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  • 2021-05-13 发布

高考数学总复习指数函数对数函数及幂函数

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第二章 函数与导数第9课时 指数函数、对数函数及幂函数(3) (对应学生用书(文)、(理)24~25页)‎ 考情分析 考点新知 ‎① 对数函数在高考中的考查主要是图象和性质,同时考查数学思想方法,以考查分类讨论及运算能力为主;考查形式主要是填空题,同时也有综合性较强的解答题出现,目的是结合其他章节的知识,综合进行考查.‎ ‎② 幂函数的考查较为基础,以常见的5种幂函数为载体,考查求值、单调性、奇偶性、最值等问题是高考命题的出发点.‎ 理解对数函数的概念;理解对数函数的单调性;掌握对数函数图象通过的特殊点.‎ ‎② 知道对数函数是一类重要的函数模型.‎ ‎③ 了解指数函数y=ax与对数函数y=logax的相互关系(a>0,a≠1).‎ ‎④ 了解幂函数的概念,结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x-2的图象,了解它们的变化情况.‎ ‎1. (必修1P112测试8改编)已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1),若f(2)>f(3),则实数a的取值范围是________.‎ 答案:(0,1)‎ 解析:因为f(2)>f(3),所以f(x)=logax单调递减,则a∈(0,1).‎ ‎2. (必修1P89练习3改编)若幂函数y=f(x)的图象经过点,则f(25)=________.‎ 答案: 解析:设f(x)=xα,则=9α,∴ α=-,即f(x)=x-,f(25)=.‎ ‎3. (必修1P111习题15改编)函数f(x)=ln是________(填“奇”或“偶”)函数.‎ 答案:奇 解析:因为f(-x)=ln=ln=-ln=-f(x),所以f(x)是奇函数.‎ ‎4. (必修1P87习题13改编)不等式lg(x-1)<1的解集为________. ‎ 答案:(1,11)‎ 解析:由00,a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).‎ ‎2. 对数函数的图象与性质 a>1‎ ‎00;当0<x<1时,f(x)<0‎ ‎(4) 当x>1时,f(x)<0;当0<x<1时,f(x)>0‎ ‎(5) 是(0,+∞)上的增函数 ‎(5) 是(0,+∞)上的减函数 ‎3. 幂函数的定义 形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.‎ ‎4. 幂函数的图象 ‎5. 幂函数的性质 函数特 征性质 y=x y=x2‎ y=x3‎ y=x y=x-1‎ 定义域 R R R ‎{x|x≥0}‎ ‎{x|x∈R且x≠0}‎ 值域 R ‎{y|y≥0}‎ R ‎{y|y≥0}‎ ‎{y|y∈R且y≠0}‎ 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 ‎(-∞,0]减,‎ ‎[0,+∞)增 增 增 ‎(-∞,0)减,(0,+∞)减 定点 ‎(1,1)‎ ‎[备课札记]‎ 题型1 对数函数的概念与性质 例1 (1) 设a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差是,则a=________;‎ ‎(2) 若a=log0.40.3,b=log54,c=log20.8,用小于号“<”将a、b、c连结起来________;‎ ‎(3) 设f(x)=lg是奇函数,则使f(x)<0的x的取值范围是________;‎ ‎(4) 已知函数f(x)=|log2x|,正实数m、n满足m1,∴ 函数f(x)=logax在区间[a,2a]上是增函数,∴ loga2a-logaa=,∴ a=4.‎ ‎(2) 由于a>1,01,且mn=1,所以f(m2)=|log2m2|=2,解得m=,‎ 所以n=2.‎ ‎(1) 设loga<1,则实数a的取值范围是________;‎ ‎(2) 已知函数f(x)=lg(x2+t)的值域为R,则实数t的取值范围是________;‎ ‎(3) 若函数f(x)=loga|x+1|在(-1,0)上有f(x)>0,则函数f(x)的单调减区间是________;‎ ‎(4) 若函数f(x)=log(x2-2ax+3)在(-∞,1]内为增函数,则实数a的取值范围是________.‎ 答案:(1) 0<a<或a>1 (2) a≤0 (3) (-1,+∞) (4) [1,2)‎ 解析:(1) 分a>1与a<1两种情形进行讨论.‎ ‎(2) 值域为R等价于x2+a可以取一切正实数.‎ ‎(3) 函数f(x)的图象是由y=loga|x|的图象向左平移1个单位得到,∴ 03-2a>0或0>a+1>3-2a或a+1<0<3-2a.