江苏省南京市盐城市高考数学二模试卷解析 23页

‎2017年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．函数f（x）=ln的定义域为　　．‎ ‎2．若复数z满足z（1﹣i）=2i（i是虚数单位），是z的共轭复数，则=　　．‎ ‎3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为　　．‎ ‎4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：‎ 不喜欢戏剧 喜欢戏剧 男性青年观众 ‎40‎ ‎10‎ 女性青年观众 ‎40‎ ‎60‎ 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n的值为　　．‎ ‎5．根据如图所示的伪代码，输出S的值为　　．‎ ‎6．记公比为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn．若a1=1，S4﹣5S2=0，则S5的值为　　．‎ ‎7．将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，则函数y=f（x）+g（x）的最大值为　　．‎ ‎8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k=﹣，则线段PF的长为　　．‎ ‎9．若sin（α﹣）=，α∈（0，），则cosα的值为　　．‎ ‎10．α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是　　（填上所有正确命题的序号）．‎ ‎①若α∥β，m⊂α，则m∥β； ‎ ‎②若m∥α，n⊂α，则m∥n；‎ ‎③若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥β； ‎ ‎④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β．‎ ‎11．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最大值为　　．‎ ‎12．若函数f（x）=x2﹣mcosx+m2+3m﹣8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为　　．‎ ‎13．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，2），则•的最小值为　　．‎ ‎14．已知函数f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e为自然对数的底数．若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为　　．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD=6，BD=3，‎ DC=2．‎ ‎（1）若AD⊥BC，求∠BAC的大小；‎ ‎（2）若∠ABC=，求△ADC的面积．‎ ‎16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．‎ ‎（1）求证：CD⊥AP；‎ ‎（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB．‎ ‎17．在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．‎ ‎（1）当a=90时，求纸盒侧面积的最大值；‎ ‎（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．‎ ‎18．如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C： +=1经过点（b，2e），其中e为椭圆C的离心率．过点T（1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于A，B两点（A在x轴下方）．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求 的值；‎ ‎（3）记直线l与y轴的交点为P．若=，求直线l的斜率k．‎ ‎19．已知函数f （x）=ex﹣ax﹣1，其中e为自然对数的底数，a∈R．‎ ‎（1）若a=e，函数g （x）=（2﹣e）x．‎ ‎①求函数h（x）=f （x）﹣g （x）的单调区间；‎ ‎②若函数F（x）=的值域为R，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若存在实数x1，x2∈[0，2]，使得f（x1）=f（x2），且|x1﹣x2|≥1，求证：e﹣1≤a≤e2﹣e．‎ ‎20．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足 （n+1）bn=an+1﹣，（n+2）cn=﹣，其中n∈N*．‎ ‎（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；‎ ‎（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．