2020届高考数学大二轮复习 第1部分 专题6 第2讲 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题 9页

第一部分 专题六 第二讲 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题 A组 ‎1．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线方程为( B )‎ A．y2＝6x　　　　　　　 B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝x ‎[解析]　依题意，设M(x，y)，因为|OF|＝，‎ 所以|MF|＝2p，即x＋＝2p，‎ 解得x＝，y＝p.‎ 又△MFO的面积为4，所以××p＝4，‎ 解得p＝4.所以抛物线方程为y2＝8x.‎ ‎2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1(m>n>0)有共同的焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝ ( D )‎ A．m2－a2 B．－ ‎ C．(m－a) D．m－a ‎[解析]　不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P在双曲线的右支上，由题意得|PF1|＋|PF2|＝2，|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－，故|PF1|·|PF2|＝m－a.‎ ‎3．(文)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( D )‎ A． B． C． D． ‎[解析]　由题利用双曲线的渐近线经过点(3，－4)，得到关于a，b的关系式，然后求出双曲线的离心率即可．因为双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，‎ 9‎ ‎∴3b＝‎4a，∴9(c2－a2)＝‎16a2，∴e＝＝，故选D．‎ ‎(理)已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( D )‎ A．－＝1 B．－＝1‎ C．－＝1 D．－＝1‎ ‎[解析]　根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4得xA＝，yA＝，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝＝2b，解得b2＝12，‎ 故所求的双曲线方程为－＝1，故选D．‎ ‎4．(2018·重庆一模)已知圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是( D )‎ A．(1，) B．(1,2)‎ C．(，＋∞) D．(2，＋∞)‎ ‎[解析]　由题意，圆心到直线的距离d＝＝，所以k＝±，‎ 因为圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：‎ －＝1(a>0，b>0)有两个交点，‎ 所以>，所以1＋>4，所以e>2.‎ ‎5．(2018·济南一模)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝( B )‎ A．　　 B．3　　　‎ C．　　 D．2‎ ‎[解析]　如图所示，因为＝4，所以＝，过点Q作QM⊥l垂足为M，则MQ∥x轴，‎ 9‎ 所以＝＝，所以|MQ|＝3，由抛物线定义知|QF|＝|QM|＝3.‎ ‎6．(2018·泉州一模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与点C的一个交点为点B，若＝，则p＝2.‎ ‎[解析]　设直线AB：y＝x－，代入y2＝2px得：‎ ‎3x2＋(－6－2p)x＋3＝0，‎ 又因为＝，即M为A，B的中点，‎ 所以xB＋(－)＝2，即xB＝2＋，得p2＋4p－12＝0，‎ 解得p＝2，p＝－6(舍去)．‎ ‎7．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为－2.‎ ‎[解析]　由已知得A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，则·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝4x2－x－5.令f(x)＝4x2－x－5，则f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取最小值，即·取最小值，最小值为－2.‎ ‎8．已知椭圆C：＋＝1，点M与椭圆C的焦点不重合．若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则|AN|＋|BN|＝12.‎ ‎[解析]　取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF|1＋|GF|2)＝‎4a＝12.‎ ‎9．(2018·郴州三模)已知抛物线E：y2＝8x，圆M：(x－2)2＋y2＝4，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点P的轨迹为曲线C．‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)点Q(x0，y0)(x0≥5)是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点，求△QAB面积的最小值．‎ ‎[解析]　(1)设P(x，y)，则点N(2x,2y)在抛物线E：y2＝8x上，所以4y2＝16x，‎ 所以曲线C的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．‎ 令y＝0，可得x＝x0－，‎ 圆心(2,0)到切线的距离d＝＝2，‎ 9‎ 整理可得(x－4x0)k2＋(4y0－2x0y0)k＋y－4＝0，‎ 设两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝，k1k2＝，‎ 所以△QAB面积S＝|(x0－)－(x0－)|y0‎ ‎＝2·＝2 ‎＝2[(x0－1)＋＋2]．‎ 设t＝x0－1∈[4，＋∞)，‎ 则f(t)＝2(t＋＋2)在[4，＋∞)上单调递增，‎ 所以f(t)≥，即△QAB面积的最小值为.‎ B组 ‎1．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是( C )‎ A．(，＋∞)　 B．(，2 )　　‎ C．(1，)　 D．(1,2)‎ ‎[解析]　由题意得双曲线的离心率e＝.‎ ‎∴e2＝＝1＋.‎ ‎∵a>1，∴0<<1，∴1<1＋<2，∴1b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( A )‎ A． B． ‎ C． D． 9‎ ‎[解析]　解法一：设E(0，m)，则直线AE的方程为－＋＝1，由题意可知M(－c，m－)，(0，)和B(a,0)三点共线，则＝，化简得a＝‎3c，则C的离心率e＝＝.‎ 解法二：如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．