‎ 解得a<-1或0,则方程(a-1)t2-at-1=0有且只有一个正根.‎ ‎①a=1t=-,不合题意;②a≠1时,Δ=0a=或-3.若a=t=-2,不合题意,若a=-3t=;③a≠1时,Δ>0,一个正根与一个负根,即<0a>1.‎ 综上,实数a的取值范围是{-3}∪(1,+∞).‎ 已知函数f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0).‎ ‎(1) 求函数y=f(x)的定义域;‎ ‎(2) 在函数y=f(x)的图象上是否存在不同的两点,使过此两点的直线平行于x轴;‎ ‎(3) 当a、b满足什么关系时,f(x)在区间上恒取正值.‎ 解:(1) 由ax-bx>0,得x>1,因为a>1>b>0,所以>1,所以x>0,即函数f(x)的定义域为(0,+∞).‎ ‎(2) 设x1>x2>0,因为a>1>b>0,所以ax1>ax2,bx1-bx2,所以ax1-bx1>ax2-bx2>0,于是lg(ax1-bx1)>lg(ax2-bx2),即f(x1)>f(x2),因此函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.假设函数y=f(x)的图象上存在不同的两点A(x1,y1)、B(x2,y2),使得直线AB平行于x轴,即x1≠x2,y1=y2,这与f(x)是增函数矛盾.故函数y=f(x)的图象上不存在不同的两点,使过此两点的直线平行于x轴.‎ ‎(3) 由(2)知,f(x)在区间(1,+∞)上是增函数,所以当x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1),故只需f(1)≥0,即lg(a-b)≥0,即a-b≥1,所以当a≥b+1时,f(x)在区间(1,+∞)上恒取正值.‎ ‎1. (2013·南师大模拟)已知函数f(x)=log2x-2log2(x+c),其中c>0,若对任意x∈(0,+∞),都有f(x)≤1,则c的取值范围是________.‎ 答案:c≥ 解析:由题意,在x∈(0,+∞)上恒成立,所以c≥.‎ ‎2. (2013·辽宁)已知函数f(x)=ln+1,则f(lg2)+f=________.‎ 答案:2‎ 解析:f(x)+f(-x)=ln(-3x)+ln(+3x)+2=ln(1+9x2-9x2)+2=2,所以f(lg2)+f=f(lg2)+f(-lg2)=2.‎ ‎3. (2013·江西检测)已知x+(log0.5)-y<(-y)+(log0.5)x,则实数x、y的关系为________.‎ 答案:x+y<0‎ 解析:由x+(log0.5)-y<(-y)+(log0.5)x,得x-(log0.5)x<(-y)-(log0.5)-y.设f(x)=x-(log0.5)x,则f(x)0,由af2(x)≥f(x)-1,得a≥=-=-≤(当且仅当f(x)=2时等号成立),所以实数a的最小值为.‎ ‎1. 若函数f(x)=log2|ax-1|(a>0),当x≠时,有f(x)=f(1-x),则a=________.‎ 答案:2‎ 解析:由f(x)=f(1-x),知函数f(x)的图象关于x=对称,‎ 而f(x)=log2+log2|a|,从而=,所以a=2.‎ ‎2. 已知函数f(x)=x,x∈[-1,8],函数g(x)=ax+2,x∈[-1,8],若存在x∈[-1,8],使f(x)=g(x)成立,则实数a的取值范围是________.‎ 答案:∪[1,+∞)‎ 解析:分别作出函数f(x)=x,x∈[-1,8]与函数g(x)=ax+2,x∈[-1,8]的图象.当直线经过点(-1,1)时,a=1;当直线经过点(8,4)时,a=.结合图象有a≤或a≥1.‎ ‎3. 已知函数f(x)=|lgx|,若0f(1) =1+2=3,即a+2b的取值范围是(3,+∞).‎ ‎4. 已知两条直线l1:y=m和l2:y=,l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A、B,l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C、D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b.当m变化时,求的最小值.‎ 解:由题意得xA=m,xB=2m,xC=,xD=2,所以a=|xA-xC|=,b=|xB-xD|=,即==2·2m=2+m.‎ 因为+m=(2m+1)+-≥2-=,当且仅当(2m+1)=‎ ,即m=时取等号.所以,的最小值为2=8.‎ ‎1. 指数函数的底数、对数函数的底数、真数应满足的条件,是求解有关指数、对数问题时必须予以重视的,如果底数含有参数,一般需分类讨论.‎ ‎2. 与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 ‎(1) 确定定义域;‎ ‎(2) 把复合函数分解为几个初等函数;‎ ‎(3) 确定各个基本初等函数的单调区间;‎ ‎(4) 根据“同增异减”判断复合函数的单调性.‎