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  • 2021-05-13 发布

山东省高考文科数学真题及答案

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‎2009年山东省高考数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.(5分)集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.4‎ ‎2.(5分)复数等于(  )‎ A.1+2i B.1﹣2i C.2+i D.2﹣i ‎3.(5分)将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是(  )‎ A.y=2cos2x B.y=2sin2x C. D.y=cos2x ‎4.(5分)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )‎ A.2π+2 B.4π+2 C.2π+ D.4π+‎ ‎5.(5分)在R上定义运算⊗:a⊗b=ab+2a+b,则满足x⊗(x﹣2)<0的实数x的取值范围为(  )‎ A.(0,2) B.(﹣2,1) C.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) D.(﹣1,2)‎ ‎6.(5分)函数y=的图象大致为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.(5分)定义在R上的函数f(x)满足,则f(2009)的值为(  )‎ A.﹣1 B.0 C.1 D.2‎ ‎8.(5分)设P是△ABC所在平面内的一点,,则(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.(5分)已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎10.(5分)设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为(  )‎ A.y2=±4x B.y2=4x C.y2=±8x D.y2=8x ‎11.(5分)在区间[﹣,]上随机取一个数x,cosx的值介于0到之间的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.(5分)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x﹣4)=﹣f(x)且在区间[0,2]上是增函数,则(  )‎ A.f(﹣25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<‎ f(﹣25) C.f(11)<f(80)<f(﹣25) D.f(﹣25)<f(80)<f(11)‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)‎ ‎13.(4分)在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=  .‎ ‎14.(4分)若函数f(x)=ax﹣x﹣a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是  .‎ ‎15.(4分)执行程序框图,输出的T=  .‎ ‎16.(4分)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为  元.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分74分)‎ ‎17.(12分)已知函数f(x)=2sinxcos2+cosxsinθ﹣sinx(0<θ<π),在x=π处取最小值.‎ ‎(Ⅰ)求θ的值;‎ ‎(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a=1,b=,f(A)=,求角C.‎ ‎18.(12分)如图,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1分别是棱AD,AA1的中点,F为AB的中点.证明:‎ ‎(1)EE1∥平面FCC1.‎ ‎(2)平面D1AC⊥平面BB1C1C.‎ ‎19.(12分)汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆);‎ 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 ‎100‎ ‎150‎ z 标准型 ‎300‎ ‎450‎ ‎600‎ 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.‎ ‎(Ⅰ)求z的值;‎ ‎(Ⅱ)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;‎ ‎(Ⅲ)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.‎ ‎20.(12分)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn),均在函数y=bx+r(b>0)且b≠1,b,r均为常数)的图象上.‎ ‎(1)求r的值;‎ ‎(2)当b=2时,记bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎21.