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  • 2021-05-13 发布

压轴高考数学复习导数大题附详细解答

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‎2012高考压轴导数大题 例1.已知函数在区间,内各有一个极值点.‎ ‎(I)求的最大值;‎ ‎(II)当时,设函数在点处的切线为,若在点处穿过函数的图象(即动点在点附近沿曲线运动,经过点时,从的一侧进入另一侧),求函数的表达式.‎ 例3已知函数,其中为参数,且.‎ ‎(1)当时,判断函数是否有极值;‎ ‎(2)要使函数的极小值大于零,求参数的取值范围;‎ 例4.已知函数在点处取得极大值,其导函数的图象经过点,.‎ 求:(Ⅰ)的值;‎ ‎(Ⅱ)的值.‎ 例5设是函数的一个极值点.‎ ‎(Ⅰ)求与的关系式(用表示),并求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)设,.若存在使得成立,‎ 求的取值范围 例6已知函数 在处取得极大值,在处取得极小值,且.‎ ‎(1)证明;‎ ‎(2)若z=a+2b,求z的取值范围。‎ ‎ 1. 已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)如果函数在上是单调增函数,求的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)是否存在实数,使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根?若存在,请求出的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ ‎2. 如果是函数的一个极值,称点是函数的一个极值点.已知函数 ‎(1)若函数总存在有两个极值点,求所满足的关系;‎ ‎(2)若函数有两个极值点,且存在,求在不等式表示的区域内时实数的范围.(3)若函数恰有一个极值点,且存在,使在不等式表示的区域内,证明:.‎ ‎3 已知函数.‎ ‎(1)若函数是其定义域上的增函数,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若是奇函数,且的极大值是,求函数在区间上的最大值;‎ ‎(3)证明:当时,.‎ ‎4已知实数a满足0<a≤2,a≠1,设函数f (x)=x3-x2+ax.‎ ‎(Ⅰ) 当a=2时,求f (x)的极小值;‎ ‎(Ⅱ) 若函数g(x)=x3+bx2-(2b+4)x+ln x (b∈R)的极小值点与f (x)的极小值点相同.‎ 求证:g(x)的极大值小于等于5/4‎ 例1解(I)因为函数在区间,内分别有一个极值点,所以在,内分别有一个实根,‎ 设两实根为(),则,且.于是 ‎,,且当,即,时等号成立.故的最大值是16.‎ ‎(II)解法一:由知在点处的切线的方程是 ‎,即,‎ 因为切线在点处空过的图象,‎ 所以在两边附近的函数值异号,则 不是的极值点.‎ 而,且 ‎.‎ 若,则和都是的极值点.‎ 所以,即,又由,得,故.‎ 解法二:同解法一得 ‎.‎ 因为切线在点处穿过的图象,所以在两边附近的函数值异号,于是存在().‎ 当时,,当时,;‎ 或当时,,当时,.‎ 设,则 当时,,当时,;‎ 或当时,,当时,.‎ 由知是的一个极值点,则,‎ 所以,又由,得,故.‎ 例3解(Ⅰ)当时,,则在内是增函数,故无极值.‎ ‎(Ⅱ),令,得.‎ 由(Ⅰ),只需分下面两种情况讨论. ‎ ‎①当时,随x的变化的符号及的变化情况如下表:‎ x ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 因此,函数在处取得极小值,且.‎ 要使,必有,可得.‎ 由于,故.‎ ②当时,随x的变化,的符号及的变化情况如下表:‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 因此,函数处取得极小值,且 若,则.矛盾.所以当时,的极小值不会大于零.‎ 综上,要使函数在内的极小值大于零,参数的取值范围为.‎ 例4解法一:(Ⅰ)由图像可知,在上,在上,在上,‎ 故在上递增,在上递减,‎ 因此在处取得极大值,所以 ‎(Ⅱ)‎ 由 得 解得 解法二:(Ⅰ)同解法一 ‎(Ⅱ)设 又 所以 由即得 所以 例5解(Ⅰ)f `(x)=-[x2+(a-2)x+b-a ]e3-x,‎ 由f `(3)=0,得 -[32+(a-2)3+b-a ]e3-3=0,即得b=-3-2a,‎ 则 f `(x)=[x2+(a-2)x-3-2a-a ]e3-x ‎=-[x2+(a-2)x-3-3a ]e3-x=-(x-3)(x+a+1)e3-x.‎ 令f `(x)=0,得x1=3或x2=-a-1,由于x=3是极值点,‎ 所以x+a+1≠0,那么a≠-4.‎ 当a<-4时,x2>3=x1,则 在区间(-∞,3)上,f `(x)<0, f (x)为减函数;‎ 在区间(3,―a―1)上,f `(x)>0,f (x)为增函数;‎ 在区间(―a―1,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数.‎ 当a>-4时,x2<3=x1,则 在区间(-∞,―a―1)上,f `(x)<0, f (x)为减函数;‎ 在区间(―a―1,3)上,f `(x)>0,f (x)为增函数;‎ 在区间(3,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a>0时,f (x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)上单调递减,那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[min(f (0),f (4) ),f (3)],‎ 而f (0)=-(2a+3)e3<0,f (4)=(2a+13)e-1>0,f (3)=a+6,‎ 那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a+3)e3,a+6].‎ 又在区间[0,4]上是增函数,‎ 且它在区间[0,4]上的值域是[a2+,(a2+)e4],‎ 由于(a2+)-(a+6)=a2-a+=()2≥0,所以只须仅须 ‎(a2+)-(a+6)<1且a>0,解得0