2013高考数学教案和学案有答案学案42 10页

第9章　解析几何 学案42　直线与方程 导学目标： 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系．‎ 自主梳理 ‎1．直线的倾斜角与斜率 ‎(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按__________方向旋转到和直线重合时所转过的____________称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__________．‎ ‎(2)倾斜角的范围为________________．‎ ‎(3)倾斜角与斜率的关系：α≠90°时，k＝________，倾斜角是90°的直线斜率________．‎ ‎(4)过两点的直线的斜率公式：‎ 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝______________________.‎ ‎2．直线方程的五种基本形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含直线x＝x0‎ 斜截式 不含垂直于x轴的直线 两点式 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)‎ 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 自我检测 ‎1．若A(－2,3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为________．‎ ‎2．直线l与两条直线x－y－7＝0，y＝1分别交于P、Q两点，线段PQ的中点为(1，－1)，则直线l的斜率为__________________________________________________________．‎ ‎3．下列四个命题中，假命题是________(填序号)．‎ ‎①经过定点P(x0，y0)的直线不一定都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示；‎ ‎②经过两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)来表示；‎ ‎③与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程＋＝1表示；‎ ‎④经过点Q(0，b)的直线都可以表示为y＝kx＋b.‎ ‎4．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过第________象限．‎ ‎5．已知直线l的方向向量与向量a＝(1,2)垂直，且直线l过点A(1,1)，则直线l的方程为______________．‎ 探究点一　倾斜角与斜率 例1　已知两点A(－1，－5)、B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求l的斜率．‎ 变式迁移1　直线xsin α－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是______________．‎ 探究点二　直线的方程 例2　过点M(0,1)作直线，使它被两直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程．‎ 变式迁移2　求适合下列条件的直线方程：‎ ‎(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；‎ ‎(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．‎ 探究点三　直线方程的应用 例3　过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：‎ ‎(1)△AOB面积最小时l的方程；‎ ‎(2)PA·PB最小时l的方程．‎ 变式迁移3　为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝‎100 m，BC＝‎80 m，AE＝‎30 m，AF＝‎20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？‎ 数形结合思想 例　(14分)已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)．‎ 试求的最大值与最小值．‎ ‎【答题模板】‎ 解　由的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k，[4分]‎ 由图可知：‎ kPA≤k≤kPB，由已知可得：A(1,1)，B(－1,5)，‎ ‎∴≤k≤8，[10分]‎ 故的最大值为8，最小值为.[14分]‎ ‎【突破思维障碍】‎ 解决这类问题的关键是弄清楚所求代数式的几何意义，借助数形结合，将求最值问题转化为求斜率取值范围问题，简化了运算过程，收到事半功倍的效果．‎ ‎1．要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的范围为0°≤α<180°，熟记斜率公式k＝，该公式与两点顺序无关．已知两点坐标(x1≠x2)，根据该公式可以求出经过两点的直线斜率，而 x1＝x2，y1≠y2时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.‎ ‎2．当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式＝求直线方程，但都可以写成(x2－‎ x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式．