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2009年山东省高考数学试卷(文科)
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.(5分)集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.4
2.(5分)复数等于( )
A.1+2i B.1﹣2i C.2+i D.2﹣i
3.(5分)将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( )
A.y=2cos2x B.y=2sin2x C. D.y=cos2x
4.(5分)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.2π+2 B.4π+2 C.2π+ D.4π+
5.(5分)在R上定义运算⊗:a⊗b=ab+2a+b,则满足x⊗(x﹣2)<0的实数x的取值范围为( )
A.(0,2) B.(﹣2,1) C.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) D.(﹣1,2)
6.(5分)函数y=的图象大致为( )
A. B. C. D.
7.(5分)定义在R上的函数f(x)满足,则f(2009)的值为( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
8.(5分)设P是△ABC所在平面内的一点,,则( )
A. B. C. D.
9.(5分)已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10.(5分)设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )
A.y2=±4x B.y2=4x C.y2=±8x D.y2=8x
11.(5分)在区间[﹣,]上随机取一个数x,cosx的值介于0到之间的概率为( )
A. B. C. D.
12.(5分)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x﹣4)=﹣f(x)且在区间[0,2]上是增函数,则( )
A.f(﹣25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<
f(﹣25) C.f(11)<f(80)<f(﹣25) D.f(﹣25)<f(80)<f(11)
二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)
13.(4分)在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6= .
14.(4分)若函数f(x)=ax﹣x﹣a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是 .
15.(4分)执行程序框图,输出的T= .
16.(4分)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为 元.
三、解答题(共6小题,满分74分)
17.(12分)已知函数f(x)=2sinxcos2+cosxsinθ﹣sinx(0<θ<π),在x=π处取最小值.
(Ⅰ)求θ的值;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a=1,b=,f(A)=,求角C.
18.(12分)如图,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1分别是棱AD,AA1的中点,F为AB的中点.证明:
(1)EE1∥平面FCC1.
(2)平面D1AC⊥平面BB1C1C.
19.(12分)汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆);
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.
(Ⅰ)求z的值;
(Ⅱ)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;
(Ⅲ)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
20.(12分)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn),均在函数y=bx+r(b>0)且b≠1,b,r均为常数)的图象上.
(1)求r的值;
(2)当b=2时,记bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.
21.(12分)已知函数,其中a≠0.
(1)当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值?
(2)已知a>0,且f(x)在区间(0,1]
上单调递增,试用a表示出b的取值范围.
22.(14分)设m∈R,在平面直角坐标系中,已知向量a=(mx,y+1),向量b=(x,y﹣1),a⊥b,动点M(x,y)的轨迹为E.
(Ⅰ)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
(Ⅱ)已知m=.证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OA⊥OB(O为坐标原点),并求该圆的方程;
(Ⅲ)已知m=.设直线l与圆C:x2+y2=R2(1<R<2)相切于A1,且l与轨迹E只有一个公共点B1.当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.
2009年山东省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.(5分)(2009•山东)集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.4
【分析】根据题意,由并集的计算方法,结合a与a2的关系,易得,即可得答案.
【解答】解:∵A={0,2,a},B={1,a2},A∪B={0,1,2,4,16}
∴
∴a=4,
故选D.
2.(5分)(2009•山东)复数等于( )
A.1+2i B.1﹣2i C.2+i D.2﹣i
【分析】将分子和分母同时乘以分母的共轭复数,再利用两个向量的乘法法则化简.
【解答】解:复数===2+i,
故选C.
3.(5分)(2009•山东)将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( )
A.y=2cos2x B.y=2sin2x C. D.y=cos2x
【分析】按照向左平移,再向上平移,推出函数的解析式,即可.
【解答】解:将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,
得到函数=cos2x的图象,
再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为y=1+cos2x=2cos2x,
故选A.
4.(5分)(2009•山东)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.2π+2 B.4π+2 C.2π+ D.4π+
【分析】由三视图及题设条件知,此几何体为一个上部是四棱锥,下部是圆柱其高已知,底面是半径为1的圆,故分别求出两个几何体的体积,再相加即得组合体的体积.
