全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全04导数及其应用 30页

‎2009年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 ‎（04导数及其应用）‎ 一、选择题：‎ ‎1.（2009安徽文、理）设＜b,函数的图像可能是（ C ）‎ 高.考.资.源.网 ‎1. [解析]：，由得，∴当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负。故选C。‎ 或当时，当时，选C ‎2.（2009安徽理）已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是高.考.资.源.网 ‎（A） （B） （C） （D）高.考.资.源.网 ‎2. [解析]：由得，‎ 即，∴∴，∴切线方程为 ‎，即选A ‎3. （2009安徽文）设函数，其中，则导数的取值范围是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.【解析】‎ ‎，选D。‎ ‎4. (2009福建理)等于 A． B. 2 C. -2 D. +2‎ ‎4． [解析]∵.故选D ‎5. (2009广东文)函数的单调递增区间是 A. B.（0，3） C. （1，4） D. ‎ ‎5．解：，令，解得x>2,故答D。‎ ‎6．(2009广东理)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是 A．在时刻，甲车在乙车前面 B．时刻后，甲车在乙车后面 C．在时刻，两车的位置相同 D．时刻后，乙车在甲车前面 ‎6. 解：因为速度函数是路程函数的导函数，即，所以，‎ ‎ 根据定积分的定义，比较图中速度曲线分别与x轴及直线，‎ 围成的图形的面积，即可看出，应选A。‎ ‎7. (2009湖北理)设球的半径为时间t的函数。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径 A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C ‎ C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C ‎ ‎7. 【解析】由题意可知球的体积为，则，由此可得，而球的表面积为，‎ 所以，‎ 即，故选D ‎8．(2009湖南文)若函数的导函数在区间上是增函数，‎ 则函数a b a b a o x o x y b a o x y o x y b 在区间上的图象可能是【 A 】‎ y A ． B． C． D．‎ ‎8. 解: 因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上 各点处的斜率是递增的，由图易知选A. 注意C中为常数噢.‎ ‎9. (2009湖南理) 设函数在（，+）内有定义。对于给定的正数K，定义函数 ‎ ‎ 取函数=。若对任意的，恒有=，则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A．K的最大值为2 B. K的最小值为2‎ C．K的最大值为1 D. K的最小值为1 【D】‎ ‎9.【解析】由知，所以时，，当时，，所以即的值域是，而要使在上恒成立，结合条件分别取不同的值，可得D符合，此时。故选D项。‎ ‎10．(2009江西文)若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 ‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎10. 【解析】设过的直线与相切于点，所以切线方程为 即，又在切线上，则或，‎ 当时，由与相切可得，‎ 当时，由与相切可得，所以选.‎ ‎11．(2009江西理)设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为 A．　　　B．　　　C．　　　　D．‎ ‎11.【解析】由已知，而，所以故选A ‎12. (2009辽宁理)曲线y= 在点（1，－1）处的切线方程为 ‎（A）y=x－2 (B) y=－3x+2 (C)y=2x－3 (D)y=－2x+1‎ ‎12.【解析】y’＝,当x＝1时切线斜率为k＝－2 【答案】D ‎13. (2009全国Ⅰ理) 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为( B ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2‎ ‎13. 解:设切点，则,又 ‎.故答案选B w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎14. (2009全国Ⅱ理)曲线在点处的切线方程为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎14. 解：,‎ 故切线方程为,即 故选B.‎ ‎15．(2009陕西文)设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为 ‎(A) (B) (C) (D) 1‎ ‎ ‎ ‎15. 解析: 对,令得在点（1，1）处的切线的斜率,在点 ‎（1，1）处的切线方程为,不妨设,则, 故选 B.‎ ‎16. (2009天津文)设函数f(x)在R上的导函数为f’(x),且2f(x)+xf’(x)>x,x下面的不等式在R内恒成立的是 A B C D ‎16.【答案】A ‎ 【解析】由已知，首先令 ，排除B，D。然后结合已知条件排除C,得到A ‎【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力。‎ ‎17. (2009天津理)设函数则 A在区间内均有零点。 B在区间内均无零点。‎ C在区间内有零点，在区间内无零点。‎ D在区间内无零点，在区间内有零点。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎17. 【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。‎ 解析：由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择D。‎ 二、填空题：‎ ‎1．(2009北京理)_________.‎ ‎1.【解析】本题主要考极限的基本运算，其中重点考查如何约去“零因子”. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ ，故应填.‎ ‎2．(2009北京理)设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在处的切线的斜率为_________.‎ ‎ ‎ ‎2.【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率 的概念. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ 取，如图，采用数形结合法，‎ 易得该曲线在处的切线的斜率为.‎ 故应填.‎ ‎3. (2009福建文)若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .‎ ‎3. 解析 解析：由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。‎ 解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填 或是。‎ 解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得 ‎4. (2009福建理)若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.‎ ‎4. 