直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化成一般式，但是有些直线的一般式方程不能化成点斜式、斜截式、两点式或截距式．‎ ‎3．使用直线方程时，一定要注意限制条件以免解题过程中丢解，如点斜式的使用条件是直线必须有斜率，截距式的使用条件是截距存在且不为零，两点式的使用条件是直线不与坐标轴垂直．‎ ‎(满分：90分)‎ 一、填空题(每小题6分，共48分)‎ ‎1．已知直线l经过A(2,1)、B(1，m2) (m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是__________________．‎ ‎2．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是________．‎ ‎3．点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，那么2x＋4y的最小值是________．‎ ‎4．(2011·淮安期末)点A(a＋b，ab)在第一象限内，则直线bx＋ay－ab＝0一定不经过第________象限．‎ ‎5．经过点P(2，－1)，且在y轴上的截距等于它在x轴上的截距的2倍的直线l的方程为________．‎ ‎6．过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,‎2m)的直线l的倾斜角为45°，则m＝________.‎ ‎7．过点P(－1,2)，且方向向量为a＝(－1,2)的直线方程为______________．‎ ‎8．(2011·上海)若直线l过点(3,4)，且(1,2)是它的一个法向量，则直线l的方程为________．‎ 二、解答题(共42分)‎ ‎9．(14分)已知两点A(－1,2)，B(m,3)，求：‎ ‎(1)直线AB的斜率k；‎ ‎(2)求直线AB的方程；‎ ‎(3)已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的范围．‎ ‎10．(14分)已知线段PQ两端点的坐标分别为(－1,1)、(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，求m的范围．‎ ‎11．(14分)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0 (k∈R)．‎ ‎(1)证明：直线l过定点；‎ ‎(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；‎ ‎(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．‎ 学案42　直线与方程 答案 自主梳理 ‎1．(1)逆时针　最小正角　0°　(2)0°≤α<180°　(3)tan α　不存在　(4)　2．y－y0＝k(x－x0)　y＝kx＋b　＝　＋＝1　Ax＋By＋C＝0(A、B不全为0)‎ 自我检测 ‎1．　2．－　3．④　4．三　5.x＋2y－3＝0‎ 课堂活动区 例1　解题导引　斜率与倾斜角常与三角函数联系，本题需要挖掘隐含条件，判断角的范围．关键是熟练掌握好根据三角函数值确定角的范围这一类题型．‎ 解　设直线l的倾斜角为α，则直线AB的倾斜角为2α，‎ 由题意可知：tan 2α＝＝，∴＝.‎ 整理得3tan2α＋8tan α－3＝0.‎ 解得tan α＝或tan α＝－3，∵tan 2α＝>0，‎ ‎∴0°<2α<90°，∴0°<α<45°，∴tan α>0，‎ 故直线l的斜率为.‎ 变式迁移1　∪ 解析　直线xsin α－y＋1＝0的斜率是k＝sin α，‎ 又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k≤1.‎ 当0≤k≤1时，倾斜角的范围是，‎ 当－1≤k<0时，倾斜角的范围是.‎ 例2　解题导引　(1)对直线问题，要特别注意斜率不存在的情况．‎ ‎(2)求直线方程常用方法——待定系数法．‎ 待定系数法就是根据所求的具体直线设出方程，然后按照它们满足的条件求出参数．‎ 解　方法一　过点M且与x轴垂直的直线是y轴，它和两已知直线的交点分别是和(0,8)，‎ 显然不满足中点是点M(0,1)的条件．‎ 故可设所求直线方程为y＝kx＋1，与两已知直线l1、l2分别交于A、B两点，联立方程组 ①‎ ②‎ 由①解得xA＝，由②解得xB＝.‎ ‎∵点M平分线段AB，∴xA＋xB＝2xM，‎ 即＋＝0，解得k＝－.‎ 故所求直线方程为x＋4y－4＝0.‎ 方法二　设所求直线与已知直线l1、l2分别交于A、B两点．‎ ‎∵点B在直线l2：2x＋y－8＝0上，故可设B(t,8－2t)．‎ 又M(0,1)是AB的中点，‎ 由中点坐标公式，得A(－t,2t－6)．‎ ‎∵A点在直线l1：x－3y＋10＝0上，‎ ‎∴(－t)－3(2t－6)＋10＝0，解得t＝4.‎ ‎∴B(4,0)，A(－4,2)，‎ 故所求直线方程为x＋4y－4＝0.‎ 变式迁移2　解　(1)方法一　设直线l在x，y轴上的截距均为a，‎ 若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，‎ ‎∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.‎ 若a≠0，则设l的方程为＋＝1，‎ ‎∵l过点(3,2)，∴＋＝1，‎ ‎∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，‎ 综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.