2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ) 19页

‎2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．（5.00分）已知集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（　　）‎ A．{0，2} B．{1，2} C．{0} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}‎ ‎2．（5.00分）设z=+2i，则|z|=（　　）‎ A．0 B． C．1 D．‎ ‎3．（5.00分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：‎ 则下面结论中不正确的是（　　）‎ A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 ‎4．（5.00分）已知椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5.00分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（　　）‎ A．12π B．12π C．8π D．10π ‎6．（5.00分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（　　）‎ A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x ‎7．（5.00分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C．+ D．+‎ ‎8．（5.00分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（　　）‎ A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3‎ B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4‎ C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3‎ D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4‎ ‎9．（5.00分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（　　）‎ A．2 B．2 C．3 D．2‎ ‎10．（5.00分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为（　　）‎ A．8 B．6 C．8 D．8‎ ‎11．（5.00分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则|a﹣b|=（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎12．（5.00分）设函数f（x）=，则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1] B．（0，+∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，0）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．（5.00分）已知函数f（x）=log2（x2+a），若f（3）=1，则a=　 　．‎ ‎14．（5.00分）若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为　 　．‎ ‎15．（5.00分）直线y=x+1与圆x2+y2+2y﹣3=0交于A，B两点，则 ‎|AB|=　 　．‎ ‎16．（5.00分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2﹣a2=8，则△ABC的面积为　 　．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12.00分）已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an，设bn=．‎ ‎（1）求b1，b2，b3；‎ ‎（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；‎ ‎（3）求{an}的通项公式．‎ ‎18．（12.00分）如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．‎ ‎（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；‎ ‎（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=DA，求三棱锥Q﹣ABP的体积．‎ ‎19．（12.00分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：‎ 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 ‎ 日用水量 ‎[0，0.1）‎ ‎[0.1，0.2）‎ ‎[0.2，0.3）‎ ‎[0.3，0.4）‎ ‎[0.4，0.5）‎ ‎[0.5，0.6）‎ ‎[0.6，0.7）‎ 频数 ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎26‎ ‎5‎ 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 ‎[0，0.1）‎ ‎[0.1，0.2）‎ ‎[0.2，0.3）‎ ‎[0.3，0.4）‎ ‎[0.4，0.5）‎ ‎[0.5，0.6）‎ 频数 ‎1‎ ‎5‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎16‎ ‎5‎ ‎（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；‎ ‎（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；‎ ‎（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）‎ ‎20．（12.00分）设抛物线C：y2=2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点．‎ ‎（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；‎ ‎（2）证明：∠ABM=∠ABN．‎ ‎21．（12.00分）已知函数f（x）=aex﹣lnx﹣1．‎ ‎（1）设x=2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）证明：当a≥时，f（x）≥0．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ ‎22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．‎ ‎（1）求C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ ‎23．已知f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|．‎ ‎（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；‎ ‎（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．‎ ‎2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．（5.00分）已知集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（　　）‎ A．{0，2} B．{1，2} C．{0} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}‎ ‎【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可．