【解答】解:此几何体为一个上部是正四棱锥,下部是圆柱
由于圆柱的底面半径为1,其高为2,故其体积为π×12×2=2π
棱锥底面是对角线为2的正方形,故其边长为,其底面积为2,又母线长为2,
故其高为
由此知其体积为=
故组合体的体积为2π+
故选C
5.(5分)(2009•山东)在R上定义运算⊗:a⊗b=ab+2a+b,则满足x⊗(x﹣2)<0的实数x的取值范围为( )
A.(0,2) B.(﹣2,1) C.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) D.(﹣1,2)
【分析】根据规定的新定义运算法则先把不等式化简,然后利用一元二次不等式求解集的方法求出x的范围即可.
【解答】解:∵x⊙(x﹣2)=x(x﹣2)+2x+x﹣2<0,
∴化简得x2+x﹣2<0即(x﹣1)(x+2)<0,
得到x﹣1<0且x+2>0①或x﹣1>0且x+2<0②,解出①得﹣2<x<1;解出②得x>1且x<﹣2无解.
∴﹣2<x<1.
故选B
6.(5分)(2009•山东)函数y=的图象大致为( )
A. B. C. D.
【分析】欲判断图象大致图象,可从函数的定义域{x|x≠0}方面考虑,还可从函数的单调性(在函数当x>0时函数为减函数)方面进行考虑即可.
【解答】解析:函数有意义,需使ex﹣e﹣x≠0,
其定义域为{x|x≠0},排除C,D,
又因为,
所以当x>0时函数为减函数,故选A
答案:A.
7.(5分)(2009•山东)定义在R上的函数f(x)满足,则f(2009)的值为( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
【分析】本题考查的知识点是分段函数的性质及对数的运算性质,要求f(2009)的值,则函数的函数值必然呈周期性变化,由函数的解析式,我们列出函数的前若干项的值,然后归纳出函数的周期,即可求出f(2009)的值.
【解答】解:由已知得f(﹣1)=log22=1,f(0)=0,
f(1)=f(0)﹣f(﹣1)=﹣1,
f(2)=f(1)﹣f(0)=﹣1,
f(3)=f(2)﹣f(1)=﹣1﹣(﹣1)=0,
f(4)=f(3)﹣f(2)=0﹣(﹣1)=1,
f(5)=f(4)﹣f(3)=1,
f(6)=f(5)﹣f(4)=0,
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f(2009)=f(5)=1,故选C.
故选C.
8.(5分)(2009•山东)设P是△ABC所在平面内的一点,,则( )
A. B. C. D.
【分析】根据所给的关于向量的等式,把等式右边二倍的向量拆开,一个移项一个和左边移来的向量进行向量的加减运算,变形整理,得到与选项中一致的形式,得到结果.
【解答】解:∵,
∴,
∴
∴
∴
故选B.
9.(5分)(2009•山东)已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】判充要条件就是看谁能推出谁.由m⊥β,m为平面α内的一条直线,可得α⊥β;反之,α⊥β时,若m平行于α和β的交线,则m∥β,所以不一定能得到m⊥β.
【解答】解:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线,且m⊥β,则α⊥β,反之,α⊥β时,若m平行于α和β的交线,则m∥β,所以不一定能得到m⊥β,
所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.
故选B.
10.(5分)(2009•山东)设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )
A.y2=±4x B.y2=4x C.y2=±8x D.y2=8x
【分析】先根据抛物线方程表示出F的坐标,进而根据点斜式表示出直线l的方程,求得A的坐标,进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积建立等式取得a,则抛物线的方程可得.
【解答】解:抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F坐标为,
则直线l的方程为,
它与y轴的交点为A,
所以△OAF的面积为,
解得a=±8.
所以抛物线方程为y2=±8x,
故选C.
