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  • 2021-05-13 发布

2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)

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‎2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.(5.00分)已知集合A={0,2},B={﹣2,﹣1,0,1,2},则A∩B=(  )‎ A.{0,2} B.{1,2} C.{0} D.{﹣2,﹣1,0,1,2}‎ ‎2.(5.00分)设z=+2i,则|z|=(  )‎ A.0 B. C.1 D.‎ ‎3.(5.00分)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:‎ 则下面结论中不正确的是(  )‎ A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 ‎4.(5.00分)已知椭圆C:+=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.(5.00分)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(  )‎ A.12π B.12π C.8π D.10π ‎6.(5.00分)设函数f(x)=x3+(a﹣1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(  )‎ A.y=﹣2x B.y=﹣x C.y=2x D.y=x ‎7.(5.00分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=(  )‎ A.﹣ B.﹣ C.+ D.+‎ ‎8.(5.00分)已知函数f(x)=2cos2x﹣sin2x+2,则(  )‎ A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3‎ B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4‎ C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3‎ D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4‎ ‎9.(5.00分)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为(  )‎ A.2 B.2 C.3 D.2‎ ‎10.(5.00分)在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为(  )‎ A.8 B.6 C.8 D.8‎ ‎11.(5.00分)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2α=,则|a﹣b|=(  )‎ A. B. C. D.1‎ ‎12.(5.00分)设函数f(x)=,则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,﹣1] B.(0,+∞) C.(﹣1,0) D.(﹣∞,0)‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.(5.00分)已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a=   .‎ ‎14.(5.00分)若x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最大值为   .‎ ‎15.(5.00分)直线y=x+1与圆x2+y2+2y﹣3=0交于A,B两点,则 ‎|AB|=   .‎ ‎16.(5.00分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2﹣a2=8,则△ABC的面积为   .‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(12.00分)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=.‎ ‎(1)求b1,b2,b3;‎ ‎(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;‎ ‎(3)求{an}的通项公式.‎ ‎18.(12.00分)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°,以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.‎ ‎(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;‎ ‎(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q﹣ABP的体积.‎ ‎19.(12.00分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:‎ 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 ‎ 日用水量 ‎[0,0.1)‎ ‎[0.1,0.2)‎ ‎[0.2,0.3)‎ ‎[0.3,0.4)‎ ‎[0.4,0.5)‎ ‎[0.5,0.6)‎ ‎[0.6,0.7)‎ 频数 ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎26‎ ‎5‎ 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 ‎[0,0.1)‎ ‎[0.1,0.2)‎ ‎[0.2,0.3)‎ ‎[0.3,0.4)‎ ‎[0.4,0.5)‎ ‎[0.5,0.6)‎ 频数 ‎1‎ ‎5‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎16‎ ‎5‎ ‎(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;‎ ‎(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率;‎ ‎(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)‎ ‎20.(12.00分)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(﹣2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.