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  • 2021-05-13 发布

2013高考数学专项突破圆锥曲线专题

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2015 高考数学专项突破:圆锥曲线专题 目录 一、知识考点讲解......................................................................2 第一部分 了解基本题型.......................................................3 第二部分 掌握基本知识.......................................................5 第三部分 掌握基本方法.......................................................7 二、知识考点深入透析............................................................13 三、圆锥曲线之高考链接........................................................15 四、基础知识专项训练............................................................19 五、解答题专项训练................................................................28 附录:圆锥曲线之高考链接参考答案....................................34 附录:基础知识专项训练参考答案........................................38 附录:解答题专项训练参考答案............................................40 一、知识考点讲解 一、圆锥曲线的考查重点: 高考试卷对圆锥曲线的考查主要是:给出曲线方程,讨论曲线的基本元素和 简单的几何性质;或给出曲线满足的条件,判断(或求)其轨迹;或给出直线与 曲线、曲线与曲线的位置关系,讨论与其有联系的有关问题(如直线的方程、直 线的条数、弦长、曲线中参数的取值范围等);或讨论直线与曲线、曲线与曲线 的关系;或考查圆锥曲线与其它知识的综合(如与函数、数列、不等式、向量、 导数等)等。 二、圆锥曲线试题的特点: 1、突出重点知识的考查。直线与圆的方程、圆锥曲线的定义、标准方程、 几何性质等是圆锥曲线命题的根本,在对圆锥曲线的考查中,直线与圆锥曲线的 位置关系仍然是重点。 2、注重数学思想与方法的考查。 3、融合代数、三角、不等式、排列组合、向量和几何等知识,在知识网络 的交汇点处设计问题是高考的一大特点,由于向量具有代数和几何的双重身份, 使得圆锥曲线与平面向量的整合交汇成为高考命题的热点,导数知识的引入为我 们解决圆锥曲线的最值问题和切线问题提供了新的视角和方法。 三、命题重点趋势:直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线 1、高考圆锥曲线内容重点仍然是直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线,直线与 圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现。 2、热点主要体现在:直线与圆锥曲线的基础题;涉及位置关系的判定;轨 迹问题;范围与位置问题;最值问题;存在性问题;弦长问题;对称问题;与平 面向量或导数相结合的问题。 3、直线与圆锥曲线的题型涉及函数的与方程,数形结合,分类讨论,化归 与转化等重要的数学思想方法,是高考必考内容之一,这类题型运算量比较大, 思维层次较高,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉 开考生“档次”,有利于选拔的功能,对学生的能力要求也相对较高,是每年高 考中平面几何部分出题的重点内容 第一部分 了解基本题型 一、高考中常见的圆锥曲线题型 1、直线与圆锥曲线结合的题型 (1)求圆锥曲线的轨迹方程:(★广东卷常在第一问考查) 这类题主要考查学生对圆锥曲线的标准方程及其相关性质,要求较低,一是 出现在选择题,填空题或者解答题的第一问,较容易。 (2)求直线方程、斜率、线段长度相关问题: 此类题目一般比较困难,不仅考查学生对圆锥曲线相关知识的掌握,而且还 考查学生的综合处理问题的能力,还要求学生有较强的推算能力。这类题目容易 与向量、数列、三角函数等知识相结合,学生在解题时,可能会因为抓不住解题 要领而放弃。 (3)判断直线与圆锥曲线的位置关系: 直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一。可从代数与几何两 个角度考虑,①从代数角度看,可通过将表示直线的方程,代入圆锥曲线的方程 消元后所得的情况来判断,但要注意的是:对于椭圆方程来讲,所得一元方程必 是一元二次方程,而对双曲线方程来讲未必。例如:将 y kx m  代入 2 2 2 2 1x y a b   中消 y 后整理得: 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0b a k x a kmx a m a b     ,当 bk a   时,该方程为一次方程, 此时直线 y kx m  与双曲线的渐近线平行,当 bk a   时,该方程为二次方程, 这时可以用判别式来判断直线与双曲线的位置关系。 ②从几何角度看,可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及两个相异的公 共点,具体如下: ①直线与圆锥曲线的相离关系,常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离 的最大值或最小值来解决。 ②直线与圆锥曲线仅有一个公共点,对于椭圆,表示直线与其相切;对于双 曲线,表示与其相切或与双曲线的渐近线平行,对于抛物线,表示直线与其相切 或直线与其对称轴平行。 ③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点,表示直线与圆锥曲线相割,此时直 线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。 2、圆与圆锥曲线结合的题型 这类题目要求学生对圆锥曲线、圆以及直线的知识非常熟悉,并有较强的综 合能力。 3、圆锥曲线与圆锥曲线结合的题型 这类题目在高考中并不是常考题型,但也是一个命题热点。题目中经常涉 及两种圆锥曲线,对这部份知识要求较高,必须熟练掌握才能进行解题,还有这 类题目看起来比较复杂,容易使人产生退却之心,所以面对这种题型,我们要克 服心理的恐惧,认真分析题意,结合学过的知识来解题。 4、圆锥曲线与向量知识结合的题型 在解决解析几何问题时,平面向量的出现不仅可以很明确地反映几何特征, 而且又方便计算,把解析几何与平面向量综合在一起进行测试,可以有效地考查 考生的数形结合思想.因此许多解析几何问题均可与向量知识进行综合。高考对 解析几何与向量综合考查,采取了新旧结合,以旧带新,使新的内容和旧的内容 有机地结合在一起设问,就形成了新的高考命题的热点。 二、常见的一些题型: 题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系; 题型二:弦的垂直平分线问题; 题型三:动弦过定点的问题; 题型四:过已知曲线上定点的弦的问题; 题型五:共线向量问题; 题型六:面积问题; 题型七:弦或弦长为定值问题; 题型八:角度问题; 问题九:四点共线问题; 问题十:范围问题(本质是函数问题); 问题十一、存在性问题:(存在点,存在直线 y kx m  ,存在实数,存在图形: 三角形(等比、等腰、直角),四边形(矩形、菱形、正方形),圆)。 三、热点问题: 1、定义与轨迹方程问题;(★广东卷常在第一问考查) 2、交点与中点弦问题; 3、弦长及面积问题; 4、对称问题; 5、最值问题; 6、范围问题; 7、存在性问题; 8、定值、定点、定直线问题。 第二部分 掌握基本知识 1、与一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    相关的知识:(三个“二次”问题) (1)判别式: 2 4b ac   。 (2)韦达定理:若一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    有两个不同的根 1 2,x x , 则 1 2 1 2,b cx x x xa a     。 (3)求根公式:若一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    有两个不同的根 1 2,x x , 则 2 1/ 2 4 2 b b acx a    。 