(12分)已知函数,其中a≠0.‎ ‎(1)当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值?‎ ‎(2)已知a>0,且f(x)在区间(0,1]‎ 上单调递增,试用a表示出b的取值范围.‎ ‎22.(14分)设m∈R,在平面直角坐标系中,已知向量a=(mx,y+1),向量b=(x,y﹣1),a⊥b,动点M(x,y)的轨迹为E.‎ ‎(Ⅰ)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;‎ ‎(Ⅱ)已知m=.证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OA⊥OB(O为坐标原点),并求该圆的方程;‎ ‎(Ⅲ)已知m=.设直线l与圆C:x2+y2=R2(1<R<2)相切于A1,且l与轨迹E只有一个公共点B1.当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.‎ ‎ ‎ ‎2009年山东省高考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.(5分)(2009•山东)集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.4‎ ‎【分析】根据题意,由并集的计算方法,结合a与a2的关系,易得,即可得答案.‎ ‎【解答】解:∵A={0,2,a},B={1,a2},A∪B={0,1,2,4,16}‎ ‎∴‎ ‎∴a=4,‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2009•山东)复数等于(  )‎ A.1+2i B.1﹣2i C.2+i D.2﹣i ‎【分析】将分子和分母同时乘以分母的共轭复数,再利用两个向量的乘法法则化简.‎ ‎【解答】解:复数===2+i,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2009•山东)将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是(  )‎ A.y=2cos2x B.y=2sin2x C. D.y=cos2x ‎【分析】按照向左平移,再向上平移,推出函数的解析式,即可.‎ ‎【解答】解:将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,‎ 得到函数=cos2x的图象,‎ 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为y=1+cos2x=2cos2x,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2009•山东)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )‎ A.2π+2 B.4π+2 C.2π+ D.4π+‎ ‎【分析】由三视图及题设条件知,此几何体为一个上部是四棱锥,下部是圆柱其高已知,底面是半径为1的圆,故分别求出两个几何体的体积,再相加即得组合体的体积.‎ ‎【解答】解:此几何体为一个上部是正四棱锥,下部是圆柱 由于圆柱的底面半径为1,其高为2,故其体积为π×12×2=2π 棱锥底面是对角线为2的正方形,故其边长为,其底面积为2,又母线长为2,‎ 故其高为 由此知其体积为=‎ 故组合体的体积为2π+‎ 故选C ‎ ‎ ‎5.(5分)(2009•山东)在R上定义运算⊗:a⊗b=ab+2a+b,则满足x⊗(x﹣2)<0的实数x的取值范围为(  )‎ A.(0,2) B.(﹣2,1) C.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) D.(﹣1,2)‎ ‎【分析】根据规定的新定义运算法则先把不等式化简,然后利用一元二次不等式求解集的方法求出x的范围即可.‎ ‎【解答】解:∵x⊙(x﹣2)=x(x﹣2)+2x+x﹣2<0,‎ ‎∴化简得x2+x﹣2<0即(x﹣1)(x+2)<0,‎ 得到x﹣1<0且x+2>0①或x﹣1>0且x+2<0②,解出①得﹣2<x<1;解出②得x>1且x<﹣2无解.‎ ‎∴﹣2<x<1.‎ 故选B ‎ ‎ ‎6.(5分)(2009•山东)函数y=的图象大致为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】欲判断图象大致图象,可从函数的定义域{x|x≠0}方面考虑,还可从函数的单调性(在函数当x>0时函数为减函数)方面进行考虑即可.‎ ‎【解答】解析:函数有意义,需使ex﹣e﹣x≠0,‎ 其定义域为{x|x≠0},排除C,D,‎ 又因为,‎ 所以当x>0时函数为减函数,故选A 答案:A.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2009•山东)定义在R上的函数f(x)满足,则f(2009)的值为(  )‎ A.﹣1 B.0 C.1 D.2‎ ‎【分析】本题考查的知识点是分段函数的性质及对数的运算性质,要求f(2009)的值,则函数的函数值必然呈周期性变化,由函数的解析式,我们列出函数的前若干项的值,然后归纳出函数的周期,即可求出f(2009)的值.