‎ ‎【解答】解：集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，‎ 则A∩B={0，2}．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，是基本知识的考查．‎ ‎2．（5.00分）设z=+2i，则|z|=（　　）‎ A．0 B． C．1 D．‎ ‎【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模．‎ ‎【解答】解：z=+2i=+2i=﹣i+2i=i，‎ 则|z|=1．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．‎ ‎3．（5.00分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：‎ 则下面结论中不正确的是（　　）‎ A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 ‎【分析】设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果．‎ ‎【解答】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．‎ A项，种植收入37%×2a﹣60%a=14%a＞0，‎ 故建设后，种植收入增加，故A项错误．‎ B项，建设后，其他收入为5%×2a=10%a，‎ 建设前，其他收入为4%a，‎ 故10%a÷4%a=2.5＞2，‎ 故B项正确．‎ C项，建设后，养殖收入为30%×2a=60%a，‎ 建设前，养殖收入为30%a，‎ 故60%a÷30%a=2，‎ 故C项正确．‎ D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为 ‎（30%+28%）×2a=58%×2a，‎ 经济收入为2a，‎ 故（58%×2a）÷2a=58%＞50%，‎ 故D项正确．‎ 因为是选择不正确的一项，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查事件与概率，概率的应用，命题的真假的判断，考查发现问题解决问题的能力．‎ ‎4．（5.00分）已知椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用椭圆的焦点坐标，求出a，然后求解椭圆的离心率即可．‎ ‎【解答】解：椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0），‎ 可得a2﹣4=4，解得a=2，‎ ‎∵c=2，‎ ‎∴e===．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎5．（5.00分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（　　）‎ A．12π B．12π C．8π D．10π ‎【分析】利用圆柱的截面是面积为8的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后求解圆柱的表面积．‎ ‎【解答】解：设圆柱的底面直径为2R，则高为2R，‎ 圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，‎ 过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，‎ 可得：4R2=8，解得R=，‎ 则该圆柱的表面积为：=12π．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查圆柱的表面积的求法，考查圆柱的结构特征，截面的性质，是基本知识的考查．‎ ‎6．（5.00分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（　　）‎ A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x ‎【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，‎ 可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1，‎ 曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，‎ 则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力．‎ ‎7．（5.00分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C．+ D．+‎ ‎【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，‎ ‎=﹣=﹣‎ ‎=﹣×（+）‎ ‎=﹣，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎8．（5.00分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（　　）‎ A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3‎ B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4‎ C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3‎ D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4‎ ‎【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦函数的性质求出结果．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，‎ ‎=2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x，‎ ‎=4cos2x+sin2x，‎ ‎=3cos2x+1，‎ ‎=，‎ ‎=，‎ 故函数的最小正周期为π，‎ 函数的最大值为，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用．‎ ‎9．（5.00分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（　　）‎ A．2 B．2 C．3 D．2‎ ‎【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可．‎ ‎【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，‎ 直观图以及侧面展开图如图：‎ 圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：=2．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查计算能力．‎ ‎10．（5.00分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为（　　）‎ A．8 B．6 C．8 D．8‎ ‎【分析】画出图形，利用已知条件求出长方体的高，然后求解长方体的体积即可．‎ ‎【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，‎ AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，‎ 即∠AC1B=30°，可得BC1==2．‎ 可得BB1==2．‎ 所以该长方体的体积为：2×=8．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查长方体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查计算能力．‎ ‎11．（5.00分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则|a﹣b|=（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【分析】推导出cos2α=2cos2α﹣1=，从而|cosα|=，进而|tanα|=||=|a﹣b|=．