‎ ‎　‎ 数学附加题[选做题]在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎21．如图，△ABC的顶点A，C在圆O上，B在圆外，线段AB与圆O交于点M．‎ ‎（1）若BC是圆O的切线，且AB=8，BC=4，求线段AM的长度；‎ ‎（2）若线段BC与圆O交于另一点N，且AB=2AC，求证：BN=2MN．‎ ‎　‎ ‎[选修4-2：矩阵与变换]‎ ‎22．设a，b∈R．若直线l：ax+y﹣7=0在矩阵A=对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x+y﹣91=0．求实数a，b的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），与曲线C：（k为参数）交于A，B两点，求线段AB的长．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知a≠b，求证：a4+6a2b2+b4＞4ab（a2+b2）‎ ‎　‎ ‎[必做题]第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎25．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A=AB=2，∠ABC=，E，F分别是BC，A1C的中点．‎ ‎（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；‎ ‎（2）点M在线段A1D上， =λ．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．‎ ‎26．现有（n≥2，n∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：‎ 设Mk是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M1＜M2＜…＜Mn的概率为pn．‎ ‎（1）求p2的值；‎ ‎（2）证明：pn＞．‎ ‎　‎ ‎2017年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．函数f（x）=ln的定义域为　（﹣∞，1）　．‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】根据对数函数的性质得到关于x的不等式，解出即可．‎ ‎【解答】解：由题意得：＞0，‎ 解得：x＜1，‎ 故函数的定义域是：（﹣∞，1）．‎ ‎　‎ ‎2．若复数z满足z（1﹣i）=2i（i是虚数单位），是z的共轭复数，则=　﹣1﹣i　．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z，进一步求得．‎ ‎【解答】解：∵z（1﹣i）=2i，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故答案为：﹣1﹣i．‎ ‎　‎ ‎3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为　　．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】先求出基本事件总数n=3×3=9，再求出甲、乙不在同一兴趣小组包含的基本事件个数m=3×2=6，由此能求出甲、乙不在同一兴趣小组的概率．‎ ‎【解答】解：∵某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，‎ 且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，‎ ‎∴基本事件总数n=3×3=9，‎ 甲、乙不在同一兴趣小组包含的基本事件个数m=3×2=6，‎ ‎∴甲、乙不在同一兴趣小组的概率p=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：‎ 不喜欢戏剧 喜欢戏剧 男性青年观众 ‎40‎ ‎10‎ 女性青年观众 ‎40‎ ‎60‎ 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n的值为　30　．‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】利用分层抽样的定义，建立方程，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意=，‎ 解得n=30，‎ 故答案为：30‎ ‎　‎ ‎5．根据如图所示的伪代码，输出S的值为　17　．‎ ‎【考点】伪代码．‎ ‎【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=9时不满足条件I≤8，退出循环，输出S的值为17．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得 S=1，I=1‎ 满足条件I≤8，S=2，I=3‎ 满足条件I≤8，S=5，I=5‎ 满足条件I≤8，S=10，I=7‎ 满足条件I≤8，S=17，I=9‎ 不满足条件I≤8，退出循环，输出S的值为17．