曲线 ,的左焦点为 F,离心率为 ,若经过 和 两点的直线平行于 双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 11.已知双曲线方程为 ,它的一条渐近线与圆 相切,则双曲线的离心 率为( ) A. B. C. D. 12.已知双曲线 的离心率为 2,则椭圆 的离心率为( ) A. B. C. D. 二、填空题 13. 已知方程 表示双曲线,则实数 的取值范围为___________. 14.过点 且和双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程为__________. 15.双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离为______________ 16.在平面直角坐标系 中,若双曲线 的右焦点 到一条渐近线的距离为 , 则其离心率的值是________. 三、解答题 17.已知三点 P 、 、 . (1)求以 、 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (2)求以 、 为焦点且过点 P 的双曲线的标准方程. 18.已知双曲线的中心在坐标原点,焦点 , 在坐标轴上,离心率为 ,且过点 . (1) 求双曲线的标准方程; (2) 若点 在第一象限且是渐近线上的点,当 时,求点 的坐标. 19.已知双曲线 : 的一条渐近线为 ,右焦点 到直线 的距离 为 . (1)求双曲线 的方程; (2)斜率为 且在 轴上的截距大于 的直线 与曲线 相交于 、 两点,已知 ,若 证明:过 、 、 三点的圆与 轴相切. 20.已知双曲线 的焦点是椭圆 : 的顶点,且椭圆与双曲线的离心率 互为倒数. (1)求椭圆 的方程; (2)设动点 , 在椭圆 上,且 ,记直线 在 轴上的截距为 ,求 的最大值. 21.已知双曲线 的左右两个顶点是 , ,曲线 上的动点 关于 轴对称,直线 与 交于点 , (1)求动点 的轨迹 的方程; (2)点 ,轨迹 上的点 满足 ,求实数 的取值范围. 22.如图,已知椭圆 的离心率为 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 为 顶点的三角形的周长为 .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设 为该双曲线上异于顶点的任 一点,直线 和 与椭圆的交点分别为 和 . (Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程; (Ⅱ)设直线 、 的斜率分别为 、 ,证明 ; (Ⅲ)探究 是否是个定值,若是,求出这个定值;若不是,请说明理由. 1.双曲线 的渐近线为( ) A. B. C. D. 【答案】A 2.A 已知双曲线 的中心为原点,点 是双曲线 的一个焦点,点 到渐近线的距离为 1,则 的方程为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为点 到渐近线的距离为 1,所以 b=1,因为 c= ,所以 a=1,因此 的方程为 , 选 A. 3.双曲线 的渐近线方程为 ,则 的离心率为( ) A. 2 B. C. D. 【答案】C 4.已知双曲线 ,则双曲线 的焦点坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由方程 表示双曲线,焦点坐标在 y 轴上,可知, 则 c2=a2+b2=25,即 , 故双曲线的焦点坐标为: , 故选:C. 5.已知双曲线 的离心率 e=2,则双曲线 C 的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】D 6.斜率为 的直线与双曲线 恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是( ) A. [2,+∞) B. (2,+∞) C. D. 【答案】D 【解析】∵斜率为 的直线与双曲线 恒有两个公共点,∴ > , ∴e= = > . ∴双曲线离心率的取值范围是( ,+∞). 故选:D. 7.已知双曲线 ( , )的左、右焦点分别为 、 ,焦距为 ( ),抛物线 的准线交双曲线左支于 , 两点,且 ( 为坐标原点),则该双曲线的离心率为( ) A. B. 2 C. D. 【答案】A 8.若双曲线 与双曲线 的焦距相等,则实数 的值为( ) A. -1 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】由题意得 ,选 C. 9.已知点 是双曲线 ( , )右支上一点, 是右焦点,若 ( 是坐 标原点)是等边三角形,则该双曲线离心率 为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】依题意及三角函数定义,点 A(ccos ,csin ),即 A( c, c), 代入双曲线方程 , 可得 b2c2−3a2c2=4a2b2,又 c2=a2+b2,得 e2=4+2 ,e= +1, 故选:D. 10.