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  • 2021-05-13 发布

2015高考数学第七章(不等式、推理与证明)一轮复习题

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第七章 章末检测 ‎(时间:120分钟 满分:150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.(2013·山东)设集合M={x|x2+x-6<0},N={x|1≤x≤3},则M∩N等于(  )‎ A.[1,2) B.[1,2]‎ C.(2,3] D.[2,3]‎ ‎2.(2013·商丘月考)下列命题中为真命题的是(  )‎ A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若|a|>b,则a2>b2‎ C.若a>b,则a2>b2‎ D.若a>|b|,则a2>b2‎ ‎3.若实数a、b满足a+b=2,则‎3a+3b的最小值是(  )‎ A.18 B.‎6 ‎ C.2 D.2 ‎4.不等式y≥|x|表示的平面区域是(  )‎ ‎5.(2013·北京)如果xn)都成立的是(  )‎ A.|an-am|< B.|an-am|> C.|an-am|< D.|an-am|> ‎9.今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人要用它称物体的重量,他将物体放在左右托盘各称一次,取两次称量结果分别为a、b.设物体的真实重量为G,则(  )‎ A.=G B.≤G C.>G D.0的解集是{x|x<-1或x>4},则实数a、b的值分别为________.‎ ‎14.(2013·陕西)如图,点(x,y)在四边形ABCD内部和边界上运动,那么2x-y的最小值为________.‎ ‎15.(2013·汤阴模拟)已知正数a、b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围为____________,a+b的取值范围是____________.‎ ‎16.(2013·山东)设函数f(x)=(x>0),观察:‎ f1(x)=f(x)=,‎ f2(x)=f(f1(x))=,‎ f3(x)=f(f2(x))=,‎ f4(x)=f(f3(x))=,‎ ‎……‎ 根据以上事实,由归纳推理可得:‎ 当n∈N*且n≥2时,fn(x)=f(fn-1(x))=________.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分)‎ ‎17.(10分)解关于x的不等式≤(其中a>0且a≠1).‎ ‎18.(12分)(2013·惠州月考)函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0.‎ ‎(1)求f(0);‎ ‎(2)求f(x);‎ ‎(3)当0ax-5恒成立,求a的取值范围.‎ ‎19.(12分)(2013·汕头月考)设数列{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.‎ ‎(1)求证:数列{Sn}不是等比数列;‎ ‎(2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么?‎ ‎20.(12分)(2013·嘉兴月考)某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%,投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?‎ ‎21.(12分)先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:‎ 已知a1,a2∈R,a1+a2=1,求证:a+a≥.‎ 证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2,‎ f(x)=2x2-2(a1+a2)x+a+a=2x2-2x+a+a.‎ 因为对一切x∈R,恒有f(x)≥0,所以Δ=4-8(a+a)≤0,从而得a+a≥.‎ ‎(1)若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,请写出上述问题的推广式;‎ ‎(2)参考上述证法,对你推广的问题加以证明.‎ ‎22.(12分)(2013·山东)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象上.‎ ‎(1)求r的值;‎ ‎(2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(n∈N*),‎ 证明:对任意的n∈N*,不等式··…·>成立.‎ 第七章 章末检测 ‎1.A [∵x2+x-6<0,∴-3=G.]‎ ‎10.D [∵M=(-1)(-1)(-1)‎ ‎=··≥··=8,‎ 当且仅当a=b=c=时,等号成立.‎ ‎∴M≥8.]‎ ‎11.A [当x=0时,对任意实数a,不等式都成立;‎ 当x≠0时,a≥-=-=f(x),‎ 问题等价于a≥f(x)max,∵f(x)max=-2,故a≥-2.‎ 综上可知,a的取值范围是[-2,+∞).]‎ ‎12.B [x2+2y2=(x2+2y2)·1=(x2+2y2)·=1+++2≥3+2 ‎=3+2,当且仅当=时等号成立.]‎ ‎13.-4,1‎ 解析 由题意知,-1、4为方程x2+(a+1)x+ab=0的两根,∴a+1=-3,ab=-4.∴a=-4,b=1.‎ ‎14.1‎ 解析 令b=2x-y,则y=2x-b,‎ 如图所示,作斜率为2的平行线y=2x-b,‎ 当经过点A时,直线在y轴上的截距最大,为-b,此时b=2x-y取得最小值,为b=2×1-1=1.‎ ‎15.[9,+∞) [6,+∞)‎ 解析 ∵a+b≥2,∴ab-3≥2.‎ 解得,≥3或≤-1(舍),∴ab≥9,‎ a+b=ab-3≥6.‎ ‎16. 解析 依题意,先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式,由1,3,7,15,…,可推知该数列的通项公式为an=2n-1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16,…,故其通项公式为bn=2n.‎ 所以当n≥2时,fn(x)=f(fn-1(x))=.‎ ‎17.解 ①当a>1时,有x-+1≤-1,‎ ‎∴x-+2≤0,∴≤0.‎ ‎∴≤0,∴x≤-3或01时,x∈(-∞,-3]∪(0,1];‎ 当0ax-5化为x2+x-2>ax-5,ax0且b≠1,‎ 所以n≥2时,{an}是以b为公比的等比数列.‎ 又a1=b+r,a2=b(b-1),‎ 所以=b,所以r=-1.(5分)‎ ‎(2)证明 由(1)知an=2n-1,因此bn=2n(n∈N*),‎ 所证不等式为··…·>.‎ ‎(6分)‎ ‎①当n=1时,左式=,右式=.‎ 左式>右式,所以结论成立,(7分)‎ ‎②假设n=k(k∈N*)时结论成立,即··…·>,则当n=k+1时,‎ ··…·>· ‎=要证当n=k+1时结论成立,‎ 只需证≥,‎ 即证≥,‎ 由均值不等式=≥成立,‎ 所以,当n=k+1时,结论成立.(11分)‎ 由①②可知,n∈N*时,不等式··…·>成立.(12分)‎