‎ 故答案为17．‎ ‎　‎ ‎6．记公比为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn．若a1=1，S4﹣5S2=0，则S5的值为　31　．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】经分析等比数列为非常数列，设出等比数列的公比，有给出的条件列方程求出q的值，则S5的值可求．‎ ‎【解答】解：若等比数列的公比等于1，由a1=1，则S4=4，5S2=10，与题意不符．‎ 设等比数列的公比为q（q≠1），‎ 由a1=1，S4=5S2，得=5a1（1+q），‎ 解得q=±2．‎ ‎∵数列{an}的各项均为正数，∴q=2．‎ 则S5==31．‎ 故答案为：31．‎ ‎　‎ ‎7．将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，则函数y=f（x）+g（x）的最大值为　　．‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用两角和差的三角公式化简f（x）+g（x）的解析式，再利用正弦函数的值域求得函数y=f（x）+g（x）的最大值．‎ ‎【解答】解：将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）=sin（x﹣）的图象，‎ 则函数y=f（x）+g（x）=sinx+sin（x﹣）=sinx﹣cosx=sin（x﹣） 的最大值为，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k=﹣，则线段PF的长为　6　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线AF的斜率得到AF方程，与准线方程联立，解出A点坐标，因为PA垂直准线l，所以P点与A点纵坐标相同，再代入抛物线方程求P点横坐标，利用抛物线的定义就可求出PF长．‎ ‎【解答】解：∵抛物线方程为y2=6x，‎ ‎∴焦点F（1.5，0），准线l方程为x=﹣1.5，‎ ‎∵直线AF的斜率为﹣，‎ 直线AF的方程为y=﹣（x﹣1.5），‎ 当x=﹣1.5时，y=3，‎ 由可得A点坐标为（﹣1.5，3）‎ ‎∵PA⊥l，A为垂足，‎ ‎∴P点纵坐标为3，代入抛物线方程，得P点坐标为（4.5，3），‎ ‎∴|PF|=|PA|=4.5﹣（﹣1.5）=6．‎ 故答案为6．‎ ‎　‎ ‎9．若sin（α﹣）=，α∈（0，），则cosα的值为　　．‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】根据α∈（0，），求解出α﹣∈（，），可得cos（）=，构造思想，cosα=cos（α），利用两角和与差的公式打开，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵α∈（0，），‎ ‎∴α﹣∈（，），‎ sin（α﹣）=，‎ ‎∴cos（）=，‎ 那么cosα=cos[（α）]=cos（）cos（）﹣sin（）sin==‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎10．α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是　①④　（填上所有正确命题的序号）．‎ ‎①若α∥β，m⊂α，则m∥β； ‎ ‎②若m∥α，n⊂α，则m∥n；‎ ‎③若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥β； ‎ ‎④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β．‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m∥β；在②中，m∥n或m与n异面；在③中，m与β相交、平行或m⊂β； 在④中，由线面垂直的判定定理得m⊥β．‎ ‎【解答】解：由α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，知：‎ 在①中，若α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故①正确； ‎ 在②中，若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，故②错误；‎ 在③中，若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m与β相交、平行或m⊂β，故③错误； ‎ 在④中，若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故④正确．‎ 故答案为：①④．‎ ‎　‎ ‎11．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最大值为　3　．‎ ‎【考点】点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0的斜率乘积=k×=﹣1，（k=0时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：M（0，2），N（2，0）．