‎ 方法二　由题意知，所求直线的斜率k存在且k≠0，设直线方程为y－2＝k(x－3)，‎ 令y＝0，得x＝3－，令x＝0，得y＝2－3k，‎ 由已知3－＝2－3k，‎ 解得k＝－1或k＝，‎ ‎∴直线l的方程为：y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)，‎ 即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.‎ ‎(2)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，‎ 则所求直线的倾斜角为2α.‎ ‎∵tan α＝3，∴tan 2α＝＝－.‎ 又直线经过点A(－1，－3)，‎ 因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，‎ 即3x＋4y＋15＝0.‎ 例3　解题导引　先设出A、B所在的直线方程，再求出A、B两点的坐标，表示出△ABO的面积，然后利用相关的数学知识求最值．‎ 确定直线方程可分为两个类型：一是根据题目条件确定点和斜率或确定两点，进而套用直线方程的几种形式，写出方程，此法称直接法；二是利用直线在题目中具有的某些性质，先设出方程(含参数或待定系数)，再确定参数值，然后写出方程，这种方法称为间接法．‎ 解　设直线的方程为＋＝1 (a>2，b>1)，‎ 由已知可得＋＝1.‎ ‎(1)∵2 ≤＋＝1，∴ab≥8.‎ ‎∴S△AOB＝ab≥4.‎ 当且仅当＝＝，‎ 即a＝4，b＝2时，S△AOB取最小值4，‎ 此时直线l的方程为＋＝1，‎ 即x＋2y－4＝0.‎ ‎(2)由＋＝1，得ab－a－2b＝0，变形得(a－2)(b－1)＝2，‎ PA·PB＝· ‎＝ ‎≥.‎ 当且仅当a－2＝1，b－1＝2，‎ 即a＝3，b＝3时，PA·PB取最小值4.‎ 此时直线l的方程为x＋y－3＝0.‎ 变式迁移3　解　如图所示建立直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，‎ ‎∴线段EF的方程为＋＝1(0≤x≤30)．‎ 在线段EF上取点P(m，n)，‎ 作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，‎ 设矩形PQCR的面积为S，‎ 则S＝PQ·PR＝(100－m)(80－n)．‎ 又＋＝1(0≤m≤30)，‎ ‎∴n＝20(1－)．‎ ‎∴S＝(100－m)(80－20＋m)‎ ‎＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)．‎ ‎∴当m＝5时，S有最大值，‎ 这时＝＝5.‎ 所以当矩形草坪的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成5∶1时，草坪面积最大．‎ 课后练习区 ‎1．∪　2．　3．4 ‎4．三 解析　由已知得即a>0，b>0.‎ 由bx＋ay－ab＝0知y＝－x＋b.‎ ‎∴该直线的斜率k<0且在y轴上的截距b>0，故该直线一定不经过第三象限．‎ ‎5．2x＋y－3＝0或x＋2y＝0‎ 解析　当截距不等于零时，设l的方程＋＝1，‎ ‎∵点P在l上，∴－＝1，则a＝.‎ ‎∴l的方程为2x＋y＝3.当截距等于零时，设l的方程为y＝kx，又点P在l上，‎ ‎∴k＝－.∴x＋2y＝0.‎ 综上，所求直线l的方程为2x＋y＝3或x＋2y＝0.‎ ‎6．－2‎ 解析　由题意得：＝1，‎ 解得：m＝－2或m＝－1.‎ 又m2＋2≠3－m－m2，‎ ‎∴m≠－1且m≠，‎ ‎∴m＝－2.‎ ‎7．2x＋y＝0‎ 解析　由已知方向向量得直线斜率k＝－2，∴由点斜式方程得2x＋y＝0.‎ ‎8．x＋2y－11＝0‎ 解析　由题意可得直线l的斜率k＝－，‎ ‎∴直线l的方程是y－4＝－(x－3)，‎ 即x＋2y－11＝0.‎ ‎9．解　(1)当m＝－1时，‎ 直线AB的斜率不存在；(1分)‎ 当m≠－1时，k＝.(3分)‎ ‎(2)当m＝－1时，AB的方程为x＝－1，(5分)‎ 当m≠－1时，AB的方程为y－2＝(x＋1)，‎ 即y＝＋.(7分)‎ ‎∴直线AB的方程为x＝－1或y＝＋.‎ ‎(8分)‎ ‎(3)①当m＝－1时，α＝；(10分)‎ ‎②当m≠－1时，‎ ‎∵k＝∈(－∞，－]∪，‎ ‎∴α∈∪.(13分)‎ 综合①②，知直线AB的倾斜角 α∈.(14分)‎ ‎10．‎ 解　方法一　直线x＋my＋m＝0恒过A(0，－1)点．(4分)‎ kAP＝＝－2，‎ kAQ＝＝，(8分)‎ 则－≥或－≤－2，‎ ‎∴－≤m≤且m≠0.(12分)‎ 又m＝0时直线x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，(13分)‎ ‎∴所求m的范围是－≤m≤.(14分)‎ 方法二　过P、Q两点的直线方程为 y－1＝(x＋1)．(5分)‎ 即y＝x＋，代入x＋my＋m＝0，‎ 整理得：x＝－，由已知－1≤－≤2，(12分)‎ 解得：－≤m≤.(14分)‎ ‎11．(1)证明　直线l的方程是：k(x＋2)＋(1－y)＝0，‎ 令，解之得，‎ ‎∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．(4分)‎ ‎(2)解　由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有，解之得k>0；(7分)‎ 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.(9分)‎ ‎(3)解　由l的方程，得A，‎ B(0,1＋2k)．依题意得　‎ 解得k>0.(11分)‎ ‎∵S＝·OA·OB＝··|1＋2k|‎ ‎＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，‎ ‎“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，∴Smin＝4，此时l：x－2y＋4＝0.(14分)‎