2、与直线相关的知识: (1)直线方程的五种形式:点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。 (2)与直线相关的重要内容:① 倾斜角与斜率: tan , [0, )k     ; ② 点到直线的距离公式: 0 0 2 2 Ax By Cd A B    。 (3)弦长公式:直线 y kx b  上两点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 间的距离: 2 1 21AB k x x   2 2 1 2 1 2(1 )[( ) 4 ]k x x x x    (或 1 22 11AB y yk    , 较少用)。 (4)两条直线 1 1 1 2 2 2: , :l y k x b l y k x b    的位置关系: ① 1 2 1 2 1l l k k    ; ② 212121 // bbkkll  且 。 (5)中点坐标公式:已知两点 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y, ,若点 ( , )M x y 是线段 AB 的中 点, 则 1 2 1 2,y2 2 x x y yx    。 3、圆锥曲线的重要知识: 考纲要求:对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质,文理科要求有所不 同。 文科:掌握椭圆,了解双曲线及抛物线;理科:掌握椭圆及抛物线, 了解双曲线。 (1)、圆锥曲线的定义及几何图形:椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何图形。 (2)、圆锥曲线的标准方程: ① 椭 圆 的 标 准 方 程 : 2 2 2 2 2 2 2 1( 0 )x y a b a b ca b      且 或 2 2 1( 0, 0 )x y m n m nm n     且 ; (距离式方程: 2 2 2 2( ) ( ) 2x c y x c y a      ) ② 双 曲 线 的 标 准 方 程 : 2 2 2 2 2 2 2 1( 0, 0 )x y a b c a ba b      且 或 2 2 1( 0)x y m nm n     ; (距离式方程: 2 2 2 2| ( ) ( ) | 2x c y x c y a      ) ③抛物线的标准方程: 2 2 ( 0)y px p  ,还有三类。 (3)、圆锥曲线的基本性质:必须要熟透,特别是离心率,参数 , ,a b c 三者的关 系, p 的几何意义等。 (4)、圆锥曲线的其它知识:(了解一下,能运用解题更好) ①通径: 2 22 2 2b b pa a 椭圆: ;双曲线: ;抛物线: ; ②焦点三角形面积公式: 1 2 2 tan 2F PFP b   在椭圆上时,S , 1 2 2 1 tan 2 F PFP b  在双曲线上时,S ; ( 其 中 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 | | | | 4,cos , | || | cos| | | | PF PF cF PF PF PF PF PFPF PF             ) ③焦半径公式: 0 0;x a ex a ey 椭圆焦点在 轴上时为 焦点在y轴上时为 , (简记为“左加右减,上加下减”); 0| |x e x a双曲线焦点在 轴上时为 ; 1 1| | , | |2 2 p px x y 抛物线焦点在 轴上时为 焦点在y轴上时为 。 4、常结合其它知识进行综合考查: (1)圆的相关知识:两种方程,特别是直线与圆、两圆的位置关系。 (2)导数的相关知识:求导公式及运算法则,特别是与切线方程相关的知识。 (3)向量的相关知识:向量数量积的定义及坐标运算,两向量的平行与垂直的 判断条件等。 (4)三角函数的相关知识:各类公式及图象与性质等。 (5)不等式的相关知识:不等式的基本性质,不等式的证明方法,均值定理等。 第三部分 掌握基本方法 一、圆锥曲线题型的解题方法分析 高考圆锥曲线试题常用的数学方法有:配方法、换元法、待定系数法、数学 归纳法、参数法、消去法等。 1、解题的通法分析: 高考数学试题特别注重对中学数学通性通法的考查,这符合高考命题原则: 考查基础知识,注重数学思想,培养实践能力。中学数学的通性通法是指数学教 材中蕴涵的基本数学思想(化归思想、转化思想、分类思想、函数方程的思想、 数形结合的思想)和常用的数学方法(数形结合,配方法,换元法,消元法,待 定系数法等)。 解决圆锥曲线这部分知识有关的习题时,我们最常用的数学方法有数形结 合,待定系数法,化归转化等。在求解直线与圆锥曲线的问题时我们一般都可以 将直线方程与圆锥曲线方程联立,得到一个方程组,通过消元得到一个一元二次 方程再来求解。就是要利用已知条件找到参数与参数之间或是与已知量之间的关 系,这时一般会用到韦达定理进行转化。例如要判断直线与圆锥曲线的位置关系, 我们就可以联立直线方程与圆锥曲线方程,消 y 得到一个关于 x 的一个一元二次 方程,然后我们就可以根据一个一元二次方程的△= 2 4b ac 的值来判断。 直线与圆锥曲线的位置关系的判断:(直线与圆锥曲线的位置关系有相交、 相切、相离) 设直线 L 的方程是: 0Ax By c   ,圆锥曲线的 C 方程是: ( , ) 0f x y  ,则 由 0 ( , ) 0 Ax By c f x y      消去 y 得: 2 0( 0)ax bx c a    (*) 设方程(*)的判别式是△= 2 4b ac ,则 (1)若圆锥曲线 ( , ) 0f x y  是椭圆 若△= 2 4b ac >0  方程(*)有两个不等实根  直线 L 与椭圆 C 相交  直线与 椭圆 C 有两个不同的公共点。 若△= 2 4b ac =0  方程(*)有两个相等的实根  直线 L 与椭圆 C 相切  直线 与椭圆 C 只有一个公共点。 若方程△= 2 4b ac <0  方程(*)无实根  直线 L 与椭圆 C 相离  直线与椭圆 无公共点。 (2)若圆锥曲线 ( , ) 0f x y  是双曲线 若△= 2 4b ac >0  方程(*)有两个不等实根  直线 L 与双曲线 C 相交  直线 与双曲线 C 有两个不同的公共点。 若△= 2 4b ac =0  方程(*)有两个相等的实根  直线 L 与双曲线 C 相切  直 线与双曲线 C 只有一个公共点。 若△= 2 4b ac <0  方程(*)无实根  直线 L 与双曲线 C 相离  直线与双曲线 C 无公共点。 注意当直线 L 与渐近线平行,直线 L 也与双曲线是相交的,此时直线 L 与双 曲线只有一个公共点.故直线 L 与双曲线 C 只有一个公共点时,直线 L 与双曲线 可能相交也可能相切。 (3)若圆锥曲线 ( , ) 0f x y  是抛物线 若△= 2 4b ac >0  方程(*)有两个不等实根  直线 L 与抛物线 C 相交  直线 与抛物线 C 有两个不同的公共点。 若△= 2 4b ac =0  方程(*)有两个相等的实根  直线 L 与抛物线 C 相切  直 线与抛物线 C 只有一个公共点。 若△= 2 4b ac <0  方程(*)无实根  直线 L 与抛物线 C 相离  直线与抛物线 C 无公共点。 注意当直线 L 与抛物线的对称轴平行时,直线 L 与抛物线 C 只有一个公共点, 此时直线 L 与抛物线 C 相交,故直线 L 与抛物线 C 只有一个公共点时可能相交也 可能相切。 系统掌握求曲线(轨迹)方程的常用方法(直译法、定义法、待定系数法、 动点转移法、参数法等);掌握综合运用直线的基础知识和圆的性质,解答直线 与圆的位置关系的思想方法;熟练掌握圆锥曲线的标准方程、几何性质及其应用; 掌握与圆锥曲线有关的参数讨论问题的解法;掌握解答解析几何综合问题的思想 方法,提高分析问题和解决问题的能力。 2、合理选择适当方法优化解题过程: 数学的解题过程一般是由理解问题开始,经过探讨思路,转化问题直至解决 问题题目的意思至为重要,然后我们才能分解问题,把一个复杂的问题转化成几 个简单的熟悉的问题,通过逐步分解,进而解决问题。所以在解题前,首先我们 应该从全方位、多角度的分析问题,根据自己的知识经验,适时的调整分析问题 的角度,再充分回忆与之相关的知识点把陌生的问题转化为一些熟悉的题型,找 到一个正确的简便的解题方法。 合理选择方法,提高运算能力。解析几何问题的一般思路易于寻找,但运算 量大,所以合理选择运算方法可以优化解题过程、减少运算量.通常减少运算量 的方法有合理建立坐标系;充分利用定义;充分利用平面几何知识;整体消元法 等。 对圆锥曲线的基础知识首先要扎实,关于解题技巧可以考虑下面几点: ① 某些问题要注意运用圆锥曲线定义来解题;②与弦有关问题多数要用韦达定理; ③与中点有关问题多数要用“点差法”; ④计算能力一定要过硬,要有“不怕 麻烦的劲头”; ⑤与角度,垂直有关问题,要恰当运用“向量”的知识。 直线和圆锥曲线的问题是解析几何中的典型问题,也是考试中容易出大题的 考点。解决这类问题的关键就是要明白直线和圆锥曲线问题的本质。直线截圆锥 曲线就会在曲线内形成弦,这是一个最大的出题点,根据弦就可以涉及到弦长; 另外直线和圆锥曲线有交点,涉及到交点就会涉及到坐标的一些问题,若是再和 交点、原点等一些特殊点构成一些关系还会涉及到角度问题。