可得点M到直线x﹣y﹣4=0的距离d为最大值．‎ ‎【解答】解：∵直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0的斜率乘积=k×=﹣1，（k=0时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：M（0，2），N（2，0）．‎ ‎∴两条直线的交点在以MN为直径的圆上．并且kMN=﹣1，可得MN与直线x﹣y﹣4=0垂直．‎ ‎∴点M到直线x﹣y﹣4=0的距离d==3为最大值．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎12．若函数f（x）=x2﹣mcosx+m2+3m﹣8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为　{﹣4，2}　．‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】由题意，唯一零点为0，则02﹣mcos0+m2+3m﹣8=0，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，唯一零点为0，则02﹣mcos0+m2+3m﹣8=0，‎ ‎∴m=﹣4或2，‎ 故答案为{﹣4，2}．‎ ‎　‎ ‎13．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，2），则•的最小值为　﹣　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】设A（a，b），B（c，d），由已知向量可得C（a+1，b+2），D（c﹣2，d+2），求得=（c﹣a，d﹣b），=（c﹣a﹣3，d﹣b），代入•，展开后利用配方法求得•的最小值．‎ ‎【解答】解：设A（a，b），B（c，d），‎ ‎∵=（1，2），=（﹣2，2），‎ ‎∴C（a+1，b+2），D（c﹣2，d+2），‎ 则=（c﹣a，d﹣b），=（c﹣a﹣3，d﹣b），‎ ‎∴•=（c﹣a）（c﹣a﹣3）+（b﹣d）2‎ ‎=（c﹣a）2﹣3（c﹣a）+（b﹣d）2=．‎ ‎∴•的最小值为﹣．‎ 故答案为：﹣‎ ‎　‎ ‎14．已知函数f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e为自然对数的底数．若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为　﹣　．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】求出，x＞0，当a≤e时，f′（x）＞0，f（x）≤0不可能恒成立，当a＞e时，由，得x=，由题意当x=时，f（x）取最大值0，推导出（a＞e），令F（x）=，x＞e，F′（x）=，令H（x）=（x﹣e）ln（x﹣e）﹣e，H′（x）=ln（x﹣e）+1，由此利用导数性质能求出的最小值．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e为自然对数的底数，‎ ‎∴，x＞0，‎ 当a≤e时，f′（x）＞0，‎ f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）≤0不可能恒成立，‎ 当a＞e时，由，得x=，‎ ‎∵不等式f（x）≤0恒成立，∴f（x）的最大值为0，‎ 当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，‎ 当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，‎ ‎∴当x=时，f（x）取最大值，‎ f（）=﹣ln（a﹣e）﹣b﹣1≤0，‎ ‎∴ln（a﹣e）+b+1≥0，‎ ‎∴b≥﹣1﹣ln（a﹣e），‎ ‎∴（a＞e），‎ 令F（x）=，x＞e，‎ F′（x）==，‎ 令H（x）=（x﹣e）ln（x﹣e）﹣e，‎ H′（x）=ln（x﹣e）+1，‎ 由H′（x）=0，得x=e+，‎ 当x∈（e+，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数，‎ x∈（e，e+）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数，‎ ‎∴当x=e+时，H（x）取最小值H（e+）=﹣e﹣，‎ ‎∵x→e时，H（x）→0，x＞2e时，H（x）＞0，H（2e）=0，‎ ‎∴当x∈（e，2e）时，F′（x）＜0，F（x）是减函数，‎ 当x∈（2e，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）是增函九，‎ ‎∴x=2e时，F（x）取最小值，F（2e）==﹣，‎ ‎∴的最小值为﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD=6，BD=3，‎ DC=2．‎ ‎（1）若AD⊥BC，求∠BAC的大小；‎ ‎（2）若∠ABC=，求△ADC的面积．‎ ‎【考点】正弦定理；两角和与差的正切函数．‎ ‎【分析】（1）设∠BAD=α，∠DAC=β，由已知可求tanα=，tanβ=，利用两角和的正切函数公式可求tan∠BAC=1．