高考数学中的放缩技巧 25页

高考数学中的放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：‎ ‎ 一、裂项放缩 ‎ 例1.(1)求的值; (2)求证:.‎ 解析:(1)因为,所以 ‎ (2)因为,所以 奇巧积累:(1) (2) ‎ ‎ (3) ‎ ‎ (4) ‎ ‎ (5) (6) ‎ ‎ (7) (8) ‎ ‎ (9) ‎ ‎ (10) (11)‎ ‎ (11) ‎ ‎ (12) ‎ ‎ ‎ ‎ (13) ‎ ‎ (14) (15) ‎ ‎ (15) ‎ ‎ ‎ 例2.(1)求证:‎ ‎ (2)求证:‎ ‎ (3)求证:‎ ‎ (4) 求证：‎ 解析:(1)因为,所以 ‎ ‎ (2)‎ ‎ (3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案 ‎ (4)首先,所以容易经过裂项得到 再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以 例3.求证:‎ ‎ 解析:一方面:因为,所以 ‎ 另一方面:‎ ‎ 当时,,当时,,‎ 当时,,所以综上有 ‎ 例4.(2008年全国一卷) 设函数.数列满足..设，整数.证明:.‎ ‎ 解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则 ‎,否则若,则由知 ‎,,因为,‎ 于是 例5.已知,求证: .‎ ‎ 解析:首先可以证明:‎ ‎ 所以要证 ‎ 只要证: ‎ ‎ 故只要证,即等价于 ‎,即等价于 而正是成立的,所以原命题成立.‎ 例6.已知,,求证:.‎ 解析:‎ 所以 ‎ 从而 例7.已知,,求证:‎ 证明: ,因为 ‎ ,所以 ‎ 所以 二、函数放缩 ‎ 例8.求证：.‎ ‎ 解析:先构造函数有,从而 因为 ‎ 所以 ‎ 例9.求证:(1)‎ ‎ 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案 ‎ 函数构造形式: ,‎ 例10.求证:‎ 解析:提示:‎ 函数构造形式: ‎ 当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数,‎ 首先:,从而,‎ 取有,,‎ 所以有,,…,,,相加后可以得到: ‎ 另一方面,从而有 取有,,‎ 所以有,所以综上有 例11.求证:和.‎ 解析:构造函数后即可证明 例12.求证:‎ ‎ 解析:,叠加之后就可以得到答案 ‎ 函数构造形式:(加强命题)‎ ‎ 例13.证明:‎ ‎ 解析:构造函数,求导,可以得到:‎ ‎ ,令有,令有,‎ ‎ 所以,所以,令有,‎ ‎ 所以,所以 ‎ 例14. 已知证明.‎ ‎ 解析: ,‎ 然后两边取自然对数,可以得到 然后运用和裂项可以得到答案)‎ 放缩思路：‎ ‎。于是，‎ ‎ ‎ 即 注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：‎ ‎ ，‎ 即 ‎ 例15.(2008年厦门市质检) 已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.‎ ‎ (I)求证：函数上是增函数；‎ ‎ (II)当；‎ ‎ (III)已知不等式时恒成立，‎ ‎ 求证：‎ ‎ 解析:(I),所以函数上是增函数 ‎ (II)因为上是增函数,所以 ‎ ‎ ‎ 两式相加后可以得到 ‎ (3) ‎ ‎……‎ ‎ ‎ 相加后可以得到:‎ ‎ ‎ ‎ 所以 令,有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ (方法二)‎ ‎ 所以 ‎ 又,所以 ‎ 例16.(2008年福州市质检)已知函数若 ‎ 解析:设函数 ‎ ‎ ‎ ∴函数）上单调递增，在上单调递减.‎ ‎ ∴的最小值为，即总有 ‎ 而 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 令则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三、分式放缩 ‎ 姐妹不等式:和 ‎ 记忆口诀”小者小,大者大”‎ ‎ 解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.‎ 例19. 姐妹不等式:和 也可以表示成为 和 解析: 利用假分数的一个性质可得 ‎ ‎ 即 ‎ 例20.证明:‎ 解析: 运用两次次分式放缩:‎ ‎ (加1)‎ ‎ (加2)‎ ‎ 相乘,可以得到:‎ ‎ 所以有 四、分类放缩 ‎ 例21.求证:‎ ‎ 解析: ‎ ‎ 例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系中, 轴正半轴上的点列与曲线（≥0）上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,.