‎ ‎【解答】解:由已知得f(﹣1)=log22=1,f(0)=0,‎ f(1)=f(0)﹣f(﹣1)=﹣1,‎ f(2)=f(1)﹣f(0)=﹣1,‎ f(3)=f(2)﹣f(1)=﹣1﹣(﹣1)=0,‎ f(4)=f(3)﹣f(2)=0﹣(﹣1)=1,‎ f(5)=f(4)﹣f(3)=1,‎ f(6)=f(5)﹣f(4)=0,‎ 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f(2009)=f(5)=1,故选C.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2009•山东)设P是△ABC所在平面内的一点,,则(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据所给的关于向量的等式,把等式右边二倍的向量拆开,一个移项一个和左边移来的向量进行向量的加减运算,变形整理,得到与选项中一致的形式,得到结果.‎ ‎【解答】解:∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2009•山东)已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【分析】判充要条件就是看谁能推出谁.由m⊥β,m为平面α内的一条直线,可得α⊥β;反之,α⊥β时,若m平行于α和β的交线,则m∥β,所以不一定能得到m⊥β.‎ ‎【解答】解:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线,且m⊥β,则α⊥β,反之,α⊥β时,若m平行于α和β的交线,则m∥β,所以不一定能得到m⊥β,‎ 所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2009•山东)设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为(  )‎ A.y2=±4x B.y2=4x C.y2=±8x D.y2=8x ‎【分析】先根据抛物线方程表示出F的坐标,进而根据点斜式表示出直线l的方程,求得A的坐标,进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积建立等式取得a,则抛物线的方程可得.‎ ‎【解答】解:抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F坐标为,‎ 则直线l的方程为,‎ 它与y轴的交点为A,‎ 所以△OAF的面积为,‎ 解得a=±8.‎ 所以抛物线方程为y2=±8x,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)(2009•山东)在区间[﹣,]上随机取一个数x,cosx的值介于0到之间的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】求出所有的基本事件构成的区间长度;通过解三角不等式求出事件“cos x的值介于0到”构成的区间长度,利用几何概型概率公式求出事件的概率.‎ ‎【解答】解:所有的基本事件构成的区间长度为 ‎∵解得或 ‎∴“cos x的值介于0到”包含的基本事件构成的区间长度为 由几何概型概率公式得 cos x的值介于0到之间的概率为P=‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2009•山东)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x﹣4)=﹣f(x)且在区间[0,2]上是增函数,则(  )‎ A.f(﹣25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(﹣25) C.f(11)<f(80)<f(﹣25) D.f(﹣25)<f(80)<f(11)‎ ‎【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可.‎ ‎【解答】解:∵f(x﹣4)=﹣f(x),‎ ‎∴f(x﹣8)=﹣f(x﹣4)=f(x),‎ 即函数的周期是8,‎ 则f(11)=f(3)=﹣f(3﹣4)=﹣f(﹣1)=f(1),‎ f(80)=f(0),‎ f(﹣25)=f(﹣1),‎ ‎∵f(x)是奇函数,且在区间[0,2]上是增函数,‎ ‎∴f(x)在区间[﹣2,2]上是增函数,‎ ‎∴f(﹣1)<f(0)<f(1),‎ 即f(﹣25)<f(80)<f(11),‎ 故选:D ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)‎ ‎13.(4分)(2009•山东)在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6= 13 .‎ ‎【分析】根据等差数列的性质可知第五项减去第二项等于公差的3倍,由a5=a2+6得到3d等于6,然后再根据等差数列的性质得到第六项等于第三项加上公差的3倍,把a3的值和3d的值代入即可求出a6的值.‎ ‎【解答】解:由a5=a2+6得到a5﹣a2=3d=6,‎ 所以a6=a3+3d=7+6=13‎ 故答案为:13‎ ‎ ‎ ‎14.(4分)(2009•山东)若函数f(x)=ax﹣x﹣a(a>0,且a≠‎ ‎1)有两个零点,则实数a的取值范围是 (1,+∞) .‎ ‎【分析】根据题设条件,分别作出令g(x)=ax(a>0,且a≠1),h(x)=x+a,分0<a<1,a>1两种情况的图象,结合图象的交点坐标进行求解.‎ ‎【解答】解:令g(x)=ax(a>0,且a≠1),h(x)=x+a,分0<a<1,a>1两种情况.