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- 2021-05-13 发布
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第1讲 函数的图象与性质
[考情考向分析] 1.高考对函数的三要素,函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主,难度中等偏下.2.对图象的考查主要有两个方面:一是识图,二是用图,即利用函数的图象,采用数形结合的思想解决问题.3.对函数性质的考查,主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查,既有具体函数也有抽象函数.常以选择题、填空题的形式出现,且常与新定义问题相结合,难度较大.
热点一 函数的性质及应用
1.单调性:单调性是函数在其定义域上的局部性质.利用定义证明函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.
2.奇偶性
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
(2)在公共定义域内:
①两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数;
②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数;
③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数.
(3)若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.
(4)若f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|).
(5)图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.
3.周期性
定义:周期性是函数在定义域上的整体性质.若函数在其定义域上满足f(a+x)=f(x)(a≠0),则其一个周期T=|a|.
常见结论:
(1)若f(x+a)=-f(x),则函数f(x)的最小正周期为2|a|,a≠0.
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(2)若f(x+a)=,则函数f(x)的最小正周期为2|a|,a≠0.
(3)若f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称.
例1 (1)设函数f(x)=的最大值为M,最小值为N,则(M+N-1)2 018的值为( )
A.1 B.2 C.22 018 D.32 018
答案 A
解析 由已知x∈R,f(x)=
==+1,
令g(x)=,易知g(x)为奇函数,
由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0,
M+N=f(x)max+f(x)min=g(x)max+1+g(x)min+1=2,(M+N-1)2 018=1,故选A.
(2)已知定义在R上的函数f(x)满足:函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且x≥0时恒有f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=ex-1,则f(-2 017)+f(2 018)=________.
答案 1-e
解析 因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以y=f(x)的图象关于原点对称,
又定义域为R,所以函数y=f(x)是奇函数,
因为当x≥0时恒有f(x+2)=f(x),
所以f(-2 017)+f(2 018)=-f(2 017)+f(0)
=-f(1)+f(0)=-(e1-1)+(e0-1)=1-e.
思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性,将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值.
(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f(x1)0,排除D.
又e>2,∴<,∴e->,排除C.
故选B.
(2)函数f(x)=ex+ae-x与g(x)=x2+ax在同一坐标系内的图象不可能是( )
答案 C
解析 因为g(x)=x2+ax的图象过原点,所以图象中过原点的抛物线是函数g(x
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)的图象,在选项C中,上面的图象是函数f(x)的图象,下面的是函数g(x)的图象,所以->0,所以a<0,因为f′(x)=ex-ae-x,所以f′(x)>0在R上恒成立,所以函数f(x)在定义域内单调递增,不是选项C中的图象,故选C.
思维升华 (1)根据函数的解析式判断函数的图象,要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手,结合给出的函数图象进行全面分析,有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断,这是判断函数图象问题的基本方法.(2)判断复杂函数的图象,常借助导数这一工具,先对原函数进行求导,再利用导数判断函数的单调性、极值或最值,从而对选项进行筛选.要注意函数求导之后,导函数发生了变化,故导函数和原函数定义域会有所不同,我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值.
跟踪演练2 (1)函数f(x)=sin的图象大致为( )
答案 B
解析 由于x≠0,故排除A.
f(-x)=sin=-f(x),
又函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),
所以函数为奇函数,图象关于原点对称,排除C.
f(2)=sin=-sin(ln 3)<0,
排除D,故选B.
(2)函数f(x)=|x|+(a∈R)的图象不可能是( )
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答案 C
解析 对于A,当a=0时,f(x)=|x|,且x≠0,故可能;对于B,当x>0且a>0时,f(x)=x+≥2,当且仅当x=时等号成立,当x<0且a>0时,f(x)=-x+在(-∞,0)上为减函数,故可能;对于D,当x<0且a<0时,f(x)=-x+≥2=2,当且仅当x=-时等号成立,当x>0且a<0时,f(x)=x+在(0,+∞)上为增函数,故可能,且C不可能.故选C.
热点三 基本初等函数的图象和性质
1.指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图象和性质,分01两种情况,着重关注两函数图象中的公共性质.
2.幂函数y=xα的图象和性质,主要掌握α=1,2,3,,-1五种情况.