‎ ‎(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;‎ ‎(2)证明:∠ABM=∠ABN.‎ ‎21.(12.00分)已知函数f(x)=aex﹣lnx﹣1.‎ ‎(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)证明:当a≥时,f(x)≥0.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ ‎22.(10.00分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0.‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.‎ ‎[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ ‎23.已知f(x)=|x+1|﹣|ax﹣1|.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;‎ ‎(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.‎ ‎2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)‎ 参考答案与试题解析 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.(5.00分)已知集合A={0,2},B={﹣2,﹣1,0,1,2},则A∩B=(  )‎ A.{0,2} B.{1,2} C.{0} D.{﹣2,﹣1,0,1,2}‎ ‎【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可.‎ ‎【解答】解:集合A={0,2},B={﹣2,﹣1,0,1,2},‎ 则A∩B={0,2}.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查集合的基本运算,交集的求法,是基本知识的考查.‎ ‎2.(5.00分)设z=+2i,则|z|=(  )‎ A.0 B. C.1 D.‎ ‎【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后,然后求解复数的模.‎ ‎【解答】解:z=+2i=+2i=﹣i+2i=i,‎ 则|z|=1.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的模的求法,考查计算能力.‎ ‎3.(5.00分)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:‎ 则下面结论中不正确的是(  )‎ A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 ‎【分析】设建设前经济收入为a,建设后经济收入为2a.通过选项逐一分析新农村建设前后,经济收入情况,利用数据推出结果.‎ ‎【解答】解:设建设前经济收入为a,建设后经济收入为2a.‎ A项,种植收入37%×2a﹣60%a=14%a>0,‎ 故建设后,种植收入增加,故A项错误.‎ B项,建设后,其他收入为5%×2a=10%a,‎ 建设前,其他收入为4%a,‎ 故10%a÷4%a=2.5>2,‎ 故B项正确.‎ C项,建设后,养殖收入为30%×2a=60%a,‎ 建设前,养殖收入为30%a,‎ 故60%a÷30%a=2,‎ 故C项正确.‎ D项,建设后,养殖收入与第三产业收入总和为 ‎(30%+28%)×2a=58%×2a,‎ 经济收入为2a,‎ 故(58%×2a)÷2a=58%>50%,‎ 故D项正确.‎ 因为是选择不正确的一项,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题主要考查事件与概率,概率的应用,命题的真假的判断,考查发现问题解决问题的能力.‎ ‎4.(5.00分)已知椭圆C:+=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】利用椭圆的焦点坐标,求出a,然后求解椭圆的离心率即可.‎ ‎【解答】解:椭圆C:+=1的一个焦点为(2,0),‎ 可得a2﹣4=4,解得a=2,‎ ‎∵c=2,‎ ‎∴e===.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查计算能力.‎ ‎5.(5.00分)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(  )‎ A.12π B.12π C.8π D.10π ‎【分析】利用圆柱的截面是面积为8的正方形,求出圆柱的底面直径与高,然后求解圆柱的表面积.‎ ‎【解答】解:设圆柱的底面直径为2R,则高为2R,‎ 圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,‎ 过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,‎ 可得:4R2=8,解得R=,‎ 则该圆柱的表面积为:=12π.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查圆柱的表面积的求法,考查圆柱的结构特征,截面的性质,是基本知识的考查.‎ ‎6.(5.00分)设函数f(x)=x3+(a﹣1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(  )‎ A.y=﹣2x B.y=﹣x C.y=2x D.y=x ‎【分析】利用函数的奇偶性求出a,求出函数的导数,求出切线的向量然后求解切线方程.‎ ‎【解答】解:函数f(x)=x3+(a﹣1)x2+ax,若f(x)为奇函数,‎ 可得a=1,所以函数f(x)=x3+x,可得f′(x)=3x2+1,‎ 曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线的斜率为:1,‎ 则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为:y=x.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法,考查计算能力.‎ ‎7.(5.00分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=(  )‎ A.﹣ B.﹣ C.+ D.+‎ ‎【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示,计算可得所求向量.