‎ ‎(1)证明>>4，; (2)证明有，使得对都有<.‎ ‎ 解析:(1) 依题设有：，由得：‎ ‎ ,又直线在轴上的截距为满足 ‎ ‎ 显然，对于，有 ‎ (2)证明：设，则 ‎ ‎ 设，则当时，‎ ‎。‎ 所以，取，对都有：‎ 故有<成立。‎ ‎ 例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。‎ ‎ 解析:首先求出,∵‎ ‎∴,∵,,…‎ ‎,故当时,,‎ 因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，‎ 则当时,必有.‎ 故不存在常数A使对所有的正整数恒成立.‎ ‎ 例24.(2008年中学教学参考)设不等式组表示的平面区域为,设内整数坐标点的个数为.设,‎ 当时,求证:. ‎ ‎ 解析:容易得到,所以,要证只要证,因为 ‎,所以原命题得证.‎ 五、迭代放缩 ‎ 例25. 已知,求证:当时,‎ ‎ 解析:通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论 ‎ 例26. 设,求证:对任意的正整数k,若k≥n恒有:|Sn+k－Sn|< ‎ 解析: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又 所以 ‎ 六、借助数列递推关系 ‎ 例27.求证:‎ ‎ 解析: 设则 ‎,从而 ‎,相加后就可以得到 所以 ‎ 例28. 求证:‎ ‎ 解析: 设则 ‎,从而 ‎,相加后就可以得到 ‎ 例29. 若,求证:‎ ‎ 解析: ‎ ‎ 所以就有 ‎ 七、分类讨论 ‎ 例30.已知数列的前项和满足证明：对任意的整数 ‎，有 ‎ 解析:容易得到,‎ ‎ 由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：‎ 当且为奇数时 ‎ （减项放缩），于是 ‎ ①当且为偶数时 ②当且为奇数时（添项放缩）由①知由①②得证。‎ ‎ 八、线性规划型放缩 ‎ 例31. 设函数.若对一切，，求的最大值。‎ ‎ 解析:由知 即 ‎ 由此再由的单调性可以知道的最小值为，最大值为 因此对一切，的充要条件是，‎ ‎ 即，满足约束条件，‎ ‎　　　由线性规划得，的最大值为5．‎ ‎ 九、均值不等式放缩 ‎ 例32.设求证 ‎ 解析: 此数列的通项为 ‎，，‎ 即 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！‎ ‎ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 ‎ ‎ ‎ 其中，等的各式及其变式公式均可供选用。‎ ‎ 例33.已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证：‎ 解析: ‎ ‎ ‎ 例34.已知为正数，且，试证：对每一个，.‎ 解析: 由得，又，故，而，‎ 令，则=，因为，倒序相加得=，‎ 而，‎ 则=，所以，即对每一个，.‎ ‎ 例35.求证 解析: 不等式左=，‎ 原结论成立.‎ ‎ 例36.已知,求证:‎ ‎ 解析: ‎ ‎ 经过倒序相乘,就可以得到 ‎ 例37.已知,求证:‎ ‎ 解析:‎ ‎ 其中:,因为 ‎ 所以 ‎ 从而,所以.‎ ‎ 例38.若,求证:.‎ ‎ 解析:‎ ‎ 因为当时,,所以,所以,当且仅当时取到等号. ‎ ‎ 所以 ‎ 所以所以 ‎ 例39.已知,求证:.‎ ‎ 解析:.‎ ‎ 例40.已知函数f(x)=x2－(－1)k·2lnx(k∈N*).k是奇数, n∈N*时,‎ 求证: [f’(x)]n－2n－1·f’(xn)≥2n(2n－2).‎ ‎ 解析: 由已知得，‎ ‎(1)当n=1时，左式=右式=0.∴不等式成立.‎ ‎(2), 左式=‎ ‎ ‎ ‎ 令 ‎ 由倒序相加法得：‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 所以 ‎ 所以综上，当k是奇数，时，命题成立 ‎ 例41. （2007年东北三校）已知函数 ‎ （1）求函数的最小值，并求最小值小于0时的取值范围；‎ ‎ （2）令求证：‎ ‎ ‎ ‎★例42. (2008年江西高考试题)已知函数,.对任意正数,证明：．‎ 解析:对任意给定的,,由,‎ 若令 ，则 ① ,而 ②‎ ‎（一）、先证；因为，，，‎ 又由 ，得 ．‎ 所以 ‎．‎ ‎（二）、再证；由①、②式中关于的对称性，不妨设．则 ‎（ⅰ）、当，则，所以，因为 ，‎ ‎，此时．‎ ‎ （ⅱ）、当③，由①得 ,，，‎ 因为 所以 ④‎ ‎ 同理得⑤ ，于是 ⑥‎ 今证明 ⑦, 因为 ，‎ 只要证 ，即 ，也即 ，据③，此为显然．‎ ‎ 因此⑦得证．