解析几何就是利用 代数方法解决几何问题,因此这些几何上的角度,弦长等一些关系都要转化成坐 标,以及方程的形式。但是问题的本质还是几何问题,因此更多的利用圆锥曲线 的几何性质可以化简计算。比如,在坐标法中向量是和几何问题结合最紧密的方 法,因此涉及到角度等一些问题可以用向量去做,这样会比直接利用直线的夹角 公式计算要稍简单一些。 这类题的计算量一般会比较大,在解题时可以使用一些小技巧简化计算。比 如涉及到焦点的问题看看可不可以用圆锥曲线的第二定义转化。利用第二定义就 可以将点到点之间的距离转化为点到直线之间的距离,而且一般情况下直线还是 垂直于 x 轴或 y 轴的,这样直接就和坐标联系上了,这种方法在圆锥曲线中含有 参数的时候还是挺好使的,一般在答题中应用不多,小题中会有不少应用,因此 还是要掌握好第二定义。 3、解题中应避免的误区: 在“圆锥曲线”内容中,为了研究曲线与方程之间之间的各种关系,引进了 一些基本概念和数学方法,例如“圆锥曲线”,“曲线的方程”等概念,函数与 方程的数学思想、数形结合思想、回归定义等方法,对于这类特定的概念理解不 准确,对这些方法的掌握存在某些缺陷,解题时就容易进入误区。 对圆锥曲线的两个定义在第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆 中,与两个定点 1 2,F F 的距离的和等于常数 2a ,且此常数一定要大于 2a ,当常数 等于 1 2| |F F 时,轨迹是线段 1 2| |F F ,当常数小于 1 2| |F F 时,无轨迹;双曲线中, 与两定点 1 2,F F 的距离的差的绝对值等于常数 2a ,且此常数 2a 一定要小于 1 2| |F F ,定义中的“绝对值”与 2a < 1 2| |F F 不可忽视,若 2a = 1 2| |F F ,则轨迹是以 1 2,F F 为端点的两条射线,若 2a > 1 2| |F F ,则轨迹不存在,若去掉定义中的绝对值 则轨迹仅示双曲线的一支。 第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、 点线距为分母”,其商即是离心率 。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上 的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进 行相互转化。 在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点 1 2,F F 的位置,是 椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两 个参数 a、b,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件; 在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向。 判断直线与圆锥曲线的位置关系时应该注意:直线与双曲线、抛物线只有一 个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平 行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线 与抛物线相交,也只有一个交点。 二、圆锥曲线题型的常用解法: 1、定义法: (1)椭圆有两种定义。第一定义中,r1+r2=2a。第二定义中,r1=ed1 r2=ed2。 (2)双曲线有两种定义。第一定义中, arr 221  ,当 r1>r2 时,注意 r2 的 最小值为 c-a:第二定义中,r1=ed1,r2=ed2,尤其应注意第二定义的应用,常常 将半径与“点到准线的距离”互相转化。 (3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛 物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法: 因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问 题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判 别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用 韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。 3、设而不求法: 解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问 题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相 交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点 A(x1,y1),B(x2,y2), 弦 AB 中点为 M(x0,y0),将点 A、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点 与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法。 点差法(中点弦问题):设  11 , yxA 、  22 , yxB ,  baM , 为椭圆 134 22  yx 的 弦 AB 中点, 则有 134 2 1 2 1  yx , 134 2 2 2 2  yx ,两式相减得     034 2 2 2 1 2 2 2 1  yyxx ,        34 21212121 yyyyxxxx   ABk = b a 4 3 。 (1) )0(12 2 2 2  ba b y a x 与直线 l 相交于 A、B,设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则 有 02 0 2 0  k b y a x ; (2) )0,0(12 2 2 2  ba b y a x 与直线 l 相交于 A、B,设弦 AB 中点为 M(x0,y0)则 有 02 0 2 0  k b y a x ; (3)y2=2px(p>0)与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p, 即 y0k=p。 4、数形结合法: 解析几何是代数与几何的一种统一,常要将代数的运算推理与几何的论证说 明结合起来考虑问题,在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观 性,尤其是将某些代数式子利用其结构特征,想象为某些图形的几何意义而构图, 用图形的性质来说明代数性质。 如“2x+y”,令 2x+y=b,则 b 表示斜率为-2 的直线在 y 轴上的截距;如“x2+y2”, 令 dyx  22 ,则 d 表示点 P(x,y)到原点的距离;又如“ 2 3   x y ”,令 2 3   x y =k, 则 k 表示点 P(x、y)与点 A(-2,3)这两点连线的斜率…… 5、参数法: (1)点参数:利用点在某曲线上设点(常设“主动点”),以此点为参数, 依次求出其他相关量,再列式求解。如 x 轴上一动点 P,常设 P(t,0);直线 x-2y+1=0 上一动点 P。除设 P(x1,y1)外,也可直接设 P(2y,-1,y1) ( 2 ) 斜 率 为 参 数 : 当 直 线 过 某 一 定 点 P(x0,y0) 时 , 常 设 此 直 线 为 y-y0=k(x-x0),即以 k 为参数,再按命题要求依次列式求解等。 (3)角参数:当研究有关转动的问题时,常设某一个角为参数,尤其是圆 与椭圆上的动点问题。 6、代入法: 这里所讲的“代入法”,主要是指条件的不同顺序的代入方法,如对于命题: “已知条件 P1,P2 求(或求证)目标 Q”,方法 1 是将条件 P1 代入条件 P2,方法 2 可将条件 P2 代入条件 P1,方法 3 可将目标 Q 以待定的形式进行假设,代入 P1,P2, 这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度,因此要学会分析,选 择简易的代入法。 二、知识考点深入透析 一、近几年文科圆锥曲线试题“知识点及问题”分析: 年 份 试 题 相 关 知 识 问题类型 备注 2012 年 (20) 椭圆,抛物线,直线, 椭圆的标准方程、直线方程。 (1)求椭圆的标准方程; (2)与直线、抛物线相结合,相切知识, 求直线方程。 