‎ ‎【解答】解:在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,‎ ‎=﹣=﹣‎ ‎=﹣×(+)‎ ‎=﹣,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查向量的加减运算和向量中点表示,考查运算能力,属于基础题.‎ ‎8.(5.00分)已知函数f(x)=2cos2x﹣sin2x+2,则(  )‎ A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3‎ B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4‎ C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3‎ D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4‎ ‎【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换,把函数的关系式变形成余弦型函数,进一步利用余弦函数的性质求出结果.‎ ‎【解答】解:函数f(x)=2cos2x﹣sin2x+2,‎ ‎=2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x,‎ ‎=4cos2x+sin2x,‎ ‎=3cos2x+1,‎ ‎=,‎ ‎=,‎ 故函数的最小正周期为π,‎ 函数的最大值为,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,余弦型函数的性质的应用.‎ ‎9.(5.00分)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为(  )‎ A.2 B.2 C.3 D.2‎ ‎【分析】判断三视图对应的几何体的形状,利用侧面展开图,转化求解即可.‎ ‎【解答】解:由题意可知几何体是圆柱,底面周长16,高为:2,‎ 直观图以及侧面展开图如图:‎ 圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度:=2.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系,侧面展开图的应用,考查计算能力.‎ ‎10.(5.00分)在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为(  )‎ A.8 B.6 C.8 D.8‎ ‎【分析】画出图形,利用已知条件求出长方体的高,然后求解长方体的体积即可.‎ ‎【解答】解:长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,‎ AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,‎ 即∠AC1B=30°,可得BC1==2.‎ 可得BB1==2.‎ 所以该长方体的体积为:2×=8.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查长方体的体积的求法,直线与平面所成角的求法,考查计算能力.‎ ‎11.(5.00分)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2α=,则|a﹣b|=(  )‎ A. B. C. D.1‎ ‎【分析】推导出cos2α=2cos2α﹣1=,从而|cosα|=,进而|tanα|=||=|a﹣b|=.由此能求出结果.‎ ‎【解答】解:∵角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,‎ 终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2α=,‎ ‎∴cos2α=2cos2α﹣1=,解得cos2α=,‎ ‎∴|cosα|=,∴|sinα|==,‎ ‎|tanα|=||=|a﹣b|===.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查两数差的绝对值的求法,考查二倍角公式、直线的斜率等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.‎ ‎12.(5.00分)设函数f(x)=,则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,﹣1] B.(0,+∞) C.(﹣1,0) D.(﹣∞,0)‎ ‎【分析】画出函数的图象,利用函数的单调性列出不等式转化求解即可.‎ ‎【解答】解:函数f(x)=,的图象如图:‎ 满足f(x+1)<f(2x),‎ 可得:2x<0<x+1或2x<x+1≤0,‎ 解得x∈(﹣∞,0).‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查分段函数的应用,函数的单调性以及不等式的解法,考查计算能力.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.(5.00分)已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a= ﹣7 .‎ ‎【分析】直接利用函数的解析式,求解函数值即可.‎ ‎【解答】解:函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,‎ 可得:log2(9+a)=1,可得a=﹣7.‎ 故答案为:﹣7.‎ ‎【点评】本题考查函数的解析式的应用,函数的领导与方程根的关系,是基本知识的考查.‎ ‎14.(5.00分)若x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最大值为 6 .‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义进行求解即可.‎ ‎【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:‎ 由z=3x+2y得y=﹣x+z,‎ 平移直线y=﹣x+z,‎ 由图象知当直线y=﹣x+z经过点A(2,0)时,直线的截距最大,此时z最大,‎ 最大值为z=3×2=6,‎ 故答案为:6‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键.‎ ‎15.(5.00分)直线y=x+1与圆x2+y2+2y﹣3=0交于A,B两点,则|AB|= 2 .‎ ‎【分析】求出圆的圆心与半径,通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系,求解即可.‎ ‎【解答】解:圆x2+y2+2y﹣3=0的圆心(0,﹣1),半径为:2,‎ 圆心到直线的距离为:=,‎ 所以|AB|=2=2.‎ 故答案为:2.‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用,弦长的求法,考查计算能力.