高考数学真题湖南卷数学文 12页

‎2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）‎ 数学（文史类）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．不等式的解集是 A． B．‎ C． D．‎ ‎2．若、、是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎3．设（），关于的方程（）有实数，则是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎4．在等比数列（）中，若，，则该数列的前10项和为 A． B． C． D．‎ ‎5．在（）的二次展开式中，若只有的系数最大，则 A．8 B．‎9 ‎ C．10 D．11‎ A B C F ‎6．如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是 A．与垂直 B．与垂直 C．与异面 D．与异面 ‎7．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2）．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是 A．‎48米 B．‎49米 C．‎50米 D．‎‎51米 ‎0.5%‎ ‎1%‎ ‎2%‎ 水位（米）‎ ‎30 31 32 33‎ ‎48 49 50 51‎ 图2‎ ‎8．函数的图象和函数的图象的交点个数是 A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．4‎ ‎9．设、分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是 A． B． C． D．‎ ‎10．设集合， 都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是 A．10 B．‎11 ‎ C．12 D．13‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．‎ ‎11．圆心为且与直线相切的圆的方程是 ．‎ ‎12．在中，角、、所对的边分别为、、，若，，‎ ‎，则 ．‎ ‎13．若，，则 ．‎ ‎14．设集合，，，‎ ‎（1）的取值范围是 ；‎ ‎（2）若，且的最大值为9，则的值是 ．‎ ‎15．棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，则球的表面积是 ；设分别是该正方体的棱、的中点，则直线被球截得的线段长为 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 已知函数．求：‎ ‎（1）函数的最小正周期；‎ ‎（2）函数的单调增区间．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．‎ ‎（1）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；‎ ‎（2）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ A B C Q P 如图3，已知直二面角，，，，，，直线和平面所成的角为．‎ ‎（1）证明；‎ ‎（2）求二面角的大小．‎ ‎19．（本小题满分13分）‎ 已知双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于两点，点的坐标是．‎ ‎（1）证明，为常数；‎ ‎（2）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程．‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 设是数列（）的前项和，，且，，．‎ ‎（1）证明：数列（）是常数数列；‎ ‎（2）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列（）中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项．‎ ‎21．（本小题满分13分）‎ 已知函数在区间，内各有一个极值点．‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．‎ ‎2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）‎ 数学（文史类）参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．D 2．B 3．A 4．B 5．C 6．D 7．C 8．C 9．D 10．B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．‎ ‎11． 12． 13．3‎ ‎14．（1）（2） 15．，‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．解：．‎ ‎（1）函数的最小正周期是；‎ ‎（2）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）．‎ ‎17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．‎ ‎（1）解法一：‎ 任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 所以该人参加过培训的概率是．‎ 解法二：‎ 任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 该人参加过两项培训的概率是．‎ 所以该人参加过培训的概率是．‎ ‎（2）解法一：‎ 任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是 ‎．‎ ‎3人都参加过培训的概率是．‎ 所以3人中至少有2人参加过培训的概率是．‎ 解法二：‎ 任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是．‎ ‎3人都没有参加过培训的概率是．‎ 所以3人中至少有2人参加过培训的概率是．‎ A B C Q P O H ‎18．解：（1）在平面内过点作于点，连结．‎ 因为，，所以，‎ 又因为，所以．‎ 而，所以，，从而，‎ 又，所以平面．‎ 因为平面，故．‎ ‎（2）解法一：由（1）知，，又，，，所以．‎ 过点作于点，连结，由三垂线定理知，．‎ 故是二面角的平面角．‎ 由（1）知，，所以是和平面所成的角，则，‎ 不妨设，则，．‎ 在中，，所以，‎ 于是在中，．‎ 故二面角的大小为．‎ 解法二：‎ 由（1）知，，，，故可以为原点，分别以直 线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）．‎ 因为，所以是和平面所成的角，则．‎ A B C Q P O x y z 不妨设，则，．‎ 在中，，‎ 所以．‎ 则相关各点的坐标分别是，，，．‎ 所以，．‎ 设是平面的一个法向量，由得 取，得．易知是平面的一个法向量．‎ 设二面角的平面角为，由图可知，．‎ 所以．‎ 故二面角的大小为．‎ ‎19．解：由条件知，设，．‎ ‎（1）当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，，‎ 此时．‎ 当不与轴垂直时，设直线的方程是．‎ 代入，有．‎ 则是上述方程的两个实根，所以，，‎ 于是 ‎．‎ 综上所述，为常数．‎ ‎（2）解法一：‎ 设，则，，，，‎ 由得：即 于是的中点坐标为．‎ 当不与轴垂直时，，即．‎ 又因为两点在双曲线上，所以，，‎ 两式相减得，‎ 即．‎ 将代入上式，化简得．‎ 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．‎ 所以点的轨迹方程是．‎ 解法二：‎ 同解法一得……………………………………①‎ 当不与轴垂直时，由（1）有．…………………②‎ ‎．………………………③‎ 由①②③得．…………………………………………………④‎ ‎．……………………………………………………………………⑤‎ 当时，，由④⑤得，，‎ 将其代入⑤有．整理得．‎ 当时，点的坐标为，满足上述方程．‎ 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．‎ 故点的轨迹方程是．‎ ‎20．解：（1）当时，由已知得．‎ 因为，所以． …………………………①‎ 于是． …………………………………………………②‎ 由②－①得：．……………………………………………③‎ 于是．……………………………………………………④‎ 由④－③得：．…………………………………………………⑤‎ 即数列（）是常数数列．‎ ‎（2）由①有，所以．‎ 由③有，所以，‎ 而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列．‎ 所以，，．‎ 由题设知，．当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项．‎ 若是数列中的第项，由得，取，得，此时，由，得，，从而是数列中的第项．‎ ‎（注：考生取满足，的任一奇数，说明是数列中的第项即可）‎ ‎21．解：（1）因为函数在区间，内分别有一个极值点，‎ 所以在，内分别有一个实根，‎ 设两实根为（），则，且．‎ 于是，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．‎ ‎（2）解法一：‎ 由知在点处的切线的方程是，‎ 即，‎ 因为切线在点处穿过的图象，‎ 所以在两边附近的函数值异号，‎ 则不是的极值点．‎ 而，‎ 且．‎ 若，则和都是的极值点．‎ 所以，即，‎ 又由，得，故．‎ 解法二：‎ 同解法一得．‎ 因为切线在点处穿过的图象，‎ 所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）．‎ 当时，，当时，；‎ 或当时，，当时，．‎ 设，则 当时，，当时，；‎ 或当时，，当时，．‎ 由知是的一个极值点，则，所以，‎ 又由，得，故．‎