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- 2021-05-13 发布
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2009年普通高校招生统一考试(湖北卷)
数学(文史类)
注意事项:
1. 答题前,考试务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡指定位置。
2. 选择题每小题选出答案后,用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号,答在试题卷上无效。
3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上每题对应的答题区域内,答在试题卷上无效。
4. 考试结束,请将本试题和答题卡一并上交。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
1. 若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=
A. 3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b
【答案】B
2. 函数的反函数是
A. B.
C. D.
【答案】D
3.“sin=”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
4. 从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有一人参加,星期六有两人参加,星期日有一人参加,则不同的选派方法共有
A.120种 B.96种 C.60种 D.48种
【答案】C
【解析】5人中选4人则有种,周五一人有种,周六两人则有,周日则有种,故共有××=60种,故选C
5. 已知双曲线的准线经过椭圆(b>0)的焦点,则b=
A.3 B. C. D.
【答案】C
【解析】可得双曲线的准线为,又因为椭圆焦点为所以有.即b2=3故b=.故C.
6. 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=900,∠ACC1=600,∠BCC1=450,侧棱CC1的长为1,则该三棱柱的高等于
A. B.
C. D.
【答案】A
7. 函数的图像F按向量a平移到F/,F/的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时,向量a可以等于
A. B. C. D.
【答案】D
8. 在“家电下乡”活动中,某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇,现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用,每辆甲型货车运输费用400元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用300元,可装洗衣机10台,若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为
A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2800元
【答案】B
【解析】设甲型货车使用x辆,已型货车y辆.则,求Z=400x+300y最小值.可求出最优解为(4,2)故故选B.
9. 设记不超过的最大整数为[],令{}=-[],则{},[],
A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列
C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列
【答案】B
【解析】可分别求得,.则等比数列性质易得三者构成等比数列
10. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如:
他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是
A.289 B.1024 C.1225 D.1378
【答案】C
【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项,同理可得正方形数构成的数列通项,则由可排除A、D,又由知必为奇数,故选C.
二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写。
11. 已知,则b= .
【答案】40
【解析】因为∴ .解得
12. 甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5,则三人都达标的概率是 ,三人中至少有一人达标的概率是 。
【答案】0.24 0.96
【解析】三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24,三人都不达标的概率为(1-0.8)×(1-0.6)×(1-0.5)=0.04,所以,三人中至少有一人达标的概率为1-0.04=0.96
13. 设集合A=(x∣log2x<1), B=(X∣<1), 则A= .
【答案】
【解析】易得A= B= ∴A∩B=.
14. 过原点O作圆的两条切线,设切点分别为P、Q,则线段PQ的长为 。
【答案】4
【解析】可得圆方程是又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得
15. 下图是样本容量为200的频率分布直方图。
根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,10)内的频数为 ,数据落在[2,10)内的概率约为 。
【答案】64
【解析】观察直方图易得两个频率为,频率为
三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分12分)
在锐角△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且
(Ⅰ)确定角C的大小;
(Ⅱ)若c=,且△ABC的面积为,求a+b的值。
本小题主要考查正弦定理和余弦定理等基础知识及解三角形的方法,考查基本运算能力。(满分12分)
(Ⅰ)解:由及正弦定理得,
是锐角三角形,
(Ⅱ)解法1:由面积公式得
由余弦定理得
由②变形得 ③
将①代入③得,故
解法2:前同解法1,联立①、②得
消去b并整理得解得
所以故
17. (本小题满分12分)
围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元)。
(Ⅰ)将y表示为x的函数:
(Ⅱ)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。
17. 本小题主要考查函数和不等式等基础知识,考查用平均不等式求最值和运用数学知识解决实际问题的能力。(满分12分)
解:(Ⅰ)如图,设矩形的另一边长为m,
则-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a=,
所以y=225x+
(Ⅱ)
.当且仅当225x=时,等号成立.
即当x=24m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元.