11.(5分)(2009•山东)在区间[﹣,]上随机取一个数x,cosx的值介于0到之间的概率为( )
A. B. C. D.
【分析】求出所有的基本事件构成的区间长度;通过解三角不等式求出事件“cos x的值介于0到”构成的区间长度,利用几何概型概率公式求出事件的概率.
【解答】解:所有的基本事件构成的区间长度为
∵解得或
∴“cos x的值介于0到”包含的基本事件构成的区间长度为
由几何概型概率公式得
cos x的值介于0到之间的概率为P=
故选A.
12.(5分)(2009•山东)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x﹣4)=﹣f(x)且在区间[0,2]上是增函数,则( )
A.f(﹣25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(﹣25) C.f(11)<f(80)<f(﹣25) D.f(﹣25)<f(80)<f(11)
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可.
【解答】解:∵f(x﹣4)=﹣f(x),
∴f(x﹣8)=﹣f(x﹣4)=f(x),
即函数的周期是8,
则f(11)=f(3)=﹣f(3﹣4)=﹣f(﹣1)=f(1),
f(80)=f(0),
f(﹣25)=f(﹣1),
∵f(x)是奇函数,且在区间[0,2]上是增函数,
∴f(x)在区间[﹣2,2]上是增函数,
∴f(﹣1)<f(0)<f(1),
即f(﹣25)<f(80)<f(11),
故选:D
二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)
13.(4分)(2009•山东)在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6= 13 .
【分析】根据等差数列的性质可知第五项减去第二项等于公差的3倍,由a5=a2+6得到3d等于6,然后再根据等差数列的性质得到第六项等于第三项加上公差的3倍,把a3的值和3d的值代入即可求出a6的值.
【解答】解:由a5=a2+6得到a5﹣a2=3d=6,
所以a6=a3+3d=7+6=13
故答案为:13
14.(4分)(2009•山东)若函数f(x)=ax﹣x﹣a(a>0,且a≠
1)有两个零点,则实数a的取值范围是 (1,+∞) .
【分析】根据题设条件,分别作出令g(x)=ax(a>0,且a≠1),h(x)=x+a,分0<a<1,a>1两种情况的图象,结合图象的交点坐标进行求解.
【解答】解:令g(x)=ax(a>0,且a≠1),h(x)=x+a,分0<a<1,a>1两种情况.
在同一坐标系中画出两个函数的图象,如图,若函数f(x)=ax﹣x﹣a有两个不同的零点,则函数g(x),h(x)的图象有两个不同的交点.根据画出的图象只有当a>1时符合题目要求.
故答案为:(1,+∞)
15.(4分)(2009•山东)执行程序框图,输出的T= 30 .
【分析】本题首先分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环计算并输出变量T的值,模拟程序的运行,运行过程中各变量的值进行分析,不难得到输出结果.
【解答】解:按照程序框图依次执行为S=5,n=2,T=2;
S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;
S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30.
故答案为:30.
16.(4分)(2009•山东)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为 2300 元.
【分析】本题考查的知识点是简单的线性规划的应用,根据已知条件中甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,我们可以列出满足条件的约束条件,及目标函数,然后利用线性规划,求出最优解.
【解答】解:设需租赁甲种设备x天,乙种设备y天,
则
目标函数为z=200x+300y.
作出其可行域,易知当x=4,y=5时,z=200x+300y有最小值2300元.
三、解答题(共6小题,满分74分)
17.(12分)(2009•山东)已知函数f(x)=2sinxcos2+cosxsinθ﹣sinx(0<θ<π),在x=π处取最小值.
(Ⅰ)求θ的值;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a=1,b=,f(A)=,求角C.