例3 (1)(2017·全国Ⅰ)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则( )
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
答案 D
解析 令t=2x=3y=5z,
∵x,y,z为正数,∴t>1.
则x=log2t=,同理,y=,z=.
∴2x-3y=-=
=>0,∴2x>3y.
又∵2x-5z=-=
=<0,∴2x<5z,
∴3y<2x<5z.故选D.
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(2)已知函数f(x)=满足对任意x1≠x2,都有<0成立,则a的取值范围是( )
A. B.(1,2]
C.(1,3) D.
答案 A
解析 由<0,得f(x)是减函数,
即得a∈,故选A.
思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一,重点考查图象、性质及其应用,同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及运算能力.
(2)比较代数式大小问题,往往利用函数图象或者函数的单调性.
跟踪演练3 (1)(2018·浙江省台州中学模拟)设a=b=c=log3,则a,b,c的大小关系是( )
A.alog3>log3,即>>log3,则a>b>c,故选B.
(2)对任意实数a,b定义运算“Δ”:aΔb=设f(x)=3x+1Δ(1-x),若函数f(x)与函数g(x)=x2-6x在区间(m,m+1)上均为减函数,则实数m的取值范围是( )
A.[-1,2] B.(0,3]
C.[0,2] D.[1,3]
答案 C
解析 由题意得f(x)=
∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,函数g(x)=(x-3)2-9在(-∞,3]上单调递减,若函数f(x)与g(x)在区间(m,m+1)上均为减函数,则得0≤m≤2,故选C.
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真题体验
1.(2018·全国Ⅲ改编)函数y=-x4+x2+2的图象大致为________.(填序号)
答案 ④
解析 方法一 f′(x)=-4x3+2x,则f′(x)>0的解集为∪,此时f(x)单调递增;f′(x)<0的解集为∪,此时f(x)单调递减.
方法二 当x=1时,y=2,所以排除①②.当x=0时,y=2,而当x=时,y=-++2=2>2,
所以排除③.
2.(2017·天津改编)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为________.
答案 b0,20.8>0,3>0,
且log25.1log25.1>20.8>0,所以c>a>b.
3.(2017·山东改编)设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f =________.
答案 6
解析 若00,则-x<0.
∴f(-x)=-2x3+x2.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=2x3-x2(x>0).
∴f(2)=2×23-22=12.
方法二 f(2)=-f(-2)
=-[2×(-2)3+(-2)2]=12.
押题预测
1.在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax的图象可能是( )
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押题依据 指数、对数、幂函数的图象识别问题是高考命题的热点,旨在考查其基本性质的灵活运用,题目难度一般不大,位于试卷比较靠前的位置.
答案 D
解析 方法一 分a>1,01时,y=xa与y=logax均为增函数,但y=xa递增较快,排除C;
当01,而此时幂函数g(x)=xa的图象应是增长越来越快的变化趋势,故C错.
2.设函数y=f(x)(x∈R)为偶函数,且∀x∈R,满足f =f ,当x∈[2,3]时,f(x)=x,则当x∈[-2,0]时,f(x)等于( )
A.|x+4| B.|2-x|
C.2+|x+1| D.3-|x+1|
押题依据 利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型,考查学生思维的灵活性.
答案 D
解析 由f =f ,
可得f(x+2)=f(x),则当x∈[-2,-1]时,
x+4∈[2,3],f(x)=f(x+4)=x+4=x+1+3;
当x∈[-1,0]时,-x∈[0,1],2-x∈[2,3],
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f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x=3-x-1,
故选D.
3.已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为( )
押题依据 图象的识别和变换是高考的热点,此类问题既考查了基础知识,又考查了学生的灵活变换能力.
答案 B
解析 方法一 由题意得
∴f(x)的定义域为{x|x>-1且x≠0}.
令g(x)=ln(x+1)-x,则g′(x)=-1=,
当-10;当x>0时,g′(x)<0.
∴f(x)在区间(-1,0)上为减函数,在区间(0,+∞)上为增函数,对照各选项,只有B符合.
方法二 取特殊值,用排除法求解,
f(2)=<0,排除A.
f ==<0,
排除C,D,故选B.
4.已知函数h(x)(x≠0)为偶函数,且当x>0时,h(x)=若h(t)>h(2),则实数t
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的取值范围为________.