【答案】：‎ ‎ 解析：由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，‎ 所以。‎ ‎5. (2009海南、宁夏文)曲线在点（0,1）处的切线方程为 。‎ ‎5．【答案】‎ ‎【解析】，斜率k＝＝3，所以，y－1＝3x，即 ‎6. (2009江苏)函数的单调减区间为 ▲ . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎6. 【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。‎ ‎，‎ 由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。‎ ‎7. (2009江苏)在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 ▲ . ‎ ‎7. 【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎，又点P在第二象限内，点P的坐标为（-2，15）‎ ‎8. (2009辽宁文)若函数在处取极值，则 ‎ ‎8.【解析】f’(x)＝‎ ‎ f’(1)＝＝0 Þ a＝3‎ ‎【答案】3‎ ‎9．(2009陕西理)设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎9. 答案：-2‎ 三、解答题：‎ ‎1．(2009安徽文)（本小题满分14分）‎ ‎ 已知函数，a＞0， ‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性； ‎ ‎（Ⅱ）设a=3，求在区间{1，}上值域。期中e=2.71828…是自然对数的底数。‎ ‎1.【解析】(1)由于 令 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎①当,即时, 恒成立.‎ 在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数.‎ ‎②当,即时 由得或 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 或或 又由得 综上①当时, 在上都是增函数.‎ ‎②当时, 在上是减函数,‎ 在上都是增函数.‎ ‎(2)当时,由(1)知在上是减函数.‎ 在上是增函数.‎ 又 函数在上的值域为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎2. （2009安徽理）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数，讨论的单调性.‎ 本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。‎ ‎2. 解：的定义域是(0,+),‎ 设,二次方程的判别式.‎ ① 当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。‎ ② 当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ③ 当，即时，‎ 方程有两个不同的实根,,.‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎_‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增 此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.‎ ‎3．(2009北京文)（本小题共14分）‎ 设函数。‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点。‎ ‎3.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．‎ ‎（Ⅰ）,‎ ‎∵曲线在点处与直线相切，‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）∵,‎ 当时，，函数在上单调递增，‎ 此时函数没有极值点.‎ 当时，由，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 当时，，函数单调递增，‎ ‎∴此时是的极大值点，是的极小值点.‎ ‎4．(2009北京理)（本小题共13分）‎ 设函数 ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎4.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．‎ ‎（Ⅰ）,‎ ‎ 曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅱ）由，得，‎ ‎ 若，则当时，，函数单调递减，‎ ‎ 当时，，函数单调递增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 若，则当时，，函数单调递增，‎ ‎ 当时，，函数单调递减，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，‎ 即时，函数内单调递增，‎ 若，则当且仅当，‎ 即时，函数内单调递增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.‎ ‎5．(2009福建文)（本小题满分12分）‎ 已知函数且 ‎ （I）试用含的代数式表示；‎ ‎ （Ⅱ）求的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ （Ⅲ）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；‎ ‎5. 解法一：‎ ‎（I）依题意，得 ‎ 由得 ‎（Ⅱ）由（I）得（‎ ‎ 故 ‎ 令，则或 ‎ ①当时，‎ ‎ 当变化时，与的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ ‎+‎ ‎—‎ ‎+‎ 单调递增 单调递减 单调递增 由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为 ‎②由时，，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R ‎③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为 综上：‎ 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；‎ 当时，函数的单调增区间为R；‎ 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为 ‎（Ⅲ）当时，得 ‎ 由，得 ‎ 由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为 ‎ 所以函数在处取得极值。‎ ‎ 故 ‎ 所以直线的方程为 ‎ 由得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 令 ‎ 易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线，‎ ‎ 故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点 解法二：‎ ‎（I）同解法一 ‎（Ⅱ）同解法一。