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  • 2021-05-13 发布

全国高考文科导数大题官方解答

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‎2012--2017全国卷高考真题导数大题 ‎1.(2012新课标全国卷1文21,本小题满分12分)‎ 设函数.‎ ‎(Ⅰ)求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若,为整数,且当时,,求的最大值.‎ 解:(Ⅰ)定义域为,,‎ 若,则,所以在单调递增;‎ 若,则当时,;当时,,‎ 所以在,单调递减,在单调递增;‎ ‎(Ⅱ)由于,所以,‎ 故当时,等价于,①‎ 令,则,‎ 由(Ⅰ)知,函数在单调递增,而,,‎ 所以在存在唯一零点,故在存在唯一零点,‎ 设此零点为,则,‎ 当时,;当时,,‎ 所以在的最小值是,‎ 又,可得,所以,‎ 由于①等价于,故整数的最大值为.‎ ‎2.(2013新课标全国卷1文21,本小题满分12分)‎ 已知函数,曲线在点处切线方程为 ‎.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)讨论的单调性,并求的极大值.‎ 解:(Ⅰ),‎ 由此得,,故,‎ 从而,;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,‎ 令得,或,‎ 从而当时,;当时,,‎ 故在,单调递增,在单调递减,‎ 当时,函数取得极大值,极大值是.‎ ‎3.(2013新课标Ⅱ卷文21,本小题满分12分)‎ 己知函数.‎ ‎(Ⅰ)求的极小值和极大值;‎ ‎(Ⅱ)当曲线的切线的斜率为负数时,求在轴上截距的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)定义域是,,①‎ 当或时,;当时,,‎ 所以故在,单调递减,在单调递增,‎ 故当时,取得极小值,极小值是,‎ 当时,取得极大值,极大值是,‎ ‎(Ⅱ)设切点是,则的方程是,‎ 所以在轴上截距是,‎ 由已知和①得,,‎ 令,则当时,的取值范围为,‎ 当时,的取值范围为,‎ 所以时,的取值范围为,‎ 综上,在轴上截距的取值范围.‎ ‎4.(2014新课标全国卷1文21,本小题满分12分)‎ 设函数,曲线在点处的切线斜率为.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)若存在,使得,求的取值范围.‎ 解:(Ⅰ),由题设知,解得. ‎ ‎(Ⅱ)的定义域为,由(Ⅰ)知,,‎ ‎(Ⅰ)若,则,当时,,在单调递增,‎ 所以,存在,使得的充要条件为,‎ 即,解得.‎ ‎(Ⅱ)若,则,故当时,;‎ 当时,,在单调递减,在单调递增.‎ 所以,存在,使得的充要条件为,‎ 而,所以不合题意.‎ ‎(ⅡⅠ)若,则.‎ 综上,的取值范围是.‎ ‎5.(2014新课标Ⅱ卷文21,本小题满分12分)‎ 已知函数,曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)证明:当时,曲线与直线只有一个交点.‎ 解:(Ⅰ),,‎ 曲线在点处的切线方程为 由题设,所以.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,故 ‎ 设,‎ 由题设知,‎ 当时,,单调递增,‎ ‎,,所以在有唯一实根,‎ 当时,因为,所以,‎ 令,,‎ 在单调递减,在单调递增,‎ 所以,‎ 所以在没有实根,‎ 综上在有唯一实根,即曲线与直线只有一个交点.‎ ‎6. (2015新课标全国卷1文21,本小题满分12分)设函数.‎ ‎(1)讨论的导函数的零点的个数;‎ ‎(2)证明:当时.‎ 解:(I)的定义域为,.‎ 当时,,没有零点;‎ 当时,因为单调递增,单调递增,所以在单调递增.又,当b满足且时,,故当时,存在唯一零点.‎ ‎(II)由(I),可设在的唯一零点为,当时,;‎ 当时,.‎ 故在单调递减,在单调递增,所以当时,取得最小值,最小值为.‎ 由于,所以.‎ 故当时,.‎ 考点:常见函数导数及导数运算法则;函数的零点;利用导数研究函数图像与性质;利用导数证明不等式;运算求解能力.‎ ‎7. (2016新课标全国卷1文21,本小题满分12分)已知函数.‎ ‎(I)讨论的单调性; (II)若有两个零点,求的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)‎ 解:(Ⅰ)‎ ‎(i)设,则当时,;当时,.‎ 所以在单调递减,在单调递增.‎ ‎(ii)设,由得x=1或x=ln(-2a).‎ ①若,则,所以在单调递增.‎ ‎②若,则ln(-2a)<1,故当时,;‎ 当时,,所以在单调递增,在单调递减.‎ ‎③若,则,故当时,,当时,,所以在单调递增,在单调递减.‎ ‎(Ⅱ)(i)设,则由(I)知,在单调递减,在单调递增.‎ 又,取b满足b<0且,‎ 则,所以有两个零点.‎ ‎(ii)设a=0,则所以有一个零点.‎ ‎(iii)设a<0,若,则由(I)知,在单调递增.‎ 又当时,<0,故不存在两个零点;若,则由(I)知,在单调递减,在单调递增.又当时<0,故不存在两个零点.‎ 综上,a的取值范围为.‎ ‎8. (2017新课标全国卷1文21,本小题满分12分)已知函数=ex(ex﹣a)﹣a2x.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)若,求a的取值范围.‎ 解:(12分)(1)函数的定义域为,,‎ ‎①若,则,在单调递增.‎ ‎②若,则由得.‎ 当时,;当时,,所以在单调递减,在单调递增.‎ ‎③若,则由得.‎ 当时,;当时,,故在单调递减,在单调递增.‎ ‎(2)①若,则,所以.‎ ‎②若,则由(1)得,当时,取得最小值,最小值为.从而当且仅当,即时,.‎ ‎③若,则由(1)得,当时,取得最小值,最小值为.从而当且仅当,即时.‎ 综上,的取值范围为.‎