押题依据 分段函数是高考的必考内容,利用函数的单调性求解参数的范围,是一类重要题型,是高考考查的热点.本题恰当地应用了函数的单调性,同时考查了函数的奇偶性的性质.
答案 (-2,0)∪(0,2)
解析 因为当x>0时,h(x)=
所以函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,
因为函数h(x)(x≠0)为偶函数,且h(t)>h(2),
所以h(|t|)>h(2),所以0<|t|<2,
所以即
解得-22,因为定义域为[1,t],所以函数的最小值为f(2)=-3,函数的最大值为max[f(1),f(t)]=max{-2,t2-4t+1}=-2.结合函数图象(图略),得t2-4t+1≤-2,解得1≤t≤3,所以20,则下列不等式恒成立的是( )
A.b-a<2 B.a+2b>2
C.b-a>2 D.a+2b<2
答案 C
解析 由题意得f(-x)===-=-f(x),故函数f(x)为奇函数.
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又f(x)=-=-=-1+,
故函数f(x)在R上单调递减.
∵f(2a+b)+f(4-3b)>0,
∴f(2a+b)>-f(4-3b)=f(3b-4),
∴2a+b<3b-4,∴b-a>2.故选C.
5.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上单调递增,若a=
b=f(log35),c=f(0.20.5),则a,b,c的大小关系为( )
A.af>f,
即b0,
∴函数f(x)=x1-k在(0,+∞)上单调递增,
∴<<.故选A.
9.(2018·浙江省温州六校协作体联考)设函数f(x)=则下列结论错误的是( )
A.函数f(x)的值域为R
B.函数f(x)为奇函数
C.函数f(|x|)为偶函数
D.函数f(x)是单调函数
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答案 D
解析 在平面直角坐标系内画出函数f(x)的图象(图略),由图易得函数f(x)的值域为R,A正确;函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且当x>0时,f(-x)=-3-(-x)+2=-3x+2=-f(x),同理当x<0时,也有f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,B正确;f(|-x|)=f(|x|),所以函数f(|x|)为偶函数,C正确;函数f(x)是分段函数,在各个区域内具有单调性,在整个定义域内函数f(x)不是单调函数,D错误,综上所述,故选D.
10.已知定义在R上的函数f(x)满足:①函数f(x)的图象的对称中心为(1,0),且对称轴为x=-1;②当x∈[-1,1]时,f(x)=则f=________.
答案 -
解析 由题意作出f(x)的部分图象如图所示,
则f =- =-.
11.(2018·全国Ⅲ)已知函数f(x)=ln(-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=________.
答案 -2
解析 ∵f(x)+f(-x)=ln(-x)+1+ln(+x)+1=ln(1+x2-x2)+2=2,
∴f(a)+f(-a)=2,∴f(-a)=-2.
12.已知函数f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=-x2+x.若不等式f(x)-x≤2logax(a>0且a≠1)对∀x∈恒成立,则实数a的取值范围是________.
答案
解析 由已知得当x>0时,f(x)=x2+x,
故x2≤2logax对∀x∈恒成立,
即当x∈时,
函数y=x2的图象不在y=2logax图象的上方,
由图(图略)知,00时,g(x)=0-1=-1.综上所述,函数g(x)=+的值域为{-1,0},故选B.
15.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)-g(x)=,若g(x+5)+g-2且x≠0且x≠1}
解析 因为f(x)-g(x)=,
所以 f(-x)-g(-x)=,
即- f(x)-g(x)=,
因此g(x)=.
因为g(x)+g =+=1,
所以由g(x+5)+g-2,
结合分母不为零得x的取值范围是
{x|x>-2且x≠0且x≠1}.
16.(2018·天津)已知a∈R,函数f(x)=若对任意x∈[-3,+∞),f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是________.
答案
解析 如图所示,若对任意x∈[-3,+∞),要使函数y=f(x)的图象恒在y=|x|图象的下方,
则必有
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且在(0,+∞)内直线y=x与y=-x2+2x-2a相切或相离,所以x=-x2+2x-2a有两个相等实根或无实根,即对于方程x2-x+2a=0,
Δ=(-1)2-4×2a≤0,解得a≥.
由①②得9-6+a-2≤3且a-2≤0,所以a≤2.
综上,≤a≤2.
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