2020届高考数学大二轮复习 第1部分 专题6 解析几何 第1讲 直线与圆练习 8页

第一部分 专题六 第一讲 直线与圆 A组 ‎1．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋‎2a＝0平行，则l1与l2间的距离为( B )‎ A．　　 B．　　　‎ C．　　 D． ‎[解析]　由l1∥l2知3＝a(a－2)且‎2a≠6(a－2)，‎ ‎2a‎2≠18，求得a＝－1，‎ ‎∴l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，两条平行直线l1与l2间的距离为 d＝＝.故选B．‎ ‎2．(文)直线x＋y＋＝0截圆x2＋y2＝4所得劣弧所对圆心角为( D )‎ A． B． ‎ C． D． ‎[解析]　弦心距d＝＝1，半径r＝2，‎ ‎∴劣弧所对的圆心角为.‎ ‎(理)⊙C1：(x－1)2＋y2＝4与⊙C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9相交弦所在直线为l，则l被⊙O：x2＋y2＝4截得弦长为( D )‎ A． B．4 ‎ C． D． ‎[解析]　由⊙C1与⊙C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0.‎ 圆心O(0,0)到l的距离d＝，⊙O的半径R＝2，‎ ‎∴截得弦长为2＝2＝.‎ ‎3．已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，过A(－1,0)的直线l与圆C相交于P，Q两点．若|PQ|＝2，则直线l的方程为( B )‎ 8‎ A．x＝－1或4x＋3y－4＝0‎ B．x＝－1或4x－3y＋4＝0‎ C．x＝1或4x－3y＋4＝0‎ D．x＝1或4x＋3y－4＝0‎ ‎[解析]　当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，由|PQ|＝2，则圆心C到直线l的距离d＝＝1，解得k＝，此时直线l的方程为y＝(x＋1)，故所求直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.‎ ‎4．过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( C )‎ A．2 B．8 ‎ C．4 D．10‎ ‎[解析]　由已知得kAB＝＝－，kCB＝＝3，所以kAB·kCB＝－1，所以AB⊥CB，即△ABC为直角三角形，其外接圆圆心为(1，－2)，半径为5，所以外接圆方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0，得y＝±2－2，所以|MN|＝4，故选C．‎ ‎5．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A、B两点，若弦AB的中点为(－2,3)，则直线l的方程为( A )‎ A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0‎ C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0‎ ‎[解析]　设圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)的圆心为C，弦AB的中点为D，易知C(－1,2)，又D(－2,3)，‎ 故直线CD的斜率kCD＝＝－1，‎ 则由CD⊥l知直线l的斜率kl＝－＝1，‎ 故直线l的方程为y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0.‎ ‎6．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( D )‎ A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ ‎[解析]　由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则其直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.∵光线与圆(x＋3)2‎ 8‎ ‎＋(y－2)2＝1相切，∴＝1，解得k＝－或k＝－.故选D．‎ ‎7．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝2.‎ ‎[解析]　直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，且∠AOB＝120°，则圆心(0,0)到直线3x－4y＋5＝0的距离为r，即＝r，∴r＝2.‎ ‎8．一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为2＋y2＝.‎ ‎[解析]　设圆心为(a,0)，则圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，依题意得＝，解得a＝， r2＝，所以圆的方程为2＋y2＝.‎ ‎9．已知定点M(0,2)，N(－2,0)，直线l：kx－y－2k＋2＝0(k为常数)．‎ ‎(1)若点M，N到直线l的距离相等，求实数k的值；‎ ‎(2)对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，求实数k的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)∵点M，N到直线l的距离相等，‎ ‎∴l∥MN或l过MN的中点．‎ ‎∵M(0,2)，N(－2,0)，‎ ‎∴直线MN的斜率kMN＝1，‎ MN的中点坐标为C(－1,1)．‎ 又∵直线l：kx－y－2k＋2＝0过定点D(2,2)，‎ ‎∴当l∥MN时，k＝kMN＝1；‎ 当l过MN的中点时，k＝kCD＝.‎ 综上可知，k的值为1或.‎ ‎(2)∵对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，‎ ‎∴l与以MN为直径的圆相离，即圆心到直线l的距离大于半径，‎ ‎∴d＝>，解得k<－或k>1.‎ ‎10．已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.‎ ‎(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段为4，求l的方程；‎ ‎(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．‎ ‎[解析]　(1)如图所示，|AB|＝4，将圆C方程化为标准方程为(x 8‎ ‎＋2)2＋(y－6)2＝16，‎ 所以圆C的圆心坐标为(－2,6)，半径r＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，‎ 所以|AD|＝2，|AC|＝4.‎ C点坐标为(－2,6)．‎ 在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.‎ 若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.‎ 由点C到直线AB的距离公式：＝2，‎ 得k＝.‎ 故直线l的方程为3x－4y＋20＝0.‎ 直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.‎ 所以所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.‎ B组 ‎1．(2018·南宁一模)直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的倾斜角为( A )‎ A．或 B．－或 C．