专题05+推理证明与概率统计小题-冲刺高考最后一个月之2019高考数学（文）名师押题高端精品 12页

专题05 推理证明与概率统计小题（文）‎ 一.推理证明 ‎（一）命题特点和预测：分析近8年全国1卷试题，发现8年1考，主要考查合情推理，难度较低是送分题，2019年高考可能考查一个推理证明试题，主要考查合情推理、演绎推理或反证法，难度为容易题．‎ ‎（二）历年试题比较：‎ 年份 ‎ 题目 答案 ‎2014年 ‎(14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过、、三个城市时，‎ ‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；‎ ‎ 乙说：我没去过城市；‎ ‎ 丙说：我们三人去过同一城市；‎ ‎ 由此可判断乙去过的城市为________.‎ A ‎【解析与点睛】‎ ‎（2014年）【解析】∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说：我没去过C城市 ‎∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ.‎ ‎（三）命题专家押题 题号 试 题 ‎1. ‎ 祖暅（公元前5～6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了一条原原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高。这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等。设由椭圆所围成的平面图形绕 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.‎ 利用反证法证明：若，则，假设为(　　)‎ A．都不为0 B．不都为0‎ C．都不为0，且 D．至少有一个为0‎ ‎3‎ 的三边长分别为，的面积为，则的内切圆半径为.将此结论类比到空间四面体：设四面体的四个面的面积分别为，体积为，则四面体的内切球半径为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4‎ 在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人，现有四条明确信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与.据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是（ ）‎ A．丙、丁 B．乙、丙 C．甲、乙 D．甲、丁 ‎5‎ 如下分组的正整数对：第1组为，，第2组为，，第3组为，，，，第4组为，，，，，则第40组第21个数对为______．‎ ‎6‎ 若等差数列的公差为，前项和为，则数列为等差数列，公差为，类似地，若各项均为正数的等比数列的公比为，前项积为，则等比数列的公比为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7‎ 在实数的原有运算法则（“” “”仍为通常的乘法和减法）中，我们补充定义新运算 “如下：当时，；当时，，则当时，函数的最大值等于 A．-1 B．1 C．6 D．12‎ ‎8‎ 边长为的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值等于；将这个结论推广到空间是：棱长为的正四面体内任一点到各面距离之和等于________________.（具体数值）‎ ‎9‎ 已知各项均为正数的两个无穷数列和满足：，且是等比数列，给定以下四个结论：①数列的所有项都不大于；②数列的所有项都大于；③数列的公比等于；④数列一定是等比数列。其中正确结论的序号是____________．‎ ‎10‎ 我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )‎ 从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则的值为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【详细解析】‎ ‎1.【答案】A ‎【解析】椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，先构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积为，故选A。‎ ‎2.【答案】B ‎【解析】的否定为，即，不都为0，选B.‎ ‎3.【答案】C ‎【解析】设四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为：V（S1+S2+S3+S4）r，∴r，故选C．‎ ‎4.【答案】A ‎【解析】假设参与此案的两名嫌疑人是丙、丁，符合题意，故A正确；‎ 假设参与此案的两名嫌疑人是乙、丙，则由乙参与此案，得丁一定参与，不合题意，故B错误；‎ 假设参与此案的两名嫌疑人是甲、乙，则由乙参与此案，得丁一定参与，不合题意，故C错误；‎ 假设参与此案的两名嫌疑人是甲、丁，则由甲参与此案，则丙一定没参与，丙没参与此案，则丁也一定没参与，不合题意，故D错误；故选A．‎ ‎5.【答案】（22,20）‎ ‎【解析】由题意可得第一组的各个数和为3，第二组各个数和为4，第三组各个数和为5，第四组各个数和为6，，第n组各个数和为，且各个数对无重复数字，可得第40组各个数和为42，则第40组第21个数对为．‎ ‎6.【答案】C ‎【解析】∵在等差数列中前n项的和为的通项,且写成了 =a1+(n−1)×，所以在等比数列{}中应研究前n项的积为的开n方的形式，类比可得=b1()n−1.其公比为，故选C.‎ ‎7.【答案】C ‎【解析】由已知得所以，可求出：当时，函数最大值是-1；当时，函数最大值是6；当时，函数不存在最大值是；所以函数的最大值等于6，选C ‎8.【答案】‎ ‎【解析】边长为a的等边三角形内任意一点到三边距离之和是由该三角形的面积相等得到的，由此可以推测棱长为a的正四面体内任意一点到各个面的距离之和可由体积相等得到．