压轴高考数学复习导数大题附详细解答 7页

‎2012高考压轴导数大题 例1.已知函数在区间，内各有一个极值点．‎ ‎（I）求的最大值；‎ ‎（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．‎ 例3已知函数，其中为参数，且．‎ ‎（1）当时，判断函数是否有极值；‎ ‎（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；‎ 例4．已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，.‎ 求：（Ⅰ）的值；‎ ‎（Ⅱ）的值.‎ 例5设是函数的一个极值点.‎ ‎（Ⅰ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设，.若存在使得成立，‎ 求的取值范围 例6已知函数 在处取得极大值，在处取得极小值，且．‎ ‎（1）证明；‎ ‎（2）若z=a+2b,求z的取值范围。‎ ‎ 1. 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）如果函数在上是单调增函数，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎2. 如果是函数的一个极值，称点是函数的一个极值点.已知函数 ‎（1）若函数总存在有两个极值点，求所满足的关系；‎ ‎（2）若函数有两个极值点，且存在，求在不等式表示的区域内时实数的范围.（3）若函数恰有一个极值点，且存在，使在不等式表示的区域内，证明：.‎ ‎3 已知函数.‎ ‎(1)若函数是其定义域上的增函数，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若是奇函数，且的极大值是，求函数在区间上的最大值；‎ ‎(3)证明：当时，.‎ ‎4已知实数a满足0＜a≤2，a≠1，设函数f (x)＝x3－x2＋ax．‎ ‎(Ⅰ) 当a＝2时，求f (x)的极小值；‎ ‎(Ⅱ) 若函数g(x)＝x3＋bx2－(2b＋4)x＋ln x (b∈R)的极小值点与f (x)的极小值点相同．‎ 求证：g(x)的极大值小于等于5/4‎ 例1解（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，‎ 设两实根为（），则，且．于是 ‎，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．‎ ‎（II）解法一：由知在点处的切线的方程是 ‎，即，‎ 因为切线在点处空过的图象，‎ 所以在两边附近的函数值异号，则 不是的极值点．‎ 而，且 ‎．‎ 若，则和都是的极值点．‎ 所以，即，又由，得，故．‎ 解法二：同解法一得 ‎．‎ 因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）．‎ 当时，，当时，；‎ 或当时，，当时，．‎ 设，则 当时，，当时，；‎ 或当时，，当时，．‎ 由知是的一个极值点，则，‎ 所以，又由，得，故．‎ 例3解（Ⅰ）当时，，则在内是增函数，故无极值.‎ ‎（Ⅱ），令，得.‎ 由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论. ‎ ‎①当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表：‎ x ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 因此，函数在处取得极小值，且.‎ 要使，必有，可得.‎ 由于，故.‎ ②当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 因此，函数处取得极小值，且 若，则.矛盾.所以当时，的极小值不会大于零.‎ 综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为.‎ 例4解法一：（Ⅰ）由图像可知，在上，在上，在上,‎ 故在上递增，在上递减，‎ 因此在处取得极大值，所以 ‎（Ⅱ）‎ 由 得 解得 解法二：（Ⅰ）同解法一 ‎（Ⅱ）设 又 所以 由即得 所以 例5解（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x,‎ 由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，‎ 则 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x ‎＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.‎ 令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，‎ 所以x+a+1≠0，那么a≠－4.‎ 当a<－4时，x2>3＝x1，则 在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；‎ 在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；‎ 在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.‎ 当a>－4时，x2<3＝x1，则 在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；‎ 在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；‎ 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，‎ 而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6，‎ 那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].‎ 又在区间[0，4]上是增函数，‎ 且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]，‎ 由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，所以只须仅须 ‎（a2＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0