结合范围∠BAC∈（0，π），即可得解∠BAC的值．‎ ‎（2）设∠BAD=α．由正弦定理可求sinα=，利用大边对大角，同角三角函数基本关系式可求cosα的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin∠ADC，进而利用三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【解答】（本小题满分14分）‎ 解：（1）设∠BAD=α，∠DAC=β．‎ 因为AD⊥BC，AD=6，BD=3，DC=2，‎ 所以tanα=，tanβ=，…‎ 所以tan∠BAC=tan（α+β）===1．…‎ 又∠BAC∈（0，π），‎ 所以∠BAC=．…‎ ‎（2）设∠BAD=α．在△ABD中，∠ABC=，AD=6，BD=3．‎ 由正弦定理得=，解得sinα=．…‎ 因为AD＞BD，‎ 所以α为锐角，从而cosα==．…‎ 因此sin∠ADC=sin（α+）=sinαcos+cosαsin=（+）=．…‎ ‎△ADC的面积S=×AD×DC•sin∠ADC=×6×2×=（1+）．…‎ ‎　‎ ‎16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．‎ ‎（1）求证：CD⊥AP；‎ ‎（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）推导出AD⊥AP，AP⊥AB，从而AP⊥平面ABCD，由此能证明CD⊥AP．‎ ‎（2）由CD⊥AP，CD⊥PD，得CD⊥平面PAD．再推导出AB⊥AD，AP⊥AB，从而AB⊥平面PAD，进而CD∥AB，由此能证明CD∥平面PAB．‎ ‎【解答】（本小题满分14分）‎ 证明：（1）因为AD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，所以AD⊥AP．…‎ 又因为AP⊥AB，AB∩AD=A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，‎ 所以AP⊥平面ABCD．…‎ 因为CD⊂平面ABCD，所以CD⊥AP．…‎ ‎（2）因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP=P，PD⊂平面PAD，AP⊂平面PAD，‎ 所以CD⊥平面PAD．①…‎ 因为AD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，所以AB⊥AD．‎ 又因为AP⊥AB，AP∩AD=A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，‎ 所以AB⊥平面PAD．②…‎ 由①②得CD∥AB，…‎ 因为CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB．…‎ ‎　‎ ‎17．在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．‎ ‎（1）当a=90时，求纸盒侧面积的最大值；‎ ‎（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】（1）当a=90时，b=40，求出侧面积，利用配方法求纸盒侧面积的最大值；‎ ‎（2）表示出体积，利用基本不等式，导数知识，即可确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．‎ ‎【解答】解：（1）因为矩形纸板ABCD的面积为3600，故当a=90时，b=40，‎ 从而包装盒子的侧面积S=2×x（90﹣2x）+2×x（40﹣2x）=﹣8x2+260x，x∈（0，20）．…‎ 因为S=﹣8x2+260x=﹣8（x﹣16.25）2+2112.5，‎ 故当x=16.25时，侧面积最大，最大值为2112.5平方厘米．‎ ‎（2）包装盒子的体积V=（a﹣2x）（b﹣2x）x=x[ab﹣2（a+b）x+4x2]，x∈（0，），b≤60．…‎ V=x[ab﹣2（a+b）x+4x2]≤x（ab﹣4x+4x2）=x ‎=4x3﹣240x2+3600x．…‎ 当且仅当a=b=60时等号成立．‎ 设f（x）=4x3﹣240x2+3600x，x∈（0，30）．则f′（x）=12（x﹣10）（x﹣30）．‎ 于是当0＜x＜10时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，10）上单调递增；‎ 当10＜x＜30时，f′（x）＜0，所以f（x）在（10，30）上单调递减．‎ 因此当x=10时，f（x）有最大值f（10）=16000，…此时a=b=60，x=10．‎ 答：当a=b=60，x=10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．…‎ ‎　‎ ‎18．如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C： +=1经过点（b，2e），其中e为椭圆C的离心率．过点T（1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于A，B两点（A在x轴下方）．