【分析】(Ⅰ)把函数解析式中第一项利用二倍角的余弦函数公式化简后,利用两角和的正弦函数公式化简,由函数在x=π处取最小值,把x=π代入到化简后的式子中并令f(x)等于﹣1,得到sinθ的值,然后利用θ的范围及特殊角的三角函数值即可求出θ的度数;
(Ⅱ)把θ的值代入到f(x)中化简可得f(x)的解析式,然后把x等于A代入解析式,利用其值等于,根据A的范围,利用特殊角的三角函数值求出A的度数,然后由a,b和sinA的值,利用正弦定理即可求出sinB的值,根据B的范围和特殊角的三角函数值即可求出B的度数,根据三角形的内角和定理即可求出C的度数.
【解答】解:(Ⅰ)f(x)=2sinx
=sinx+sinxcosθ+cosxsinθ﹣sinx
=sin(x+θ).
因为 f(x)在x=π时取最小值,
所以 sin(π+θ)=﹣1,
故 sinθ=1.
又 0<θ<π,所以θ=;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=sin(x+)=cosx.
因为f(A)=cosA=,
且A为△ABC的角,
所以A=.
由正弦定理得 sinB==,
又b>a,
所以 B=时,,
当B=时,C=π﹣A﹣B=π﹣.
18.(12分)(2009•山东)如图,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1分别是棱AD,AA1的中点,F为AB的中点.证明:
(1)EE1∥平面FCC1.
(2)平面D1AC⊥平面BB1C1C.
【分析】(1)法一:由EE1∥A1D⇒EE1∥F1C⇒EE1∥平面FCC1.即用利用线线平行来推线面平行.
法二:由平面ADD1A1∥平面FCC1⇒EE1∥平面FCC1.即用利用面面平行来推线面平行.
(2)先证AC⊥BC,又由AC⊥CC1⇒AC⊥平面BB1C1C⇒平面D1AC⊥平面BB1C1C.即利用线线垂直来推线面垂直再推2面面垂直.
【解答】证明:(1)证法一:取A1B1的中点为F1,
连接FF1,C1F1,
由于FF1∥BB1∥CC1,
所以F1∈平面FCC1F1,
因为平面FCC1F1即为平面C1CFF1,
连接A1D,F1C,
由于A1F1和D1C1和CD平行且相等.
所以 四边形A1DCF1为平行四边形,
因为 A1D∥F1C.
又 EE1∥A1D,
得EE1∥F1C,
而 EE1⊄平面FCC1F1,F1C⊂平面FCC1F1,
故 EE1∥平面FCC1F1.
证法二:因为F为AB的中点,CD=2,AB=4,AB∥CD,
所以CD∥AF,
因此 四边形AFCD为平行四边形,
所以 AD∥FC.
又 CC1∥DD1,FC∩CC1=C,
FC⊂平面FCC1,CC1⊂平面FCC1F1,
所以 平面ADD1A1∥平面FCC1F1,
又 EE1⊂平面ADD1A1,
所以 EE1∥平面FCC1.
( 2)证明:连接AC,连△FBC中,FC=BC=FB,
又 F为AB的中点,
所以 AF=FC=FB,
因此∠ACB=90°,
即 AC⊥BC.
又 AC⊥CC1,且CC1∩BC=C,
所以 AC⊥平面BB1C1C,
而 AC⊂平面D1AC,
故 平面D1AC⊥平面BB1C1C.
19.(12分)(2009•山东)汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆);
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.
(Ⅰ)求z的值;
(Ⅱ)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;
(Ⅲ)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
【分析】(Ⅰ)根据用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆,得每个个体被抽到的概率,列出关系式,得到n的值
(Ⅱ)由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的事件数和满足条件的事件数,可以通过列举数出结果,根据古典概型的概率公式得到结果.
(Ⅲ)首先做出样本的平均数,做出试验发生包含的事件数,和满足条件的事件数,根据古典概型的概率公式得到结果.
【解答】解:(Ⅰ)设该厂这个月共生产轿车n辆,
由题意得=,
∴n=2000,
∴z=2000﹣(100+300)﹣150﹣450﹣600=400.
(Ⅱ)设所抽样本中有a辆舒适型轿车,
由题意,得a=2.
因此抽取的容量为5的样本中,
有2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车.