‎ ‎16.(5.00分)△‎ ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2﹣a2=8,则△ABC的面积为  .‎ ‎【分析】直接利用正弦定理求出A的值,进一步利用余弦定理求出bc的值,最后求出三角形的面积.‎ ‎【解答】解:△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.‎ bsinC+csinB=4asinBsinC,‎ 利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,‎ 由于0<B<π,0<C<π,‎ 所以sinBsinC≠0,‎ 所以sinA=,‎ 则A=‎ 由于b2+c2﹣a2=8,‎ 则:,‎ ‎①当A=时,,‎ 解得bc=,‎ 所以.‎ ‎②当A=时,,‎ 解得bc=﹣(不合题意),舍去.‎ 故:.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本体考察的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦定理和余弦定理的应用及三角形面积公式的应用.‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(12.00分)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=.‎ ‎(1)求b1,b2,b3;‎ ‎(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;‎ ‎(3)求{an}的通项公式.‎ ‎【分析】(1)直接利用已知条件求出数列的各项.‎ ‎(2)利用定义说明数列为等比数列.‎ ‎(3)利用(1)(2)的结论,直接求出数列的通项公式.‎ ‎【解答】解:(1)数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,‎ 则:(常数),‎ 由于,‎ 故:,‎ 数列{bn}是以b1为首项,2为公比的等比数列.‎ 整理得:,‎ 所以:b1=1,b2=2,b3=4.‎ ‎(2)数列{bn}是为等比数列,‎ 由于(常数);‎ ‎(3)由(1)得:,‎ 根据,‎ 所以:.‎ ‎【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用.‎ ‎18.(12.00分)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°,以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.‎ ‎(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;‎ ‎(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=‎ DA,求三棱锥Q﹣ABP的体积.‎ ‎【分析】(1)可得AB⊥AC,AB⊥DA.且AD∩AB=A,即可得AB⊥面ADC,平面ACD⊥平面ABC;‎ ‎(2)首先证明DC⊥面ABC,再根据BP=DQ=DA,可得三棱锥Q﹣ABP的高,求出三角形ABP的面积即可求得三棱锥Q﹣ABP的体积.‎ ‎【解答】解:(1)证明:∵在平行四边形ABCM中,∠ACM=90°,∴AB⊥AC,‎ 又AB⊥DA.且AD∩AB=A,‎ ‎∴AB⊥面ADC,∴AB⊂面ABC,‎ ‎∴平面ACD⊥平面ABC;‎ ‎(2)∵AB=AC=3,∠ACM=90°,∴AD=AM=3,‎ ‎∴BP=DQ=DA=2,‎ 由(1)得DC⊥AB,又DC⊥CA,∴DC⊥面ABC,‎ ‎∴三棱锥Q﹣ABP的体积V=‎ ‎=××==1.‎ ‎【点评】本题考查面面垂直,考查三棱锥体积的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.‎ ‎19.(12.00分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:‎ 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 ‎ 日用水量 ‎[0,0.1)‎ ‎[0.1,0.2)‎ ‎[0.2,0.3)‎ ‎[0.3,0.4)‎ ‎[0.4,0.5)‎ ‎[0.5,0.6)‎ ‎[0.6,0.7)‎ 频数 ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎26‎ ‎5‎ 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 ‎[0,0.1)‎ ‎[0.1,0.2)‎ ‎[0.2,0.3)‎ ‎[0.3,0.4)‎ ‎[0.4,0.5)‎ ‎[0.5,0.6)‎ 频数 ‎1‎ ‎5‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎16‎ ‎5‎ ‎(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;‎ ‎(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率;‎ ‎(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)‎ ‎【分析】(1)根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表能作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图.‎ ‎(2)根据频率分布直方图能求出该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率.‎ ‎(3)由题意得未使用水龙头50天的日均水量为0.48,使用节水龙头50天的日均用水量为0.35,能此能估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水.‎ ‎【解答】解:(1)根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表,‎ 作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图,如下图:‎ ‎(2)根据频率分布直方图得:‎ 该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率为:‎ p=(0.2+1.0+2.6+1)×0.1=0.48.