高考双曲线单元测试题 18页

2019 高考双曲线单元测试题 1.双曲线 的渐近线为（ ） A． B． C． D． 2.A 已知双曲线 的中心为原点，点 是双曲线 的一个焦点，点 到渐近线的距离为 1，则 的方程为（ ） A. B. C. D. 3.双曲线 的渐近线方程为 ，则 的离心率为（ ） A． 2 B． C． D． 4.已知双曲线 ，则双曲线 的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 5.已知双曲线 的离心率 e=2，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 6．斜率为 的直线与双曲线 恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. [2，+∞） B. （2，+∞） C. D. 7．已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 、 ，焦距为 （ ），抛物线 的准线交双曲线左支于 ， 两点，且 （ 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 8.若双曲线 与双曲线 的焦距相等，则实数 的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 4 9．已知点 是双曲线 （ ， ）右支上一点， 是右焦点，若 （ 是坐 标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率 为（ ） A. B. C. D. 10.已知双曲线 ，的左焦点为 F，离心率为 ，若经过 和 两点的直线平行于 双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 11.已知双曲线方程为 ，它的一条渐近线与圆 相切，则双曲线的离心 率为（ ） A． B． C． D． 12.已知双曲线 的离心率为 2，则椭圆 的离心率为( ) A． B． C． D． 二、填空题 13. 已知方程 表示双曲线，则实数 的取值范围为___________． 14.过点 且和双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程为__________． 15.双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离为______________ 16.在平面直角坐标系 中，若双曲线 的右焦点 到一条渐近线的距离为 ， 则其离心率的值是________． 三、解答题 17.已知三点 P 、 、 . （1）求以 、 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程； （2）求以 、 为焦点且过点 P 的双曲线的标准方程. 18.已知双曲线的中心在坐标原点，焦点 ， 在坐标轴上，离心率为 ，且过点 ． （1） 求双曲线的标准方程； （2） 若点 在第一象限且是渐近线上的点，当 时，求点 的坐标． 19.已知双曲线 ： 的一条渐近线为 ，右焦点 到直线 的距离 为 ． （1）求双曲线 的方程； （2）斜率为 且在 轴上的截距大于 的直线 与曲线 相交于 、 两点，已知 ，若 证明：过 、 、 三点的圆与 轴相切． 20.已知双曲线 的焦点是椭圆 ： 的顶点，且椭圆与双曲线的离心率 互为倒数. （1）求椭圆 的方程； （2）设动点 ， 在椭圆 上，且 ，记直线 在 轴上的截距为 ，求 的最大值. 21.已知双曲线 的左右两个顶点是 ， ，曲线 上的动点 关于 轴对称，直线 与 交于点 ， （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）点 ，轨迹 上的点 满足 ，求实数 的取值范围. 22.如图，已知椭圆 的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 为 顶点的三角形的周长为 .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 为该双曲线上异于顶点的任 一点，直线 和 与椭圆的交点分别为 和 . （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）设直线 、 的斜率分别为 、 ，证明 ； （Ⅲ）探究 是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 1.双曲线 的渐近线为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 2.A 已知双曲线 的中心为原点，点 是双曲线 的一个焦点，点 到渐近线的距离为 1，则 的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为点 到渐近线的距离为 1，所以 b=1，因为 c= ,所以 a=1，因此 的方程为 ， 选 A. 3.双曲线 的渐近线方程为 ，则 的离心率为（ ） A． 2 B． C． D． 【答案】C 4.已知双曲线 ，则双曲线 的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由方程 表示双曲线，焦点坐标在 y 轴上，可知， 则 c2=a2+b2=25，即 ， 故双曲线的焦点坐标为： ， 故选：C． 5.已知双曲线 的离心率 e=2，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 6．斜率为 的直线与双曲线 恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. [2，+∞） B. （2，+∞） C. D. 【答案】D 【解析】∵斜率为 的直线与双曲线 恒有两个公共点，∴ ＞ ， ∴e= = ＞ ． ∴双曲线离心率的取值范围是（ ，+∞）． 故选：D． 7．