2011 年 (21) 轨迹方程,抛物线,求轨迹; 最值问题; 直线相关知识; 解方程组 (1)求轨迹方程(射线及抛物线方程); (2)最值问题(求最小值,及此时点的 坐标); (3)参数的取值范围(直线与抛物线结 合,求直线斜率的取值范围) 2010 年 (21) 曲线: 2y nx 即抛物线; 切线方程(求导法); 两种距离公式; 分析法证明;裂项求和知识; (1)求切线方程及特殊点的坐标; (2)最值问题(最大值时,求某点的坐 标); (3)证明不等式成立 2009 年 (19) 椭圆、圆; 点与圆的位置关系判断; (1)求方程(椭圆的方程); (2)求三角形的面积; (3)存在性问题(是否存在圆包含椭圆) 2008 年 (20) 椭圆、抛物线; 切线方程(求导法) 向量的数量积(垂直问题) 一元二次方程解的个数(判别式) (1)求方程(椭圆及抛物线的方程); (2)探究性问题(存在点 P 使得三角形 为直角三角形,点 P 的个数) 2007 年 (19) 圆、椭圆及定义; 两点间的距离公式; 解方程组; (1)求方程(圆的方程); (2)存在性问题(存在点与距离相等问 题)。 二、圆锥曲线试题研究: 1、曲线类型:以椭圆、抛物线为主,结合圆、直线或其它曲线进行综合考查。 2、试题特点: (1)综合性; (2)抽象性; (3)动态性; (4)新颖性; (5)问题的连惯性; (6)含参数。 3、试题中的问题类型: (1)求方程或轨迹类型:常在第一问中设置,以圆及圆锥曲线的方程为主; (2)与最值相关的类型:按题意要求,满足最大或最小值时,求某点或某知识; (3)存在性类型:据题意,判断是否存在点或图形满足题意,要说明理由; (4)探究性类型:根据题意,探究问题的多样性; (5)证明类型:根据给定条件,证明不等式或等式成立; (6)取值范围类型:设置参数,根据题意,求参数的取值范围或求其它的取值 范围。 4、解题常用的知识要点: (1)各圆锥曲线的知识,特别是椭圆、抛物线的定义; (2)圆、直线的相关知识,特别是直线的斜率知识; (3)求曲线轨迹的方法; (4)与最值相关的两种距离:点到直线的距离及两点间的距离; (5)一元二次方程(组)及不等式的相关知识:判别式,韦达定理,解方程组, 均值定理等; (6)与导数相关的知识,特别是求切线方程的知识。 5、常用的数学思想: (1)数形结合; (2)分类讨论。 三、圆锥曲线之高考链接 2012 文 20、(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 1C : 2 2 2 2 1x y a b   ( 0a b  )的左焦点 为 1( 1,0)F  ,且点 (0,1)P 在 1C 上. (1)求椭圆 1C 的方程; (2)设直线l 同时与椭圆 1C 和抛物线 2C : 2 4y x 相切,求直线l 的方程. 2011 文 21、(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 : 2l x   交 x 轴于点 A,设 P 是l 上一点, M 是线段 OP 的垂直平分线上一点,且满足 MPO AOP   . (1)当点 P 在l 上运动时,求点 M 的轨迹 E 的方程; (2)已知 (1, 1)T  .设 H 是 E 上动点,求| | | |HO HT 的最小值,并给出此时点 H 的坐标; (3)过点 (1, 1)T  且不平行于 y 轴的直线 1l 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点, 求直线 1l 的斜率 k 的取值范围. 2010 文 21、(本小题满分 14 分) 已知曲线 2 nC y nx: ,点 ( , )( 0, 0)n n n n nP x y x y  是曲线 nC 上的点( 1,2n  …). (1)试写出曲线 nC 在点 nP 处的切线 nl 的方程,并求出 nl 与 y 轴的交点 nQ 的坐标; (2)若原点 (0,0)O 到 nl 的距离与线段 n nP Q 的长度之比取得最大值,试求试点 nP 的坐标( ,n nx y ); (3)设m 与k 为两个给定的不同的正整数, nx 与 ny 是满足(2)中条件的点 nP 的 坐标, 证明: 1 ( 1) ( 1)2 s n n n m x k y ms ks       ( 1,2, )s  … 2009 文 19、(本小题满分 14 分) 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 2 3 ,两个焦点分别为 1F 和 2F , 椭 圆 G 上 一 点 到 1F 和 2F 的 距 离 之 和 为 12. 圆 kC : 0214222  ykxyx )( Rk  的圆心为点 kA . (1)求椭圆 G 的方程; (2)求 21FFAk 的面积; (3)问是否存在圆 kC 包围椭圆 G?请说明理由。 2008 文 20、(本小题满分 14 分) 设 0b  ,椭圆方程为 2 2 2 2 12 x y b b   ,抛物线方程为 2 8( )x y b  .如图 6 所 示,过点 (0 2)F b , 作 x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G ,已知抛 物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点 1F . (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 A B, 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物 线上是否存在点 P ,使得 ABP△ 为直角三角形?若存在,请 指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点 的坐标). 2007文19、(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆C与直线 y x 相切于坐标原点0.椭圆 2 2 2 19 x y a   与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离 之和为10. (1)求圆C的方程; (2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段 OF的长.若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. A y x O B G F F1 图 6 四、基础知识专项训练 1、圆锥曲线的定义: (1)方程 2 2 2 2( 6) ( 6) 8x y x y      表示的曲线是 。 (2)已知点 )0,22(Q 及抛物线 4 2xy  上一动点 ( , )p x y ,则 y+|PQ|的最小值 是 。 2、圆锥曲线的标准方程: (1)方程 2 2Ax By C  表示椭圆的充要条件是什么? (2)已知方程 123 22  k y k x 表示椭圆,则k 的取值范围为 。 (3)若 Ryx , ,且 623 22  yx ,则 yx  的最大值是_ , 22 yx  的最小值 是 。 提示:应用线性规划方法解。 (4)方程 2 2Ax By C  表示双曲线的充要条件是什么? (5)设中心在坐标原点O ,焦点 1F 、 2F 在坐标轴上,离心率 2e 的双曲线 C 过点 )10,4( P ,则 C 的方程为 。 (6)定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动,AB 中点为 M,求点 M 到 x 轴的最短距离。 3、圆锥曲线焦点位置的判断:(首先化成标准方程,然后再判断) 已知方程 121 22  m y m x 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围 是 。 4、圆锥曲线的几何性质: (1)若椭圆 15 22  m yx 的离心率 5 10e ,则 m 的值是 。 (2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆 长轴的最小值为 。 (3)双曲线的渐近线方程是 023  yx ,则该双曲线的离心率等于 。 (4)双曲线 2 2 1ax by  的离心率为 5 ,则 :a b = 。 提示:应用离心率的第二道公式。 (5)设双曲线 12 2 2 2  b y a x (a>0,b>0)中,离心率 e∈[ 2 ,2],则两条渐近线夹 角(锐角或直角)θ的取值范围是 。 (6)设 Raa  ,0 ,则抛物线 24axy  的焦点坐标为 。 5、直线与圆锥曲线的位置关系: (1)若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点,则 k 的取值范 围是 。 (2) 直 线 y ―kx ―1=0 与 椭 圆 2 2 15 x y m   恒 有 公 共点 , 则 m 的 取 值 范围 是 。 (3)过双曲线 121 22  yx 的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点,若│AB︱=4, 则这样的直线有 条。 (4)过点 )4,2( 作直线与抛物线 xy 82  只有一个公共点,这样的直线有 条。 (5)过点(0,2)与双曲线 1169 22  yx 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范 围为 。 (6)过双曲线 12 2 2  yx 的右焦点作直线l 交双曲线于 A、B 两点,若 AB 4,则 满足条件的直线l 有 条。 (7)对于抛物线 C: xy 42  ,我们称满足 0 2 0 4xy  的点 ),( 00 yxM 在抛物线的内 部,若点 ),( 00 yxM 在抛物线的内部,则直线l : )(2 00 xxyy  与抛物线 C 的位置 关系是 。 (8)过抛物线 xy 42  的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、 q ,则  qp 11 。 (9)设双曲线 1916 22  yx 的右焦点为 F ,右准线为l ,设某直线 m 交其左支、 右支和右准线分别于 RQP ,, ,则 PFR 和 QFR 的大小关系为 (填大 于、小于或等于)。 (10)求椭圆 2847 22  yx 上的点到直线 01623  yx 的最短距离。 (11)直线 1 axy 与双曲线 13 22  yx 交于 A 、B 两点。①当 a 为何值时, A 、 B 分别在双曲线的两支上?②当 a 为何值时,以 AB 为直径的圆过坐标原点? 6、弦长公式: (1)过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若 x1+x2=6,那么|AB|等于 。 (2)过抛物线 xy 22  焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,已知|AB|=10,O 为坐 标原点,则ΔABC 重心的横坐标为 。 (3)已知抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点恰为双曲线 2 212 4 3x y  的右焦点,过 抛物线的焦点且倾斜角为 3 4  的直线交抛物线于 1 1( , )P x y , 2 2( , )Q x y 两点,则 1 2| |y y 的值为( ) A. 2 B. 4 C. 4 2 D. 8 7、圆锥曲线的中点弦问:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在椭圆 12 2 2 2  b y a x 中,以 0 0( , )P x y 为中点的弦所在直线的斜率 k=- 0 2 0 2 ya xb ;在双 曲线 2 2 2 2 1x y a b   中,以 0 0( , )P x y 为中点的弦所在直线的斜率 k= 0 2 0 2 ya xb ;在抛物线 2 2 ( 0)y px p  中,以 0 0( , )P x y 为中点的弦所在直线的斜率 k= 0 p y 。 (1)如果椭圆 2 2 136 9 x y  弦被点 A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程 是 。 (2)已知直线 y=-x+1 与椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     相交于 A、B 两点,且线段 AB 的中点在直线 L:x-2y=0 上,则此椭圆的离心率为 。 (3)试确定 m 的取值范围,使得椭圆 134 22  yx 上有不同的两点关于直线 mxy  4 对称。 (4)抛物线 y=2x2 截一组斜率为 2 的平行直线,所得弦中点的轨迹方程 是 。 特别提醒:因为 0  是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解 有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验 0  ! 8、动点轨迹方程: (1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法: ①直接法:直接利用条件建立 ,x y 之间的关系 ( , ) 0F x y  ; 已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 3x 的距离之和等于 4,求 P 的轨迹方程。 ②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线 的方程,再由条件确定其待定系数。 线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0) )0( m ,端点 A、B 到 x 轴距离之积 为 2m,以 x 轴 为对 称轴 ,过 A 、O 、B 三 点作 抛物 线, 则此 抛物 线方 程 为 。 ③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写 出动点的轨迹方程; (1)由动点 P 向圆 2 2 1x y  作两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=600, 则动点 P 的轨迹方程为 。 (2)点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 05xl: 的距离小于 1,则点 M 的轨 迹方程是 。 (3) 一动圆与两圆⊙M: 122  yx 和⊙N: 012822  xyx 都外切,则 动圆圆心的轨迹为 。 ④代入转移法:动点 ( , )P x y 依赖于另一动点 0 0( , )Q x y 的变化而变化,并且 0 0( , )Q x y 又在某已知曲线上,则可先用 ,x y 的代数式表示 0 0,x y ,再将 0 0,x y 代入 已知曲线得要求的轨迹方程; 动点 P 是抛物线 12 2  xy 上任一点,定点为 )1,0( A ,点 M 分  PA 所成的比为 2,则 M 的轨迹方程为 。 ⑤参数法:当动点 ( , )P x y 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点 可用时,可考虑将 ,x y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数 得普通方程)。 (1)AB 是圆 O 的直径,且|AB|=2a,M 为圆上一动点,作 MN⊥AB,垂足为 N, 在 OM 上取点 P ,使| | | |OP MN ,求点 P 的轨迹。 (2)若点 ),( 11 yxP 在圆 122  yx 上运动,则点 ),( 1111 yxyxQ  的轨迹方程 是 。 (3)过抛物线 yx 42  的焦点 F 作直线l 交抛物线于 A、B 两点,则弦 AB 的 中点 M 的轨迹方程是 。 9、与向量相关的题: (1)已知双曲线 2 2 12 yx   的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 1 2 0,MF MF   则 点 M 到 x 轴的距离为( ) A 4 3 B 5 3 C 2 3 3 D 3 ( 2 ) 已 知 ji , 是 x,y 轴 正 方 向 的 单 位 向 量 , 设 a = jyix   )3( , b  = jyix   )3( ,且满足b  i =| a |.求点 P(x,y)的轨迹。 (3)已知 A,B 为抛物线 x2=2py(p>0)上异于原点的两点, 0OA OB   ,点 C 坐标 为(0,2p), ① 求证:A,B,C 三点共线; ② 若 AM = BM ( R )且 0OM AB   试求点 M 的轨迹方程。 10、圆锥曲线中线段的最值: (1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为 。 (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 。 (3)F 是椭圆 134 22  yx 的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,P 为椭圆上一 动点。 ① PFPA  的最 小值为 ;② PFPA 2 的最 小值 为 。 11、焦半径题(圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离):利用圆锥曲线的第二定义, 转化到相应准线的距离,即焦半径 r ed ,其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的 距离。 (1)已知椭圆 11625 22  yx 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3,则点 P 到右准线的 距离为 。 (2)已知抛物线方程为 xy 82  ,若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5,则它到抛 物线的焦点的距离等于 。 (3)若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4,则点 M 的坐标为 。 (4)点 P 在椭圆 1925 22  yx 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍, 则点 P 的横坐标为 。 (5)抛物线 xy 22  上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5,则线段 AB 的中点到 y 轴 的距离为 。 (6)椭圆 134 22  yx 内有一点 )1,1( P ,F 为右焦点,在椭圆上有一点 M,使 MFMP 2 之值最小,则点 M 的坐标为 。 12、焦点三角形题(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形): 对于椭圆 2 0tan | |2S b c y  ,当 0| |y b 即 P 为短轴端点时, maxS 的最大值 为 bc; 对于双曲线 2tan 2  bS  。 (1)短轴长为 5 ,离心率 3 2e 的椭圆的两焦点为 1F 、 2F ,过 1F 作直线交椭圆 于 A、B 两点,则 2ABF 的周长为 。 (2)设 P 是等轴双曲线 )0(222  aayx 右支上一点,F1、F2 是左右焦点,若 0212  FFPF ,|PF1|=6,则该双曲线的方程为 。 (3)椭圆 2 2 19 4 x y  的焦点为 F1、F2,点 P 为椭圆上的动点,当PF2 → ·PF1 → <0 时, 点 P 的横坐标的取值范围是 。 (4)双曲线的虚轴长为 4,离心率 e= 2 6 ,F1、F2 是它的左右焦点,若过 F1 的 直线与双曲线的左支交于 A、B 两点,且 AB 是 2AF 与 2BF 等差中项,则 AB = 。 (5)已知双曲线的离心率为 2,F1、F2 是左右焦点,P 为双曲线上一点,且 6021  PFF , 31221  FPFS .求该双曲线的标准方程。 13、了解其它结论: (1)双曲线 12 2 2 2  b y a x 的渐近线方程为 02 2 2 2  b y a x ; (2)以 xa by  为渐近线(即与双曲线 12 2 2 2  b y a x 共渐近线)的双曲线方程 为 (2 2 2 2  b y a x 为参数, ≠0); (3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 2 2 1mx ny  ; (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为 22b a ,焦准距 (焦点到相应准线的距离)为 2b c ,抛物线的通径为 2p ,焦准距为 p ; (5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点弦为 AB, 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,则 ① 1 2| |AB x x p   ;② 2 2 1 2 1 2,4 px x y y p   ; (7)若 OA、OB 是过抛物线 2 2 ( 0)y px p  顶点 O 的两条互相垂直的弦,则直线 AB 恒 经 五、解答题专项训练 常用方法:直接法和定义法。 1、已知点 P 是圆 x2+y2=4 上一个动点,定点 Q 的坐标为(4,0),求线段 PQ 的中 点的轨迹方程。 2、以抛物线 2 8y x 上的点 M 与定点 (6,0)A 为端点的线段 MA 的中点为 P,求 P 点的轨迹方程。 3、在面积为 1 的 PMN 中, 2 1tan M , 2tan N ,建立适当的坐标系,求出 以 M 、 N 为焦点且过 P 点的椭圆方程。 4、已知动圆过定点 1,0 ,且与直线 1x   相切, 求动圆的圆心轨迹C 的方程。 5、已知:直线 L 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上。若点 A(-1,0)和点 B(0,8)关于 L 的对称点都在 C 上,求直线 L 和抛物线 C 的方 程。 6、设抛物线 2: xyC  的焦点为 F,动点 P 在直线 02:  yxl 上运动,过 P 作 抛物线 C 的两条切线 PA、PB,且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点,(1)求△APB 的重心 G 的轨迹方程; 7、动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹 方程。 8、已知平面内一动点 P 到点 (1,0)F 的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1, (1)求动点 P 的轨迹C 的方程; 9、已知圆C 方程为: 2 2 4x y  , (1)直线l 过点  1,2P ,且与圆C 交于 A 、B 两点,若| | 2 3AB  ,求直线l 的 方程; 10、已知椭圆 C: 2 2 2 2 b y a x  =1(a>b>0)的离心率为 3 5 ,短轴一个端点到右焦点 的距离为 3.(1)求椭圆 C 的方程; 11、已知椭圆以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,且该椭圆以抛物线 xy 162  的焦点 P 为其一个焦点,以双曲线 1916 22  yx 的焦点Q 为顶点。(1)求椭圆的标 准方程; 12、已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线 21 4y x 的焦点,离心率为 2 5 5 .(1)求椭圆 C 的标准方程; 13 、已 知 椭 圆 的 一 个 顶 点 为  0, 1A  , 焦 点 在 x 轴 上 . 若 右 焦 点 到 直 线 022  yx 的距离为 3.求椭圆的标准方程; 14、已知椭圆 :C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 6 3 ,椭圆短轴的一个端点与两 个焦点构成的三角形的面积为 5 2 3 .(1)求椭圆C 的方程; 15、已知椭圆 E :   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的一个焦点为  1 3,0F  ,而且过点 13, 2H      .(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; 16、已知椭圆C : 12 2 2 2  b y a x ( 0 ba )的离心率 2 1e ,且经过点 )3 , 2(A . (1)求椭圆C 的方程; 17、已知双曲线 2 2 1 : ( 0)C x y m m   与椭圆 2 2 2 2 2: 1x yC a b   有公共焦点 1 2,F F , 点 ( 2,1)N 是它们的一个公共点.(1)求 1 2,C C 的方程; 18 、 已 知 椭 圆 1C :   2 2 2 1 0 24 x y bb     的 离 心 率 等 于 3 2 , 抛 物 线 2C :  2 2 0x py p  的焦点在椭圆的顶点上。(1)求抛物线 2C 的方程; 19、已知椭圆 1C : 2 2 2 2 1x y a b   ( 0a b  )的离心率为 3 3 ,直线 : 2L y x  与以原 点为圆心、以椭圆 1C 的短半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆 1C 的方程; 附录:圆锥曲线之高考链接参考答案 2012 文 20、解:(1)因为椭圆 1C 的左焦点为 1( 1,0)F  ,所以 1c  , 点 (0,1)P 代入椭圆 2 2 2 2 1x y a b   ,得 2 1 1b  ,即 1b  , 所以 2 2 2 2a b c   ,所以椭圆 1C 的方程为 2 2 12 x y  . (2)直线l 的斜率显然存在,设直线l 的方程为 y kx m  , 2 2 12 x y y kx m       ,消去 y 并整理得 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x kmx m     ,因为直线l 与 椭圆 1C 相切,所以 2 2 2 216 4(1 2 )(2 2) 0k m k m      ,整理得 2 22 1 0k m   ① 2 4y x y kx m      ,消去 y 并整理得 2 2 2(2 4) 0k x km x m    。 因为直线l 与抛物线 2C 相切,所以 2 2 2(2 4) 4 0km k m     ,整理得 1km  ② 综合①、②,解得 2 2 2 k m     或 2 2 2 k m       。 所以直线l 的方程为 2 22y x  或 2 22y x   。 2011 文 21、解:(1)如图 1,符合 MPO AOP   的点 M 可以在 PO 的左侧和 右侧。 当 M 在 PO 左侧时,显然点 M 是 PO 垂直平分线与 X 轴的交点, 所以易得 M 的轨迹方程为:y=0(x<-1) , 当 M 在 PO 右侧时, MPO AOP   ,所以 PM//x 轴,设 M(x,y),则 P(-2,y), 因 为 M 在 PO 的 垂 直 平 分 线 上 , 所 以 MP MO , 即 : 2 2 22 , 4( 1)x x y x y    得: (x 1)  , 综上所述:当点 P 在l 上运动时,点 M 的轨迹 E 的方程为: y=0(x<-1) 和 24 4x y  (x 1)  如图: (2)当 H 在方程 y=0(x<-1)运动时,显然 HO HT CO CT   当 H 在方程 24 4x y  (x 1)  上运动时,HO HT HP HT   ,由图知当 P,H,T 三点共 线时, HP HT HO HT 取得最小值,即 取得最 小值,显 然此时 HO HT  CO CT , 当 PT 直线与 x 轴平行时,PT 直线与曲线 E 的交点即为所求的 H,设 H(x,-1), 因为 H 在 24 4x y  上,得 x= 4 3  ,所以 H( 4 3  ,-1), 综上所得:( HO HT )min=1-(-2)=3。