‎ 由PF⊥x轴得P(－c，)．‎ 设E(0，m)，‎ 又PF∥OE，得＝，‎ 则|MF|＝.①‎ 又由OE∥MF，得＝，‎ 则|MF|＝.②‎ 由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝‎3c，‎ 所以e＝＝.‎ 故选A．‎ ‎3．(文)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( B )‎ A．2 B．4 ‎ C．6 D．8‎ ‎[解析]　由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A(，2)，D(－，)，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得＋8＝＋5，得p＝4.故选B．‎ ‎(理)已知椭圆C1：＋y2＝1(m>1)与双曲线C2：－y2＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( A )‎ A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1‎ C．m1 D．mn，又(e1e2)2＝·＝ 9‎ ‎·＝＝1＋>1，所以e1e2>1.故选A．‎ ‎4．已知M(x0，y0)是曲线C：－y＝0上的一点，F是曲线C的焦点，过M作x轴的垂线，垂足为点N，若·<0，则x0的取值范围是( A )‎ A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)‎ C．(0,1) D．(－1,1)‎ ‎[解析]　由题意知曲线C为抛物线，其方程为x2＝2y，所以F(0，)．根据题意，可知N(x0,0)，x0≠0，＝(－x0，－y0)，＝(0，－y0)，所以·＝－y0(－y0)<0，即00，b>0)，‎ 由题意可知，将x＝c代入，解得：y＝±，‎ 则|AB|＝，由|AB|＝2×‎2a，‎ 9‎ 则b2＝‎2a2，所以双曲线离心率e＝＝＝.‎ ‎7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为点C，若S△ABC＝3S△BCF2，则椭圆的离心率为.‎ ‎[解析]　如图所示，‎ 因为S△ABC＝3S△BCF2，所以|AF2|＝2|F‎2C|.‎ A(－c，)，直线AF2的方程为：y－0＝(x－c)，‎ 化为：y＝(x－c)，代入椭圆方程＋＝1(a>b>0)，‎ 可得：(‎4c2＋b2)x2－2cb2x＋b‎2c2－‎4a2c2＝0，‎ 所以xC·(－c)＝，解得xC＝.‎ 因为＝2，‎ 所以c－(－c)＝2(－c)，‎ 化为：a2＝‎5c2，解得e＝.‎ ‎8．设F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，AF1⊥AB且AF1＝AB，则椭圆C的离心率为－.‎ ‎[解析]　设|AF1|＝t，则|AB|＝t，|F1B|＝t，由椭圆定义有：|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝‎2a，‎ 所以|AF1|＋|AB|＋|F1B|＝‎4a，‎ 化简得(＋2)t＝‎4a，t＝(4－2)a，‎ 9‎ 所以|AF2|＝‎2a－t＝(2－2)a，‎ 在Rt△AF‎1F2中，|F‎1F2|2＝(‎2c)2，‎ 所以[(4－2)a]2＋[(2－2)a]2＝(‎2c)2，‎ 所以()2＝9－6＝(－)2，所以e＝－.‎ ‎9．(文)设F1、F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，|AF1|＝3|F1B|.‎ ‎(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；‎ ‎(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．‎ ‎[解析]　(1)由|AF1|＝3|F1B|及|AB|＝4得|AF1|＝3，|F1B|＝1，‎ 又∵△ABF2的周长为16，‎ ‎∴由椭圆定义可得‎4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝‎2a＝8.‎ ‎∴|AF2|＝‎2a－|AF1|＝8－3＝5.‎ ‎(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k，‎ 由椭圆定义知：|AF2|＝‎2a－3k，|BF2|＝‎2a－k，‎ 在△ABF2中，由余弦定理得，‎ ‎|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cos∠AF2B，‎ 即(4k)2＝(‎2a－3k)2＋(‎2a－k)2－(‎2a－3k)(‎2a－k)，‎ ‎∴(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，‎ ‎∴a＝3k，‎ 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k，‎ ‎∴|BF2|2＝|F‎2A|2＋|AB|2‎ ‎∴F‎2A⊥AB，F‎2A⊥AF1，‎ ‎∴△AF‎1F2是等腰直角三角形，‎ 从而c＝a，所以椭圆离心率为e＝＝.‎ ‎(理)设点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：＋y2＝1(a>1)的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且·的最小值为0.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)如图，动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点，作F‎1M⊥l，F2N⊥l分别交直线l于M，N两点，求四边形F1MNF2面积S的最大值．‎ 9‎ ‎[解析]　本题主要考查平面向量数量积的坐标运算、椭圆的方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系、基本不等式．‎ ‎(1)设P(x，y)，则＝(－c－x，－y)，‎ ＝(c－x，－y)，‎ ‎∴·＝x2＋y2－c2＝x2＋1－c2，‎ x∈[－a，a]，‎ 由题意得，1－c2＝0，c＝1，则a2＝2，‎ ‎∴椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)将直线l的方程l：y＝kx＋m代入椭圆C的方程＋y2＝1中，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋‎2m2‎－2＝0，‎ 由直线l与椭圆C有且仅有一个公共点知 Δ＝16k‎2m2‎－4(2k2＋1)(‎2m2‎－2)＝0，‎ 化简得：m2＝2k2＋1.‎ 设d1＝|F‎1M|＝，d2＝|F2N|＝.‎ ‎①当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1－d2|＝|MN|·|tanθ|，‎ ‎∴|MN|＝·|d1－d2|，‎ ‎∴S＝··|d1－d2|·(d1＋d2)＝＝＝，‎ ‎∵m2＝2k2＋1，∴当k≠0时，|m|>1，|m|＋>2，‎ 即S<2.‎ ‎②当k＝0时，四边形F1MNF2是矩形，此时S＝2.‎ ‎∴四边形F1MNF2面积S的最大值为2.‎ 9‎