方法如下，如图，在棱长为a的正四面体内任取一点P，P到四个面的距离分别为h1，h2，h3，h4．四面体A﹣BCD的四个面的面积相等，均为，高为，由体积相等得：，所以．‎ ‎9.【答案】①③④‎ ‎【解析】因为，所以①，下证等比数列的公比.‎ 若，则，则当时，，此时，与①矛盾；‎ 若，则，则当时，此时，与①矛盾.‎ 故，故.下证，若，则，于是，‎ 由得，所以中至少有两项相同，矛盾.‎ 所以，所以，‎ 所以正确的序号是①③④.‎ ‎10.【答案】C ‎【解析】第一行第一个数为：；‎ 第二行第一个数为：；‎ 第三行第一个数为：；‎ 第四行第一个数为：；‎ ‎，‎ 第n行第一个数为：；‎ 一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：；故选C．‎ 二.概率统计小题 ‎（一）命题特点和预测：分析近8年的新课标1高考题发现，8年7考，每年1题，主要考查抽样方法、古典概型、几何概型、总体估计、独立性检验、回归分析等概率统计问题，难度为容易题，2019年高考仍将有1个小题，仍重点考查抽样方法、古典概型、几何概型、总体估计、独立性检验、回归分析等概率统计问题，难度为容易题．‎ ‎（二）历年试题比较：‎ 年份 ‎ 题目 答案 ‎2018年 （3） 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：‎ 则下面结论中不正确的是 A A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 ‎ ‎2017年 ‎(2)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数 B ‎(4)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称. 在正方形内随机取一点， 则此点取自黑色部分的概率是 A． ‎ B． C． D．‎ B ‎2016年 ‎（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 ‎（A）（B）（C）（D）‎ C ‎2015年 ‎（4）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ C ‎2014年 ‎ ‎(13)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.‎ ‎2013年 ‎(3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 ‎. . . . ‎ B ‎2011年 ‎(6)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一兴趣小组的概率为 ‎（A） (B) (C) (D)‎ A ‎【解析与点睛】‎ ‎（2018年）（3）【解析】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，‎ 则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；‎ 新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；‎ 新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；‎ 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A.‎ ‎（2017年）(2)【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选B ‎(4)【解析】‎ ‎（2016年）【解析】将4中颜色的花种任选两种种在一个花坛中,余下2种种在另一个花坛,有6种种法,其中红色和紫色不在一个花坛的种数有4种,故概率为,故选C.‎ ‎（2015年）【解析】从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为，故选C.‎ ‎（2014年）【解析】设两本数学为A，B，语文书为C，则将3本书排除一排所有可能为ABC，BAC，ACB，BCA，CAB，CBA，其中两本数学书相邻的所有可能有ABC，BAC，CAB，CBA，故2本数学书相邻的概率为=.‎ ‎（2013年）【解析】从1,2,3，4中任取两个有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}6种不同取法，其中取出的2个数之差的绝对值为2的由{1,3}，{2,4}2种，故其概率为=，故选.‎ ‎（2011年）【解析】[法1]∵每位同学参加各个小组的可能性相同,故某个同学参加某一小组的概率都为，又∵甲、乙参加哪一小组之间没有相互影响，故甲、乙同在某一组的概率为=，‎ 又∵甲、乙同在3个兴趣小组的某一组的3个事件互斥，故甲、乙同在一组的概率为++=，故选A.‎ ‎(法2)设三个小组分别为1、2、3，则甲、乙参加各小组的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共9种,其中在同一组有3种，故在同一组的概率为=.‎ ‎（三）命题专家押题 题号 试 题 ‎1. ‎ 总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第3个个体的编号为（　　）‎ 附：第6行至第9行的随机数表 ‎2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950‎ ‎3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732‎ ‎2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620‎ ‎7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125‎ A．3 B．16 C．38 D．20‎ ‎2.‎ 某公司2018年在各个项目中总投资500万元，下图是几类项目的投资占比情况，已知在1万元以上的项目投资中，少于3万元的项目投资占，那么不少于3万元的项目投资共有 A．