已知双曲线 ,的左焦点为 F,离心率为 ,若经过 和 两点的直线平行于 双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 【答案】D 11 已知双曲线方程为 ,它的一条渐近线与圆 相切,则双曲线的离心 率为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 方法一:双曲线的渐近线方程为 ,则 ,圆的方程 ,圆心为 , 所以 ,化简可得 ,则离心率 . 方法二:因为焦点 到渐近线的 距离为 ,则有平行线的对应成比例可得知 ,即 则离心率为 . 选 A. 12.已知双曲线 的离心率为 2,则椭圆 的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】A 二、填空题 13. 已知方程 表示双曲线,则实数 的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 因为方程 表示双曲线, 所以 ,即 . 14.过点 且和双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程为__________. 【答案】 15.双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离为______________ 【答案】4 【解析】 由题意,双曲线的一个焦点坐标为 ,一条渐近线的方程为 , 由点到直线的距离公式得 , 即双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 . 16.在平面直角坐标系 中,若双曲线 的右焦点 到一条渐近线的距离为 , 则其离心率的值是________. 【答案】2 三、解答题 17.已知三点 P 、 、 . (1)求以 、 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (2)求以 、 为焦点且过点 P 的双曲线的标准方程. 【答案】(1) ;(2) - . (2)∵双曲线焦点在 轴上,故设所求双曲线的标准方程为 - ,由双曲线的 定义知, , ∴ , , 故所求双曲线的标准方程为 - . 18.已知双曲线的中心在坐标原点,焦点 , 在坐标轴上,离心率为 ,且过点 . (1) 求双曲线的标准方程; (2) 若点 在第一象限且是渐近线上的点,当 时,求点 的坐标. 【答案】(1) ;(2) (2)因为等轴双曲线的渐近线方程为 , 点 在第一象限且是渐近线上的点, ∴设点 坐标为 , ∵等轴双曲线 ,所以 , 不妨设 ), 所以 , , 又因为 ,所以 , 所以 , 解得 (舍去负值), 所以点 的坐标为 . 19.已知双曲线 : 的一条渐近线为 ,右焦点 到直线 的距离 为 . (1)求双曲线 的方程; (2)斜率为 且在 轴上的截距大于 的直线 与曲线 相交于 、 两点,已知 ,若 证明:过 、 、 三点的圆与 轴相切. 【答案】(1) ;(2)证明见解析. (2)设直线 的方程为 ,则 , , 的中点为 由 得 ∴ , ∵ ,即 ∴ (舍)或 ∴ , 点的横坐标为 20.已知双曲线 的焦点是椭圆 : 的顶点,且椭圆与双曲线的离心率 互为倒数. (1)求椭圆 的方程; (2)设动点 , 在椭圆 上,且 ,记直线 在 轴上的截距为 ,求 的最大值. 【答案】(1) .(2) . 【解析】 (Ⅰ)双曲线 的焦点坐标为 ,离心率为 . 因为双曲线 的焦点是椭圆 : ( )的顶点,且椭圆与双曲线的离心率 互为倒数,所以 ,且 ,解得 . 故椭圆 的方程为 . 设 , , 根据根与系数的关系得 , . 则 . 因为 ,即 . 整理得 . 令 ,则 . 所以 . 等号成立的条件是 ,此时 , 满足 ,符合题意. 故 的最大值为 . 21.已知双曲线 的左右两个顶点是 , ,曲线 上的动点 关于 轴对称,直线 与 交于点 , (1)求动点 的轨迹 的方程; (2)点 ,轨迹 上的点 满足 ,求实数 的取值范围. 【答案】(1) ;(2) . (2)过 的直线若斜率不存在则 或 3, 设直线斜率 存在, , 则 22.如图,已知椭圆 的离心率为 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 为 顶点的三角形的周长为 .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设 为该双曲线上异于顶点的任 一点,直线 和 与椭圆的交点分别为 和 . (Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程; (Ⅱ)设直线 、 的斜率分别为 、 ,证明 ; (Ⅲ)探究 是否是个定值,若是,求出这个定值;若不是,请说明理由. 【答案】(Ⅰ) , ;(Ⅱ) ;(Ⅲ) . (Ⅱ)设 P( ), 则 = , . 因为点 P 在双曲线 上,所以 . 因此 ,即 (Ⅲ)设 A( , ),B( ),由于 的方程为 ,将其代入椭圆方程得 所以 ,所以 故 恒成立.