－或 D． ‎[解析]　圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的圆心为(2,3)，半径r＝2，圆心(2,3)到直线y＝kx＋3的距离d＝，因为直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，所以由勾股定理得r2＝d2＋()2，即4＝＋3，解得k＝±，故直线的倾斜角为或.‎ ‎2．设直线x－y－a＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB为等边三角形，则实数a的值为( B )‎ A．± B．± ‎ C．±3 D．±9‎ ‎[解析]　由题意知：圆心坐标为(0,0)，半径为2，则△AOB的边长为2，所以△AOB的高为，即圆心到直线x－y－a＝0的距离为，所以＝，解得a＝±.‎ ‎3．已知点A(－2,0)，B(0,2)，若点C是圆x2－2ax＋y2＋a2－1＝0上的动点，△ABC面积的最小值为3－，则a的值为( C )‎ A．1 B．－5‎ 8‎ C．1或－5 D．5‎ ‎[解析]　解法一：圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝1，圆心M(a,0)到直线AB：x－y＋2＝0的距离为d＝，‎ 可知圆上的点到直线AB的最短距离为d－1＝－1，(S△ABC)min＝×2×＝3－，‎ 解得a＝1或－5.‎ 解法二：圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝1，‎ 设C的坐标为(a＋cosθ，sinθ)，C点到直线AB：x－y＋2＝0的距离为d＝ ‎＝.‎ ‎△ABC的面积为S△ABC＝×2× ‎＝|sin(θ－)＋a＋2|，‎ 当a≥0时，a＋2－＝3－，解得a＝1；‎ 当－2≤a<0时，|a＋2－|＝3－，无解；‎ 当a<－2时，|a＋2＋|＝3－，解得a＝－5.‎ 解法三：设与AB平行且与圆相切的直线l′的方程为x－y＋m＝0(m≠2)，圆心M(a,0)到直线l′的距离d＝1，即＝1，解得m＝±－a，‎ 两平行线l，l′之间的距离就是圆上的点到直线AB的最短距离，‎ 即＝，‎ ‎(S△ABC)min＝×2×＝|±－a－2|.‎ 当a≥0时，|±－a－2|＝3－，解得a＝1.‎ 当a<0时，|±－a－2|＝3－，解得a＝－5.‎ 故a＝1或－5.‎ ‎4．已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是原点，且有|＋|≥||，则k的取值范围是( C )‎ 8‎ A．(，＋∞) B．[，＋∞)‎ C．[，2) D．[，2]‎ ‎[解析]　本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算．设AB的中点为D，则OD⊥AB，因为|＋|≥||，所以|2|≥||，||≤2||，又因为||2＋||2＝4，所以||≥1.因为直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点，所以||<2，所以1≤<2，解得≤k<2，‎ 故选C．‎ ‎5．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l1：2x－y＋a＝0，l2：2x－y＋a2＋1＝0和圆：x2＋y2＋2x－4＝0相切，则a的取值范围是( C )‎ A．a>7或a<－3‎ B．a>或a<－ C．－3≤a≤－或≤a≤7‎ D．a≥7或a≤－3‎ ‎[解析]　本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力．两条平行线与圆都相交时，‎ 由得－7，所以两条直线和圆“相切”时a的取值范围－3≤a≤－或≤a≤7，故选C．‎ ‎6．过点P(－1,1)作圆C：(x－t)2＋(y－t＋2)2＝1(t∈R)的切线，切点分别为A，B，则·的最小值为.‎ ‎[解析]　圆C：(x－t)2＋(y－t＋2)2＝1的圆心坐标为(t，t－2)，半径为1，‎ 所以PC＝ ‎＝≥，‎ PA＝PB＝，cos∠APC＝，‎ 所以cos∠APB＝22－1＝1－，‎ 所以·＝(PC2－1)(1－)＝－3＋PC2＋≥－3＋8＋＝，‎ 8‎ 所以·的最小值为.‎ ‎7．过点C(3,4)作圆x2＋y2＝5的两条切线，切点分别为A，B，则点C到直线AB的距离为4.‎ ‎[解析]　以OC为直径的圆的方程为(x－)2＋(y－2)2＝()2，AB为圆C与圆O：x2＋y2＝5的公共弦，所以AB的方程为x2＋y2－[(x－)2＋(y－2)2]＝5－，化为3x＋4y－5＝0，C到AB的距离为d＝＝4.‎ ‎8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin‎2A＋sin2B＝sin‎2C，则直线ax－by＋c＝0被圆x2＋y2＝9所截得弦长为2.‎ ‎[解析]　由正弦定理得a2＋b2＝c2，‎ ‎∴圆心到直线距离d＝＝＝，‎ ‎∴弦长l＝2＝2＝2.‎ ‎9．(2018·全国卷Ⅱ，19)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.‎ ‎(1)求l的方程．‎ ‎(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．‎ ‎[解析]　(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.‎ Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝.‎ 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.‎ 由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.‎ 因此l的方程为y＝x－1.‎ ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，‎ 所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.‎ 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，‎ 则 解得或 因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.‎ 8‎ ‎10．(2017·全国卷Ⅲ，20)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题：‎ ‎(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由．‎ ‎(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．‎ ‎[解析]　(1)不能出现AC⊥BC的情况．理由如下：‎ 设A(x1,0)，B(x2,0)，‎ 则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，‎ 所以x1x2＝－2.‎ 又点C的坐标为(0,1)，‎ 故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，‎ 所以不能出现AC⊥BC的情况．‎ ‎(2)证明：BC的中点坐标为(，)，可得BC的中垂线方程为y－＝x2(x2－)．‎ 由(1)可得x1＋x2＝－m，‎ 所以AB的中垂线方程为x＝－.‎ 联立 又x＋mx2－2＝0，可得 所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(－，－)，半径r＝.‎ 故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，‎ 即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．‎ 8‎