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- 2021-05-13 发布
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2012--2017全国卷高考真题导数大题
1.(2012新课标全国卷1文21,本小题满分12分)
设函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)若,为整数,且当时,,求的最大值.
解:(Ⅰ)定义域为,,
若,则,所以在单调递增;
若,则当时,;当时,,
所以在,单调递减,在单调递增;
(Ⅱ)由于,所以,
故当时,等价于,①
令,则,
由(Ⅰ)知,函数在单调递增,而,,
所以在存在唯一零点,故在存在唯一零点,
设此零点为,则,
当时,;当时,,
所以在的最小值是,
又,可得,所以,
由于①等价于,故整数的最大值为.
2.(2013新课标全国卷1文21,本小题满分12分)
已知函数,曲线在点处切线方程为
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)讨论的单调性,并求的极大值.
解:(Ⅰ),
由此得,,故,
从而,;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
令得,或,
从而当时,;当时,,
故在,单调递增,在单调递减,
当时,函数取得极大值,极大值是.
3.(2013新课标Ⅱ卷文21,本小题满分12分)
己知函数.
(Ⅰ)求的极小值和极大值;
(Ⅱ)当曲线的切线的斜率为负数时,求在轴上截距的取值范围.
解:(Ⅰ)定义域是,,①
当或时,;当时,,
所以故在,单调递减,在单调递增,
故当时,取得极小值,极小值是,
当时,取得极大值,极大值是,
(Ⅱ)设切点是,则的方程是,
所以在轴上截距是,
由已知和①得,,
令,则当时,的取值范围为,
当时,的取值范围为,
所以时,的取值范围为,
综上,在轴上截距的取值范围.
4.(2014新课标全国卷1文21,本小题满分12分)
设函数,曲线在点处的切线斜率为.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若存在,使得,求的取值范围.
解:(Ⅰ),由题设知,解得.
(Ⅱ)的定义域为,由(Ⅰ)知,,
(Ⅰ)若,则,当时,,在单调递增,
所以,存在,使得的充要条件为,
即,解得.
(Ⅱ)若,则,故当时,;
当时,,在单调递减,在单调递增.
所以,存在,使得的充要条件为,
而,所以不合题意.
(ⅡⅠ)若,则.
综上,的取值范围是.
5.(2014新课标Ⅱ卷文21,本小题满分12分)
已知函数,曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)证明:当时,曲线与直线只有一个交点.
解:(Ⅰ),,
曲线在点处的切线方程为
由题设,所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,故
设,
由题设知,
当时,,单调递增,
,,所以在有唯一实根,
当时,因为,所以,
令,,
在单调递减,在单调递增,
所以,
所以在没有实根,
综上在有唯一实根,即曲线与直线只有一个交点.
6. (2015新课标全国卷1文21,本小题满分12分)设函数.
(1)讨论的导函数的零点的个数;
(2)证明:当时.
解:(I)的定义域为,.
当时,,没有零点;
当时,因为单调递增,单调递增,所以在单调递增.又,当b满足且时,,故当时,存在唯一零点.
(II)由(I),可设在的唯一零点为,当时,;
当时,.
故在单调递减,在单调递增,所以当时,取得最小值,最小值为.
由于,所以.
故当时,.
考点:常见函数导数及导数运算法则;函数的零点;利用导数研究函数图像与性质;利用导数证明不等式;运算求解能力.
7. (2016新课标全国卷1文21,本小题满分12分)已知函数.
(I)讨论的单调性; (II)若有两个零点,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
解:(Ⅰ)
(i)设,则当时,;当时,.
所以在单调递减,在单调递增.
(ii)设,由得x=1或x=ln(-2a).
①若,则,所以在单调递增.
②若,则ln(-2a)<1,故当时,;
当时,,所以在单调递增,在单调递减.
③若,则,故当时,,当时,,所以在单调递增,在单调递减.
(Ⅱ)(i)设,则由(I)知,在单调递减,在单调递增.
又,取b满足b<0且,
则,所以有两个零点.
(ii)设a=0,则所以有一个零点.
(iii)设a<0,若,则由(I)知,在单调递增.
又当时,<0,故不存在两个零点;若,则由(I)知,在单调递减,在单调递增.又当时<0,故不存在两个零点.
综上,a的取值范围为.
8. (2017新课标全国卷1文21,本小题满分12分)已知函数=ex(ex﹣a)﹣a2x.
(1)讨论的单调性;
(2)若,求a的取值范围.
解:(12分)(1)函数的定义域为,,
①若,则,在单调递增.
②若,则由得.
当时,;当时,,所以在单调递减,在单调递增.
③若,则由得.
当时,;当时,,故在单调递减,在单调递增.
(2)①若,则,所以.
②若,则由(1)得,当时,取得最小值,最小值为.从而当且仅当,即时,.
③若,则由(1)得,当时,取得最小值,最小值为.从而当且仅当,即时.
综上,的取值范围为.