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  • 2021-05-13 发布

高考浙江卷数学理试题含解析

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‎2016年高考浙江卷数学(理)试题 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合 则 A.[2,3] B.( -2,3 ] C.[1,2) D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据补集的运算得.故选B.‎ ‎2. 已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m,n满足 则 A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n ‎【答案】C ‎3. 在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域 ‎ 中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB,则│AB│=‎ A.2 B.‎4 C.3 D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图为线性区域,区域内的点在直线上的投影构成了线段,即,而,由得,由得,.故选C.‎ ‎4. 命题“,使得”的定义形式是 A.,使得 B.,使得 ‎ C.,使得 D.,使得 ‎【答案】D ‎【解析】的否定是,的否定是,的否定是.故选D.‎ ‎5. 设函数,则的最小正周期 A.与b有关,且与c有关 B.与b有关,但与c无关 C.与b无关,且与c无关 D.与b无关,但与c有关 ‎【答案】B ‎6. 如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且,‎ ‎,().‎ 若 A.是等差数列 B.是等差数列 ‎ C.是等差数列 D.是等差数列 ‎【答案】A ‎【解析】表示点到对面直线的距离(设为)乘以长度一半,即,由题目中条件可知的长度为定值,那么我们需要知道的关系式,过作垂直得到初始距离,那么和两个垂足构成了等腰梯形,那么,其中为两条线的夹角,即为定值,那么,,作差后:,都为定值,所以为定值.故选A. ‎ ‎7. 已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:–y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则 A.m>n且e1e2>1 B.m>n且e1e2<‎1 C.m1 D.m0),则A=______,b=________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】,所以 ‎11. 某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是 cm2,体积是 cm3.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】几何体为两个相同长方体组合,长方体的长宽高分别为4,2,2,所以体积为,由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形,所以表面积为 ‎12. 已知a>b>1.若logab+logba=,ab=ba,则a= ,b= .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设,因为,‎ 因此 ‎13.设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1= ,S5= .‎ ‎【答案】 ‎ ‎ ‎ ‎14. 如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】中,因为,‎ 所以.‎ 由余弦定理可得 ‎,‎ 所以.‎ 设,则,.‎ 在中,由余弦定理可得 ‎.‎ 故.‎ 在中,,.‎ 由余弦定理可得,‎ 所以.‎ 过作直线的垂线,垂足为.设 则,‎ 即,‎ 解得.‎ 而的面积.‎ 设与平面所成角为,则点到平面的距离.‎ 故四面体的体积 ‎.‎ 设,因为,所以.‎ 则.‎ ‎(2)当时,有,‎ 故.‎ 此时,‎ ‎.‎ 由(1)可知,函数在单调递减,故.‎ 综上,四面体的体积的最大值为.‎ ‎15. 已知向量a、b, |a| =1,|b| =2,若对任意单位向量e,均有 |a·e|+|b·e| ,则a·b的最大值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,即最大值为 三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16. (本题满分14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 已知b+c=‎2a cos B.‎ ‎(I)证明:A=2B;‎ ‎(II)若△ABC的面积,求角A的大小.‎ ‎【试题分析】(I)由正弦定理及两角和的正弦公式可得,再判断的取值范围,进而可证;(II)先由三角形的面积公式及二倍角公式可得,再利用三角形的内角和可得角的大小.‎ ‎(II)由得,故有 ‎,‎ 因,得.‎ 又,,所以.‎ 当时,;‎ 当时,.‎ 综上,或.‎ ‎17. (本题满分15分)如图,在三棱台中,平面平面 ‎,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.‎ ‎(I)求证:EF⊥平面ACFD;‎ ‎(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.‎ ‎【试题分析】(I)先证,再证,进而可证平面;(II)方法一:先找二面角的平面角,再在中计算,即可得二面角的平面角的余弦值;方法二:先建立空间直角坐标系,再计算平面和平面的法向量,进而可得二面角 的平面角的余弦值. ‎ ‎(II)方法一:‎ 过点作,连结.‎ 因为平面,所以,则平面,所以.‎ 所以,是二面角的平面角.‎ 在中,,,得.‎ 在中,,,得.‎ 所以,二面角的平面角的余弦值为.‎ ‎ ‎ ‎18. (本小题15分)已知,函数F(x)=min{2|x−1|,x2−2ax+‎4a−2},‎ 其中min{p,q}= ‎ ‎(I)求使得等式F(x)=x2−2ax+‎4a−2成立的x的取值范围;‎ ‎(II)(i)求F(x)的最小值m(a);‎ ‎(ii)求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).‎ ‎【试题分析】(I)分别对和两种情况讨论,进而可得使得等式成立的的取值范围;(II)(i)先求函数,的最小值,再根据的定义可得的最小值;(ii)分别对和两种情况讨论的最大值,进而可得在区间上的最大值.‎ ‎(II)(i)设函数,,则 ‎,,‎ 所以,由的定义知,即 ‎.‎ ‎(ii)当时,‎ ‎,‎ 当时,‎ ‎.‎ 所以,‎ ‎.‎ ‎19. (本题满分15分)如图,设椭圆(a>1).‎ ‎(I)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a、k表示);‎ ‎(II)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.‎ ‎【试题解析】(I)设直线被椭圆截得的线段为,由得 ‎,‎ 故 ‎,.‎ 因此 ‎.‎ ‎(II)假设圆与椭圆的公共点有个,由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点,,满足 ‎.‎ 记直线,的斜率分别为,,且,,.‎ ‎ ‎ ‎20.(本题满分15分)设数列满足,.‎ ‎(I)证明:,;‎ ‎(II)若,,证明:,.‎ ‎【试题分析】(I)先利用三角形不等式得,变形为,再用累加法可得 ‎,进而可证;(II)由(I)可得,进而可得,再利用的任意性可证.‎ ‎(II)任取,由(I)知,对于任意,‎ ‎,‎ 故 ‎.‎ 从而对于任意,均有 ‎ ‎