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- 2021-05-13 发布
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第26课 导数的综合问题
1.(2019福建高考)已知,,且.现给出如下结论:
其中正确结论的序号是
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
【答案】C.
【解析】∵,
令,解得或,
当时,;当时,;当时,,
∴时,有极大值,当时,有极小值,
∵函数有三个零点,
∴,且,
又∵,∴,即,
2.(2019陕西高考)设函数,是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域,则在上的最大值为 .
【答案】2
【解析】函数在点处的切线为
,即.
∴D表示的平面区域如图,
当目标函数直线经过点时有最大值,
最大值为.
3.(2019门头沟一模)已知函数.
(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)设,当时,若对任意,当时,恒成立,求实数的取值范围.
【解析】(1)
令,得,
当时,,函数在上单调减,
当时,,
在和上,有,函数单调减,
在上, ,函数单调增.
(2)当时,,
由(1)知,函数在上是单减,在上单调增,
∴函数在的最小值为,
若对任意,当时,恒成立,
只需当时,即可
代入解得,
∴实数的取值范围是.
4.(2019梅州一模)设函数,.
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数;
(3)如果对任意的都有成立,求实数的取值范围.
【解析】(1)当时,,
∴在处的切线方程为.
(2),使得成立,
等价于,
-
+
极小值
由上表可知,,
∴满足条件的最大整数
(3) 对任意的都有成立,等价于:
在区间上,函数的最小值不小于的最大值.
有(2)知,在区间上,的最大值为,
,等价于恒成立,
记,,,
记,,
由于,∴,
∴在上递减,
当时,,时,,
即函数在区间上递增,在上递减,
5.(2019陕西高考)设函数.
(1)设,证明:在区间内存在唯一的零点;
(2)设为偶数,,求的最小值和最大值;
(3)设,若对任意,有,求的取值范围.
【解析】(1)当时,,
∴在区间内存在零点.
又∵,,
∴在区间上是单调的,
∴在区间内存在唯一的零点.
(2)由题意,知,
∴的最小值为,最大值为.
(3)当时,.
对任意,有,
等价于在上的最大值与最小值之差,
据此分类讨论如下:
(ⅰ)当,即时,,与题设矛盾;
(ⅱ)当,即时,
恒成立;
(ⅲ)当,即时,
恒成立;
综上可知,.
6.(2019汕头二模)设函数.其中.
(1)若函数在处取得极值,求的值;
(2)已知函数有三个不同的零点,分别为,,,且,若对任意的,恒成立,求的取值范围.
【解析】(1)∵,
∵函数在处取得极值,
∴,解得.
(2)设
∴有两相异实根,,
∴,且,
∴(舍去),或.
若,则,
而,不合题意;
若,则对任意的,有,,
则,又,
∴在的最小值为0,
于是对任意的,恒成立的充要条件是
,解得,
综上,的取值范围是.