H( 4 3  ,-1); (3)设直线 l1:y+1=k(x-1),联立 24 4x y  得: 2 2 2 22( 2 2) 2 3 0k x k k x k k       当 k=0 时,显然只有一个交点,不成立。 当 k 0 时, 216(2 1) 0k k     恒成立。所以当 k 0 时,直线 l1 与轨迹 E 至少 有两个交点。 可见 l1 与 y=0(x<-1) 不能有交点,当直线 l1 过点 C 时,k= 1 0 1 1 1 2     ( ) 由图可知,当直线 l1 与轨迹 E 有且仅有两个交点时,k 1] 02      ( , ( , ) 2010 文 21、解:(1)∵ 2y nx  ,∴ 2 nk nx , 切线 nl 的方程为 2 ( )n n ny y nx x x   , 令 0x  得, 2 2 2 22 2n n n n ny nx y nx nx nx        ,即 2(0, )n nQ nx 。 (2)切线 nl 的方程可写成: 22 2 0n n nnx x y nx y    , 原点 (0,0)O 到 nl 的距离为 2 2 2 2 2 2 (2 ) 1 4 1 n n n n n y nx nxd nx n x      , 线段 n nP Q 的长度为 2 2 2 2 2(2 ) 1 4n n n n n nP Q x nx x n x    , 故, 2 2 1 1 11 4 44 n n n n n n nxd P Q n x nxnx     , 当且仅当 1 4 n n nxnx  ,即 1 2nx n  时取等号“=”, 此时 2 1 4n ny nx n   ,点 nP 的坐标为 1 1( , )2 4n n 。 2009 文 19、解:(1)设椭圆 G 的方程为: 2 2 2 2 1x y a b   ( 0a b  )半焦距为 c, 则 2 12 3 2 a c a   , 解得 6 3 3 a c   , 2 2 2 36 27 9b a c      , 所求椭圆 G 的方程 为 : 2 2 136 9 x y  . ( 2 ) 点 KA 的 坐 标 为  ,2K , 1 2 1 2 1 12 6 3 2 6 32 2KA F FS F F      V (3)若 0k  ,由 2 26 0 12 0 21 5 12 0k k       可知点(6,0)在圆 kC 外, 若 0k  ,由 2 2( 6) 0 12 0 21 5 12 0k k        可知点(-6,0)在圆 kC 外; 不论 K 为何值圆 kC 都不能包围椭圆 G.。 2008 文 20、解:(1)由 2 8( )x y b  得 21 8y x b  , 当 2y b  时, 4x   , G 点的坐标为(4 2)b , , 1 4y x  , 4| 1xy   ,过点G 的切线方程为 ( 2) 4y b x    ,即 2y x b   , 令 0y  得 2x b  , 1F 点的坐标为(2 0)b , ; 由椭圆方程得 1F 点的坐标为( 0)b, , 2 b b   ,即 1b  , 因此,所求的椭圆方程及抛物线方程分别为 2 2 12 x y  和 2 8( 1)x y  . (2) 过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P , 以 PAB 为直角的 Rt ABP△ 只有一个, 同理以 PBA 为直角的 Rt ABP△ 只有一个;若以 APB 为直角,设 P 点的坐标为 21 18x x    , , 则 A B, 坐 标 分 别 为 ( 2 0) ( 2 0) ,, , , 由 2 2 212 1 08AB AB x x           得 4 21 5 1 064 4x x   , 关于 2x 的一元二次方程有一解, x 有二解,即以 APB 为直角的 Rt ABP△ 有二 个; 因此抛物线上共存在 4 个点使 ABP△ 为直角三角形. 2007文19、解:(1)设圆的方程为 2 2( ) ( ) 8x s y t    ………………………2分 依题意 2 2 8s t  , | | 2 2 2 s t  , 0, 0s t  …………5分 解得 2, 2s t   ,故所求圆的方程为 2 2( 2) ( 2) 8x y    ……………………7 分 (注:此问若结合图形加以分析会大大降低运算量!) (2)由椭圆的第一定义可得 2 10 5a a   ,故椭圆方程为 2 2 125 9 x y  ,焦点 (4,0)F ……9分 设 0 0( , )Q x y , 依 题 意 2 2 0 0( 4) 16x y   , 2 2 0 0( 2) ( 2) 8x y    …………………11分 解得 0 0 4 12,5 5x y  或 0 00, 0x y  (舍去) ……………………13分 存在 4 12( , )5 5Q ……14分 附录:基础知识专项训练参考答案 1、圆锥曲线的定义: (1)双曲线的左支; (2)2; 2、圆锥曲线的标准方程: (1)ABC≠0,且 A,B,C 同号,A≠B; (2) 1 1( 3, ) ( ,2)2 2    ; (3) 5,2 ;提示:应用线性规划方法解。 (4)ABC≠0,且 A,B 异号; (5) 2 2 6x y  ; (6) 4 5 ; 3、圆锥曲线焦点位置的判断:(首先化成标准方程,然后再判断) )2 3,1()1,(  ; 4、圆锥曲线的几何性质: (1)3 或 3 25 ; (2) 22 ; (3) 13 2 或 13 3 ; (4)4 或 1 4 ;提示:应用离心率的第二道公式。 (5)[ , ]3 2   ; (6) )16 1,0( a ; 5、直线与圆锥曲线的位置关系: (1)(- 3 15 ,-1);(2)[1,5)∪(5,+∞);(3)3;(4)2; (5) 4 4 5,3 3        ; F A P H B Q (6)3;(7)相离; (8)1; (9)等于;(10)8 13 13 ;(11)① 3, 3 ; ② 1a   。 6、弦长公式: (1)8 ; (2)3 ; (3)C 7、圆锥曲线的中点弦问: (1) 2 8 0x y   ; (2) 2 2 ; (3) 2 13 2 13,13 13      ; (4) )2 1(2 1  yx ; 8、动点轨迹方程: ①直接法:直接利用条件建立 ,x y 之间的关系 ( , ) 0F x y  ; 2 12( 4)(3 4)y x x     或 2 4 (0 3)y x x   ; ②待定系数法: 2 2y x ; ③定义法:(1) 2 2 4x y  ; (2) 2 16y x ;(3)双曲线的一支; ④代入转移法: 3 16 2  xy ; ⑤参数法:(1) 2 2 | |x y a y  ; (2) 2 12 1(| | )2y x x   ; (3) 2 2 2x y  ; 9、与向量相关的题:(1)C (2)解: 2( 3) 3b i x i yi j x            ,∴ 2 23 ( 3)x x y    ,化简 得 2 4 3y x , 故,点 P 的轨迹是以( 3 ,0)为焦点以 3x   为准线的抛物线。 (3)① 证明:设 2 2 1 2 1 2( , ), ( , )2 2 x xA x B xp p ,由 0OA OB   得 2 2 21 2 1 2 1 20, 42 2 x xx x x x pp p      ,又 2 2 2 1 2 1 1 2 1( ,2 ), ( , )2 2 x x xAC x p AB x xp p        2 2 2 2 1 1 1 2 1(2 ) ( ) 02 2 x x xx p x xp p        , //AC AB  ,即 A,B,C 三点共线。 ② 解:由(1)知直线 AB 过定点 C,又由 0OM AB   及 AM = BM ( R ) 知 OMAB,垂足为 M,所以点 M 的轨迹为以 OC 为直径的圆,除去坐标原点。即 点 M 的轨迹方程为 x2+(y-p)2=p2(x0,y0)。 10、圆锥曲线中线段的最值: 分析:(1)A 在抛物线外,如图,连 PF,则 PFPH  ,因而易发 现,当 A、P、F 三点共线时,距离和最小。 (2)B 在抛物线内,如图,作 QR⊥l 交于 R,则当 B、Q、R 三点共 线时,距离和最小。 解:(1)(2, 2 )(2)( 1,4 1 )。 F ′ F P H y 0 x A (3)解:① 4- 5 , 设另一焦点为 F ,则 F (-1,0)连 A F ,P F , 542)(22  FAaPAFPaFPaPAPFPA , 当 P 是 F A 的延长线与椭圆的交点时, PFPA  取得最小值为 4- 5 。 ② 3 ,作出右准线 l,作 PH⊥l 交于 H,因 a2=4,b2=3,c2=1, a=2,c=1,e= 2 1 , ∴ PHPFPHPF  2,2 1 即 ,∴ PHPAPFPA  2 当 A、P、H 三点共线时,其和最小,最小值为 314 2  Axc a 11、焦半径题(圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离):利用圆锥曲线的第二定义, 转化到相应准线的距离,即焦半径 r ed ,其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的 距离。 (1)35 3 ; (2)7 ; (3)(2, 4) ; (4)25 12 ; (5)2 ; (6) )1,3 62(  ; 12、焦点三角形题(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形): (1)6 ; (2) 2 2 4x y  ; (3) 3 5 3 5( , )5 5  ;(4)8 2 ;(5) 2 2 14 12 x y  。 附录:解答题专项训练参考答案 1、解:设线段 PQ 的中点坐标为 M(x,y),由 Q(4,0),得点 P(2x-4,2y), 代入圆的方程 x2+y2=4, 得(2x-4)2+(2y)2=4, 整理可得 所求轨迹为(x-2)2+y2=1. 2、解:设点 0 0( , ), ( , )M x y P x y ,则 0 0 6 2 2 xx yy     ,∴ 0 0 2 6 2 x x y y     . 代入 2 0 08y x 得: 2 4 12y x  . 此即为点 P 的轨迹方程. 3、解:以 MN 的中点为原点,MN 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,设 ),( yxP . 则            .1 ,2 1 ,2 cy cx y cx y ∴         2 3 3 4 3 5 ccy cx 且 即 ) 3 2, 32 5(P ∴        ,4 3 ,13 4 12 25 22 22 ba ba 得      .3 ,4 15 2 2 b a ∴所求椭圆方程为 1315 4 22  yx . 4、解:设 M 为动圆圆心, F  1,0 ,过点 M 作直线 1x   的垂线,垂足为 N , 由题意知: MF MN , 即动点 M 到定点 F 与定直线 1x   的距离相等, 由抛物线的定义知,点 M 的轨迹为抛物线,其中  1,0F 为焦点, 1x   为准线, ∴ 动点 R 的轨迹方程为 xy 42  . 5、解:设 A、B 关于 L 的对称点分别为 A/、B/,则利用对称性可求得它们的坐标 分别为:A/( 1 2, 1 1 22 2     k k k k ),B/( 1 )1(8, 1 16 2 2 2    k k k k )。因为 A/、B/均在抛物线上, 代入,消去 p,得:k2-k-1=0.解得:k= 2 51 ,p= 5 52 .所以直线 L 的方程为: y= 2 51 x,抛物线 C 的方程为 y2= 5 54 x. 6、解:(1)设切点 A、B 坐标分别为 ))((,(),( 01 2 11 2 0 xxxxxx 和 , ∴ 切 线 AP 的 方 程 为 : ;02 2 00  xyxx 切 线 BP 的 方 程 为 : ;02 2 11  xyxx 解得 P 点的坐标为: 10 10 ,2 xxyxxx PP  所以△APB 的重心 G 的坐标为 P P G xxxxx  3 10 , ,3 4 3 )( 33 2 10 2 1010 2 1 2 010 pPP G yxxxxxxxxxyyyy  所以 243 GGp xyy  ,由点 P 在直线 l 上运动,从而得到重心 G 的轨迹方程 x y 0A B C M D 5 为: ).24(3 1,02)43( 22  xxyxyx 即 7、分析:作图时,要注意相切时的“图形特征”:两个圆心与切点这三点共线(如 图中的 A、M、C 共线,B、D、M 共线)。列式的主要途径是动圆的“半径等于半 径”(如图中的 MDMC  )。 7、解:如图, MDMC  ,∴ 26  MBMADBMBMAAC 即 , ∴ 8 MBMA (*) ∴点 M 的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b2=15 轨迹方程为 11516 22  yx 点评:得到方程(*)后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列式求解, 即列出 4)1()1( 2222  yxyx ,再移项,平方,…相当于将椭圆标准方程推 导了一遍,较繁琐! 8. 解:(1)设动点 P 的坐标为( , )x y ,由题意为 2 2( 1) | | 1.x y x    化简得 2 2 2 | |,y x x  当 20 , 4 ; 0x y x x  时 当 时,y=0. 所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为 2, 4 ( 0) 0)y x x x  和y=0( . 9. 解:(1)①当直线l 垂直于 x 轴时,则此时直线方程为 1x ,l 与圆的两个交 点坐标为 3,1 和 3,1  ,其距离为 32 满足题意 …1 分 ②若直线l 不垂直于 x 轴,设其方程为  12  xky ,即 02  kykx 设圆心到此直线的距离为 d ,则 24232 d ,得 1d ∴ 1 |2|1 2   k k , 3 4k  , 故所求直线方程为3 4 5 0x y   综上所述,所求直线为3 4 5 0x y   或 1x 10. 解:(1)设椭圆的半焦距为c ,依题意           222 3 3 5 cba a a c 2b , 所求椭圆方程为 149 22  yx 11.解:(1)抛物线 xy 162  的焦点 P 为(4,0) ,双曲线 1916 22  yx 的焦点Q 为 (5,0) ∴可设椭圆的标准方程为 2 2 2 2 1x y a b   ,由已知有 0a b  ,且 5a  , 4c  ∴ 2 25 16 9b    ,∴椭圆的标准方程为 2 2 125 9 x y  。 12.解:(1)设椭圆 C 的方程为 2 2 2 2 1x y a b   ( a >b >0 ), 抛物线方程化为 2 4x y ,其焦点为 (0,1) , 则椭圆 C 的一个顶点为 (0,1) , 即 1b  由 2 2 2 2 5 5 c a be a a    ,∴ 2 5a  , 所以椭圆 C 的标准方程为 2 2 15 x y  13.解:(1)依题意可设椭圆方程为 12 2 2  y a x ,则右焦点  2 1,0F a  由题设 3 2 2212  a ,解得 32 a , 故,所求椭圆的方程为 1 3 2 2  yx 14.解:(1)因为 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     满足 2 2 2a b c  , 6 3 c a  , 1 5 222 3b c   ,解得 2 2 55, 3a b  , 则椭圆方程为 2 2 155 3 x y  . 15.解:(Ⅰ)解法一:由题意得 2 2 3a b  , 2 2 3 1 14a b   ,解得 2 24, 1a b  , 所以椭圆 E 的方程为 2 2 14 x y  . 解法二:椭圆的两个交点分别为    1 23,0 , 3,0F F , 由椭圆的定义可得 1 2 7 12 | | | | 42 2a PF PF     ,所以 2a  , 2 1b  , 所以椭圆 E 的方程为 2 2 14 x y  . 16.解:(1)依题意, 2 122  a ba a ce , 从而 22 4 3 ab  点 )3 , 2(A 在椭圆上,所以 194 22  ba , 解得 162 a , 122 b 椭圆C 的方程为 11216 22  yx . 17.解:(1)点 ( 2,1)N 是双曲线 2 2 1 : ( 0)C x y m m   上的点, 2( 2) 1 1m    . ∴双曲线 2 2 1 : 1C x y  ,从而 1 2( 2,0), ( 2,0)F F ,∴ 2 2a b ,且 2 2 2a b  ① 又点 ( 2,1)N 在椭圆上,则 2 2 2 1 1a b   ② 由①②得 2 24, 2a b  , 所以,椭圆的方程为 2 2 14 2 x y  . 18.解:(1)已知椭圆的长半轴为 2,半焦距为 24c b  ,由离心率等于 24 3 2 2 c be a    2 1b  ,椭圆的上顶点 0,1 , 抛物线的焦点为 0,1 ,抛物线的方程为 2 4x y 19.解:(1)∵ 3 3e  ,∴ 2e = 2 2 c a = 2 2 2 a b a  = 1 3 ,∴ 2 22 3a b . ∵直线 : 2L y x  与圆 2 2 2x y b  相切,∴ 2b  , 2 2b  ,∴ 2 3a  . ∴椭圆 1C 的 方程是 2 2 13 2 x y  .