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求 的值；‎ ‎（3）记直线l与y轴的交点为P．若=，求直线l的斜率k．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）由题意得e2=，．又a2=b2+c2，，解得b2；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．设直线l的方程为y=k（x﹣1）．‎ 联立直线l与椭圆方程，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8=0，可设直线MN方程为y=kx，联立直线MN与椭圆方程，消去y得（2k2+1）x2=8，由MN∥l，得 由（1﹣x1）•（x2﹣1）=﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]=．得（xM﹣xN）2=4x2=．即可．‎ ‎ （3）在y=k（x﹣1）中，令x=0，则y=﹣k，所以P（0，﹣k），从而，由=得…①，由（2）知…②由①②得⇒50k4﹣83k2﹣34=0，解得k2‎ ‎【解答】解：（1）因为椭圆椭圆C： +=1经过点（b，2e）所以．‎ 因为e2=，所以，‎ 又∵a2=b2+c2，，解得b2=4或b2=8（舍去）．‎ 所以椭圆C的方程为．‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 因为T（1，0），则直线l的方程为y=k（x﹣1）．‎ 联立直线l与椭圆方程，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8=0，‎ 所以x1+x2=，x1x2=．‎ 因为MN∥l，所以直线MN方程为y=kx，‎ 联立直线MN与椭圆方程 消去y得（2k2+1）x2=8，‎ 解得x2=‎ 因为MN∥l，所以 因为（1﹣x1）•（x2﹣1）=﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]=．‎ ‎（xM﹣xN）2=4x2=．‎ 所以=．‎ ‎（3）在y=k（x﹣1）中，令x=0，则y=﹣k，所以P（0，﹣k），‎ 从而，‎ ‎∵=，…①‎ 由（2）知…②‎ 由①②得⇒50k4﹣83k2﹣34=0，解得k2=2或k2=﹣（舍）．‎ 又因为k＞0，所以k=．…‎ ‎　‎ ‎19．已知函数f （x）=ex﹣ax﹣1，其中e为自然对数的底数，a∈R．‎ ‎（1）若a=e，函数g （x）=（2﹣e）x．‎ ‎①求函数h（x）=f （x）﹣g （x）的单调区间；‎ ‎②若函数F（x）=的值域为R，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若存在实数x1，x2∈[0，2]，使得f（x1）=f（x2），且|x1﹣x2|≥1，求证：e﹣1≤a≤e2﹣e．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）①求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；‎ ‎②求出函数的导数，通过讨论m的范围得到函数的值域，从而确定m的具体范围即可；‎ ‎（2）求出函数f（x）的导数，得到a＞0且f（x）在（﹣∞，lna]递减，在[lna，+∞）递增，设0≤x1＜x2≤2，则有0≤x1＜lna＜x2≤2，根据函数的单调性得到关于m的不等式组，解出即可．‎ ‎【解答】解：（1）a=e时，f（x）=ex﹣ex﹣1，‎ ‎①h（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣2x﹣1，h′（x）=ex﹣2，‎ 由h′（x）＞0，得x＞ln2，由h′（x）＜0，解得：x＜ln2，‎ 故函数h（x）在（ln2，+∞）递增，在（﹣∞，ln2）递减；‎ ‎②f′（x）=ex﹣e，‎ x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，1）递减，‎ x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）递增，‎ m≤1时，f（x）在（﹣∞，m]递减，值域是[em﹣em﹣1，+∞），‎ g（x）=（2﹣e）x在（m，+∞）递减，值域是（﹣∞，（2﹣e）m），‎ ‎∵F（x）的值域是R，故em﹣em﹣1≤（2﹣e）m，‎ 即em﹣2m﹣1≤0，（*），‎ 由①可知m＜0时，h（x）=em﹣2m﹣1＞h（0）=0，故（*）不成立，‎ ‎∵h（m）在（0，ln2）递减，在（ln2，1）递增，且h（0）=0，h（1）=e﹣3＜0，‎ ‎∴0≤m≤1时，h（m）≤0恒成立，故0≤m≤1；‎ m＞1时，f（x）在（﹣∞，1）递减，在（1，m]递增，‎ 故函数f（x）=ex﹣ex﹣1在（﹣∞，m]上的值域是[f（1），+∞），即[﹣1，+∞），‎ g（x）=（2﹣e）x在（m，+∞）上递减，值域是（﹣∞，（2﹣e）m），‎ ‎∵F（x）的值域是R，∴﹣1≤（2﹣e）m，即1＜m≤，‎ 综上，m的范围是[0，]；‎ ‎（2）证明：f′（x）=ex﹣a，‎ 若a≤0，则f′（x）＞0，此时f（x）在R递增，‎ 由f（x1）=f（x2），可得x1=x2，与|x1﹣x2|≥1矛盾，‎ ‎∴a＞0且f（x）在（﹣∞，lna]递减，在[lna，+∞）递增，‎ 若x1，x2∈（﹣∞，lna]，则由f（x1）=f（x2）可得x1=x2，与|x1﹣x2|≥1矛盾，‎ 同样不能有x1，x2∈[lna，+∞），‎ 不妨设0≤x1＜x2≤2，则有0≤x1＜lna＜x2≤2，‎ ‎∵f（x）在（x1，lna）递减，在（lna，x2）递增，且f（x1）=f（x2），‎ ‎∴x1≤x≤x2时，f（x）≤f（x1）=f（x2），‎ 由0≤x1＜x2≤2且|x1﹣x2|≥1，得1∈[x1，x2]，‎ 故f（1）≤f（x1）=f（x2），‎ 又f（x）在（﹣∞，lna]递减，且0≤x1＜lna，故f（x1）≤f（0），‎ 故f（1）≤f（0），同理f（1）≤f（2），‎ 即，解得：e﹣1≤a≤e2﹣e﹣1，‎ ‎∴e﹣1≤a≤e2﹣e．‎ ‎　‎ ‎20．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足 （n+1）bn=an+1﹣，（n+2）cn=﹣，其中n∈N*．‎ ‎（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；‎ ‎（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．‎ ‎【考点】等差关系的确定；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）数列{an}是公差为2的等差数列，可得an=a1+2（n﹣1），=a1+n﹣1．代入（n+2）cn=﹣即可得出cn．‎ ‎（2）由（n+1）bn=an+1﹣，可得：n（n+1）bn=nan+1﹣Sn，（n+1）（n+2）bn+1=（n+1）an+2﹣Sn+1，相减可得：an+2﹣an+1=（n+2）bn+1﹣nbn，代入化简可得cn=（bn+bn﹣1）．bn≤λ≤cn，λ≤cn=（bn+bn﹣1）≤λ，故bn=λ，cn=λ．进而得出．‎ ‎【解答】（1）解：∵数列{an}是公差为2的等差数列，∴an=a1+2（n﹣1），=a1+n﹣1．‎ ‎∴（n+2）cn=﹣（a1+n﹣1）=n+2，解得cn=1．‎ ‎（2）证明：由（n+1）bn=an+1﹣，‎ 可得：n（n+1）bn=nan+1﹣Sn，（n+1）（n+2）bn+1=（n+1）an+2﹣Sn+1，‎ 相减可得：an+2﹣an+1=（n+2）bn+1﹣nbn，‎ 可得：（n+2）cn=﹣=﹣[an+1﹣（n+1）bn]‎ ‎=+（n+1）bn=+（n+1）bn=（bn+bn﹣1），‎ 因此cn=（bn+bn﹣1）．∵bn≤λ≤cn，‎ ‎∴λ≤cn=（bn+bn﹣1）≤λ，故bn=λ，cn=λ．‎ ‎∴（n+1）λ=an+1﹣，（n+2）λ=（an+1+an+2）﹣，‎ 相减可得：（an+2﹣an+1）=λ，即an+2﹣an+1=2λ，（n≥2）．‎ 又2λ==a2﹣a1，则an+1﹣an=2λ（n≥1），∴数列{an}是等差数列．‎ ‎　‎ 数学附加题[选做题]在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎21．如图，△ABC的顶点A，C在圆O上，B在圆外，线段AB与圆O交于点M．‎ ‎（1）若BC是圆O的切线，且AB=8，BC=4，求线段AM的长度；‎ ‎（2）若线段BC与圆O交于另一点N，且AB=2AC，求证：BN=2MN．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段．‎ ‎【分析】（1）由切割线定理可得BC2=BM•BA．由此可得方程，即可求线段AM的长度；‎ ‎（2）证明△BMN∽△BCA，结合AB=2AC，即可证明：BN=2MN．‎ ‎【解答】（1）解：由切割线定理可得BC2=BM•BA．‎ 设AM=t，则 ‎∵AB=8，BC=4，∴16=8（8﹣t），‎ ‎∴t=6，即线段AM的长度为6；‎ ‎（2）证明：由题意，∠A=∠MNB，∠B=∠B，‎ ‎∴△BMN∽△BCA，‎ ‎∴=，‎ ‎∵AB=2AC，‎ ‎∴BN=2MN．‎ ‎　‎ ‎[选修4-2：矩阵与变换]‎ ‎22．设a，b∈R．若直线l：ax+y﹣7=0在矩阵A=对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x+y﹣91=0．求实数a，b的值．‎ ‎【考点】几种特殊的矩阵变换．‎ ‎【分析】方法一：任取两点，根据矩阵坐标变换，求得A′，B′，代入直线的直线为l′即可求得a和b的值；‎ 方法二：设P（x，y），利用矩阵坐标变换，求得Q点坐标，代入直线为l′，由ax+y﹣7=0，则==，即可求得a和b的值．‎ ‎【解答】解：方法一：在直线l：ax+y﹣7=0取A（0，7），B（1，7﹣a），‎ 由=，则=，‎ 则A（0，7），B（1，7﹣a）在矩阵A对应的变换作用下A′（0，7b），B′（3，b（7﹣a）﹣1），‎ 由题意可知：A′，B′在直线9x+y﹣91=0上，‎ ‎，解得：，‎ 实数a，b的值2，13．‎ 方法二：设直线l上任意一点P（x，y），点P在矩阵A对应的变换作用下得到Q（x′，y′），‎ 则=，‎ ‎∴，‎ 由Q（x′，y′），在直线l′：9x+y﹣91=0．