由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，‎ 终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，‎ ‎∴cos2α=2cos2α﹣1=，解得cos2α=，‎ ‎∴|cosα|=，∴|sinα|==，‎ ‎|tanα|=||=|a﹣b|===．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查两数差的绝对值的求法，考查二倍角公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎12．（5.00分）设函数f（x）=，则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1] B．（0，+∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，0）‎ ‎【分析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=，的图象如图：‎ 满足f（x+1）＜f（2x），‎ 可得：2x＜0＜x+1或2x＜x+1≤0，‎ 解得x∈（﹣∞，0）．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考查计算能力．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．（5.00分）已知函数f（x）=log2（x2+a），若f（3）=1，则a=　﹣7　．‎ ‎【分析】直接利用函数的解析式，求解函数值即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=log2（x2+a），若f（3）=1，‎ 可得：log2（9+a）=1，可得a=﹣7．‎ 故答案为：﹣7．‎ ‎【点评】本题考查函数的解析式的应用，函数的领导与方程根的关系，是基本知识的考查．‎ ‎14．（5.00分）若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为　6　．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z=3x+2y得y=﹣x+z，‎ 平移直线y=﹣x+z，‎ 由图象知当直线y=﹣x+z经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z最大，‎ 最大值为z=3×2=6，‎ 故答案为：6‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．‎ ‎15．（5.00分）直线y=x+1与圆x2+y2+2y﹣3=0交于A，B两点，则|AB|=　2　．‎ ‎【分析】求出圆的圆心与半径，通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系，求解即可．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2+2y﹣3=0的圆心（0，﹣1），半径为：2，‎ 圆心到直线的距离为：=，‎ 所以|AB|=2=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，弦长的求法，考查计算能力．‎ ‎16．（5.00分）△‎ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2﹣a2=8，则△ABC的面积为　　．‎ ‎【分析】直接利用正弦定理求出A的值，进一步利用余弦定理求出bc的值，最后求出三角形的面积．‎ ‎【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．‎ bsinC+csinB=4asinBsinC，‎ 利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，‎ 由于0＜B＜π，0＜C＜π，‎ 所以sinBsinC≠0，‎ 所以sinA=，‎ 则A=‎ 由于b2+c2﹣a2=8，‎ 则：，‎ ‎①当A=时，，‎ 解得bc=，‎ 所以．‎ ‎②当A=时，，‎ 解得bc=﹣（不合题意），舍去．‎ 故：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本体考察的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用及三角形面积公式的应用．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12.00分）已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an，设bn=．‎ ‎（1）求b1，b2，b3；‎ ‎（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；‎ ‎（3）求{an}的通项公式．‎ ‎【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的各项．‎ ‎（2）利用定义说明数列为等比数列．‎ ‎（3）利用（1）（2）的结论，直接求出数列的通项公式．‎ ‎【解答】解：（1）数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an，‎ 则：（常数），‎ 由于，‎ 故：，‎ 数列{bn}是以b1为首项，2为公比的等比数列．‎ 整理得：，‎ 所以：b1=1，b2=2，b3=4．‎ ‎（2）数列{bn}是为等比数列，‎ 由于（常数）；‎ ‎（3）由（1）得：，‎ 根据，‎ 所以：．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．‎ ‎18．（12.00分）如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．‎ ‎（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；‎ ‎（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=‎ DA，求三棱锥Q﹣ABP的体积．‎ ‎【分析】（1）可得AB⊥AC，AB⊥DA．且AD∩AB=A，即可得AB⊥面ADC，平面ACD⊥平面ABC；‎ ‎（2）首先证明DC⊥面ABC，再根据BP=DQ=DA，可得三棱锥Q﹣ABP的高，求出三角形ABP的面积即可求得三棱锥Q﹣ABP的体积．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵在平行四边形ABCM中，∠ACM=90°，∴AB⊥AC，‎ 又AB⊥DA．且AD∩AB=A，‎ ‎∴AB⊥面ADC，∴AB⊂面ABC，‎ ‎∴平面ACD⊥平面ABC；‎ ‎（2）∵AB=AC=3，∠ACM=90°，∴AD=AM=3，‎ ‎∴BP=DQ=DA=2，‎ 由（1）得DC⊥AB，又DC⊥CA，∴DC⊥面ABC，‎ ‎∴三棱锥Q﹣ABP的体积V=‎ ‎=××==1．‎ ‎【点评】本题考查面面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎19．（12.00分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：‎ 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 ‎ 日用水量 ‎[0，0.1）‎ ‎[0.1，0.2）‎ ‎[0.2，0.3）‎ ‎[0.3，0.4）‎ ‎[0.4，0.5）‎ ‎[0.5，0.6）‎ ‎[0.6，0.7）‎ 频数 ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎26‎ ‎5‎ 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 ‎[0，0.1）‎ ‎[0.1，0.2）‎ ‎[0.2，0.3）‎ ‎[0.3，0.4）‎ ‎[0.4，0.5）‎ ‎[0.5，0.6）‎ 频数 ‎1‎ ‎5‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎16‎ ‎5‎ ‎（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；‎ ‎（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；‎ ‎（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）‎ ‎【分析】（1）根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表能作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图．