18.(本小题满分12分)
如图,四棱锥的底面是正方形,⊥平面,,点是上的点,且
(Ⅰ)求证:对任意的(0、1],都有;
(Ⅱ)若二面角的大小为600,求的值。
18. 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。(满分12分)
(Ⅰ)证法1:连接,由底面是正方形可得ACBD。
SD平面,BD是BE在平面上的射影,
由三垂线定理得
(Ⅱ)
解法1:SD平面,平面, SDCD.
又底面是正方形,,又,CD平面
过点D在平面内做DFAE于F,连接CF,则CFAE,
故CFD是二面角C-AE-D 的平面角,即CFD=60°
在Rt△ADE中,AD=, DE= , AE= 。
于是,
在Rt△CDF中,由cot60°=
得,即=3
, 解得=
(Ⅰ)证法2:以D为原点,的方向分别作为的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则,
,
∴
即对任意的(0,1],都有
(Ⅱ)解法2:为平面的一个法向量
设平面的一个法向量为,
则
∴即
取,得
∴
由(0,1],解得
19.(本小题满分12分)
已知{}是一个公差大于0的等差数列,且满足
(Ⅰ)求数列{}的通项公式:
(Ⅱ)若数列{}和数列{}满足等式:=,求数列{}的前n项和
(Ⅰ)解法一:设等差数列的公差为d,则依题设d>0
由,得 ①
由得 ②
由①得将其代入②得,
即
解法二:由等差数列的性质得:,∴
由韦达定理知,是方程的根,
解方程得或
设公差为,则由,得
∵,∴
故
(Ⅱ)解法一:当时,,∴
当时,
两式相减得,∴
因此
当时,;
当时,
∵当时上式也成立,
∴当为正整数时都有
解法二:令
两式相减得由(Ⅰ)得
于是
=-4=
20.(本小题满分13分)
如图,过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向准线作垂线,垂足分别为M1、N1
(Ⅰ)求证:FM1⊥FN1:
(Ⅱ)记△FMM1、、△FM1N1、△FN N1的面积分别为,试判断是否成立,并证明你的结论。
本小题主要考查抛物线的概念,抛物线的几何性质等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力(满分13分)
(Ⅰ)证法1:由抛物线的定义得
2分
如图,设准线与轴的交点为
而
即
故
证法2:依题意,焦点为准线的方程为
设点M,N的坐标分别为直线MN的方程为,则有
由 得
于是,,
,故
(Ⅱ)成立,证明如下:
证法1:设,则由抛物线的定义得
,于是
将与代入上式化简可得
,此式恒成立。
故成立。
证法2:如图,设直线的倾角为,
则由抛物线的定义得
于是
在和中,由余弦定理可得
由(I)的结论,得
即,得证。
21.(本小题满分14分)
已知关于x的函数,其导函数为.令,记函数在区间[-1、1]上的最大值为.
(Ⅰ)如果函数f(x)在x=1处有极值-,试确定b、c的值;
(Ⅱ)若∣b∣>1,证明对任意的c,都有M>2;
(Ⅲ)若对任意的b、c恒成立,试求k的最大值。
21.本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识,考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想(满分14分)
(Ⅰ)解:,由在处有极值
可得
解得或
若,则,此时没有极值;
若,则
当变化时,,的变化情况如下表:
1
0
+
0
极小值
极大值
当时,有极大值,故,即为所求。
(Ⅱ)证法1:
当时,函数的对称轴位于区间之外。
在上的最值在两端点处取得
故应是和中较大的一个
即
证法2(反证法):因为,所以函数的对称轴位于区间之外,
在上的最值在两端点处取得。
故应是和中较大的一个
假设,则
将上述两式相加得:
,导致矛盾,
(Ⅲ)解法1:
(1)当时,由(Ⅱ)可知;
(2)当时,函数)的对称轴位于区间内,
此时
由有
①若则,
于是
②若,则
于是
综上,对任意的、都有
而当时,在区间上的最大值
故对任意的、恒成立的的最大值为。
解法2:
(1)当时,由(Ⅱ)可知;
(2)当时,函数的对称轴位于区间内,
此时
,即
下同解法1
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