故由⑥得 ．‎ 综上所述，对任何正数，皆有．‎ ‎ 例43.求证:‎ 解析:一方面:‎ ‎(法二)‎ ‎ 另一方面:‎ 十、二项放缩 ‎ ,,‎ ‎ ‎ 例44. 已知证明 ‎ 解析: ‎ ‎ ，‎ 即 ‎ 例45.设，求证：数列单调递增且 ‎ 解析: 引入一个结论：若则（证略）‎ 整理上式得（）‎ 以代入（）式得 即单调递增。‎ 以代入（）式得 此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。‎ ‎ 注：①上述不等式可加强为简证如下：‎ ‎ 利用二项展开式进行部分放缩：‎ ‎ 只取前两项有对通项作如下放缩：‎ ‎ 故有 ②上述数列的极限存在，为无理数；同时是下述试题的背景：‎ 已知是正整数，且（1）证明；（2）证明（01年全国卷理科第20题）‎ ‎ 简析 对第（2）问：用代替得数列是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列递减，且故即。‎ ‎ 当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！详见文[1]。‎ ‎ 例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求证：‎ 解析: 因为a+b=1,a>0,b>0,可认为成等差数列，设，‎ 从而 ‎ 例47.设，求证.‎ 解析: 观察的结构，注意到，展开得 ‎，‎ 即，得证.‎ ‎ 例48.求证:.‎ ‎ 解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)‎ 例42.(2008年北京海淀5月练习) 已知函数，满足：‎ ‎①对任意，都有；‎ ‎②对任意都有.‎ ‎（I）试证明：为上的单调增函数；‎ ‎（II）求；‎ ‎（III）令，试证明：.‎ ‎ 解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题.‎ ‎ (1)运用抽象函数的性质判断单调性:‎ ‎ 因为,所以可以得到,‎ ‎ 也就是,不妨设,所以,可以得到,也就是说为上的单调增函数.‎ ‎ (2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力!‎ ‎ 首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了!‎ ‎ 由(1)可知,令,则可以得到 ‎,又,所以由不等式可以得到,又 ‎,所以可以得到 ①‎ ‎ 接下来要运用迭代的思想:‎ ‎ 因为,所以,, ②‎ ‎ ,,,‎ ‎ 在此比较有技巧的方法就是:‎ ‎ ,所以可以判断 ③‎ ‎ 当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论.‎ ‎ 所以,综合①②③有=‎ ‎ (3)在解决的通项公式时也会遇到困难.‎ ‎ ,所以数列的方程为,从而,‎ ‎ 一方面,另一方面 ‎ 所以,所以,综上有 ‎.‎ 例49. 已知函数f(x)的定义域为[0,1]，且满足下列条件：‎ ‎① 对于任意[0,1]，总有，且；‎ ‎② 若则有 ‎（Ⅰ）求f(0)的值；‎ ‎（Ⅱ）求证：f(x)≤4；‎ ‎（Ⅲ）当时，试证明：.‎ 解析: （Ⅰ）解：令，‎ 由①对于任意[0,1]，总有， ∴ ‎ 又由②得即 ‎ ∴ ‎ ‎ （Ⅱ）解：任取且设 ‎ 则 ‎ 因为，所以，即 ‎ ∴. ‎ ‎ ∴当[0,1]时，. ‎ ‎（Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明：‎ （1） 当n=1时，，不等式成立；‎ （2） 假设当n=k时，‎ 由 ‎ ‎ 得 即当n=k+1时，不等式成立 由（1）、（2）可知，不等式对一切正整数都成立.‎ 于是，当时，，‎ 而[0,1]，单调递增 ‎∴ 所以， ‎ 例50. 已知： ‎ ‎ 求证：‎ 解析:构造对偶式：令 ‎ ‎ 则 ‎ ＝‎ 又 （‎ ‎ ‎ 十一、积分放缩 利用定积分的保号性比大小 ‎ 保号性是指，定义在上的可积函数，则.‎ ‎ 例51.求证：.‎ ‎ 解析: ，∵， ‎ 时，，，‎ ‎∴，.‎ ‎ 利用定积分估计和式的上下界 定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和.‎ 例52. 求证：，.‎ ‎ 解析: 考虑函数在区间上的定积分.‎ 如图，显然-①‎ 对求和，‎ ‎.‎ ‎ 例53. 已知.求证：.‎ ‎ 解析:考虑函数在区间上的定积分.‎ ‎∵-②‎ ‎∴.‎ ‎ 例54. （2003年全国高考江苏卷）设，如图，已知直线及曲线：，上的点的横坐标为（）.从上的点作直线平行于轴，交直线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点.