‎ ‎（2）根据频率分布直方图能求出该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率．‎ ‎（3）由题意得未使用水龙头50天的日均水量为0.48，使用节水龙头50天的日均用水量为0.35，能此能估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水．‎ ‎【解答】解：（1）根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，‎ 作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图，如下图：‎ ‎（2）根据频率分布直方图得：‎ 该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率为：‎ p=（0.2+1.0+2.6+1）×0.1=0.48．‎ ‎（3）由题意得未使用水龙头50天的日均水量为：‎ ‎（1×0.05+3×0.15+2×0.25+4×0.35+9×0.45+26×0.55+5×0.65）=0.48，‎ 使用节水龙头50天的日均用水量为：‎ ‎（1×0.05+5×0.15+13×0.25+10×0.35+16×0.45+5×0.55）=0.35，‎ ‎∴估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省：365×（0.48﹣0.35）=47.45m3．‎ ‎【点评】本题考查频率分由直方图的作法，考查概率的求法，考查平均数的求法及应用等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎20．（12.00分）设抛物线C：y2=2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点．‎ ‎（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；‎ ‎（2）证明：∠ABM=∠ABN．‎ ‎【分析】（1）当x=2时，代入求得M点坐标，即可求得直线BM的方程；‎ ‎（2）设直线l的方程，联立，利用韦达定理及直线的斜率公式即可求得kBN+kBM=0，即可证明∠ABM=∠ABN．‎ ‎【解答】解：（1）当l与x轴垂直时，x=2，代入抛物线解得y=±2，‎ 所以M（2，2）或M（2，﹣2），‎ 直线BM的方程：y=x+1，或：y=﹣x﹣1．‎ ‎（2）证明：设直线l的方程为l：x=ty+2，M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 联立直线l与抛物线方程得，消x得y2﹣2ty﹣4=0，‎ 即y1+y2=2t，y1y2=﹣4，‎ 则有kBN+kBM=+===0，‎ 所以直线BN与BM的倾斜角互补，‎ ‎∴∠ABM=∠ABN．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查转化思想，属于中档题．‎ ‎21．（12.00分）已知函数f（x）=aex﹣lnx﹣1．‎ ‎（1）设x=2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）证明：当a≥时，f（x）≥0．‎ ‎【分析】（1）推导出x＞0，f′（x）=aex﹣，由x=2是f（x）的极值点，解得a=，从而f（x）=ex﹣lnx﹣1，进而f′（x）=，由此能求出f（x）的单调区间．‎ ‎（2）当a≥时，f（x）≥﹣lnx﹣1，设g（x）=﹣lnx﹣1，则﹣，由此利用导数性质能证明当a≥时，f（x）≥0．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）=aex﹣lnx﹣1．‎ ‎∴x＞0，f′（x）=aex﹣，‎ ‎∵x=2是f（x）的极值点，‎ ‎∴f′（2）=ae2﹣=0，解得a=，‎ ‎∴f（x）=ex﹣lnx﹣1，∴f′（x）=，‎ 当0＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，‎ ‎∴f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．‎ ‎（2）证明：当a≥时，f（x）≥﹣lnx﹣1，‎ 设g（x）=﹣lnx﹣1，则﹣，‎ 当0＜x＜1时，g′（x）＜0，‎ 当x＞1时，g′（x）＞0，‎ ‎∴x=1是g（x）的最小值点，‎ 故当x＞0时，g（x）≥g（1）=0，‎ ‎∴当a≥时，f（x）≥0．‎ ‎【点评】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ ‎22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．‎ ‎（1）求C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．‎ ‎【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．‎ ‎（2）利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．‎ 转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，‎ 转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．‎ ‎（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．‎ 由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．‎ 所以：必有一直线相切，一直线相交．‎ 则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．‎ 故：，或 解得：k=或0，（0舍去）或k=或0‎ 经检验，直线与曲线C2没有公共点．‎ 故C1的方程为：．‎ ‎【点评】本体考察知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ ‎23．已知f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|．‎ ‎（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；‎ ‎（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，‎ ‎（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，转化为即|ax﹣1|＜1，即0＜ax＜2，转化为a＜，且a＞0，即可求出a的范围．‎ ‎【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|=，‎ 由f（x）＞1，‎ ‎∴或，‎ 解得x＞，‎ 故不等式f（x）＞1的解集为（，+∞），‎ ‎（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，‎ ‎∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，‎ 即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，‎ 即|ax﹣1|＜1，‎ ‎∴﹣1＜ax﹣1＜1，‎ ‎∴0＜ax＜2，‎ ‎∵x∈（0，1），‎ ‎∴a＞0，‎ ‎∴0＜x＜，‎ ‎∴a＜‎ ‎∵＞2，‎ ‎∴0＜a≤2，‎ 故a的取值范围为（0，2]．‎ ‎【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．‎