‎ ‎（Ⅲ）当时，得，由，得 由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，‎ 故 所以直线的方程为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 由得 解得 所以线段与曲线有异于的公共点 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎6、(2009福建理)（本小题满分14分）‎ 已知函数,且 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；‎ ‎（2）令,设函数在处取得极值，记点M (,)，N(,‎ ‎)，P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：‎ ‎（I）若对任意的m (, x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；‎ ‎（II）若存在点Q(n ,f(n)), x n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎6.解法一:‎ ‎(Ⅰ)依题意,得 由.‎ 从而 令 ‎①当a>1时, ‎ 当x变化时，与的变化情况如下表：‎ x ‎+‎ ‎－‎ ‎+‎ 单调递增 单调递减 单调递增 由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。‎ ‎②当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R ‎③当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为 综上：‎ 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；‎ 当时，函数的单调增区间为R；‎ 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.‎ ‎(Ⅱ)由得令得 由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）。‎ 观察的图象，有如下现象：‎ ‎①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。‎ ‎②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－的m正负有着密切的关联；‎ ‎③Kmp－=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；‎ 线段MP的斜率Kmp 当Kmp－=0时，解得 直线MP的方程为 令 当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线 没有异于M，P的公共点。‎ 当时，.‎ 所以存在使得 即当MP与曲线有异于M,P的公共点 综上，t的最小值为2.‎ ‎（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为 解法二：‎ ‎（1）同解法一.‎ ‎（2）由得，令，得 由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N()‎ ‎ (Ⅰ) 直线MP的方程为 由 得 线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数 上有零点.‎ 因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.‎ 又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.‎ 等价于 即 又因为,所以m 的取值范围为(2,3)‎ 从而满足题设条件的r的最小值为2.‎ ‎7．(2009广东文、理)（本小题满分14分）‎ 已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值。设函数 （1） 若曲线上的点P到点的距离的最小值为，求的值；‎ ‎（2） 如何取值时，函数存在零点，并求出零点。‎ ‎7.解：设二次函数的解析式为 ‎ 则它的导函数为，‎ ‎∵ 函数的图像与直线平行，‎ ‎∴ 2a=2，解得a=1,‎ 所以 ，‎ ‎∵在处取得极小值 ‎∴，即，解得。‎ 所以 ，=（）‎ ‎（1）设点点P（，）为曲线上的任意一点 则点P到点的距离为 由基本不等式定理可知，‎ 当且仅当时，等号“=”成立，此时=‎ 又已知点P到点的距离的最小值为，所以令 两边平方整理， 得 当时，，解得 当时，，解得 所以，的值为或者；‎ ‎（2）函数令=（）‎ 令，即（），‎ 整理，得（），①‎ 函数存在零点，等价于方程①有非零实数根，‎ 由可知，方程①不可能有零根，‎ 当k=1 时，方程①变为，解得，方程①有唯一实数根，‎ ‎ 此时， 函数存在唯一的零点；‎ 当k≠1 时，方程①根的判别式为，‎ ‎ 令=0，解得，‎ 方程①有两个相等的实数根，‎ ‎ 此时， 函数存在唯一的零点；‎ 令>0，得m(1-k)<1 ,‎ 当m>0时，解得，‎ 当m<0时，解得，‎ 以上两种情况下，方程①都有两个不相等的实数根 ‎，‎ ‎ 此时， 函数存在两个零点 ‎，‎ 综上所述，函数存在零点的情况可概括为 当k=1 时，函数存在唯一的零点；‎ 当时，函数存在唯一的零点；‎ 当 m>0且，或者m<0且时，函数存在两个零点 ‎，。‎ ‎8. (2009海南、宁夏文)（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ (1) 设，求函数的极值；‎ (2) 若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.‎ 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎8. 解：‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，对函数求导数，得 ‎ 令 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 列表讨论的变化情况：‎ ‎（-1，3）‎ ‎3‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值6‎ 极小值-26‎ 所以，的极大值是，极小值是 ‎（Ⅱ）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.‎ 若上是增函数，从而w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 上的最小值是最大值是 由于是有w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 由 所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 若a>1,则不恒成立.‎ 所以使恒成立的a的取值范围是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎9. (2009海南、宁夏理)（本小题满分12分）‎ 已知函数 （I） 如，求的单调区间；‎ （II） 若在单调增加，在单调减少，证明 ‎＜6. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ‎ ‎9. 解：‎ ‎（Ⅰ）当时，，故w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 当 当 从而单调减少.‎ ‎(Ⅱ)‎ 由条件得：从而 因为所以 ‎ ‎ 将右边展开，与左边比较系数得，故 又由此可得 于是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。‎ ‎10. (2009湖北文)（本小题满分14分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 已知关于x的函数f(x)＝＋bx2＋cx＋bc,其导函数为f+(x).令g(x)＝∣f+(x) ∣,记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M.