‎ 在同一坐标系中画出两个函数的图象,如图,若函数f(x)=ax﹣x﹣a有两个不同的零点,则函数g(x),h(x)的图象有两个不同的交点.根据画出的图象只有当a>1时符合题目要求.‎ 故答案为:(1,+∞)‎ ‎ ‎ ‎15.(4分)(2009•山东)执行程序框图,输出的T= 30 .‎ ‎【分析】本题首先分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环计算并输出变量T的值,模拟程序的运行,运行过程中各变量的值进行分析,不难得到输出结果.‎ ‎【解答】解:按照程序框图依次执行为S=5,n=2,T=2;‎ S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;‎ S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30.‎ 故答案为:30.‎ ‎ ‎ ‎16.(4分)(2009•山东)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为 2300 元.‎ ‎【分析】本题考查的知识点是简单的线性规划的应用,根据已知条件中甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,我们可以列出满足条件的约束条件,及目标函数,然后利用线性规划,求出最优解.‎ ‎【解答】解:设需租赁甲种设备x天,乙种设备y天,‎ 则 目标函数为z=200x+300y.‎ 作出其可行域,易知当x=4,y=5时,z=200x+300y有最小值2300元.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分74分)‎ ‎17.(12分)(2009•山东)已知函数f(x)=2sinxcos2+cosxsinθ﹣sinx(0<θ<π),在x=π处取最小值.‎ ‎(Ⅰ)求θ的值;‎ ‎(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a=1,b=,f(A)=,求角C.‎ ‎【分析】(Ⅰ)把函数解析式中第一项利用二倍角的余弦函数公式化简后,利用两角和的正弦函数公式化简,由函数在x=π处取最小值,把x=π代入到化简后的式子中并令f(x)等于﹣1,得到sinθ的值,然后利用θ的范围及特殊角的三角函数值即可求出θ的度数;‎ ‎(Ⅱ)把θ的值代入到f(x)中化简可得f(x)的解析式,然后把x等于A代入解析式,利用其值等于,根据A的范围,利用特殊角的三角函数值求出A的度数,然后由a,b和sinA的值,利用正弦定理即可求出sinB的值,根据B的范围和特殊角的三角函数值即可求出B的度数,根据三角形的内角和定理即可求出C的度数.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)f(x)=2sinx ‎=sinx+sinxcosθ+cosxsinθ﹣sinx ‎=sin(x+θ).‎ 因为 f(x)在x=π时取最小值,‎ 所以 sin(π+θ)=﹣1,‎ 故 sinθ=1.‎ 又 0<θ<π,所以θ=;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=sin(x+)=cosx.‎ 因为f(A)=cosA=,‎ 且A为△ABC的角,‎ 所以A=.‎ 由正弦定理得 sinB==,‎ 又b>a,‎ 所以 B=时,,‎ 当B=时,C=π﹣A﹣B=π﹣.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2009•山东)如图,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1分别是棱AD,AA1的中点,F为AB的中点.证明:‎ ‎(1)EE1∥平面FCC1.‎ ‎(2)平面D1AC⊥平面BB1C1C.‎ ‎【分析】(1)法一:由EE1∥A1D⇒EE1∥F1C⇒EE1∥平面FCC1.即用利用线线平行来推线面平行.‎ 法二:由平面ADD1A1∥平面FCC1⇒EE1∥平面FCC1.即用利用面面平行来推线面平行.‎ ‎(2)先证AC⊥BC,又由AC⊥CC1⇒AC⊥平面BB1C1C⇒平面D1AC⊥平面BB1C1C.即利用线线垂直来推线面垂直再推2面面垂直.‎ ‎【解答】证明:(1)证法一:取A1B1的中点为F1,‎ 连接FF1,C1F1,‎ 由于FF1∥BB1∥CC1,‎ 所以F1∈平面FCC1F1,‎ 因为平面FCC1F1即为平面C1CFF1,‎ 连接A1D,F1C,‎ 由于A1F1和D1C1和CD平行且相等.‎ 所以 四边形A1DCF1为平行四边形,‎ 因为 A1D∥F1C.‎ 又 EE1∥A1D,‎ 得EE1∥F1C,‎ 而 EE1⊄平面FCC1F1,F1C⊂平面FCC1F1,‎ 故 EE1∥平面FCC1F1.‎ 证法二:因为F为AB的中点,CD=2,AB=4,AB∥CD,‎ 所以CD∥AF,‎ 因此 四边形AFCD为平行四边形,‎ 所以 AD∥FC.‎ 又 CC1∥DD1,FC∩CC1=C,‎ FC⊂平面FCC1,CC1⊂平面FCC1F1,‎ 所以 平面ADD1A1∥平面FCC1F1,‎ 又 EE1⊂平面ADD1A1,‎ 所以 EE1∥平面FCC1.‎ ‎( 2)证明:连接AC,连△FBC中,FC=BC=FB,‎ 又 F为AB的中点,‎ 所以 AF=FC=FB,‎ 因此∠ACB=90°,‎ 即 AC⊥BC.‎ 又 AC⊥CC1,且CC1∩BC=C,‎ 所以 AC⊥平面BB1C1C,‎ 而 AC⊂平面D1AC,‎ 故 平面D1AC⊥平面BB1C1C.