即27x+（﹣x+by）﹣91=0，‎ 即26x+by﹣91=0，‎ P在ax+y﹣7=0，则ax+y﹣7=0，‎ ‎∴==，‎ 解得：a=2，b=13．‎ 实数a，b的值2，13．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），与曲线C：（k为参数）交于A，B两点，求线段AB的长．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】方法一：直线l的参数方程化为普通方程得4x﹣3y=4，将曲线C的参数方程化为普通方程得y2=4x．联立求出交点坐标，利用两点之间的距离公式即可得出．‎ 方法二：将曲线C的参数方程化为普通方程得y2=4x． 直线l的参数方程代入抛物线C的方程得 4t2﹣15t﹣25=0，利用AB=|t1﹣t2|=即可得出．‎ ‎【解答】解：（方法一）直线l的参数方程化为普通方程得4x﹣3y=4，‎ 将曲线C的参数方程化为普通方程得y2=4x． …‎ 联立方程组 解得，或 所以A（4，4），B（，﹣1）． …‎ 所以AB═． …‎ ‎（方法二）将曲线C的参数方程化为普通方程得y2=4x． …‎ 直线l的参数方程代入抛物线C的方程得 （t）2=4（1+），即4t2﹣15t﹣25=0，‎ 所以 t1+t2=，t1t2=﹣． …‎ 所以AB=|t1﹣t2|==． …‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知a≠b，求证：a4+6a2b2+b4＞4ab（a2+b2）‎ ‎【考点】不等式的证明．‎ ‎【分析】利用作差，再因式分解，即可得到结论．‎ ‎【解答】证明：∵a≠b，‎ ‎∴a4+6a2b2+b4﹣4ab（a2+b2）=（a﹣b）4＞0，‎ ‎∴原不等式成立．‎ ‎　‎ ‎[必做题]第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎25．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A=AB=2，∠ABC=，E，F分别是BC，A1C的中点．‎ ‎（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；‎ ‎（2）点M在线段A1D上， =λ．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的性质．‎ ‎【分析】（1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF，AD所成角的余弦值；‎ ‎（2）点M在线段A1D上， =λ．求出平面AEF的法向量，利用CM∥平面AEF，即可求实数λ的值．‎ ‎【解答】解：因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，‎ 所以A1A⊥平面ABCD．‎ 又AE⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，‎ 所以A1A⊥AE，A1A⊥AD．‎ 在菱形ABCD中∠ABC=，则△ABC是等边三角形．‎ 因为E是BC中点，所以BC⊥AE．‎ 因为BC∥AD，所以AE⊥AD．‎ 建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），C（，1，0），D（0，2，0），‎ A1（0，0，2），E（，0，0），F（，，1）．‎ ‎（1）=（0，2，0），=（﹣，，1），‎ 所以异面直线EF，AD所成角的余弦值为=． …‎ ‎（2）设M（x，y，z），由于点M在线段A1D上，且 =λ，‎ 则（x，y，z﹣2）=λ（0，2，﹣2）．‎ 则M（0，2λ，2﹣2λ），=（﹣，2λ﹣1，2﹣2λ）． …‎ 设平面AEF的法向量为=（x0，y0，z0）．‎ 因为 =（，0，0），=（，，1），‎ 由，得x0=0， y0+z0=0．‎ 取y0=2，则z0=﹣1，‎ 则平面AEF的一个法向量为n=（0，2，﹣1）． …‎ 由于CM∥平面AEF，则=0，即2（2λ﹣1）﹣（2﹣2λ）=0，解得λ=．…‎ ‎　‎ ‎26．现有（n≥2，n∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：‎ 设Mk是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M1＜M2＜…＜Mn的概率为pn．‎ ‎（1）求p2的值；‎ ‎（2）证明：pn＞．‎ ‎【考点】数列与不等式的综合．‎ ‎【分析】（1）由题意知p2==，‎ ‎（2）先排第n行，则最大数在第n行的概率为=，即可求出为pn，再根据二项式定理和放缩法即可证明．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知p2==，即p2的值为． ‎ ‎（2）先排第n行，则最大数在第n行的概率为=； ‎ 去掉第n行已经排好的n个数，‎ 则余下的﹣n=个数中最大数在第n﹣1行的概率为=；‎ ‎…‎ 故pn=××…×==． ‎ 由于2n=（1+1）n=Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn≥Cn0+Cn1+Cn2＞Cn1+Cn2=Cn+12，‎ 故＞，即pn＞．‎ ‎　‎ ‎2017年4月1日