56万元 B．万元 C．万元 D．万元 ‎3‎ 某地气象局把当地某月（共30天）每一天的最低气温作了统计，并绘制了如下图所示的统计图，假设该月温度的中位数为，众数为，平均数为，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4 ‎ 为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：‎ ‎①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为：（ ）‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎5‎ 为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，，.该班某学生的脚长为23，据此估计其身高为（ ）.‎ A．160 B．166 C．170 D．172‎ ‎6‎ ‎2018年12月1日，贵阳市地铁一号线全线开通，在一定程度上缓解了出行的拥堵状况。为了了解市民对地铁一号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图：‎ 根据图中（岁以上含岁）的信息，下列结论中不一定正确的是（ ）‎ A．样本中男性比女性更关注地铁一号线全线开通 B．样本中多数女性是岁以上 C．岁以下的男性人数比岁以上的女性人数多 D．样本中岁以上的人对地铁一号线的开通关注度更高 ‎7‎ 在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“▅▅”表示阴爻.有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”.所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析.在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8‎ 某图形由一个等腰直角三角形，一个矩形（矩形中的阴影部分为半圆），一个半圆组成，从该图内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9‎ 采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，为此将他们随机编号为，，...，，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为.抽到的人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷.则抽到的人中，做问卷的人数为__________.‎ ‎10‎ ‎2018年，国际权威机构IDC发布的全球手机销售报告显示：华为突破2亿台出货量超越苹果的出货量，首次成为全球第二，华为无愧于中国最强的高科技企业。华为业务CEO余承东明确表示，华为的目标，就是在2021年前，成为全球最大的手机厂商．为了解华为手机和苹果手机使用的情况是否和消费者的性别有关，对100名华为手机使用者和苹果手机使用者进行统计，统计结果如下表：‎ 根据表格判断是否有95%的把握认为使用哪种品牌手机与性别有关系，则下列结论正确的是( )‎ 附：‎ A．没有95%把握认为使用哪款手机与性别有关 B．有95%把握认为使用哪款手机与性别有关 C．有95%把握认为使用哪款手机与性别无关 D．以上都不对 ‎【详细解析】‎ ‎1.【答案】D ‎【解析】按随机数表法，从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则编号依次为33，16，20，38，49，32，则选出的第3个个体的编号为20， 故选D．‎ ‎2.【答案】B ‎【解析】由图可知，1万元以上的项目投资占：1－0.46－0.33＝0.21＝21%，500×0.21＝105，少于3万元的项目投资占，则不少于3万元的项目投资占，105×＝65万元，故选B.‎ ‎3.【答案】D ‎【解析】由图知众数＝5，由中位数的定义知，得分的中位数为me，是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从大到小排第15个数是5，第16个数是6，∴＝5.5，（2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8 +2×9+2×10）5.97，∴＜me＜，故选D．‎ ‎4.【答案】C ‎【解析】甲的中位数为29，乙的中位数为30，故①不正确；甲的平均数为29，乙的平均数为30，故②正确；从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故③正确，④不正确．故选C．‎ ‎5.【答案】B ‎【解析】根据题意，计算xi＝25，yi＝174，，∴174﹣4×25＝74，∴4x+74，当x＝23时，计算4×23+74＝166，据此估计其身高为166（厘米），故选B．‎ ‎6.【答案】C ‎【解析】由左图知，样本中的男性数量多于女性数量，A正确；‎ 由右图知女性中岁以上的占多数，B正确；‎ 由右图知，岁以下的男性人数比岁以上的女性人数少， C错误；‎ 由右图知样本中岁以上的人对地铁一号线的开通关注度更高，D正确．故选C．‎ ‎7.【答案】B ‎【解析】在一次所谓“算卦”中得到六爻，基本事件总数，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻包含的基本事件，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是．故选．‎ ‎8.【答案】C ‎【解析】设矩形的长为，则宽为，所以该图形的面积为，阴影部分的面积为，故该点取自阴影部分的概率为.，故选C ‎9.【答案】6‎ ‎【解析】从人中用系统抽样方法抽取人，则抽样距为，因为第一组号码为，所以第二组号码为，…依次类推，则第组号码为.因为，所以，所以，即做问卷的人数共有.‎ ‎10.【答案】A ‎【解析】由表可知：a=30，b=15，c=45，d=10，n=100，则≈3.030≤3.841,故没有95%把握认为使用哪款手机与性别有关，故选A. ‎