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2009•山东)汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆);‎ 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 ‎100‎ ‎150‎ z 标准型 ‎300‎ ‎450‎ ‎600‎ 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.‎ ‎(Ⅰ)求z的值;‎ ‎(Ⅱ)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;‎ ‎(Ⅲ)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆,得每个个体被抽到的概率,列出关系式,得到n的值 ‎(Ⅱ)由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的事件数和满足条件的事件数,可以通过列举数出结果,根据古典概型的概率公式得到结果.‎ ‎(Ⅲ)首先做出样本的平均数,做出试验发生包含的事件数,和满足条件的事件数,根据古典概型的概率公式得到结果.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设该厂这个月共生产轿车n辆,‎ 由题意得=,‎ ‎∴n=2000,‎ ‎∴z=2000﹣(100+300)﹣150﹣450﹣600=400.‎ ‎(Ⅱ)设所抽样本中有a辆舒适型轿车,‎ 由题意,得a=2.‎ 因此抽取的容量为5的样本中,‎ 有2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车.‎ 用A1,A2表示2辆舒适型轿车,‎ 用B1,B2,B3表示3辆标准轿车,‎ 用E表示事件“在该样本中任取2辆,其中至少有1辆舒适型轿车”,‎ 则基本事件空间包含的基本事件有:‎ ‎(A1,A2),(A1B1),(A1B2),‎ ‎(A1,B3,),(A2,B1),(A2,B2)(A2,B3),‎ ‎(B1B2),(B1,B3,),(B2,B3),共10个,‎ 事件E包含的基本事件有:‎ ‎(A1A2),(A1,B1,),(A1,B2),(A1,B3),‎ ‎(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共7个,‎ 故 P(E)=,‎ 即所求概率为.‎ ‎(Ⅲ)样本平均数=(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.‎ 设D表示事件“从样本中任取一数,‎ 该数与样本平均数之差的绝对不超过0.5”,‎ 则基本事件空间中有8个基本事件,‎ 事件D包括的基本事件有:9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共6个,‎ ‎∴P(D)=,即所求概率为.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2009•山东)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn),均在函数y=bx+r(b>0)且b≠1,b,r均为常数)的图象上.‎ ‎(1)求r的值;‎ ‎(2)当b=2时,记bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【分析】(1)由“对任意的n∈N+,点(n,Sn),均在函数y=bx+r(b>0,且b≠‎ ‎1,b,r均为常数)的图象上”可得到Sn=bn+r,依次求出a1、a2、a3,由等比数列的性质(a2)2=a1×a3,解可得答案.‎ ‎(2)结合(1)可知an=(b﹣1)bn﹣1=2n﹣1,从而bn=,符合一个等差数列与等比数列相应项之积的形式,用错位相减法求解即可.‎ ‎【解答】解:(1)因为对任意的n∈N+,点(n,Sn),均在函数y=bx+r(b>0,且b≠1,b,r均为常数)的图象上.‎ 所以得Sn=bn+r,‎ 当n=1时,a1=S1=b+r,‎ a2=S2﹣S1=b2+r﹣(b1+r)=b2﹣b1=(b﹣1)b,‎ a3=S3﹣S2=b3+r﹣(b2+r)=b3﹣b2=(b﹣1)b2,‎ 又因为{an}为等比数列,所以(a2)2=a1×a3,则[(b﹣1)b]2=(b﹣1)b2×(b+r)‎ 解可得r=﹣1,‎ ‎(2)当b=2时,an=(b﹣1)bn﹣1=2n﹣1,bn=‎ 则Tn=‎ Tn=‎ 相减,得Tn=‎ ‎+=‎ 所以Tn=‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2009•山东)已知函数,其中a≠0.‎ ‎(1)当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值?‎ ‎(2)已知a>0,且f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围.‎ ‎【分析】(1)对函数求导,由题意可得f′(x)=0有解,由a≠0,分a>0,a<0讨论可求解 ‎(2)f(x)在区间(0,1]上单调递增,可得f′(x)≥0在[0,1]上恒成立,从而转化为求函数的最值,可求解.