用A1,A2表示2辆舒适型轿车,
用B1,B2,B3表示3辆标准轿车,
用E表示事件“在该样本中任取2辆,其中至少有1辆舒适型轿车”,
则基本事件空间包含的基本事件有:
(A1,A2),(A1B1),(A1B2),
(A1,B3,),(A2,B1),(A2,B2)(A2,B3),
(B1B2),(B1,B3,),(B2,B3),共10个,
事件E包含的基本事件有:
(A1A2),(A1,B1,),(A1,B2),(A1,B3),
(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共7个,
故 P(E)=,
即所求概率为.
(Ⅲ)样本平均数=(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.
设D表示事件“从样本中任取一数,
该数与样本平均数之差的绝对不超过0.5”,
则基本事件空间中有8个基本事件,
事件D包括的基本事件有:9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共6个,
∴P(D)=,即所求概率为.
20.(12分)(2009•山东)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn),均在函数y=bx+r(b>0)且b≠1,b,r均为常数)的图象上.
(1)求r的值;
(2)当b=2时,记bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.
【分析】(1)由“对任意的n∈N+,点(n,Sn),均在函数y=bx+r(b>0,且b≠
1,b,r均为常数)的图象上”可得到Sn=bn+r,依次求出a1、a2、a3,由等比数列的性质(a2)2=a1×a3,解可得答案.
(2)结合(1)可知an=(b﹣1)bn﹣1=2n﹣1,从而bn=,符合一个等差数列与等比数列相应项之积的形式,用错位相减法求解即可.
【解答】解:(1)因为对任意的n∈N+,点(n,Sn),均在函数y=bx+r(b>0,且b≠1,b,r均为常数)的图象上.
所以得Sn=bn+r,
当n=1时,a1=S1=b+r,
a2=S2﹣S1=b2+r﹣(b1+r)=b2﹣b1=(b﹣1)b,
a3=S3﹣S2=b3+r﹣(b2+r)=b3﹣b2=(b﹣1)b2,
又因为{an}为等比数列,所以(a2)2=a1×a3,则[(b﹣1)b]2=(b﹣1)b2×(b+r)
解可得r=﹣1,
(2)当b=2时,an=(b﹣1)bn﹣1=2n﹣1,bn=
则Tn=
Tn=
相减,得Tn=
+=
所以Tn=
21.(12分)(2009•山东)已知函数,其中a≠0.
(1)当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值?
(2)已知a>0,且f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围.
【分析】(1)对函数求导,由题意可得f′(x)=0有解,由a≠0,分a>0,a<0讨论可求解
(2)f(x)在区间(0,1]上单调递增,可得f′(x)≥0在[0,1]上恒成立,从而转化为求函数的最值,可求解.
【解答】解:(1)由已知得f′(x)=ax2+2bx+1,
令f′(x)=0,得ax2+2bx+1=0,
f(x)要取得极值,方程ax2+2bx+1=0,必须有解,
所以△=4b2﹣4a>0,即b2>a,
此时方程ax2+2bx+1=0的根为
x1==,x2==,
所以f′(x)=a(x﹣x1)(x﹣x2)
当a>0时,
x
(﹣∞,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f′(x)
+
0
﹣
0
+
f(x)
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
所以f(x)在x1,x2处分别取得极大值和极小值.
当a<0时,
x
(﹣∞,x2)
x2
(x2,x1)
x1
(x1,+∞)
f′(x)
﹣
0
+
0
﹣
f(x)
减函数
极小值
增函数
极大值
减函数
所以f(x)在x1,x2处分别取得极大值和极小值.
综上,当a,b满足b2>a时,f(x)取得极值.
(2)要使f(x)在区间(0,1]上单调递增,需使f′(x)=ax2+2bx+1≥0在(0,1]上恒成立.