已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 、 ，焦距为 （ ），抛物线 的准线交双曲线左支于 ， 两点，且 （ 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 8．若双曲线 与双曲线 的焦距相等，则实数 的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】由题意得 ，选 C. 9．已知点 是双曲线 （ ， ）右支上一点， 是右焦点，若 （ 是坐 标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率 为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】依题意及三角函数定义,点 A(ccos ,csin ),即 A( c, c)， 代入双曲线方程 ， 可得 b2c2−3a2c2=4a2b2,又 c2=a2+b2,得 e2=4+2 ,e= +1， 故选：D. 10.已知双曲线 ，的左焦点为 F，离心率为 ，若经过 和 两点的直线平行于 双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 11 已知双曲线方程为 ，它的一条渐近线与圆 相切，则双曲线的离心 率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 方法一：双曲线的渐近线方程为 ，则 ，圆的方程 ，圆心为 ， 所以 ，化简可得 ，则离心率 . 方法二：因为焦点 到渐近线的 距离为 ，则有平行线的对应成比例可得知 ，即 则离心率为 . 选 A. 12.已知双曲线 的离心率为 2，则椭圆 的离心率为( ) A． B． C． D． 【答案】A 二、填空题 13. 已知方程 表示双曲线，则实数 的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 因为方程 表示双曲线， 所以 ，即 . 14.过点 且和双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程为__________． 【答案】 15.双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离为______________ 【答案】4 【解析】 由题意，双曲线的一个焦点坐标为 ，一条渐近线的方程为 ， 由点到直线的距离公式得 ， 即双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 . 16.在平面直角坐标系 中，若双曲线 的右焦点 到一条渐近线的距离为 ， 则其离心率的值是________． 【答案】2 三、解答题 17.已知三点 P 、 、 . （1）求以 、 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程； （2）求以 、 为焦点且过点 P 的双曲线的标准方程. 【答案】(1) ;(2) - . （2）∵双曲线焦点在 轴上，故设所求双曲线的标准方程为 - ，由双曲线的 定义知， ， ∴ ， ， 故所求双曲线的标准方程为 - . 18.已知双曲线的中心在坐标原点，焦点 ， 在坐标轴上，离心率为 ，且过点 ． （1） 求双曲线的标准方程； （2） 若点 在第一象限且是渐近线上的点，当 时，求点 的坐标． 【答案】(1) ;(2) （2）因为等轴双曲线的渐近线方程为 ， 点 在第一象限且是渐近线上的点， ∴设点 坐标为 ， ∵等轴双曲线 ，所以 ， 不妨设 ）， 所以 ， ， 又因为 ，所以 ， 所以 ， 解得 （舍去负值）， 所以点 的坐标为 ． 19.已知双曲线 ： 的一条渐近线为 ，右焦点 到直线 的距离 为 ． （1）求双曲线 的方程； （2）斜率为 且在 轴上的截距大于 的直线 与曲线 相交于 、 两点，已知 ，若 证明：过 、 、 三点的圆与 轴相切． 【答案】（1） ；（2）证明见解析. （2）设直线 的方程为 ，则 ， ， 的中点为 由 得 ∴ ， ∵ ，即 ∴ （舍）或 ∴ ， 点的横坐标为 20.已知双曲线 的焦点是椭圆 ： 的顶点，且椭圆与双曲线的离心率 互为倒数. （1）求椭圆 的方程； （2）设动点 ， 在椭圆 上，且 ，记直线 在 轴上的截距为 ，求 的最大值. 【答案】(1) .(2) . 【解析】 （Ⅰ）双曲线 的焦点坐标为 ，离心率为 . 因为双曲线 的焦点是椭圆 ： （ ）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率 互为倒数，所以 ，且 ，解得 . 故椭圆 的方程为 . 设 ， ， 根据根与系数的关系得 ， . 则 . 因为 ，即 . 整理得 . 令 ，则 . 所以 . 等号成立的条件是 ，此时 ， 满足 ，符合题意. 故 的最大值为 . 21.已知双曲线 的左右两个顶点是 ， ，曲线 上的动点 关于 轴对称，直线 与 交于点 ， （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）点 ，轨迹 上的点 满足 ，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . （2）过 的直线若斜率不存在则 或 3， 设直线斜率 存在， ， 则 22.如图，已知椭圆 的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 为 顶点的三角形的周长为 .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 为该双曲线上异于顶点的任 一点，直线 和 与椭圆的交点分别为 和 . （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）设直线 、 的斜率分别为 、 ，证明 ； （Ⅲ）探究 是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】（Ⅰ） ， ;（Ⅱ） ;（Ⅲ） . （Ⅱ）设 P（ ）， 则 = ， . 因为点 P 在双曲线 上，所以 . 因此 ，即 （Ⅲ）设 A（ ， ），B（ ），由于 的方程为 ，将其代入椭圆方程得 所以 ，所以 故 恒成立.