‎ ‎【解答】解:(1)由已知得f′(x)=ax2+2bx+1,‎ 令f′(x)=0,得ax2+2bx+1=0,‎ f(x)要取得极值,方程ax2+2bx+1=0,必须有解,‎ 所以△=4b2﹣4a>0,即b2>a,‎ 此时方程ax2+2bx+1=0的根为 x1==,x2==,‎ 所以f′(x)=a(x﹣x1)(x﹣x2)‎ 当a>0时,‎ x ‎(﹣∞,x1)‎ x1‎ ‎(x1,x2)‎ x2‎ ‎(x2,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎ 增函数 极大值 ‎ 减函数 极小值 ‎ 增函数 所以f(x)在x1,x2处分别取得极大值和极小值.‎ 当a<0时,‎ x ‎(﹣∞,x2)‎ x2‎ ‎(x2,x1)‎ x1‎ ‎(x1,+∞)‎ f′(x)‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ f(x)‎ 减函数 极小值 ‎ 增函数 极大值 ‎ 减函数 所以f(x)在x1,x2处分别取得极大值和极小值.‎ 综上,当a,b满足b2>a时,f(x)取得极值.‎ ‎(2)要使f(x)在区间(0,1]上单调递增,需使f′(x)=ax2+2bx+1≥0在(0,1]上恒成立.‎ 即b≥﹣﹣,x∈(0,1]恒成立,‎ 所以b≥﹣‎ 设g(x)=﹣﹣,g′(x)=﹣+=﹣,‎ 令g′(x)=0得x=或x=﹣(舍去),‎ 当a>1时,0<<1,当x∈(0,]时g′(x)>0,g(x)=﹣﹣单调增函数;‎ 当x∈(,1]时g′(x)<0,g(x)=﹣﹣单调减函数,‎ 所以当x=时,g(x)取得最大,最大值为g()=﹣.‎ 所以b≥﹣‎ 当0<a≤1时,≥1,‎ 此时g′(x)≥0在区间(0,1]恒成立,‎ 所以g(x)=﹣﹣在区间(0,1]上单调递增,当x=1时g(x)最大,最大值为g(1)=﹣,‎ 所以b≥﹣‎ 综上,当a>1时,b≥﹣;‎ ‎0<a≤1时,b≥﹣;‎ ‎ ‎ ‎22.(14分)(2009•山东)设m∈R,在平面直角坐标系中,已知向量a=(mx,y+1),向量b=(x,y﹣1),a⊥b,动点M(x,y)的轨迹为E.‎ ‎(Ⅰ)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;‎ ‎(Ⅱ)已知m=.证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OA⊥OB(O为坐标原点),并求该圆的方程;‎ ‎(Ⅲ)已知m=.设直线l与圆C:x2+y2=R2(1<R<2)相切于A1,且l与轨迹E只有一个公共点B1.当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.‎ ‎【分析】(1)由a⊥b,所以a•b=0,代入坐标化简整理即得轨迹E的方程mx2+y2=1.‎ 此为二元二次曲线,可分m=0、m=1、m>0且m≠1和m<0四种情况讨论;‎ ‎(2)当m=时,轨迹E的方程为=1,表示椭圆,设圆的方程为x2+y2=r2(0<r<1),‎ 当切线斜率存在时,可设圆的任一切线方程为y=kx+t,由直线和圆相切可得k和t的关系,‎ 由OA⊥OB,所以x1x2+y1y1=0,只需联立直线和圆的方程,消元,维达定理,又可以得到k和t的关系,这样就可解出r.‎ 当切线斜率不存在时,代入检验即可.‎ ‎(3)因为l与圆C相切,故△OA1B1为直角△,故|A1B1|2=|OB1|2﹣|OA1|2,只需求出OB1和OA1的长度即可,‎ 直线l与圆C相切,且与椭圆相切找出关系,将|A1B1|表示为R的函数,转化为函数求最值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)因为a⊥b,‎ 所以a•b=0,即(mx,y+1)•(x,y﹣1)=0,‎ 故mx2+y2﹣1=0,即mx2+y2=1.‎ 当m=0时,该方程表示两条直线;‎ 当m=1时,该方程表示圆;‎ 当m>0且m≠1时,该方程表示椭圆;‎ 当m<0时,该方程表示双曲线.‎ ‎(Ⅱ)当时,轨迹E的方程为,‎ 设圆的方程为x2+y2=r2(0<r<1),当 切线斜率存在时,可设圆的任一切线方程为y=kx+t,‎ A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 所以,‎ 即t2=r2(1+k2).①‎ 因为OA⊥OB,‎ 所以x1x2+y1y1=0,‎ 即x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0,‎ 整理得(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0.②‎ 由方程组 消去y得 ‎(1+4k2)x2+8ktx+4t2﹣4=0.③‎ 由韦达定理 代入②式并整理得 ‎(1+k2),‎ 即5t2=4+4k2.‎ 结合①式有5r2=4,r=,‎ 当切线斜率不存在时,x2+y2=也满足题意,‎ 故所求圆的方程为x2+y2=.‎ ‎(Ⅲ)显然,直线l的斜率存在,‎ 设l的方程y=k1x+t1,B1(x3,y3)‎ 轨迹E的方程为.‎ 由直线l与圆相切得t12=R2(1+k12),‎ 且对应③式有△=(8k1t1)2﹣4(1+4k12)(4t12﹣4)=0,‎ 即t12=1+4k12,‎ 由方程组,‎ 解得 当l与轨迹E只有一个公共点时,对应的方程③应有两个相等的.‎ 由韦达定理x32===,‎ 又B1在椭圆上,‎ 所以,‎ 因为l与圆C相切,‎ 所以|A1B1|2=|OB1|2﹣|OA1|2=x32+y32﹣R2‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=≤,‎ 其中,等号成立的条件 ‎,‎ ‎.‎ 即故当时,|A1B1|的最大值为1.‎ ‎ ‎