‎ ‎(3)由题意得未使用水龙头50天的日均水量为:‎ ‎(1×0.05+3×0.15+2×0.25+4×0.35+9×0.45+26×0.55+5×0.65)=0.48,‎ 使用节水龙头50天的日均用水量为:‎ ‎(1×0.05+5×0.15+13×0.25+10×0.35+16×0.45+5×0.55)=0.35,‎ ‎∴估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省:365×(0.48﹣0.35)=47.45m3.‎ ‎【点评】本题考查频率分由直方图的作法,考查概率的求法,考查平均数的求法及应用等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.‎ ‎20.(12.00分)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(﹣2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.‎ ‎(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;‎ ‎(2)证明:∠ABM=∠ABN.‎ ‎【分析】(1)当x=2时,代入求得M点坐标,即可求得直线BM的方程;‎ ‎(2)设直线l的方程,联立,利用韦达定理及直线的斜率公式即可求得kBN+kBM=0,即可证明∠ABM=∠ABN.‎ ‎【解答】解:(1)当l与x轴垂直时,x=2,代入抛物线解得y=±2,‎ 所以M(2,2)或M(2,﹣2),‎ 直线BM的方程:y=x+1,或:y=﹣x﹣1.‎ ‎(2)证明:设直线l的方程为l:x=ty+2,M(x1,y1),N(x2,y2),‎ 联立直线l与抛物线方程得,消x得y2﹣2ty﹣4=0,‎ 即y1+y2=2t,y1y2=﹣4,‎ 则有kBN+kBM=+===0,‎ 所以直线BN与BM的倾斜角互补,‎ ‎∴∠ABM=∠ABN.‎ ‎【点评】本题考查抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理,直线的斜率公式,考查转化思想,属于中档题.‎ ‎21.(12.00分)已知函数f(x)=aex﹣lnx﹣1.‎ ‎(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)证明:当a≥时,f(x)≥0.‎ ‎【分析】(1)推导出x>0,f′(x)=aex﹣,由x=2是f(x)的极值点,解得a=,从而f(x)=ex﹣lnx﹣1,进而f′(x)=,由此能求出f(x)的单调区间.‎ ‎(2)当a≥时,f(x)≥﹣lnx﹣1,设g(x)=﹣lnx﹣1,则﹣,由此利用导数性质能证明当a≥时,f(x)≥0.‎ ‎【解答】解:(1)∵函数f(x)=aex﹣lnx﹣1.‎ ‎∴x>0,f′(x)=aex﹣,‎ ‎∵x=2是f(x)的极值点,‎ ‎∴f′(2)=ae2﹣=0,解得a=,‎ ‎∴f(x)=ex﹣lnx﹣1,∴f′(x)=,‎ 当0<x<2时,f′(x)<0,当x>2时,f′(x)>0,‎ ‎∴f(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.‎ ‎(2)证明:当a≥时,f(x)≥﹣lnx﹣1,‎ 设g(x)=﹣lnx﹣1,则﹣,‎ 当0<x<1时,g′(x)<0,‎ 当x>1时,g′(x)>0,‎ ‎∴x=1是g(x)的最小值点,‎ 故当x>0时,g(x)≥g(1)=0,‎ ‎∴当a≥时,f(x)≥0.‎ ‎【点评】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用,同时考查逻辑思维能力和综合应用能力,是中档题.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ ‎22.(10.00分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0.‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.‎ ‎【分析】(1)直接利用转换关系,把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化.‎ ‎(2)利用直线在坐标系中的位置,再利用点到直线的距离公式的应用求出结果.‎ ‎【解答】解:(1)曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0.‎ 转换为直角坐标方程为:x2+y2+2x﹣3=0,‎ 转换为标准式为:(x+1)2+y2=4.‎ ‎(2)由于曲线C1的方程为y=k|x|+2,则:该直线关于y轴对称,且恒过定点(0,2).‎ 由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点.‎ 所以:必有一直线相切,一直线相交.‎ 则:圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2.‎ 故:,或 解得:k=或0,(0舍去)或k=或0‎ 经检验,直线与曲线C2没有公共点.‎ 故C1的方程为:.‎ ‎【点评】本体考察知识要点:参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化,直线和曲线的位置关系的应用,点到直线的距离公式的应用.‎ ‎[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ ‎23.已知f(x)=|x+1|﹣|ax﹣1|.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;‎ ‎(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.‎ ‎【分析】(1)去绝对值,化为分段函数,即可求出不等式的解集,‎ ‎(2)当x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,转化为即|ax﹣1|<1,即0<ax<2,转化为a<,且a>0,即可求出a的范围.‎ ‎【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|=,‎ 由f(x)>1,‎ ‎∴或,‎ 解得x>,‎ 故不等式f(x)>1的解集为(,+∞),‎ ‎(2)当x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,‎ ‎∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x>0,‎ 即x+1﹣|ax﹣1|﹣x>0,‎ 即|ax﹣1|<1,‎ ‎∴﹣1<ax﹣1<1,‎ ‎∴0<ax<2,‎ ‎∵x∈(0,1),‎ ‎∴a>0,‎ ‎∴0<x<,‎ ‎∴a<‎ ‎∵>2,‎ ‎∴0<a≤2,‎ 故a的取值范围为(0,2].‎ ‎【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围,考查了运算能力和转化能力,属于中档题.‎