即b≥﹣﹣,x∈(0,1]恒成立,
所以b≥﹣
设g(x)=﹣﹣,g′(x)=﹣+=﹣,
令g′(x)=0得x=或x=﹣(舍去),
当a>1时,0<<1,当x∈(0,]时g′(x)>0,g(x)=﹣﹣单调增函数;
当x∈(,1]时g′(x)<0,g(x)=﹣﹣单调减函数,
所以当x=时,g(x)取得最大,最大值为g()=﹣.
所以b≥﹣
当0<a≤1时,≥1,
此时g′(x)≥0在区间(0,1]恒成立,
所以g(x)=﹣﹣在区间(0,1]上单调递增,当x=1时g(x)最大,最大值为g(1)=﹣,
所以b≥﹣
综上,当a>1时,b≥﹣;
0<a≤1时,b≥﹣;
22.(14分)(2009•山东)设m∈R,在平面直角坐标系中,已知向量a=(mx,y+1),向量b=(x,y﹣1),a⊥b,动点M(x,y)的轨迹为E.
(Ⅰ)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
(Ⅱ)已知m=.证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OA⊥OB(O为坐标原点),并求该圆的方程;
(Ⅲ)已知m=.设直线l与圆C:x2+y2=R2(1<R<2)相切于A1,且l与轨迹E只有一个公共点B1.当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.
【分析】(1)由a⊥b,所以a•b=0,代入坐标化简整理即得轨迹E的方程mx2+y2=1.
此为二元二次曲线,可分m=0、m=1、m>0且m≠1和m<0四种情况讨论;
(2)当m=时,轨迹E的方程为=1,表示椭圆,设圆的方程为x2+y2=r2(0<r<1),
当切线斜率存在时,可设圆的任一切线方程为y=kx+t,由直线和圆相切可得k和t的关系,
由OA⊥OB,所以x1x2+y1y1=0,只需联立直线和圆的方程,消元,维达定理,又可以得到k和t的关系,这样就可解出r.
当切线斜率不存在时,代入检验即可.
(3)因为l与圆C相切,故△OA1B1为直角△,故|A1B1|2=|OB1|2﹣|OA1|2,只需求出OB1和OA1的长度即可,
直线l与圆C相切,且与椭圆相切找出关系,将|A1B1|表示为R的函数,转化为函数求最值.
【解答】解:(Ⅰ)因为a⊥b,
所以a•b=0,即(mx,y+1)•(x,y﹣1)=0,
故mx2+y2﹣1=0,即mx2+y2=1.
当m=0时,该方程表示两条直线;
当m=1时,该方程表示圆;
当m>0且m≠1时,该方程表示椭圆;
当m<0时,该方程表示双曲线.
(Ⅱ)当时,轨迹E的方程为,
设圆的方程为x2+y2=r2(0<r<1),当
切线斜率存在时,可设圆的任一切线方程为y=kx+t,
A(x1,y1),B(x2,y2),
所以,
即t2=r2(1+k2).①
因为OA⊥OB,
所以x1x2+y1y1=0,
即x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0,
整理得(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0.②
由方程组
消去y得
(1+4k2)x2+8ktx+4t2﹣4=0.③
由韦达定理
代入②式并整理得
(1+k2),
即5t2=4+4k2.
结合①式有5r2=4,r=,
当切线斜率不存在时,x2+y2=也满足题意,
故所求圆的方程为x2+y2=.
(Ⅲ)显然,直线l的斜率存在,
设l的方程y=k1x+t1,B1(x3,y3)
轨迹E的方程为.
由直线l与圆相切得t12=R2(1+k12),
且对应③式有△=(8k1t1)2﹣4(1+4k12)(4t12﹣4)=0,
即t12=1+4k12,
由方程组,
解得
当l与轨迹E只有一个公共点时,对应的方程③应有两个相等的.
由韦达定理x32===,
又B1在椭圆上,
所以,
因为l与圆C相切,
所以|A1B1|2=|OB1|2﹣|OA1|2=x32+y32﹣R2
=
=
=≤,
其中,等号成立的条件
,
.
即故当时,|A1B1|的最大值为1.