‎ ‎ (Ⅰ)如果函数f(x)在x＝1处有极值-，试确定b、c的值： ‎ ‎ （Ⅱ）若∣b∣>1,证明对任意的c,都有M>2: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ (Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。‎ ‎10．本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和份额类讨论的思想（满分14分）‎ ‎（I）解：，由在处有极值 可得 解得或 若，则，此时没有极值；‎ 若，则 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ 极小值 极大值 当时，有极大值，故，即为所求。‎ ‎（Ⅱ）证法1：‎ 当时，函数的对称轴位于区间之外。‎ 在上的最值在两端点处取得 故应是和中较大的一个 即 证法2（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，‎ 在上的最值在两端点处取得。‎ 故应是和中较大的一个 假设，则 ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 将上述两式相加得：‎ ‎，导致矛盾，‎ ‎（Ⅲ）解法1：‎ ‎（1）当时，由（Ⅱ）可知；‎ ‎（2）当时，函数）的对称轴位于区间内，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 此时 由有 ‎①若则，‎ 于是 ‎②若，则 于是 综上，对任意的、都有 而当时，在区间上的最大值 故对任意的、恒成立的的最大值为。‎ 解法2：‎ ‎（1）当时，由（Ⅱ）可知；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（2）当时，函数的对称轴位于区间内，‎ 此时 ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎，即 下同解法1‎ ‎11. (2009湖北理) (本小题满分14分) （注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎ 在R上定义运算（b、c为实常数）。记，，.令.‎ 如果函数在处有极什,试确定b、c的值；‎ 求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点；‎ 记的最大值为.若对任意的b、c恒成立，试示的最大值。‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎11. 当解: 得对称轴x=b位于区间之外 此时 由 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ① 若 于是 ② 若，则，‎ 于是 综上，对任意的b、c都有 而当，时，在区间上的最大值 故对任意的b，c恒成立的k的最大值为 w.w.w.k.s.5 ‎ ‎12．(2009湖南文)（本小题满分13分）‎ 已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.‎ ‎（Ⅰ）求b的值；‎ ‎（Ⅱ）若在处取得最小值，记此极小值为，求的定义域和值域。‎ ‎12. 解: （Ⅰ）.因为函数的图象关于直线x=2对称，‎ 所以，于是 ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.‎ ‎（ⅰ）当c 12时，，此时无极值。 ‎ ‎（ii）当c<12时，有两个互异实根,.不妨设＜，则＜2＜.‎ 当x＜时，， 在区间内为增函数； ‎ 当＜x＜时，，在区间内为减函数;‎ 当时，，在区间内为增函数. ‎ 所以在处取极大值，在处取极小值.‎ 因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以.‎ 于是的定义域为.由 得.‎ 于是 .‎ 当时，所以函数 在区间内是减函数，故的值域为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎13. (2009湖南理)（本小题满分13分）‎ 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。‎ ‎ （Ⅰ）试写出关于的函数关系式；‎ ‎ （Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？‎ ‎13. 解 :（Ⅰ）设需要新建个桥墩，‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ （Ⅱ） 由（Ⅰ）知，‎ ‎ 令，得，所以=64‎ ‎ 当0<<64时<0， 在区间（0，64）内为减函数；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 当时，>0. 在区间（64，640）内为增函数，‎ 所以在=64处取得最小值，此时，‎ 故需新建9个桥墩才能使最小。‎ ‎14．(2009江西文)（本小题满分12分）‎ 设函数． ‎ ‎（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；‎ ‎（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围． ‎ ‎14. 解：(1) , ‎ ‎ 因为,, 即 恒成立, ‎ ‎ 所以 , 得，即的最大值为 ‎ (2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ;‎ ‎ 所以 当时,取极大值 ; ‎ ‎ 当时,取极小值 ;‎ ‎ 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.‎ ‎15．(2009江西理)（本小题满分12分）‎ 设函数 （1） 求函数的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ （2） 若，求不等式的解集．‎ ‎15. 解： (1) , 由,得 .‎ 因为 当时,； 当时,； 当时,；‎ 所以的单调增区间是:； 单调减区间是: .‎ (2) 由 ,‎ ‎ 得：. ‎ 故：当 时, 解集是：；‎ 当 时，解集是： ；‎ 当 时, 解集是：. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎16. (2009辽宁理)（本小题满分12分）‎ 已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。‎ ‎（1）讨论函数的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。‎ ‎16. 解：(1)的定义域为。‎ ‎2分 ‎（i）若即,则 故在单调增加。‎ ‎(ii)若,而,故,则当时，;‎ 当及时，‎ 故在单调减少，在单调增加。‎ ‎(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.‎ ‎(II)考虑函数 ‎ 则 由于11‎ ‎(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎20.‎ ‎ 解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。‎ 解： （I） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 由知，当时，，故在区间是增函数；‎ ‎ 当时，，故在区间是减函数；‎ ‎ 当时，，故在区间是增函数。‎ ‎ 综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。‎ ‎ （II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由假设知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 即 解得 10,因为n是正整数，故0