的横坐标构成数列.‎ ‎（Ⅰ）试求与的关系，并求的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）当时，证明；‎ ‎ （Ⅲ）当时，证明.‎ 解析:（过程略）.‎ 证明（II）：由知，∵，∴.‎ ‎∵当时，，‎ ‎∴.‎ 证明（Ⅲ）：由知.‎ ‎∴恰表示阴影部分面积，‎ 显然 ④‎ ‎∴.‎ 奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明，如：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③；‎ ‎④.‎ ‎ 十二、部分放缩(尾式放缩)‎ ‎ 例55.求证: ‎ ‎ 解析: ‎ ‎ ‎ ‎ 例56. 设求证：‎ ‎ 解析: ‎ ‎ 又（只将其中一个变成，进行部分放缩），，‎ 于是 ‎ 例57.设数列满足，当时证明对所有 有；‎ ‎ 解析: 用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时 ‎，成立。‎ ‎ 利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得 ‎ ‎ ‎ 注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论 ‎ 十三、三角不等式的放缩 ‎ 例58.求证:.‎ ‎ 解析:(i)当时,‎ ‎ (ii)当时,构造单位圆,如图所示:‎ ‎ 因为三角形AOB的面积小于扇形OAB的面积 ‎ 所以可以得到 ‎ 当时 ‎ 所以当时有 ‎ (iii)当时, ,由(ii)可知: ‎ ‎ 所以综上有 ‎ 十四、使用加强命题法证明不等式 ‎ (i)同侧加强 ‎ 对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明,只要证明,其中通过寻找分析,归纳完成.‎ 例59.求证:对一切,都有.‎ 解析: ‎ 从而 ‎ 当然本题还可以使用其他方法,如:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以.‎ ‎ (ii)异侧加强(数学归纳法)‎ ‎ (iii)双向加强 ‎ 有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”‎ ‎,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为:‎ ‎ 欲证明,只要证明:.‎ ‎ 例60.已知数列满足:,求证:‎ ‎ 解析: ,从而,所以有 ‎ ,所以 ‎ 又,所以,所以有 ‎ 所以 ‎ 所以综上有 引申:已知数列满足:,求证: .‎ 解析:由上可知,又,所以 ‎ 从而 ‎ 又当时,,所以综上有.‎ ‎ 同题引申: (2008年浙江高考试题)已知数列,,,.‎ 记,.求证:当时.‎ ‎(1); (2); ★(3).‎ ‎ 解析:(1),猜想,下面用数学归纳法证明:‎ ‎ (i)当时,,结论成立;‎ ‎ (ii)假设当时,,则时,‎ ‎ 从而,所以 ‎ 所以综上有,故 ‎ (2)因为则,,…, ,相加后可以得到: ,所以 ‎,所以 ‎ (3)因为,从而,有,所以有 ‎ ,从而 ‎,所以 ‎,所以 ‎ 所以综上有.‎ ‎ 例61.(2008年陕西省高考试题)已知数列的首项,,．‎ ‎ (1)证明:对任意的,,;‎ ‎ (2)证明:.‎ ‎ 解析:(1)依题,容易得到,要证,,,‎ 即证 即证,设所以即证明 从而,即,这是显然成立的.‎ 所以综上有对任意的,,‎ ‎ (法二) ‎ ‎ ,原不等式成立．‎ ‎ (2)由(1)知，对任意的，有 ‎．‎ 取，‎ 则．‎ 原不等式成立．‎ ‎ 十四、经典题目方法探究 ‎ 探究1.(2008年福建省高考)已知函数.若在区间上的最小值为,令.求证:.‎ ‎ 证明:首先:可以得到.先证明 ‎ (方法一) ‎ ‎ 所以 ‎ (方法二)因为,相乘得: ‎ ‎,从而.‎ ‎ (方法三)设A=,B=,因为A1, 求 a的取值范围. ‎ ‎ 解析:函数f (x)的定义域为(-∞, 1)∪(1, +∞), 导数为.‎ ‎ (ⅰ) 当0< a≤2时, f (x) 在区间 (-∞, 1) 为增函数, 故对于任意x∈(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而这时a满足要求. ‎ ‎(ⅱ) 当a>2时, f (x) 在区间 (-,)为减函数, 故在区间(0, ) 内任取一点, 比如取, 就有 x0∈(0, 1) 且 f (x0) < f (0) =1, 因而这时a不满足要求.‎ ‎(ⅲ) 当a≤0时, 对于任意x∈(0, 1) 恒有 ‎ ≥, 这时a满足要求.‎ 综上可知, 所求 a的取值范围为 a≤2.‎